WS 2009/10. Diskrete Strukturen

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1 WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München

2 Kapitel V Algebraische Strukturen Algebraische Strukturen Grundlagen Gruppen Endliche Körper 2

3 In der Algebra werden abstrakte Operationen (Operationen über eine abstrakte Menge) untersucht, von denen nur bekannt ist, dass sie gewisse Eigenschaften (wie z.b. Assoziativität, Kommutativität, Distributivität, Idempotenz ) besitzen. Welche Eigenschaften jede Operation hat, wird durch Axiome festgelegt. 3

4 Eine abstrakte Algebra kann viele Instanzen haben (konkrete Algebren), die man erhält, in dem die abstrakte Menge und die abstrakte Operationen durch konkrete Mengen (z.b. N, Z,..) und konkrete Operationen, die die Axiome erfüllen (z.b. Addition, Multiplikation ) ersetzt werden. Alle Sätze, die für eine abstrakte Algebra bewiesen worden sind, gelten für alle ihre Instanzen. 4

5 Definition: Eine (konkrete) Algebra besteht aus einer Trägermenge S und einer Menge von Operatoren auf S (der Operatorenmenge). Dabei gilt: Jeder Operator ist eine Abbildung S m S mit der Stelligkeit (arity) m N. (Statt Operator benutzen viele Texte Operation) 5

6 Beispiele 6 N,+, Z,+, N,+, sind Algebren. Sei B die Menge bestehend aus den Booleschen Werten {T,F}, dann ist {T,F},,, ein Algebra. Sei S := {x Dann ist S, N x ist Quadratzahl}. eine Algebra. S,+ ist keine Algebra, da sie bzgl. der Addition nicht abgeschlossen.

7 Beispiele Algebren mit zweistelligen Operatoren lassen sich über ihre Multiplikationstafeln (Operationstafeln) darstellen. Beispiel: {T,F},, T F T F T T T F T F T T F F F F 7

8 Unteralgebren 8 Schränkt man die Trägermenge S einer Algebra auf eine Teilmenge S S ein, dann bildet diese mit den Operatoren aus eine Algebra, wenn die Abbildungen nur Elemente aus S liefern. Definition Sei S, f 1,,f t eine Algebra. Eine nichtleere Teilmenge S S erzeugt eine Unteralgebra, falls S unter den Operatoren f 1,,f t abgeschlossen ist, d.h. f i (a 1,,a mi ) S für alle i = 1,,t und für alle (a 1,,a mi ) (S ) m i.

9 Unteralgebren Beispiele N 0,+ ist eine Unteralgebra von Z,+. {0,1}, ist eine Unteralgebra von N 0,. {0,1}, + ist keine Unteralgebra von N 0,+, da {0,1} nicht abgeschlossen bzgl. der Addition ist. 9

10 Signatur einer Algebra Definition Die Signatur einer Algebra besteht aus der Liste der Stelligkeiten der Operatoren. Beispiel {T,F},,, (Boolesche Algebra): (2,2,1) P(M),,, (Potenzmengenalgebra): (2,2,1) 10

11 Neutrale und inverse Elemente 11 Definition: Sei S, eine Algebra. Ein Element e S heißt linksneutrales (bzw. rechtsneutrales) Element für den Operator, falls a S e a = a (bzw. a e = a). e heißt neutrales Element, falls es links- und rechtsneutrales Element ist.

12 Neutrale und inverse Elemente Sei e S ein neutrales Element von S,. Für a S heißt x S rechtsinverses Element von a, falls a x = e (analog: Linksinverses). Ist x sowohl rechts- als auch linksinverses Element zu a, so heißt es inverses Element zu a. 12

13 Beispiel Die Algebra {b,c}, mit b c b b b c c c hat rechtsneutrale Elemente b und c, jedoch keine linksneutralen Elemente. 13

14 Beispiel 14 Die neutralen Elemente der Addition bzw. Multiplikation auf den natürlichen/ganzen Zahlen sind 0 bzw. 1. In Z, + gibt es zu jed. Element x ein Inverses: -x. In R \ {0}, gibt es zu jedem Element x ein inverses Element: 1/x. In Z \ {0}, gibt es keine inversen Elemente zu Elementen 1.

