(1) (4) Integralform. Differentialform ρ. Hier fehlt noch. etwas!

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1 Zeitlich veränderliche Felder: Elektrodynamik Die Maxwell-Gleichungen im statischen Fall (1) 1 E d = ρdv E = V( ) (2) B d = B = etwas! (3) E dr = E = (4) Integralform ε Hier fehlt noch Differentialform B dr = µ j d B ρ ε = µ j 1

2 Es sollen noch einmal einige Begriffe wiederholt werden: Elektrische Spannung: Elektrischer Fluß: Elektrischer Strom: Magnetischer Fluß: U el. 1 I = B dr µ Φ = B d mag. r 2 = E dr r 1 Φ = E d Weiterhin sind Ladungen q die Quellen des elektrischen Feldes. Das magnetische Feld hat keine Quellen. Es wird durch Ströme erzeugt. Im statischen Fall gelten folgende bhängigkeiten: U I E, Φ B, Φ Bei zeitabhängigen Feldern kommen weitere hinzu: U I E, Φ B, Φ el. mag. el. mag. 2

3 Das Induktionsgesetz Versuch 1: Bewegter Magnet in einer Leiterschleife Leiterschleife Stabmagnet Wenn der magnetische Fluß durch eine Leiterschleife zeitlich veränderlich ist, dann wird eine Spannung und somit ein elektrisches Feld erzeugt. 3

4 Versuch 2: Bewegte Spule im Erdmagnetfeld Spule mit vielen Windungen Kompaßnadel Wieder ist der magnetische Fluß durch die Leiterschleife (Spule) zeitlich veränderlich. Es wird ebenfalls eine Spannung und somit ein elektrisches Feld erzeugt. Es kommt also nur auf die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses an. 4

5 U(t) Magnet Michael Faraday ( ) Leiterschleife B Faraday entdeckte im Jahre 1831, dass eine elektrische Spannung durch einen zeitlich veränderlichen magnetischen Fluß erzeugt werden kann. Dieses Phänomen wird Induktion genannt. 5

6 Im statischen Fall wird keine Spannung induziert; es ist U =. Experimentell findet man: Da U ( t) Schleife db dt Die induzierte Spannung ist also proportional zur zeitlichen Änderung des Magnetfeldes. U () t = E() t dr gilt genauer: Schleife d E() t dr B() t dt Ein zeitlich veränderliches Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld. Da das geschlossene Wegintegral für dieses Feld nicht verschwindet, existiert kein Potential für dieses Wirbelfeld! 6

7 Versuch PHYSIK 3: B2 Änderung des magnetischen Flusses durch Änderung der Fläche Permanentmagnet Spannungsmesser bewegter Leiter 7

8 Durch Verschieben des Leiters wird die Fläche einer in einem Magnetfeld angeordneten Leiterschleife verändert. U(t) x uch durch Veränderung der Fläche der Leiterschleife, die vom Magnetfeld durchsetzt wird, entsteht eine Spannung. Das Experiment liefert den Zusammenhang: B U ( t) v = dx dt v b Die Fläche der Leiterschleife ist: = xb Daher kann man schreiben: U ( t) mag. d dt Der magnetische Fluß für ein Feld B(t), welches senkrecht durch eine Fläche (t) tritt, ist gegeben durch: Φ () t = t () Bt () Dann ergibt sich das Induktionsgesetz: d dφ U() t = ( Bt () t ()) = dt dt Das negative Vorzeichen wird im nächsten bschnitt erklärt. mag. 8

9 Die induzierte Spannung ist proportional zur Änderung des elektrischen Flusses durch die Leiterschleife. 9

10 Die Lenz sche Regel Wenn durch Induktion in einer Leiterschleife eine Spannung entsteht, dann fließt wegen dieser Potentialdifferenz ein Strom. Dieser Strom ist wieder von einem Magnetfeld, dem induzierten Feld, umgeben. Es soll nun die Richtung des Stromflusses und des induzierten Feldes genauer betrachtet werden. B Heinrich Friedrich Emil Lenz ( ) v B induziert 1

11 Versuch 4: Das Waltenhofen-Pendel Ein Pendel, an dem ein Leiter schwingt, wird in einem Magnetfeld stark abgebremst. Der Grund dafür ist das durch Wirbelströme verursachte Magnetfeld im Leiter ( Wirbelstrombremse ). dalbert von Waltenhofen ( ) 11

