Lineare Gleichungssysteme I

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1 Lineare Gleichungssysteme I Aufgabenblatt 1 1. Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem: 2. Gegeben sei folgendes Gleichungssystem: x 1 + 2x 2 x 3 + 2x 4 = 1 3x 1 + 2x 2 + 5x 3 = 1 4x 1 + 2x 2 + 3x 4 = 4. 2x 2 + x 3 = 4 x 1 2x 2 + 3x 3 = 9 x 1 + 2x 2 + 5x 3 = 17. a Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems. b Geben Sie den zugehörigen Nullraum an! Welche Dimension hat der Nullraum? 3. Seien x 1, x 2 R n zwei verschiedene Lösungen des linearen Gleichungssystems Ax = b mit A R m,n, x R n, b R m. Geben Sie zwei Lösungen des zugehörigen homogenen Systems und eine weitere Lösung von Ax = b an! 4. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem a x 1 x 2 = 0 0 mit a, b R x 3 b a Bestimmen Sie für a = 3 und b = 9 die Lösungsmenge des Gleichungssystems! b Für welche Kombinationen von a, b R besitzt das Gleichungssystem genau eine Lösung, für welche Kombinationen ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems ein 1-dimensionaler Vektorraum, für welche Kombinationen existiert keine Lösung? 5. Das lineare Gleichungssystem x x x 3 = x ist redundant, d. h. es enthält mindestens eine überüssige Gleichung. Bestimmen Sie mit dem Verfahren von Gauÿ den Lösungsraum des Systems. Geben Sie eine spezielle (partikuläre Lösung und den Lösungsraum des zugehörigen homogenen Systems an. 6. Aus drei Rohstoen R 1, R 2, R 3 werden drei Produkte P 1, P 2, P 3 hergestellt. Die zur Herstellung von je einer Einheit von P 1, P 2, P 3 benötigten Rohstomengen sind in der nachfolgenden Tabelle zusammengestellt. In der letzten Spalte sind die zur Verfügung stehenden Rohstomengen angegeben. P 1 P 2 P 3 vorhandene Rohstomengen R R R c a Wie groÿ muÿ die Menge c von Rohsto R 3 sein, damit bei der Herstellung der drei Produkte sämtliche vorhandenen Rohstoe aufgebraucht werden können? b Bestimmen Sie mit dem Ergebnis aus a alle möglichen Herstellungsmengen für P 1, P 2 und P 3, mit denen sämtliche Rohstoe aufgebraucht werden. Beachten Sie dabei, daÿ nur nichtnegative Mengen der Produkte hergestellt werden können. c Wie lauten die Herstellungsmengen, falls vom Produkt P 1 genau 100 Einheiten hergestellt werden müssen und sämtliche Rohstoe aufgebraucht werden sollen? 7. Bestimmen Sie alle (2, 2-Matrizen X mit ( ( X =

2 Lineare Gleichungssysteme II Aufgabenblatt 2 8. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem 2x + 4y + 2z = 2 4x + y + 2z = 3 2x 3y = a. a Schreiben Sie das Gleichungssystem in Matrixform. b Untersuchen Sie, für welche a R das lineare Gleichungssystem lösbar ist, und geben Sie für diese(n Wert(e für a die Lösungsmenge(n an. 9. Welche der folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme (LGS sind richtig: a Ein LGS mit n Gleichungen in n Unbekannten ist immer lösbar. b Wenn ein LGS mit n Gleichungen in n Unbekannten lösbar ist, dann ist es eindeutig lösbar. c Die Lösungen eines LGS erfüllen alle Gleichungen des Systems. Werte, die nur eine Gleichung nicht erfüllen, sind keine Lösung. d Ein LGS, das weniger Gleichungen als Unbekannte hat, kann eindeutig lösbar sein. e Ein LGS, das mehr Gleichungen als Unbekannte hat, ist nicht lösbar. f Es gibt ein LGS, das genau zwei verschiedene Lösungen hat. 10. Invertieren Sie (falls möglich die folgenden Matrizen: ( 1 0 1, B =, C = Gesucht ist die Lösung des linearen Gleichungssystems A x = b mit und b = a Berechnen Sie A 1. b Lösen Sie das lineare Gleichungssystem A x = b. 12. Berechnen Sie die Inverse A 1 zu der Matrix a Für welche k R ist das Gleichungssystem x + ky = 1, kx + y = 1 unlösbar, eindeutig lösbar bzw. mehrdeutig lösbar? Begründung! ( 1 k b Für welche k R ist die Matrix Q = orthogonal, d. h. es gilt QQ T = Q k 1 T Q = E..

