Theoretische Informatik 1

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1 Theoretische Inforatik 1 Teil 6 Bernhard Nessler Institut für Grundlagen der Inforationsverabeitung TU Graz SS 2008

2 Übersicht 1 Reduktionen 2 Definition P- NP- 3 Sprachbeziehungen Klassenbeziehungen

3 Turingreduktion gegeben ein Proble A (Sprache A). Es ist nicht bekannt, ob TM T A existiert. Aber: wir kennen ein zweites Proble B (Sprache B): Und wir kennen einen Algorithus, der A lösen kann, wenn er die Ergebnisse von TM T B benützen kann. Es sind also Aufrufe der For CALL T B (x) erlaubt. Es hierfür unerheblich ob TM T B tatsächlich existiert! A läßt sich reduzieren auf B: A T B

4 Beispiel Konstruktionsproble - Entscheidungsproble: MAXCLIQUE( G ): Berechne größte Clique in G CLIQUE( G, k ): Hat G eine Clique der Größe k? zeige: MAXCLIQUE T CLIQUE Beachte: MAXCLIQUE ist kein Sprachproble! (Beweisskizze siehe Teil 4)

5 Beispiel Unberechenbarkeit PCP en werden für (Un-)Berechenbarkeitsbeweise eingesetzt. Wenn A T B gezeigt ist, und A nicht berechenbar (entscheidbar) ist, dann ist auch B nicht berechenbar (entscheidbar). T A A T B = T B Beispiel: Postsches Korrespondenzproble. HALT T PCP

6 Mapping-Reduktion Definition (Mapping-Reduktion, any-one-reduction) Eine Sprache A ist apping (any-one) reduzierbar auf B A B genau dann wenn eine berechenbare Funktion f : Σ Σ existiert, sodaß w A f (w) B. Wir lassen jetzt nicht ehr beliebige Aufrufe CALL T B zu, sondern nur noch einen einzigen. Das Erbegnis von B ist zugleich das Gesatergebnis, also JUMP T B.

7 Mapping Graphik (Tafel): Probleinstanz von A wird auf Probleinstanz von B geapped. HALT PCP Jede Mapping-Reduktion ist eine!

8 beschränkte Reduktion U Reduktion sinnvoll auf Koplexitätsklassen anzuwenden, wird Zeit- oder Platzbedarf der Reduktionsfunktion eingeschränkt. Je enger die Einschränkung, uso exakter können Klassen getrennt werden. polynoiell Zeitbeschränkt f FP (= FDTIME(n k )) k N logarithisch Platzbeschränkt f FL (= FDTIME(log n)) FL FP (wäre noch zu zeigen!) poly log

9 beschränkte Reduktion f FL ist notwendig, wenn feiner abgestuft werden soll. poly : Zeitklassen ab P untersuchbar. log : Zeitklassen ab P und Platzklassen untersuchbar. Zeige: UHAMILTON poly HAMILTON (Beweis trivial) Zeige: HAMILTON poly UHAMILTON f uß also einen gerichteten Graphen in einen ungerichteten überführen, sodaß die Hailton-Eigenschaft erhalten bleibt.

10 HAMILTON poly UHAMILTON UHAMILTON geg: ungerichteter Graph G = (V, E) UHAMILTON = { G Hailtonkreis in ungerichtete G } HAMILTON geg: gerichteter Graph G = (V, E) HAMILTON = { G Hailtonkreis in gerichtete G } zeige: HAMILTON poly UHAMILTON d.h.: TMT : G HAMILTON f T (G) UHAMILTON T T (n) = O(poly(n)) Trick: 1 Knoten wird zu 3 Knoten siehe z.b. Schöning, S. 166f oder Spiser, S. 295

11 3SAT poly HAMILTON 3SAT geg: Boolsche Forel F in CNF. Genau 3 Literale pro Klausel 3SAT = { F (x 1,..., x k ) x1,..., x k {0, 1} : F (x 1,..., x k ) = 1 } zeige: 3SAT poly HAMILTON d.h.: zeige, daß zu jeder Forel F ein gerichteter Graph G konstruiert werden kann, sodaß G genau dann einen Hailtonkreis hat, wenn F erfüllbar ist; UND zeige, daß diese Konstruktion nur O(poly(n)) Zeit braucht. siehe z.b. Schöning, S. 163