12 Versuch 4: Das Waltenhofen-Pendel Ein Pendel, an dem ein Leiter schwingt, wird in einem Magnetfeld stark abgebremst. Der Grund dafür ist das durch Wirbelströme verursachte Magnetfeld im Leiter ( Wirbelstrombremse ). dalbert von Waltenhofen ( ) 12

13 Versuch 5: Fallender Magnet Ein Magnet und ein unmagnetischer Gegenstand fallen in einer Metallröhre zu Boden. Der Magnet kommt deutlich später an!! 13

14 Versuch 6: Der Thomson sche Ring Nach Einschalten des Stromes und damit des Magnetfeldes wird der luminiumring nach oben geschleudert. Wenn der Ring unterbrochen ist, dann passiert nichts. 14

15 Versuch 6: Der Thomson sche Ring Nach Einschalten des Stromes und damit des Magnetfeldes wird der luminiumring nach oben geschleudert. Wenn der Ring unterbrochen ist, dann passiert nichts. 15

16 Experimentell findet man folgendes: (i) Wenn ein Magnet auf eine Leiterschleife zu bewegt wird, dann wird die Leiterschleife durch das induzierte Magnetfeld abgestoßen. (ii) Wenn hingegen die Leiterschleife vom Magneten weg bewegt wird, dann entsteht ein anziehendes induziertes Magnetfeld. v v Dies läßt sich allgemein zusammenfassen zu der Lenz schen Regel (1834): Der Induktionsstrom wirkt immer seiner Ursache entgegen! 16

17 SS13 nwendung: Diebstahlsicherung SS15 im Kaufhaus (älteres System) Wegen der Lenz schen Regel schwächt das Feld des in der Diebstahlsicherung induzierten Stroms das Magnetfeld des Senderkreises. 17

18 Die 3. Maxwell sche Gleichung Wir hatten das Induktionsgesetz d dφmag. U() t = ( Bt () t ()) = dt dt experimentell begründet, wobei das negative Vorzeichen der Lenz schen Regel entspricht. Bisher waren wir von einem Magnetfeld ausgegangen, dass eine rechteckige Fläche senkrecht durchsetzt. Dies soll jetzt stark verallgemeinert werden. Wir betrachten eine beliebige Leiterschleife, die von einem Magnetfeld durchsetzt wird. Dann ist der magnetische Fluß durch die Leiterschleife: Φ = B d mag. U(t) B (t) d E (t) dr Die elektrische Spannung an den Enden der Leiterschleife ergibt sich durch Integration über das elektrische Feld: U () t = E() t dr Schleife 18

19 Das Induktionsgesetz läßt sich also folgendermaßen verallgemeinern: E dr = B d t Bemerkungen: Dies ist das sog. Faraday sche Induktionsgesetz. Hierbei handelt es um die 3. Maxwell sche Gleichung in integraler Form. Die obige Gleichung bedeutet anschaulich, dass zeitlich veränderliche magnetische Felder elektrische Wirbelfelder hervorrufen. Neben Ladungen können elektrische Felder also von veränderlichen Magnetfeldern (genauer: magnetischen Flüssen) erzeugt werden. Das Wegintegral auf der linken Seite ist entlang der Randkurve der Fläche, durch die das Magnetfeld tritt, zu berechnen. Man kann die Induktion mit der Lorentz-Kraft begründen. uf dem Induktionsgesetz basiert die Stromerzeugung mittels Turbinen. Michael Faraday ( ) 19

20 Induktionsgesetz elektrische Energie Generator mechanische Energie Die Umkehrung eines Generators ist ein Elektromotor. 2

21 21

22 Jetzt soll die 3. Maxwell-Gleichung wieder in die differentielle Form überführt werden. Mit dem Stokes schen Integralsatz läßt sich die linke Seite umformen zu E dr = E d ( ) wobei die Randkurve der Fläche den Integrationsweg auf der linken Seite darstellt. Einsetzen ergibt: E d = B d t ( ) Umformen liefert schließlich: B E d = d t ( ) Diese Gleichung soll für jede beliebige Fläche gelten. Dies ist nur möglich, wenn beide Integranden übereinstimmen, also: B E = t Dies ist die 3. Maxwell sche Gleichung, also das Induktionsgesetz, in differentieller Form. 22

23 Die Selbstinduktion einer Spule Wir betrachten das Feld einer Spule der Länge l mit N Windungen, die von einem zeitabhängigen Strom I(t) durchflossen wird. B (t) I(t) l U(t) Das Feld im Inneren der Spule ist: N Bt () = µ It () l Da das Feld zeitlich veränderlich ist, entsteht eine Induktionsspannung U () t dφ = = N dt mag. db() t dt wobei die Querschnittsfläche der Spule ist. Differenzieren der Gleichung oben ergibt: db µ N di() t = dt l dt 23

