Vorlesung zur Arithmetik V1 18./ Arithmetik in der Grundschule V2 -./ Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind V3 02./03.05.

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1 Vorlesung zur Arithmetik V1 18./ Arithmetik in der Grundschule V2 -./ Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind V3 02./ Natürliche Zahlen im Anfangsunterricht V4 09./ Die Grundrechenoperationen Addition und Subtraktion V5 16./ Die Grundrechenoperationen Multiplikation und Division V6 23./ Natürliche Zahlen und ihre Eigenschaften V / Rechengesetze und Rechenstrategien V8 06./ Rechenfakten automatisieren V9 20./ Schriftliche Rechenverfahren V10 27./ Rechenschwäche und Rechenbegabung V11 04./ Aufgabenformate und Übungsangebote V12 11./ Zusammenfassung und Überblick V Klausur 1

2 Organisation Arithmetik: 6 SWS 4 SWS V, 2 SWS Ü Übungen zur Vorlesung (Ames, Johann) Einen Teil der Übung bereiten Sie selbst vor: Studienaufgaben zur Übung auf der letzten Folie 2

3 Die Folien zu den Vorlesungen finden Sie ab der kommenden Woche: Intranet: Verzeichnis G/Mathematik/Rasch Internet: 3

4 V 1 Arithmetik Ziele und Anfänge 1 Arithmetik 2 Arithmetik in der Grundschule 3 Arithmetische Vorläuferfähigkeiten - Beobachtungen im Kindergarten - Tests zur Erfassung der Vorläuferfähigkeiten 4

5 1 Arithmetik Quelle: Leuders, Erlebnis Arithmetik

6 Arithmetik lässt sich von der griechischen Bezeichnung arithmitiki tèchni Kunst der Zahlen ableiten. Man könnte die Arithmetik auch als Theorie der Zahlen bezeichnen: Ich bestehe aus Zahlen, deren Unterschiede ich aufzeige. Im Mittelalter gehörte die Arithmetik zu den Sieben freien Künsten ebenso wie die Grammatik, die Dialektik oder Logik, die Rethorik, die Geometrie, die Astronomie und die Musik. 6

7 Die Geometrie beschäftigt sich mit den Strukturen der Formen und Maße. Die Arithmetik erforscht die Strukturen der natürlichen Zahlen. Man kann auch sagen, sie ist die Wissenschaft von den Mustern und Strukturen. Die Arithmetik enthält Errungenschaften aus 3000 Jahren Mathematik als Teil unserer kulturellen Entwicklung. 7

8 In der Arithmetik versteckte Muster und Strukturen werden schon von Vor- und Grundschulkindern entdeckt und genutzt. Welche Strukturen nutzt der Viertklässler bei dem Beispiel auf der folgenden Folie? 8

9 Deine Rechenzahl ist 24. Schreibe Aufgaben mit dieser Zahl. Dominic Kl. 4/11 9

10 2 Arithmetik in der Grundschule 10

11 Solide Zahlvorstellungen Vorstellungen von Zahlen, ihren Größenordnungen, ihren Eigenschaften, ihren Beziehungen zu anderen Zahlen, ihrem Auftreten im Alltag usw. Quelle: Selter, Zeitschrift Grundschulverband 11

12 Sicheres Rechnen gedächtnismäßige Verfügbarkeit von Wissenselementen (Einspluseins, Einmaleins) Sicherheit im Zahlenrechnen (Kopfrechnen u. halbschriftliches Rechnen) schriftliche Normalverfahren (Ziffernrechnen) 12

13 Verständiges, flexibles Rechnen Verständnis der verschiedenen Strategien und Verfahren des Rechnens aufgabenbezogene Flexibilität bei der Wahl des Rechenweges überschlagendes Rechnen (Alltagsbezug) 13

14 Welche Ziele sollten erreicht werden? Die Kinder besitzen sichere Vorstellungen von Zahlen und Zahlbeziehungen im Zahlenraum bis zu sowie vom Aufbau des Zehnersystems. 14

15 Sie beherrschen die Aufgaben des kleinen 1+1 und des kleinen 1x1 gedächtnismäßig. 15

16 Sie rechnen auf der Basis von Grundvorstellungen der vier Grundrechenarten verständig und unter Ausnutzung operativer Strategien sicher mündlich und halbschriftlich. 16

17 Sie verstehen die Normalverfahren der schriftlichen Addition, Subtraktion und Multiplikation und können diese geläufig ausführen, sie verstehen das Verfahren der schriftlichen Division. 17

18 Sie wählen Rechenwege Aufgaben bezogen, aber auch abhängig von eigenen Präferenzen aus, hierbei setzen sie ab Klasse 4 auch den Taschenrechner reflektiert ein. 18

19 Sie runden Zahlen und schätzen Ergebnisse angemessen und rechnen mit gerundeten bzw. geschätzten Zahlen überschlagend. 19