15 Beispiel Sei * die Menge aller Wörter über einem endlichen Alphabet. Der Operator konkateniert zwei Wörter, d.h. 1 2 = 1 2. Dann ist *, eine Algebra mit dem leeren Wort als neutrales Element. Beachte, dass nur ein inverses Element hat. 15

16 Beispiel Betrachte F(U), d.h. die Menge aller Abbildungen U U. Dann gilt (mit der Komposition als Operator): f F(U) hat genau dann ein Rechtsinverses, also f f -1 = id, wenn f surjektiv ist. (Wähle für f -1 irgendeine Funktion g, so dass g(x) von f auf x abgebildet wird.) 16

17 Beispiel f F(U) hat genau dann ein Linksinverses, also f -1 f = id, wenn f injektiv ist. (Wähle für f -1 irgendeine Funktion g, so dass f(x) von g auf x abgebildet wird.) Is f bijektiv, dann stimmen die beiden f -1 überein. 17

18 Wir werden nun abstrakte Algebren mit nur einer Operation untersuchen. Dies führt zu den Begriffen Halbgruppe, Monoid und Gruppe. Wir untersuchen dann abstrakte Algebren mit zwei Operationen (Addition und Multiplikation). Dies führt auf die Begriffe Ring und (als Spezialfall) Körper. 18

19 Halbgruppen Definition: Eine Algebra A = S, mit einem zweistelligen Operator heißt Halbgruppe, falls assoziativ ist, also gilt: a,b,c S a (b c) = (a b) c. 19

20 Halbgruppen Welche der beiden folgenden, durch ihre Multiplikationstafeln beschriebenen Algebren sind Halbgruppen? a 1 a 2 a 1 a 1 a 1 a 2 a 2 a 2 a 1 a 2 a 1 a 2 a 2 a 2 a 1 a 1 20

21 Beispiele: 21 N, +, Z, +, N,, Z, P(M), *, R, max, P(M), Sei U eine Menge, F die Menge der Funktionen U U. Dann ist F, eine Halbgruppe, wobei die Komposition von Funktionen bezeichnet.

22 Monoide Definition: Eine Algebra A = S, mit einem zweistelligen 22 Operator heißt Monoid, falls assoziativ ist und es ein neutrales Element e S gibt. Beispiele N 0, + ist ein Monoid mit 0 als neutralem Element. *, ist ein Monoid.

23 Gruppen Definition: Eine Algebra A = S, mit einem zweistelligen Operator heißt Gruppe, falls assoziativ ist, es ein neutrales Element e S gibt und jedes Element a S ein inverses Element besitzt. 23

24 Gruppen Ist A = S, eine Gruppe, so heißt A = S, mit S S eine Untergruppe von A, wenn sie bezüglich selbst eine Gruppe ist. Das neutrale Element von A stimmt dann mit dem neutralen Element von A überein (A ist also auch ein Untermonoid von A): 24

25 Gruppen Beispiele: N 0, + ist Monoid aber keine Gruppe. Z, + ist Gruppe 25

26 Kapitel V Algebraische Strukturen Einschub Modulare Arithmetik Definition: Sei m 2 N. Zwei ganze Zahlen x,y sind kongruent modulo m genau dann, wenn die Differenz (x-y) durch m teilbar ist. x und y sind kongruent modulo m genau dann, wenn x = y + k m. x und y haben bei Division durch m den gleichen Rest. 26

27 Kapitel V Algebraische Strukturen Einschub Modulare Arithmetik Die Kongruenz modulo m ist eine Äquivalenzrelation auf die ganzen Zahlen, die Kongruenzrelation modulo m. Sie wird x m y oder x y (mod m) geschrieben Die Relation partitioniert Z in genau m viele Äquivalenzklassen, nämlich Z m = {0,,m-1}. 27

28 Kapitel V Algebraische Strukturen Einschub Modulare Arithmetik 28 Spiralvisualisierung der Äquivalenzklassen (mod 5) 0 (mod 5) (mod 5) (mod 5) (mod 5) (mod 5) 20

29 Kapitel V Algebraische Strukturen Anwendung - Verschlüsselung von Nachrichten bestehend aus Buchstaben (eine sehr alte Methode) 29 Zuerst wird jeder Buchstabe durch eine Zahl ersetzt, z.b. die Position des Buchstabens im Alphabet. Also A 0, K 10 usw. Dann werden die resultierenden Zahlen p über die Funktion f(p) = (p+k) mod 26 modifiziert. Hierbei ist 26 die Anzahl von Buchstaben und k frei wählbar.