3 Lineare Abbildungen und Lineare Optimierung Aufgabenblatt Stellen Sie fest, ob die Abbildung f : R 2 R, (x, y f(x, y = x + y injektiv, surjektiv, bijektiv ist. 15. Gegeben seien die Abbildungen f : R R, f(x = x x g : R + R, g(x = 2x + 1. a Skizzieren Sie die Abbildungen f und g! b Stellen Sie fest, ob die Abbildungen f, g injektiv, surjektiv, bijektiv sind! c Bilden Sie - falls möglich - die zusammengesetzten Abbildungen l = g f und h = f g. 16. Gegeben sei die Abbildung f mit f : R 2 R 2, x = ( x1 x 2 f(x = ( x2 x 1. a Zeigen Sie: f ist eine lineare Abbildung. b Stellen Sie die Abbildung f in Matrizen-Schreibweise dar, d.h. bestimmen Sie eine Matrix A, so daÿ gilt: f(x = A x. c Bestimmen Sie f 1 (x. 17. In einer Möbelfabrik werden in einem bestimmten Zeitraum Stühle ( =X und Tische ( =Y in den Mengen x und y hergestellt. Beide Produkte werden auf Sägemaschinen, Hobelmaschinen und anschlieÿend in der Lackiererei bearbeitet. Die Kapazitäten der Maschinen und der Lackiererei sowie die Bearbeitungszeiten je Stuhl und je Tisch an den einzelnen Stationen sind der folgenden Tabelle zu entnehmen: 18. Bearbeitungszeiten für einen verfügbare Stuhl Tisch Kapazitäten Sägemaschinen 2 Std 5 Std 1000 Std Hobelmaschinen 5 Std 4 Std 1000 Std Lackiererei 2 Std 1 Std 320 Std Die Möbelfabrik erzielt für jeden Stuhl einen Stückgewinn von 3 GE (Geldeinheiten. Der Stückgewinn für einen Tisch beträgt 5 GE. Der Gesamtgewinn soll maximiert werden. a Beschreiben Sie das Problem durch ein lineares Optimierungsmodell und stellen Sie den Bereich der realisierbaren Mengenkombinationen graphisch dar. Begründen Sie anhand der Graphik, daÿ es keine Mengenkombination gibt, bei der alle Kapazitäten vollständig ausgelastet sind. b Ermitteln Sie mit Hilfe der in Aufgabenteil a erstellten Graphik das optimale Produktionsprogramm. Berechnen Sie die optimalen Produktionsmengen und den maximalen Gewinn. P 1 P 2 Kapazität M M M Ein Unternehmen produziert die Produkte P 1 und P 2 mit den drei Maschinen M 1, M 2 und M 3. Die zeitliche Beanspruchung der Maschinen (in Std. pro hergestellte ME von P 1 bzw. P 2 und die maximal zur Verfügung stehenden Kapazitäten (in Std. sind folgender Tabelle zu entnehmen. Es wird erwartet, daÿ von P 2 höchstens 10 ME pro Woche verkauft werden können. Jede produzierte ME führt bei P 1 zu einem Stückgewinn von C 200 und bei P 2 von C 100. Das Unternehmen möchte den Gesamtgewinn maximieren. a Beschreiben Sie das Problem durch ein lineares Optimierungsmodell. b Bestimmen Sie graphisch die optimale Lösung und berechnen Sie das Gewinnmaximum.