20 Arithmetik im Rahmenplan Rheinland Pfalz (2002) Teil 1: Zahlen 20

21 Teil 2: Rechnen 21

22 Bildungsstandards Zahlen und Operationen Zahlen und Zahldarstellungen verstehen sich im Zahlenraum bis orientieren Rechenoperationen verstehen und beherrschen in Kontexten rechnen 22

23 Arithmetik in Vergleichsarbeiten am Ende der Grundschule (VERA) Regeln 23

24 Gleichungen 24

25 3 Arithmetische Vorläuferfähigkeiten 25

26 Till (6) 1) Zählen vorwärts: mit Ermutigung bis 100, dann einhundert, 200,... bis 800 rückwärts: zunächst ab 10, mit Ermutigung ab 20, 30, 100 ( Mein Papa hat mir das mal gezeigt. ) 26

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29 Maik (6,2) 1) Zählen Name muss vorgeschrieben werden vorwärts: bis 14; mit Material (Stäbchen) bis 17 (zählt die Stäbchen zunächst teilweise in Zweierschritten); dann 20, 30, 14, 15, 16, dann 22, 23, 24, 26 rückwärts: Lass mich mal vorzählen : Zählt an den Fingern still für sich bis 10, dann an den Fingern laut zurück von 10 bis 0. 29

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31 Erfassen vorschulischer Kompetenzen durch Testinstrumente 31

32 Grassmann 1995; 2002; Hasemann 1998 Bedeutung der Zählkompetenz für das Mathematiklernen teilweise hohe arithmetische Kompetenzen aber große Leistungsunterschiede zwischen einzelnen Kindern u. Klassen Quellen: Grassmann (2002) Mathematische Kompetenzen von Schulanfängern; Hasemann (2003): Anfangsunterricht Mathematik; Caluori (2005): Kompetenzen von Schulanfängern. 32

33 Kreuze das höchste Haus an. Kreuze das Pferd mit der Nummer 5 an. Kreuze die nächste Zahl an. Grassmann

34 Male neun Kreise aus. Wie viele Punkte sind es zusammen? Wie viel Geld bleibt übrig? 34

35 Addieren Subtrahieren Rückwärtszählen 35

36 Ausschnitte aus dem OTZ (2001) Osnabrücker Test zur Zahlbegriffsentwicklung 36

37 OTZ (2001) Testentwicklung 1997/98 Testzeitraum: März, Juni (Kindergarten) bis zur Einschulung (September) 1 Qualitatives Vergleichen 2 Klassifizieren 3 Eins-zu-eins-Zuordnungen herstellen 4 Reihenfolgen erkennen 5 Zahlwörter gebrauchen 6 Zählen mit Zeigen 7 Zählen ohne Zeigen 8 Einfaches Rechnen 37

38 Osnabrücker Test zur Zahlbegriffsentwicklung (OTZ) erschienen bei Hogrefe Verlag Göttingen 2001 van Luit, van de Rijt, Hasemann 38

39 1 Qualitatives Vergleichen Hier siehst du Männer. Zeige auf den Mann, der dicker ist als der Mann im Viereck. 39

40 Hier siehst du Indianer. Zeige auf den Indianer, der weniger Federn hat als der im Viereck. 40

41 2 Klassifizieren Sieh dir diese Bilder an. Zeige auf alle grauen Kreise. 41

42 Hier siehst du Menschen. Zeige auf die Menschen, die eine Tasche, aber keine Brille tragen. 42

43 3 Eins-zu-eins-Zuordnung Linien von den Kerzen zu den Kerzenhaltern zeichnen. 43

44 4 Nach Reihenfolge ordnen 44

45 5 Zahlwörter benutzen Zeige auf den Kasten mit sieben Punkten. 45

46 6 Zählen mit Zeigen Zeige auf die 18. Blume. 46

47 7 Zählen ohne Zeigen Wie viele Würfel liegen hier? (15 Würfel, das Kind darf nicht auf die Würfel zeigen) Hier sind Würfel (5). Ich schiebe sie unter meine Hand.Ich füge sieben Würfel hinzu. Wie viele Würfel habe ich jetzt unter der Hand? 47

48 8 Einfaches Rechnen Es sind 9 Bonbons in der schwarzen Kiste. In der weißen Kiste sind 13 Bonbons. In welcher Kiste sind die meisten? 48

49 Welche Zahl wurde mit den beiden Würfeln gewürfelt und wohin darf die Figur gehen? 49

50 Ausgewählte Ergebnisse (Hasemann Anfangsunterricht Mathematik) mehr/weniger bis zu 5 Objekte simultan erfassen 83% Zählen bis 20 77% Weiterzählen von % Ohne sie zu sehen, wissen, dass 13 Bonbons mehr sind als 9 69% 50

51 Objekte der Größe nach ordnen 75% Objekte nach zwei Merkmalen gleichzeitig klassifizieren 67% zwei Reihen der Größe nach vergleichen 67% Objekte eins-zu-eins zuordnen, Zählen ist möglich 75% Objekte eins-zu-eins zuordnen, Zählen ist nicht möglich 61% 51

