In Newtons Gravitationstheorie wird die Bewegung von N Massenpunkten, die sich gegenseitig durch Gravitation anziehen, durch

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1 I Einleitung 1 Newtons Gravitationstheorie Im Jahr 1687 veröffentlichte Newton seine Philosophiae naturalis principia mathematica, in denen er die Mechanik und die Gravitationstheorie behandelt. Newtons Gravitationstheorie war ein wichtiger Schritt zur Vereinheitlichung der Physik: Sie erklärte die Fallgesetze und die Keplergesetze im Rahmen einer einzigen Theorie. Die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) ist eine relativistische Verallgemeinerung der Newtonschen Gravitationstheorie. Wir beginnen daher mit einer kurzen Einführung in Newtons Theorie. In Newtons Gravitationstheorie wird die Bewegung von N Massenpunkten, die sich gegenseitig durch Gravitation anziehen, durch m i d 2 r i dt 2 = G N j =1, j =i m i m j (r i r j ) r i r j 3 (1.1) beschrieben. Dabei gibt r i (t) die Position des i-ten Körpers zur Zeit t an, und m i seine Masse. Die Gravitationskonstante G ist experimentell zu G = (6.674 ± 0.001) m 3 bestimmt 1. Für die in (1.1) eingeführte Gravitationskraft gilt: kg s 2 Gravitationskonstante (1.2) Sie ist anziehend und wirkt in Richtung des Vektors r j r i. Sie ist proportional zum Produkt der beiden Massen. Sie fällt mit dem Quadrat des Abstandes ab CODATA recommended values unter Einen Überblick über die Methoden zur Bestimmung der Gravitationskonstanten gibt G. T. Gillies, Rep. Progr. Phys. 60 (1997) 151. T. Fließbach, Allgemeine Relativitätstheorie, DOI / _1, Springer-Verlag Berlin Heidelberg

2 2 Teil I Einleitung Die Beziehung (1.1) kann als Grundgleichung der Newtonschen Gravitationstheorie angesehen werden. Hiermit können etwa Wurfparabeln, Keplerellipsen und Kometenbahnen beschrieben werden. Wir bringen diese Grundgleichung in eine andere Form, die für die angestrebte Verallgemeinerung besser geeignet ist. Dazu führen wir das skalare Gravitationspotenzial Φ(r) ein: Φ(r) = G j m j r r j = G d 3 r ϱ(r ) r r (1.3) Im letzten Ausdruck wurde über die einzelnen Beiträge dm = ϱ(r )d 3 r der Massendichte ϱ summiert. Den Bahnvektor des herausgegriffenen i-ten Massenpunkts in (1.1) bezeichnen wir nun mit r = r(t) = r i (t). Aus (1.1) und (1.3) folgt dann m d2 r dt 2 = m Φ(r) Bewegungsgleichung in Newtons Theorie (1.4) Dies ist die Bewegungsgleichung eines Teilchens im Gravitationsfeld. Das Gravitationspotenzial Φ(r) wird durch die Massen aller anderen Teilchen bestimmt. Aus (1.3) folgt die Feldgleichung für Φ(r), Φ(r) = 4πGϱ(r) Feldgleichung in Newtons Theorie (1.5) Dies ist eine lineare partielle Differenzialgleichung zweiter Ordnung; als Quelle des Felds tritt auf der rechten Seite die Materiedichte ϱ(r) auf. Im Folgenden betrachten wir (1.5) und (1.4) als die Grundgleichungen der Newtonschen Gravitationstheorie. Diese Gleichungen (1.5) und (1.4) haben dieselbe Struktur wie die Feldgleichung der Elektrostatik, Φ e = 4πϱ e (1.6) und die nichtrelativistische Bewegungsgleichung eines geladenen Teilchens: m d2 r dt 2 = q Φ e (1.7) Dabei ist ϱ e die Ladungsdichte und Φ e das elektrostatische Potenzial. Als Kopplungskonstante der Wechselwirkung tritt in (1.7) die Ladung q auf, also eine von der Masse m auf der linken Seite unabhängige Größe; die Masse m und die Ladung q sind unabhängige Eigenschaften des betrachteten Körpers. Analog dazu wäre es denkbar, dass die an die Gravitation gekoppelte schwere Masse (m rechts in (1.4)) sich von der trägen Masse (m links in (1.4)) unterschiede. Dies ließe die Struktur der Newtonschen Gravitationstheorie ungeändert. Experimentell stellt man jedoch mit hoher Präzision fest, dass die Gravitationskraft proportional zur trägen Masse ist. Galilei formulierte dies so: Alle Körper fallen gleich schnell. Sofern dies gilt, sind schwere und träge Masse zueinander äquivalent. Diese Äquivalenz erscheint