4 Determinanten Aufgabenblatt Gegeben seien die Matrizen ( ( , B = ( 2 3 1, C = sowie die Produktmatrizen (AB 2,CC T und BC. Welche der Matrizen bzw. Produktmatrizen sind invertierbar? 20. Gegeben sei die Matrix A, bestehend aus den Spalten a 1, a 2, a 3 : (a 1, a 2, a 3 = a Berechnen Sie det ( A. b Geben Sie weiterhin die Determinanten der folgenden Matrizen an: ( B = (λa 1, a 2, a 3, λ R und C = a 1, a 2, Gegeben sei die Matrix Berechnen Sie det(a, det(a T, det(2 A und det(a Berechnen Sie die Werte von b R, für welche det( 0 gilt b 4 1 b b. 5 b Gegeben sei die Matrix X = x 1 mit x R. x 1 0 a Berechnen Sie det ( X. Für welche x R ist X regulär? b Zeigen Sie, daÿ aus der Regularität von X folgt: X T X, 3X und X 7 sind ebenfalls regulär! 24. Gegeben seien drei Matrizen A, B, C R 2,2 mit folgenden Eigenschaften: ˆ A ist regulär mit det( 10. ˆ Für B gilt: det(ab = 1. ˆ Für C gilt: BC ist singulär, d.h. nicht invertierbar. Berechnen Sie a det(ca b det( AB 1 c det(bc AB 1 C d det(c + C 25. Gegeben seien die Matrizen , B = 2 b mit b R Bestimmen Sie b R, so daÿ a det(ab = 0 b det(ab = det(a det(b c det(a + B = det(a + det(b d det(b = det(b 1

5 Eigenwerte Aufgabenblatt Gegeben sei die Matrix ( a Bestimmen Sie alle Eigenwerte von A. b Geben Sie zu jedem Eigenwert von A alle Eigenvektoren an. ( Sei a Prüfen Sie, ob λ = 1, λ = 3, λ = 5 Eigenwerte von A sind. b Bestimmen Sie für jeden gefundenen Eigenwert λ die Lösungsmenge der Gleichung (A λex = 0. c Bestimmen Sie für jeden gefundenen Eigenwert λ von A alle Eigenvektoren 28. Gegeben seien M = und E = a Untersuchen Sie, welche der Zahlen λ = 1, λ = 2 die Gleichung det(m λe = 0 erfüllen. b Bestimmen Sie für diejenigen λ, welche die Gleichung aus a erfüllen, alle Lösungen x R 3 von Mx = λx. 29. Sei und B = und v = x y z a Berechnen Sie die Matrizenprodukte v T Av und v T Bv. b Welche Beziehung besteht zwischen den Matrizenelementen a ii und b ii sowie für i j zwischen den Summen a ij + a ji und b ij + b ji? c Geben Sie eine weitere Matrix C an, welche die gleiche quadratische Form erzeugt. 30. Bestimmen Sie die Denitheitseigenschaften der folgenden Matrizen. ( ( ( , B =, C = Gegeben sei die Matrix x x x Für welche x R kann man zeigen, daÿ die Matrix A positiv denit bzw. negativ denit ist? 32. Siehe Opitz, O.: Mathematik Übungsbuch für Ökonomen, 6. Auage, S. 26, Aufgabe 47.

6 Dierentialrechnung im R n (1 Aufgabenblatt Bestimmen Sie grad f(x 1, x 2 mit f(x 1, x 2 = x 1 x2 + x 1 x 2 x 1 sin(x 1 + 5e 3x Bestimmen Sie den Gradienten der folgenden Funktion: f(x, y, z = ln(x 2 y + x e x+z (yz Bestimmen Sie grad f(x 1, x 2, x 3 für die Funktion a f(x 1, x 2, x 3 = sin x 1 + x 3 e x 2 cos x 2 1 +x2 3. b f(x 1, x 2, x 3 = x 1 ln(x x 3 (x 1 + x 2 + x Gegeben sei die Funktion f : R 2 R mit f(x 1, x 2 = a x b x 2 1x 2 + c x 3 2, a, b, c R. Weisen Sie die Gültigkeit der folgenden Gleichung nach: 3 f(x 1, x 2 = f(x 1, x 2 x 1 x 1 + f(x 1, x 2 x 2 x Das Produkt Y wird mittels zweier Produktionsfaktoren r 1, r 2 hergestellt. Für den Herstellungsvorgang gilt die Produktionsfunktion y(r 1, r 2 = 3 r r a Berechnen Sie den Output y für das Inputpaar (r 1, r 2 = (2, 3. b Bestimmen Sie grad y(r 1, r 2. c Bilden Sie das totale Dierential. Berechnen Sie das totale Dierential für das Inputpaar aus a, wenn r 1 um 0.01 erhöht und r 2 um 0.1 vermindert wird. Vergleichen Sie diesen Wert mit dem exakten Änderungswert. 38. Gegeben sei die Funktion f mit f : ( R 2 R x x1 = f(x = x 1 x 2 2 x 4 1. x 2 a Bestimmen Sie den Gradienten von f. b Bestimmen Sie das totale Dierential df von f. Berechnen Sie das totale Dierential von f an der Stelle x 0 = c Bestimmen Sie f = f(x 0 + dx f(x 0. d Welcher Zusammenhang besteht zwischen df und f? ( Die Funktion F : R 2 R mit F (x, y = 3x 2 3xy 2 + y 3 + 3y 2 4 sei gegeben. ( bei einer Veränderung dx +0.1 = 0.2 a Zeigen Sie, dass der Punkt (1, 1 auf der durch die Gleichung F (x, y = 0 gegebenen Kurve liegt. b Ist die durch die Gleichung F (x, y = 0 implizit gegebene Funktion y = h(x im Punkt (1, 1 dierenzierbar? Bestimmen Sie gegebenenfalls die Ableitung von h(x in diesem Punkt..