30 Kapitel V Algebraische Strukturen Anwendung - Verschlüsselung von Nachrichten bestehend aus Buchstaben Beispiel: MEET YOU IN THE PARK wird zu wird zu

31 Kapitel V Algebraische Strukturen Anwendung - Verschlüsselung von Nachrichten bestehend aus Buchstaben 31 Zum Entschlüsseln der Nachricht wird f -1, die Inverse zu f verwendet. Diese ist gerade f -1 (p) = (p-k) mod 26. Hierbei ist zu berücksichtigen, dass auch bei negativen Zahlen der Rest bei der Division immer positiv sein muss, d.h., -11 mod 3 = 1, da -11 = (-4)

32 Zurück zu Gruppen Beispiele: Z n, + n mit a + n b = a+b mod n ist Gruppe. In Z n, + n ist 0 das neutrale Element und n-a das Inverse zu Elementen a 0. Z n, + n ist nicht Untergruppe zu Z, +, da + n nicht die Einschränkung von + auf Z n ist. R, und Q, sind keine Gruppen: Zum Element 0 Q gibt es kein inverses Element. R \ {0}, und Q \ {0}, sind Gruppen. 32

33 Abelsche Halbgruppen/Monoide/Gruppen Definition: Eine Halbgruppe (ein Monoid, eine Gruppe) heißt abelsch oder kommutativ, falls kommutativ ist, also gilt: a,b S a b = b a. 33

34 Morphismen Eine Algebra kann in verschiedenen Ausprägungen, die sich nur durch die Wahl der Bezeichner unterscheiden, vorkommen. Beispiel: Z 2, 2 und {T,F}, F T F F F T F T wobei a n b := (a b) mod n und a n := a mod n 34

35 Morphismen Eine Algebra kann in verschiedenen Ausprägungen, die sich nur durch die Wahl der Bezeichner unterscheiden, vorkommen. Beispiel: Z 2, 2 und {T,F}, F T F F F T F T 35 Wir nennen solche Algebren strukturgleich oder isomorph.

36 Morphismen Definition: Seien A S, f,...,. f und A S, f,...,. f zwei Algebren, 1 t 1 die die gleiche Signatur haben. Eine Abbildung h : S S heißt (Algebra-) Homomorphismus von t A nach A, falls für alle i 1,..., t die Operatoren f und f mit h vertauschbar sind. i i 36

37 Morphismen Definition: Seien A S, f,...,. f und A S, f,...,. f zwei Algebren, 1 t 1 die die gleiche Signatur haben. Eine Abbildung h : S S heißt (Algebra-) Homomorphismus von t A nach A, falls für alle i 1,..., t die Operatoren f und f mit h vertauschbar sind. i i Formal: a S f ( h( a ),..., h( a )) h( f ( a,..., a )) i i 1 m i 1 m 37

38 Morphismen Grafische Veranschaulichung über das kommutative Diagramm. m S i f i S h h m S i f i S 38

39 Morphismen Beispiel: Für die Algebra A = h: * N *, ist ein Homomorphismus von A nach A = N,+. 39

40 Morphismen Definition: Seien A S, f,...,. f und A S, f,...,. f 1 t 1 zwei Algebren, die die gleiche Signatur haben. Eine Abbildung h : S S heißt (Algebra-) Isomorphismus von A nach A, falls h bije ktiv und ein Homom orphismus A nach A ist. t von 40

41 Morphismen Beispiel: Die Algebren A = N,+ und A = {2a a N},+ sind isomorph zueinander, da es eine Abbildung h: N {2a : a N} n 2n mit den gewünschten Eigenschaften gibt. 41

42 Morphismen 42 Beispiel: Die Algebren A = R +, und A = R,+ sind isomorph zueinander, da es eine Abbildung h: R + R x log x mit den gewünschten Eigenschaften gibt. Beachte: log(a b) = log(a) + log(b)

43 Morphismen Lemma: Ein Algebra-Isomorphismus zwischen zwei Algebren A = S, und A = S, bildet neutrale Elemente auf neutrale Elemente und inverse Elemente auf inverse Elemente ab. 43

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