Basiswissen Zahlentheorie

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1 Kristina Reiss Gerald Schmieder Basiswissen Zahlentheorie Eine Einführung in Zahlen und Zahlbereiche Zweite Auflage Mit 43 Abbildungen ^y Springer

2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen und Voraussetzungen 1.1 Mengen Mengen und ihre Elemente Mengen und ihre Mächtigkeit Gleichheit von Mengen und Teilmengen Verknüpfungen von Mengen Grundbegriffe des logischen Schließens Implikationen und die Äquivalenz von Aussagen Mathematische Logik und Alltagslogik Einige (wenige) Regeln des mathematischen Beweisens und logischen Schließens Implikationen und Beweisverfahren Quantoren Übungsaufgaben 20 2 Natürliche Zahlen 2.1 Rechnen mit natürlichen Zahlen Addition und Subtraktion Das Prinzip des kleinsten Elements Multiplikation und Teilbarkeit Die Goldbach'sche Vermutung Die Idee der unendlichen Mengen Gibt es unendliche Mengen? Huberts Hotel Das Prinzip der vollständigen Induktion Beweisen durch vollständige Induktion Definition durch Induktion: Das Produkt natürlicher Zahlen Definition durch Induktion: n Fakultät Definition durch Induktion: Die Fibonacci-Zahlen Geometrische Summenformel Der binomische Lehrsatz Ein Exkurs über Evidenz und Wahrheit Ein Axiomensystem für die natürlichen Zahlen Was sind die natürlichen Zahlen? Die Peano-Axiome Modelle zu den Peano-Axiomen Mengentheoretische Begründung von N Übungsaufgaben 67

3 XII Inhaltsverzeichnis 3 Zahldarstellungen und Stellenwertsysteme 3.1 Beispiele für Zahldarstellungen Division mit Rest Die Kreuzprobe Das Prinzip der Kreuzprobe Die Begründung der Kreuzprobe Zahldarstellung in g-adischen Systemen Rechnen in Stellenwertsystemen Addition und Subtraktion in g-adischen Systemen Multiplikation und Division in g-adischen Systemen Übungsaufgaben 94 4 Teilbarkeit und Primzahlen 4.1 Teilbarkeit in N Primzahlen Das Sieb des Eratosthenes Die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen Primzahlzwillinge, Primzahltupel, Primzahlformeln Primfaktorzerlegung Teilbarkeit und Primfaktoren in Z Übungsaufgaben Teiler und Vielfache 5.1 Der größte gemeinsame Teiler in Z Der euklidische Algorithmus Das kleinste gemeinsame Vielfache in Z Vollkommene Zahlen Übungsaufgaben Ganze Zahlen 6.1 Definition der ganzen Zahlen Rechnen mit ganzen Zahlen Die isomorphe Einbettung der natürlichen in die ganzen Zahlen Die Anordnung der ganzen Zahlen Übungsaufgaben Restklassen 7.1 Kongruenzen Verknüpfungen von Restklassen Der Ring Z m der Restklassen modulo m Teilbarkeitsregeln 195

4 Inhaltsverzeichnis - XIII Quersummenregeln Endstellen regeln Zusammengesetzte Teilbarkeitsregeln Pseudozufallszahlen und Kongruenzen Die Erzeugung von Pseudozufallszahlen Übungsaufgaben Lineare und quadratische Kongruenzen 8.1 Lineare Kongruenzen und ihre Lösbarkeit Anwendungen linearer Kongruenzen Sätze von Euler Chinesischer Restsatz Quadratische Kongruenzen Übungsaufgaben Teilbarkeit in Integritätsringen 9.1 I ntegritätsringe Einheiten, Teiler und assoziierte Elemente Primelemente Nebenklassen, Ideale und Hauptidealringe Eigenschaften von Hauptidealringen Übungsaufgaben Anwendungen der elementaren Zahlentheorie 10.1 Verwaltung von Lagerbeständen EAN (European Article Number) ISBN (International Standard Book Number) Kryptographie Einheiten in Z pq Grundlagen des RSA-Verfahrens Praktische Zahlenkodierung Ein Beispiel zur Kodierung und Dekodierung Praktische Textkodierung Übungsaufgaben Rationale Zahlen 11.1 Definition der rationalen Zahlen Q ist eine große Menge: Dezimaldarstellung Q ist eine kleine Menge: Abzählbarkeit Abzählen nach der Summe von Zähler und Nenner Die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen 322

5 XIV Inhaltsverzeichnis 11.4 Q ist eine kleine Menge: Rationale und reelle Zahlen Kettenbrüche Darstellung von rationalen Zahlen durch Kettenbrüche Darstellung von irrationalen Zahlen durch Kettenbrüche Übungsaufgaben Reelle Zahlen 12.1 Konvergenz Die Erweiterung von Q auf E Nachweis des Grenzwerts Übungsaufgaben Komplexe Zahlen 13.1 Definition der komplexen Zahlen Die Zahlenebene Polarkoordinaten Addition und Multiplikation Reelle Zahlen sind komplexe Zahlen Rechnen mit komplexen Zahlen Quadratische Gleichungen Gleichungen höherer Ordnung Übungsaufgaben Zahlentheoretische Funktionen 14.1 Begriffsbestimmung Primzahlverteilung Die Euler'sche ^-Funktion Die Riemann'sche (-Funktion Ungerade natürliche Zahlen und die Riemann'sche (-Funktion Zusammenhänge der Riemann'schen (-Funktion mit den Primzahlen Übungsaufgaben 415

6 Inhaltsverzeichnis XV Lösungshinweise zu den Übungsaufgaben 419 Lösungen zu den Übungsaufgaben 433 Literaturverzeichnis 471 Index 473