7 Dierentialrechnung im R n (2 Aufgabenblatt Gegeben sei die folgende Funktion: f : R 2 R mit f(x, y = 1 4 x4 + x y 3 + 3y 2 + 9y a Bestimmen Sie die stationären Stellen der Funktion f. b Überprüfen Sie, ob es sich bei den stationären Stellen um Extremwerte handelt. Geben Sie bei den gefundenen Extremwerten auch an, ob es sich um relative Maxima oder relative Minima handelt und bestimmen Sie die Funktionswerte. c Berechnen Sie f(0, 4 und vergleichen Sie den Funktionswert mit den Funktionswerten der zuvor bestimmten relativen Maxima. Welche der folgenden Aussagen beschreibt die gegebene Situation: c 1 Der Funktionswert bei f(0, 4 ist gröÿer als der Funktionswert bei den gefundenen relativen Maxima, daher handelt es sich bei diesen um keine globalen Maxima. c 2 Der Funktionswert bei f(0, 4 ist zwar gröÿer als der Funktionswert bei den gefundenen relativen Maxima, aber für y wurde ein negativer Wert eingesetzt; das ist nicht erlaubt. c 3 Weder c 1 noch c 2 stimmen. 41. Bei der Fertigung einer vorgegebenen Produktionsmenge entstehen die Kosten K, die wie folgt von den beiden Produktionsfaktoren x, y abhängen: K(x, y = 2 3 x3 4x y2 25y mit x, y R +. a Bestimmen Sie den Gradienten der Funktion K und die Hesse-Matrix H(x, y. b Berechnen Sie die stationären Stellen von K und die zugehörigen Funktionswerte. 42. Gegeben sei eine Funktion f : R 2 R mit f(x, y 2x 2 + 2xy y3 2y. a Bestimmen Sie den Gradienten der Funktion f und die Hesse-Matrix H(x, y. b Berechnen Sie die Stelle(n, an der (denen ein lokales Extremum der Funktion f vorliegen kann und den (die zugehörigen Funktionswert(e. 43. Es sei die folgende Funktion gegeben: f : R 2 R mit f(x, y = x 2 + xy y 2. Bestimmen und klassizieren Sie die lokalen Extrema der Funktion. 44. Ein Produzent bietet zwei Güter an. Zwischen den Absatzvariablen x 1, x 2 und den Preisvariablen p 1, p 2 gelten die Beziehungen: x 1 = 50 p 1 0.5p 2, x 2 = p 1 1.5p 2. Die Kosten sind gegeben durch: c 1 (x 1 = x 1, c 2 (x 2 = x 2. a Ermitteln Sie die Gewinnfunktion g(p 1, p 2 = p 1 x 1 + p 2 x 2 c 1 (x 1 c 2 (x 2 in Abhängigkeit von p 1, p 2. b Wie sind die Preise zu wählen, damit der Gewinn g maximal wird? Geben Sie den maximalen Gewinn an. c Der Produzent setzt den Preis p 2 = 10 fest. Wie hat er dann den Preis p 1 zu wählen, damit g maximal wird? 45. Gegeben sei die Abbildung f : R 3 R mit f(x 1, x 2, x 3 = 4x 2 1 x x 2 3. Ferner gelten die beiden Nebenbedingungen x 2 x 3 = 0 und x 1 + 5x 2 2x 3 10 = 0. a Formulieren Sie die Abbildung in Abhängigkeit von einer Variablen. b Ermitteln und klassizieren Sie die Extremwerte von f.