24 Einsetzen in das Induktionsgesetz liefert: Ut () Die Größe µ N = l L = 2 di() t µ N l 2 dt ist die Selbstinduktion oder Induktivität der Spule. Sie hängt nur von geometrischen Eigenschaften wie der Querschnittsfläche, der Länge und der Windungszahl ab. Die Einheit der Selbstinduktion ist: 2 Vs m Vs [ L ] = 1 = 1 = 1H (Henry) m m Beispiel: Eine Spule habe die Länge l = 1 cm und den Durchmesser D = 5 cm. Sie hat N = 5 Windungen. Wie groß ist die Induktivität L? Die Querschnittsfläche ist dann: 2 D = π = m Mit µ = 4π 1-7 Vs/m ergibt sich dann: 2 µ N 5 L = = H = 61.7μH l 1 Henry ist also eine recht große Einheit. Joseph Henry ( ) 24

25 I(t) Ein zeitlich variabler Strom I(t) durch die Spule bewirkt zwischen den Spulenanschlüssen eine Spannung: U ( t) = L di dt U(t) t t 25

26 Der Begriff der Selbstinduktion läßt sich auch auf eine beliebige Leiterschleife verallgemeinern. U (t) I(t) B (t) d Es ergibt sich also wieder: Durch jeden Stromkreis greift ein Magnetfluß, der von seinem eigenen Magnetfeld herrührt. Da das Magnetfeld proportional zum Strom I(t) ist gilt: Φ = d mag. B() t = LI() t Hierbei ist L die Selbstinduktion der Leiterschleife, die nur von ihrer geometrischen Beschaffenheit abhängt. di() t Ut () = L dt 26

27 Der RL-Kreis: Ein- und usschaltverhalten Wir betrachten einen Stromkreis bestehend aus einer Gleichspannungsquelle U, einem Widerstand R und einer Induktivität L. (i) Einschaltverhalten: R U R I Die Maschenregel liefert: U = U + U R L = = di UR RI UL L dt U L U L = di RI U L dt di() t R U + It () = dt L L Dies ist eine lineare, inhomogene DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. ls nfangsbedingung soll speziell I() = gewählt werden. 27

28 Die Lösung der homogenen Gleichung lautet: ( ) exp R Ih t = t L Eine partikuläre Lösung I p (t) ergibt sich leicht aus der Bedingung: U lim IP ( t) = = const. t R Damit gilt für die Gesamtlösung: It () = I() t+ I() t p U R It ( ) = + exp t R L Die Konstante ist mit der nfangsbedingung I(t) = für t = festgelegt: h U I R U = R () = + = Damit ergibt sich das gesuchte Einschaltverhalten des Stromes in einem Stromkreis mit einer Induktivität: It U = R ( ) 1 exp R t L Der Strom baut sich erst nach einer Zeit τ = L/R auf. Beispiel: L = 1 mh und R = 1 kω 3 1 H 6 Vs τ = = 1 = 1μs 1Ω V/ 28

29 I(t) Einschaltkurve des Stromes bei einer Induktivität U R It U = R ( ) 1 exp R L t t 29

30 (ii) usschaltverhalten: Jetzt ergibt die Maschenregel : U R = + U L = = di UR RI UL L dt di RI = L dt U L U L R I U R di() t R + It () = dt L Dies ist eine lineare, homogene DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. ls nfangsbedingung soll jetzt speziell I() = I gewählt werden. ls Lösung ergibt sich sofort: R It ( ) = I exp t L Der Strom klingt mit der Zeitkonstanten τ = L/R ab. 3

31 usschaltkurve des Stromes bei einer Induktivität I(t) I R It ( ) = Iexp t L I e τ = L R t 31

32 Zusammenfassung der Maxwell-Gleichungen 1 ρ (1) E d = ρ dv E = ε ε O V( O) VORSICHT: (2) B d = Hier fehlt B = (3) (4) O Integralform noch etwas! Differentialform E dr = B d E = t B dr = µ j d B= µ B +? j +? t 32

33 Der Verschiebungsstrom Jetzt muß noch eine Korrektur vorgenommen werden, um Widersprüche bei unterbrochenen Strömen zu vermeiden. Wir hatten das mpère sche Gesetz in bschnitt 4.4 kennengelernt: B dr = µ j d = µ I Dabei bezeichnet die Randkurve der Fläche, durch die der Strom I fließt. Es ist zu beachten, dass eine beliebige Fläche gewählt werden darf! Es wird nun der folgende einfache Stromkreis betrachtet, bei dem ein Kondensator aufgeladen wird: U(t) U(t) B(t) B dr = µ I B(t) B dr = I(t) I(t) 33

