2.2 4-Stromdichte [Griffiths , Jackson 11.9]

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Hansl Schuster
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1 Um zu verstehen, wie sich die elektromagnetischen Felder transformieren, gehen wir von den Maxwellgleichungen aus. Dazu brauchen wir zunächst die. 4-Stromdichte [Griffiths 1.3.4, Jackson 11.9] Die Ladungsdichte ρ und Stromdichte J bilden zusammen einen 4-Vektor. Um das zu sehen, betrachten wir einen infinitesimalen Ladungsklumpen mit Ladung dq im Volumen dv.wir nehmen an, die Ladung sei in dv homogen verteilt. Dann ist ρ = dq dv J = ρ v wobei v die Geschwindigkeit des Klumpens ist. Sei ρ 0 die Ladungsdichte im Ruhesystem des Klumpens, ρ 0 = dq dv 0 Hier konnten wir im Zähler dq schreiben, weil die Ladung Lorentz-invariant ist. In den beiden Richtungen senkrecht zur Bewegung ist das Volumen unverändert, während es in Bewegungsrichtung um /c kontrahiert ist. Also ist dv = dv 0 /c und daher ρ = J = ρ 0 /c ρ 0 v /c Mit der 4-Geschwindigkeit u des Klumpens lässt sich dies schreiben als ρ = ρ 0u 0 c J = ρ 0 u Für ( cρ J := J ) gilt also J µ = ρ 0 u µ Die rechte Seite ist ein 4-Vektor, also auch die linke. Da es an jedem Punkt der Raumzeit ein J gibt, haben wir an jedem Punkt einen 4-Vektor, mit anderen Worten, ein 4-Vektorfeld J µ (x). 1

2 Bsp: Punktladung q bei x(t) = vt e 1 im Inertialsystem S. Sei S das Inertialsystem, in dem die Ladung am Ursprung ruht. Dann ist ρ ( x ) = qδ( x ). Mittels x 1 = γ(x 1 βct) kann man dies durch ist die S-Koordinaten ausdrücken: ρ (x) = (q/γ)δ(x 1 vt)δ(x )δ(x 3 ). Die J µ in S erhält man durch die inverse Transformation ( ) ( ) ( ) ( ) cρ 1 β cρ c J 1 = γ = qδ(x 1 vt)δ(x )δ(x 3 ) β 1 0 v sowie J = J 3 = 0. Die Maxwell-Gleichungen sind nur konsistent wenn ρ und J die Kontinuitätsgleichung ρ = J erfüllen. Diese kann man schreiben als (cρ) d(ct) + J i x i = 0 und daher in der schönen Form J µ x = 0 µ Mit anderen Worten: Die Kontinuitätsgleichung bedeutet, dass die 4-Divergenz der 4- Stromdichte verschwindet. Die Kontinuitätsgleichung gilt in jedem Bezugssystem. J ist ein 4-Vektor. Wie transformieren die partiellen Ableitungen? x ist ein Skalar und x x = (xν x ν ) = xν µ x x µ ν = δµx ν ν = x µ Die partielle Ableitung / transformiert also genauso wie x µ. Folglich ist das Skalarprodukt von / mit J µ invariant und die Kontinuitätsgleichung auch. Das Transformationsverhalten der partiellen Ableitung legt die Schreibweise µ := nahe. Damit lautet die Kontinuitätsgleichung in noch schönerer Form µ J µ = Vektorpotential [Jackson 11.9] Die Transformationeigenschaften der Feldstärken lassen sich relativ einfach erhalten, wenn man sie durch das skalare Potential φ und das 3-Vektorpotential A ausdrückt. Zur Erinnerung: Es war B = A E = φ 1 c A

3 Dadurch werden die homogenen Maxwell-Gleichungen B = 0 E + B/c = 0 gelöst. Die inhomogenen Maxwellgleichungen bestimmen dann φ und A. E = 4πρ wird zu φ 1 c A = 4πρ ( ) und B 1 c E = 4π c J wird zu ( A) A + 1 c φ + 1 4π A = J c c ( ) Die Maxwell-Gleichungen bestimmen die Potentiale nicht vollständig. Man kann sie immer noch einer Eichtransformation unterwerfen, ohne die Physik zu ändern. Diese Mehrdeutigkeit wird weitgehend beseitigt durch eine Eichbedingung. Wir tun das mit der Lorentz- Eichung 1 c φ + A = 0 Damit werden ( ) und ( ) zu ( ) 1 c t φ = 4πρ ( ) 1 c t A = 4π J c Definiert man das 4-komponentige Objekt ( φ A := A ) sowie := 1 c t lassen sich die inhomogenen Maxwellgleichungen schreiben als A µ = 4π c J µ 3

4 und die Lorentz-Bedingung als µ A µ = 0 Diese Gleichungen deuten darauf hin, dass A ein 4-Vektor ist. Dafür muss aber ein Skalar sein. Betrachte die partielle Ableitung des Skalars x nach x µ, x = (xν x ν ) = x ν x ν = δ µ ν x ν = x µ D.h. / transformiert wie x µ. Daher schreibt man µ := Es gilt offensichtlich = µ µ d.h. ist in der Tat ein Skalar. Wir können also schließen, dass A ein 4-Vektor ist. Damit haben wir gezeigt, dass die inhomogenen Maxwell-Gleichungen für die Potentiale kovariant sind, und daher in jedem Inertialsystem gelten. Bem: Das gilt allerdings nur, wenn die Eichbedingung kovariant ist. Dies gilt für die Lorentz-Eichung, nicht aber andere beliebte Eichungen wie die von Coulomb A = 0. Es war einfacher, das Transformationsverhalten der Potentiale zu verstehen als das der Feldstärken. Hat man das aber erstmal erreicht, kann man auch eine kovariante Formulierung für die Feldstärken hinschreiben..4 Feldstärketensor [Jackson 11.9] Drücke die Feldstärken durch die A µ aus: E i = i A 0 1 c A i = ( 0 A i i A 0 ) B 1 = A 3 3 A = ( A 3 3 A ) u.s.w. zyklisch Dies sind also Komponenten von d.h. F µν := µ A ν ν A µ E i = F 0i B 1 = F 3 u.s.w. zyklisch 4

5 Weil sowohl µ als auch A ν 4-Vektoren sind, transformiert F µν wie x µ x ν, d.h. F µν = Λ µ ρλ ν σf ρσ Diese Eigenschaft definiert einen 4-Tensor zweiter Stufe. Man bezeichnet F µν Feldstärketensor. Dieser ist antisymmetrisch unter Vertauschung der Indizes, als F µν = F νµ Die Feldstärken sind also Komponenten eines antisymmetrischen Tenors zweiter Stufe. Alle Komponenten: 0 E 1 E E 3 (F µν ) = E 1 0 B 3 B E B 3 0 B 1 E 3 B B April 014 5

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