8 Dierentialrechnung im R n (3 Aufgabenblatt Gegeben sei die Funktion f : R 2 R mit f(x 1, x 2 = x x 1 x 2 + 2x Ermitteln Sie mit Hilfe des Lagrange-Ansatzes die Stelle, an der ein lokales Minimum der Funktion f unter Einhaltung der Nebenbedingung x 1 +x 2 = 16 vorliegen kann, und berechnen Sie den zugehörigen Funktionswert. Liegt an dieser Stelle ein lokales und globales Minimum unter Einhaltung der Nebenbedingung vor? 47. Gegeben sei die Funktion f : R 3 R mit f(x 1, x 2, x 3 = x x x 2 3. Bestimmen Sie die lokalen und globalen Extrema von f unter Einhaltung der Nebenbedingungen 4x x 2 = 80 und 6x x 3 = Ein Fabrikant stellt drei verschiedene Gangschaltungen G 1, G 2, G 3 für Fahrräder her. Für die Ermittlung des Wochenumsatzes legt er folgende Preis-Absatz-Funktionen zugrunde: p 1 (x 1 = 100 x 1, p 2 (x 2 = 50 x 2, p 3 (x 3 = 150 x 3, wobei x 1, x 2, x 3 die wöchentlich abgesetzten Stückzahlen und p 1, p 2, p 3 die Stückpreise bezeichnen. Die Wochenproduktion ist betriebstechnisch bedingt durch die Nebenbedingung 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 70 beschränkt. a Wie lautet die Umsatzfunktion U(x 1, x 2, x 3? b Ermitteln Sie die Produktionsmengen x 1, x 2, x 3, bei denen ein lokales Maximum der Umsatzfunktion U(x 1, x 2, x 3 unter Einhaltung der gegebenen Restriktion vorliegt. Ist dieses lokale Maximum auch ein absolutes Maximum unter Einhaltung der Nebenbedingung? 49. Ein Haushalt konsumiert zwei Güter. Der Nutzen des Haushalts ergibt sich entsprechend der folgenden Nutzenfunktion U: U : R 2 + R, U(x, y = x 0.5 y 0.4. Abhängig von dem vorhandenen Budget lautet die Budgetrestriktion: x + 2y = B. Bestimmen Sie die Nutzenmaxima unter der gegebenen Nebenbedingung für ein Budget von a B = 18, b B = Zeigen Sie, daÿ für die kostenminimale Produktion eines Unternehmens folgende Bedingung gelten muÿ (Minimalkostenkombination: q 1 q 2 = f(r 1, r 2 / r 1 f(r 1, r 2 / r 2. Hierbei ist f die Produktionsfunktion, r 1 und r 2 sind die Einsatzmengen der Produktionsfaktoren, und q 1 und q 2 sind die konstanten Faktorpreise. Bestimmen Sie zur Lösung dieser Aufgabe die stationären Stellen der auf der Kostenfunktion K(r 1, r 2 = q 1 r 1 + q 2 r 2 beruhenden Lagrangefunktion unter Berücksichtigung der durch ein konstantes Produktionsniveau Q gegebenen Nebenbedingung: f(r 1, r 2 = Q. 51. Berechnen Sie die folgenden Integrale: a 1 π/2 0 0 cos x 1 e x 2 dx 1 dx 2 b π/ cos x 1 e x 2 dx 2 dx 1

9 Dierentialgleichungen Aufgabenblatt Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Dierentialgleichung 2 y (x 3 = y(x. Untersuchen Sie, ob die Funktion g(x = e 3x eine spezielle Lösung dieser Dierentialgleichung ist. 53. Eine Population von Feldmäusen vermehre sich gemäÿ der Funktion f(t (mit t = Zeit in Monaten und f(t = Anzahl der Feldmäuse zum Zeitpunkt t. Auÿerdem gelte f (t = 0.07 f(t für alle t R. a Bestimmen Sie die Funktion f(t, wenn zum Ausgangszeitpunkt t 0 = 0 die Population 170 Feldmäuse umfaÿt. b Untersuchen Sie, wie lange es dauert, bis sich die Population von 170 Mäusen auf 3000 Mäuse vergröÿert hat. c Bei Erreichen einer Populationsgröÿe von 3000 Mäusen bricht die Population durch Überbevölkerung auf 1 ihrer Gröÿe zusammen. Dann beginnt der Zyklus erneut. 