34 Es kommt zu Mehrdeutigkeiten des usdruckes B dr falls der Stromfluß unterbrochen ist. Um diese Mehrdeutigkeit zu beheben, muß der Begriff des Stromes so verallgemeinert werden, dass durch jede Fläche immer der gleiche Strom fließt. Damit dieser verallgemeinerte Strom bestimmt werden kann, muß der Kondensator genauer betrachtet werden: d E d Die Teilfläche d der Kondensatorplatte hat die Kapazität: dc = ε d d Die Ladung dq auf der Fläche d ist dann: dq = UdC = dc Ed Zusammengefaßt ergibt das: d dq = ε E d = εe d = εe d d Die Gesamtladung auf der Platte ist somit: q = ε E d 34

35 dq dt bleiten nach der Zeit ergibt: d = ε E d dt uf der linken Seite steht eine Zeitableitung der Ladung, also ein Strom. Er wird durch die zeitliche Änderung des elektrischen Flusses durch die Fläche verursacht. Dieser Strom ist der sogenannte Verschiebungsstrom I V : I V d = ε E d dt uch dieser Verschiebungsstrom erzeugt nach dem mpère schen Gesetz ein Magnetfeld, also: U(t) B dr = µ ( I + I ) V I(t) E(t) B(t) B(t) 35

36 Diese Überlegungen gelten ganz allgemein wie eine Betrachtung der 1. Maxwell-Gleichung zeigt: dq dt q E d ε = Die bleitung beider Seiten nach der Zeit ergibt: d = IV = ε E d dt Die Interpretation dieser Gleichung ist, dass eine zeitliche bleitung des elektrischen Flusses einem Stromfluß äquivalent ist. Dies gilt ganz allgemein für zeitlich veränderliche elektrische Felder. Wenn nun das mpère sche Gesetz so interpretiert wird, dass auf der rechten Seite alle Ströme stehen sollen, dann ergibt sich zwangsläufig: B dr = µ I = µ I + I ( ) ges V = µ j d + µε E d t Es ist zu beachten, dass im Spezialfall j =, also insbesondere auch im Vakuum, trotzdem ein magnetisches Feld durch ein veränderliches elektrisches Feld erzeugt werden kann! 36

37 Versuch1: Magnetfeld eines Verschiebungsstromes Kondensator HF-Voltmeter Der Kondensator wird durch hochfrequenten Wechselstrom geladen. induzierte Spannung Toroidspule zur Vermessung der kreisförmigen Magnetfelder Meßanordnung 37

38 Díe 4. Maxwell sche Gleichung James Clerk Maxwell ( ) Wir haben also die folgende Gleichung abgeleitet: B dr = µ j d + µε E d t Bemerkungen: Dies ist die vollständige 4. Maxwell sche Gleichung in integraler Form. Die obige Gleichung bedeutet anschaulich, dass (stationäre) Ströme oder zeitlich veränderliche elektrische Felder magnetische Felder hervorrufen. Es ist zu beachten, dass das Wegintegral in der obigen Gleichung entlang jeder beliebig geformten geschlossenen Kurve, die den Strom I und das elektrische Feld E umschließt, berechnet werden darf. Man beachte die nalogie zur 3. Maxwell schen-gleichung. 38

39 Es soll nun wieder diese Gleichung in die differentielle Form überführt werden. Die linke Seite der 4. Maxwell schen Gleichung läßt sich mit dem Satz von Stokes umformen zu B dr = B d ( ) wobei die Randkurve der Fläche, den Integrationsweg auf der linken Seite darstellt. Einsetzen ergibt: B d = µ j d + µε E d t ( ) Da dies für jede Fläche gelten soll, müssen die Integranden bereits die Gleichung erfüllen, also: E B= µ j + µε t Dies ist die 4. Maxwell sche Gleichung in differentieller Form. 39

40 4.7.4 Zusammenfassende Darstellung aller Maxwell-Gleichungen (1) (2) B d = (3) (4) O O E d = 1 ε V( O) ρ dv E dr = B d t B dr = µ j d + µε E d t 4

41 Differentielle Form der Maxwell-Gleichungen (1) E = ρ ε (2) B = B (3) E = t (4) B = µ j + ε E t 41

42 wenn sie 42

43 43

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