3 Kapitel 1 Newtons Gravitationstheorie 3 in der Newtonschen Theorie zufällig; in der ART ist sie dagegen ein grundlegender Ausgangspunkt. Die Gleichungen (1.4) und (1.5) der Newtonschen Gravitationstheorie sind für viele Zwecke ausreichend, zum Beispiel für die Berechnung einer Fahrt zum Mond. Es ist jedoch auch klar, dass diese Gleichungen nicht streng gültig sein können; denn sie sind nicht relativistisch. Daher ist die Newtonsche Gravitationstheorie aus heutiger Sicht nur als Grenzfall einer allgemeineren Theorie akzeptabel. Die ART ist eine solche allgemeinere Theorie.

4 2 Ziel der Allgemeinen Relativitätstheorie Das Ziel der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) ist die relativistische Verallgemeinerung der Newtonschen Gravitationstheorie (1.5, 1.4). Diese Verallgemeinerung kann verglichen werden mit dem Übergang von der Elektrostatik (1.6, 1.7) zur Elektrodynamik. Eine Skizze der Ähnlichkeiten und der Unterschiede zwischen diesen Verallgemeinerungen ermöglicht eine erste, vorläufige Beschreibung der Struktur der aufzustellenden Gravitationstheorie. Die folgende Diskussion setzt die Kenntnis der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) und der Elektrodynamik voraus; im Gegensatz zum Vorgehen in den folgenden Kapiteln werden die eingeführten Größen hier nicht näher erläutert. Die für die Entwicklung der ART relevanten Aspekte der SRT und der Elektrodynamik werden aber in Teil II in einiger Ausführlichkeit dargestellt. Wir skizzieren die wohlbekannte Verallgemeinerung der Elektrostatik zur relativistischen Theorie, der Elektrodynamik. In einer dynamischen Theorie hängen die Ladungsdichte ϱ e (r,t)und das Potenzial Φ e (r,t)von der Zeit t ab. Wenn man nun lediglich ϱ e = ϱ e (r,t) und Φ e = Φ e (r,t) in (1.6) einsetzt, erhält man ein Fernwirkungsgesetz; das heißt eine Änderung der Ladungsdichte ϱ e an einem Ort würde ein gleichzeitige Änderung des Felds Φ e an allen anderen Orten implizieren. Damit sich solche Änderungen nur mit Lichtgeschwindigkeit c fortpflanzen, muss der Laplace-Operator in (1.6) durch den d Alembert-Operator ersetzt werden, = 1 2 c 2 (2.1) t2 Lässt man relativ zueinander bewegte Inertialsysteme zu, so ist die Ladungsdichte ϱ e zwangsläufig mit einer Stromdichte verknüpft; Ladungsdichte und Stromdichte transformieren sich ineinander. In der vollständigen Theorie tritt daher an die Stelle der Ladungsdichte ϱ e die Stromdichte j α, ϱ e ( ϱ e c, ϱ e v i ) = ( j α ) (2.2) Dabei bezeichnet v i die kartesischen Komponenten der Geschwindigkeit v. Der Verallgemeinerung der Quellterme (2.2) entspricht eine analoge Verallgemeinerung der Potenziale, Φ e ( Φ e,a i ) = ( A α ) (2.3) Die relativistische Verallgemeinerung der Feldgleichung lässt sich somit durch Φ e = 4πϱ e A α = 4π c j α (2.4) 4

