Michael Artin. Algebra. Aus dem Englischen übersetzt von Annette A'Campo. Birkhäuser Verlag Basel Boston Berlin

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1 Michael Artin Algebra Aus dem Englischen übersetzt von Annette A'Campo Birkhäuser Verlag Basel Boston Berlin

2 INHALTSVERZEICHNIS Vorwort Hinweise viii x Kapitel 1 MATRIZEN 1 1. Matrizenkalkül 1 2. Zeilenreduktion Determinanten Permutationsmatrizen Cramersche Regel 30 Aufgaben 33 Kapitel 2 GRUPPEN 40 ' 1. Die Definition einer Gruppe Untergruppen Isomorphismen Homomorphismen Äquivalenzrelationen und Partitionen Nebenklassen Einschränkung von Homomorphismen auf Untergruppen Produkte von Gruppen Rechnen mit Kongruenzen Faktorgruppen 72 Aufgaben 76 Kapitel 3 VEKTORRÄUME Reelle Vektorräume Abstrakte Körper Basen und Dimension Rechnen mit Basen Unendlichdimensionale Vektorräume Direkte Summen 113 Aufgaben 115

3 iv Inhaltsverzeichnis Kapitel 4 LINEARE ABBILDUNGEN Die Dimensionsformel Lineare Abbildungen und Matrizen Endomorphismen und Eigenvektoren Das charakteristische Polynom Orthogonale Matrizen und Drehungen Diagonalisierbarkeit Systeme von Differentialgleichungen Die Exponentialabbildung für Matrizen 155 Aufgaben 161 Kapitel 5 SYMMETRIE Symmetrie ebener Figuren Die Bewegungsgruppe der Ebene Endliche Gruppen von Bewegungen Diskrete Gruppen von Bewegungen Abstrakte Symmetrie: Gruppenoperationen Die Operation auf Nebenklassen Zerlegen und Zählen Permutationsdarstellungen Endliche Untergruppen der Drehgruppe 207 Aufgaben 211 Kapitel 6 MEHR ÜBER GRUPPEN Operationen einer Gruppe auf sich Klassengleichung der Ikosaedergruppe Operationen auf Teilmengen Die Sylowschen Sätze Die Gruppen der Ordnung Rechnen in der symmetrischen Gruppe Die freie Gruppe Erzeugende und Relationen Der Todd-Coxeter-Algorithmus 252 Aufgaben 259

4 Inhaltsverzeichnis v Kapitel 7 BILINEARFORMEN Definition einer Bilinearform Symmetrische Bilinearformen Geometrie und positiv definite Bilinearformen Hermitesche Formen Der Spektralsatz Kegelschnitte und Quadriken Der Spektralsatz für normale Endomorphismen Schiefsymmetrische Bilinearformen Zusammenfassung der Ergebnisse für Matrizen 296 Aufgaben 298 Kapitel 8 LINEARE GRUPPEN Klassische lineare Gruppen Die spezielle unitäre Gruppe SU Die orthogonale Darstellung von SU Die spezielle lineare Gruppe SL2(R) Einparameteruntergruppen Lie-Algebren Translation in einer Gruppe Einfache Gruppen 337 Aufgaben 342 Kapitel 9 DARSTELLUNGEN VON GRUPPEN Definition einer Darstellung Invariante Formen und unitäre Darstellungen Kompakte Gruppen Invariante Unterräume und irreduzible Darstellungen Charaktere Permutationsdarstellungen und die reguläre Darstellung Darstellungen der Ikosaedergruppe Eindimensionale Darstellungen Das Schursche Lemma und der Beweis der Orthogonalitätsrelationen Darstellungen der Gruppe SU2 377 Aufgaben 383

5 vi Inhaltsverzeichnis Kapitel 10 RINGE Definition eines Ringes Formale Konstruktion von ganzen Zahlen und Polynomen Homomorphismen und Ideale Restklassenringe und Relationen in einem Ring Adjunktion von Elementen Integritätsbereiche und Quotientenkörper Maximale Ideale Algebraische Geometrie 427 Aufgaben 434 Kapitel 11 FAKTORZERLEGUNG Faktorzerlegung von ganzen Zahlen und Polynomen Faktorielle Ringe, Hauptidealringe und euklidische Ringe Das Gaußsche Lemma Explizite Zerlegung von Polynomen Primelemente im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen Ganze algebraische Zahlen Faktorzerlegung in imaginär-quadratischen Zahlkörpern Faktorzerlegung von Idealen Der Zusammenhang zwischen Primidealen und Primzahlen Idealklassen in imaginär-quadratischen Zahlkörpern Reell-quadratische Zahlkörper Einige diophantische Gleichungen 501 Aufgaben 505 Kapitel 12 MODULN Die Definition eines Moduls Matrizen, freie Moduln und Basen Das Prinzip der universellen Gültigkeit von Identitäten Diagonalisierbarkeit von ganzzahligen Matrizen Erzeugende und Relationen für Moduln Der Struktursatz für abelsche Gruppen Anwendung auf Endomorphismen von Vektorräumen Freie Moduln über Polynomringen 552 Aufgaben 553

6 Inhaltsverzeichnis vii Kapitel 13 KÖRPER Beispiele von Körpern Algebraische und transzendente Elemente Der Grad einer Körpererweiterung Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Symbolische Adjunktion von Nullstellen Endliche Körper Funktionenkörper Transzendente Erweiterungen Algebraisch abgeschlossene Körper 603 Aufgaben 607 Kapitel 14 GALOISTHEORIE Der Hauptsatz der Galoistheorie Kubische Gleichungen Symmetrische Funktionen Primitive Elemente Beweis des Hauptsatzes Gleichungen vierten Grades Kummersche Erweiterungen Kreisteilungserweiterungen Gleichungen fünften Grades 652 Aufgaben 658 Anhang VORKENNTNISSE Mengenlehre Beweistechniken Topologie Der Satz über implizite Funktionen 684 Aufgaben 686 Symbolverzeichnis 688 Literaturhinweise 691 Stichwortverzeichnis 694