52 20 geordnete Klötze abzählen 58% 20 ungeordnete Klötze abzählen 49% die Augensumme von zwei Würfeln zusammenzählen 51% in Zweierschritten von 2-14 zählen 50% 17 Klötze rückwärts zählen 32% 52

53 Beispiele aus dem Test von Kristin Krajewski für Vorschulkinder 53

54 Kristin Krajewski ( 2003): Erfassen von Vorläuferfertigkeiten des mathematischen Verständnisses (Untersuchung im letzten Kindergartenjahr) Spezifische Merkmale (für den Erwerb des Rechnens) Aufgaben zum Mengenvorwissen Aufgaben zum Zahlenvorwissen Aufgaben zur Zahleninformations-verarbeitungsgeschwindigkeit (Zahlenspeed) Unspezifische Merkmale Aufgaben zur Gedächtniskapazität Aufgaben zum räumlichen Vorstellungsvermögen Aufgaben zum Sprachverständnis Konzentrationsfähigkeit Intelligenz 35-minütige Einzelsitzungen 54

55 Beispiel zum Mengenvorwissen Nun habe ich einige Käfer mitgebracht. Schau mal, die haben sich in einer Reihe angeordnet. Hier fehlt ein Käfer. Welcher Käfer gehört dort hin? Die Punkte auf den Käfern verraten dir, wie alt der Käfer ist. Wie alt bist du? Welcher Käfer ist so alt wie du? Welche Käfer sind jünger als du? Welche Käfer sind älter als du? 55

56 Zahlenvorwissen Zählen (vorwärts/rückwärts) Vorgänger/Nachfolger benennen Zahlenvergleich Zahlen Ziffernkärtchen zuordnen Geldwissen (Münzen benennen, Werte vergleichen) Rechenfertigkeiten 56

57 Rechenfertigkeiten a) Hier hast du 5 Murmeln. Ich habe 4 Murmeln. Wie viele Murmeln haben wir zusammen? b) Du hast 6 (rote) Murmeln. Ich habe 2 (gelbe) Murmeln. Jetzt möchte ich mit dir spielen und genauso viele Murmeln haben wie du. Wie viele von diesen (gelben) Murmeln muss ich zu meinen 2 Murmeln dazulegen, damit ich genauso viele Murmeln habe wie du? c) Hier hast du 9 Murmeln. Wie viele hast du noch, wenn du mir 3 abgibst? d) Im Kindergarten möchten die Kinder mit Scheren basteln. Es gibt 5 Kinder und es gibt 3 Scheren. Wie viele Scheren fehlen noch? e) Im Kindergarten wollen die Kinder miteinander spielen. 3 Kinder holen sich jeder einen Freund. Wie viele Kinder spielen dann insgesamt zusammen? 57

58 Zahlenspeed Zahlen verbinden 58

59 Gedächtniskapazität Zahlenspanne 3-1; 2-1-4; ; ; ; ; Nachklopfen 2x; 5x; 3x; 6x; 4x; 7x Anzahlerfassung... nur durch Hingucken Rate, wie viele Punkte du gesehen hast (Kärtchen 1s zeigen) 59

60 Räumliches Vorstellungsvermögen Ich möchte, dass du diese Kärtchen hier (lose Kärtchen zeigen) genau verkehrt herum hinlegst, wie diese hier (aufgeklebte zeigen). Ich zeige dir das mal mit dem Käfer. Siehst du, so liegt der genau verkehrt herum wie der andere Käfer. So als ob der Käfer in den Spiegel schaut die beiden Käfer schauen sich an. 60

61 Kannst du mir die Steine geben (farbige Bausteine liegen auf dem Tisch), die ich für die Figur auf dem Bild gebraucht habe? Kannst du mir die Figur auf dem Bild jetzt noch nachbauen. (mit allen 3 Fotos) 61

62 Aufgaben zum Sprachverständnis (Lagebegriffe) Hier habe ich ein paar Bausteine mitgebracht: eine gelbe Rutsche, eine rote Brücke, eine grüne Rolle und einen blauen Würfel. (gelbe Rutsche steht links, rote Brücke rechts daneben, grüne Rolle und blauer Würfel werden dem Kind in die Hand gegeben) Stelle den blauen Würfel zwischen die rote Brücke und die gelbe Rutsche. Lege die grüne Rolle rechts neben die gelbe Rutsche. Stelle den blauen Würfel links neben die gelbe Rutsche. Lege die grüne Rolle vor die rote Brücke. 62

63 Zählkompetenzen Anne, 3. Schulwoche 63

64 Vorschulisches Wissen bei begabten Grundschulkindern Patrick, 3. Schulwoche 64

65 Aufgaben für die Übungen in der Woche vom Entwickeln Sie Testaufgaben zur Ermittlung vorschulischer Kompetenzen. Wenn Sie ein Vorschulkind in der Nähe haben, probieren Sie den Test aus und protokollieren Sie die Ergebnisse bzw. zeichnen Sie diese auf. 65