30 Untersuchen Sie, wie lange es dauert, bis die Population wieder die Gröÿe zum Ausgangszeitpunkt t 0 von 170 Mäusen erreicht. Wie lange dauert ein vollständiger Zyklus? 54. In einem Schaubild werden für eine Funktion f : R R die folgenden Werte abgelesen: x f(x f (x a Entscheiden Sie, ob näherungsweise (d.h. nach Rundung auf 2 Stellen hinter dem Komma für ein K R gilt: f (x = K f(x. Bestimmen Sie gegebenenfalls dieses K R. b Bestimmen Sie f(x und f(10. c Berechnen Sie alle Werte x R, für die gilt f (x = Siehe Opitz, O.: Mathematik, 8. Au., S. 665, Beispiel Bestimmen Sie die allgemeine Lösung folgender Dierentialgleichungen und geben Sie darüber hinaus die spezielle Lösung für die angegebenen Anfangsbedingungen an: a y + y 2y = 0; y(0 = 1, y (0 = 0 b y + 2y + y = 0; y(0 = 2, y (0 = 0 c y + y = 5; y(0 = 7, y (0 = Siehe Bosch, K.; Jensen, U.: Groÿes Lehrbuch der Mathematik für Ökonomen, S. 263, Beispiel 10.

10 Dierenzengleichungen Aufgabenblatt Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der homogenen Dierenzengleichung y(x + 1 4y(x = 0 und ermitteln Sie für die Anfangsbedingung y(0 = 1 die ersten drei Folgenglieder. 59. Geben Sie die allgemeine Lösung der Dierenzengleichung y(x ay(x = b für b 0 an. 60. Gegeben seien die folgenden inhomogenen Dierenzengleichungen: a 2y(x y(x = 4 mit y(0 = 1 b y(x = y(x 1 5 mit y(0 = 2 Bestimmen Sie die Lösungen der Dierenzengleichungen für die angegebenen Anfangsbedingungen. 61. Es seien folgende Funktionen für Angebot (x(t und Nachfrage (y(t in einem Cobweb-Modell gegeben: a x(t + 1 = 3 + 4p(t und y(t = 18 3p(t b x(t + 1 = 2 + p(t und y(t = 22 3p(t. Bestimmen Sie jeweils den Gleichgewichtspreis und ermitteln Sie, ob es sich um ein stabiles Gleichgewicht handelt. 62. Gegeben seien die folgenden homogenen Dierenzengleichungen: a y(x + 2 y(x + 1 2y(x = 0 mit y(0 = 2; y(1 = 1 b y(x + 2 2y(x y(x = 0 mit y(0 = 1; y(1 = 3 c y(x y(x y(x = 0 mit y(0 = 1 4 ; y(1 = 1 4 Bestimmen Sie die Lösungen der Dierenzengleichungen für die angegebenen Anfangsbedingungen. 63. Geben Sie die allgemeine Lösung der inhomogenen Dierenzengleichung y(x + 2 2y(x + 1 3y(x = 5 an. 64. Betrachten Sie das folgende Multiplikator-Akzelerator-Modell von Samuelson, das aus drei Gleichungen besteht: Y (t = C(t + I(t + S C(t = 0, 8 Y (t 1 I(t = 3 (C(t C(t 1 Es wird davon ausgegangen, dass die Staatsausgaben (S in jeder Periode 1 GE betragen. Durch Einsetzen der Konsumfunktion (C(t und der Investitionsfunktion (I(t in die Gleichung für das Volkseinkommen (Y (t erhält man für das Volkseinkommen eine inhomogene Dierenzengleichung 2. Ordnung. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieser Dierenzengleichung und berechnen Sie für Y (0 = 5, 5 und Y (1 = 5, 65 das Volkseinkommen für die nächsten vier Perioden.