5 Kapitel 2 Ziel der Allgemeinen Relativitätstheorie 5 ausdrücken. Die 0-Komponente der vier rechten Gleichungen reduziert sich im statischen Fall auf die linke Gleichung. Die rechten Gleichungen sind äquivalent zu den Maxwellgleichungen. Sie sind noch zu ergänzen durch die zugehörige Eichbedingung der Potenziale und die relativistische Verallgemeinerung der Bewegungsgleichung (Kapitel 6). Für gegebene Quellen werden sie durch die retardierten Potenziale gelöst. Da Elektrostatik und Newtonsche Gravitationstheorie die gleiche mathematische Struktur haben, liegt der Versuch nahe, die Gravitationstheorie in analoger Weise zu verallgemeinern. Im Vergleich zum Vorgehen in (2.1) (2.4) ergeben sich Ähnlichkeiten und Unterschiede, die wir kurz skizzieren. Zunächst wird man die Ersetzung (2.1) auch in (1.5) vornehmen. Der nächste Punkt ist dann die (2.2) entsprechende Verallgemeinerung der Massendichte. Hier ergibt sich ein erster, wesentlicher Unterschied: Die Ladung q eines Teilchens ist unabhängig davon, wie sich das Teilchen bewegt; dies gilt nicht für seine Masse. Als Beispiel betrachte man ein Wasserstoffatom, das aus einem Proton (Ruhmasse m p, Ladung q p = e) und einem Elektron (Ruhmasse m e, Ladung q e = e) besteht.im Atom haben das Elektron und das Proton endliche Geschwindigkeiten. Die Ladung des Atoms ist q = q p + q e = 0, für die Masse gilt dagegen m = m p + m e. Formal bedeutet dies, dass die Ladung ein Lorentzskalar ist; deshalb können wir Elementarteilchen auch eine Ladung (und nicht etwa nur eine Ruhladung) zuordnen. Im Gegensatzdazu istnur dieruhmasse eineeigenschaft eines Elementarteilchens. Da die Ladung ein Lorentzskalar ist, transformiert sich die Ladungsdichte ϱ e = Δq/ΔV wie die 0-Komponente eines Lorentzvektors (der Stromdichte j α ); denn 1/ΔV erhält wegen der Längenkontraktion einen Faktor γ.eineanalogzu ϱ e definierte Energie-Massendichte ϱ = Δm/ΔV transformiert sich dagegen wie die 00-Komponente eines Lorentztensors, den wir als Energie-Impuls-Tensor T αβ bezeichnen. Dies liegt daran, dass die Energie selbst die 0-Komponente eines 4- Vektors (des Viererimpulses p α, Kapitel 4) ist. Daher tritt an die Stelle von (2.2) die Ersetzung ( ) ϱc 2 ϱcv i ϱ ϱcv i ϱv i v j ( T αβ ) (2.5) Die hier nur unvollständig eingeführten Größen (Energie-Massendichte, Energie- Impuls-Tensor T αβ ) werden in Kapitel 7 definiert. Die Ersetzung (2.5) impliziert eine analoge Verallgemeinerung des Gravitationspotenzials Φ zu einer zweifach indizierten Größe, die wir als metrischen Tensor g αβ bezeichnen. Daraus ergäbe sich folgende Struktur der relativistischen Feldgleichung der Gravitation: Φ = 4πGϱ g αβ GT αβ (2.6) Die numerische Konstante in der rechten Gleichung ist so zu bestimmen, dass die 00-Komponente im statischen Fall mit der linken Gleichung übereinstimmt. Für schwache Felder werden wir in der Tat relativistischefeldgleichungenmit ähnlicher Struktur erhalten.

6 6 Teil I Einleitung Wegen der Masse-Energie-Äquivalenz kommt eine grundlegende Komplikation hinzu, die in der Elektrodynamik nicht auftritt: Da das Gravitationsfeld auch Träger von Energie ist, stellt es selbst eine Quelle des Felds dar. Dies führt zu einer Nichtlinearität der exakten Feldgleichungen. Im Gegensatz dazu ist das elektromagnetische Feld nicht Quelle des Felds; die elektromagnetischen Felder (oder die Photonen) tragen keine Ladung. Wir fassen die wesentlichen Punkte, die die Struktur der gesuchten Gravitationstheorie bestimmen, zusammen: 1. Die ART ist eine relativistische Verallgemeinerung der Newtonschen Gravitationstheorie. Die identische Struktur der Newtonschen Theorie und der Elektrostatik führt zu zahlreichen Analogien zwischen der ART und der Elektrodynamik. 2. Weil die Energie-Massendichte sich wie die 00-Komponente eines Lorentztensors transformiert, führt die Verallgemeinerung von (1.5) zu einer Tensorfeldgleichung und nicht wie in der Elektrodynamik zu einer Vektorfeldgleichung. 3. Weil das Gravitationsfeld Energie enthält, stellt es selbst eine Quelle des Felds dar. Dies bedingt nichtlineare Feldgleichungen.

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