12 L P : L log CVP CVP ist P-hart CVP = { C, x C(x) = 1 } Codierung z.b.: C = {T # F# { }bin(.)(, bin(.)) #} bekannt: L P = TM T L it T TL (n)o(poly(n)) Tableau für T : n N : C n : w Σ n : C( w ) = f T (w) T T (n) = O(poly(n)) C n = O(poly(n)) Konstruktion von C n in O(log(n)) Platz öglich! L P : TM T R : f TR (w) = C n, w S TR = O(log(n)) L P : L log CVP siehe z.b. Papadiitriou, S. 168

13 Definition P- NP- In jeder Koplexitätsklasse C kann an nach C-vollständigen Sprachen suchen. Definition (C-, copleteness) Eine Sprache A C heißt C-vollständig, wenn alle Sprachen L C auf A reduziert werden können. A ist C-vollständig A C L C : L log z.b. NP-vollst., P-vollst. NL-vollst., PSPACE-vollst. In L nicht sinnvoll, da alle Sprachen in L trivialerweise L-vollständig sind. A

14 Definition P- NP- P- P copleteness Das Circuit Value Proble (CVP) ist P-vollständig. Beweis: CVP ist in P. (quadratische Laufzeit) L P : L log CVP (siehe oben) = CVP PC

15 Definition P- NP- NP- Satz von Cook-Levin NP copleteness Satisfiability (SAT) ist NP-vollständig. Beweis: SAT NP: rate richtige Belegung, prüfen braucht O(n 2 ) bleibt z.z: L NP : L poly SAT

16 Definition P- NP- NP- NP hardness Satisfiability (SAT) ist NP-hart. zeige: L NP : L poly SAT L NP : NTM T L : f TL = f L it T TL (n) = O(p(n)) S TL (n) = O(p(n)) also: Konfigurationentableau it T TL (n) S TL (n) Feldern Konstruiere daraus Boolsche Forel F (w,...), sodaß: F(w,...) erfüllbar w L Konstruktion uß in O(poly(n)) Schritten öglich sein. siehe z.b. Schöning, S.149

17 Definition P- NP- NP- 3SAT 3SAT ist NP-vollständig. Zeige: SAT poly 3SAT Proble: Uwandlung einer Boolschen Forel F in eine äquivalente CNF-For braucht i.a. exponentiell viel Zeit und liefert nicht notwendigerweise nur 3 Literale pro Klausel. Konstruiere erfüllungsäquivalente F (it zus. Variablen) Beweis: Schöning S.156, bzw. Tafel Uforung ist in polynoieller Zeit öglich, qed.

18 Sprachbeziehungen Klassenbeziehungen Methoden der Koplexitätstheorie(1) geg: Sprache A, Koplexitätsklasse C A!! C (obere Schranke gesucht) Entwerfe TM A und berechne Koplexität Verwende Reduktionen: Finde A C A log A Zeige C ist abgeschlossen unter log = A C A!! / C (untere Schranke gesucht) Bottleneck nachweisen (eist nur sehr tiefe Schranken) Verwende Klassenhierarchie: C C Zeige C ist abgeschlossen unter log Finde C -vollständiges (schwerstes) Proble A Zeige A log A = A / C

19 Sprachbeziehungen Klassenbeziehungen Methoden der Koplexitätstheorie(2) geg: Koplexitätsklassen C und C Inklusion C!! C Zeit-, Platzhierarchie: O(f (n)) O(log n f (n)) Siulation: DTM vs. NTM: NP PSPACE Konfigurationsgraph NSPACE(s) DSPACE(s 2 ), NL P Klassen trennen C!! C Diagonalisierung: Hierarchiesätze Unterschiedliche Eigenschaften (Abgeschlossenheit, vollst.) Anzahlarguente