KULTUSMINISTERIUM DES LANDES SACHSEN-ANHALT. Abitur Januar/Februar Mathematik (Grundkurs) Arbeitszeit: 210 Minuten

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1 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 004 KULTUSMINISTERIUM DES LANDES SACHSEN-ANHALT Abitur Januar/Februar 004 Mathematik (Grundkurs) Arbeitszeit: 0 Minuten Der Prüfling wählt je eine Aufgabe aus den Gebieten G, G und G 3 zur Bearbeitung aus. Gewählte Aufgaben (Die drei zur Bewertung vorgesehenen Aufgaben sind vom Prüfling anzukreuzen.): Gebiet G Gebiet G Gebiet G 3 Aufgabe. Aufgabe. Aufgabe 3. Aufgabe. Aufgabe. Aufgabe 3. Unterschrift Prüfling:

2 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 004 Gebiet G Aufgabe. Analysis Gegeben ist die Funktion f durch + 8 y = f() =, R und 0. Der zugehörige Graph sei mit F bezeichnet. a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Nullstellen, auf Polstellen, auf Monotonie und auf das Verhalten für ±. Erklären Sie für die Funktion f einen Zusammenhang zwischen dem Monotonieverhalten und der Eistenz lokaler Etrema. Zeichnen Sie den Graphen F im Intervall 8 8. b) An den Graphen F wird an der positiven Nullstelle der Funktion f die Tangente t gelegt. Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente t sowie eine Gleichung der Tangente t an den Graphen F, die zur Tangente t parallel ist (t t ). Berechnen Sie den Abstand der Tangenten t und t. Ein Schornstein soll aus drei gleichen rechteckigen Schächten mit je 8,00 dm Flächeninhalt bestehen. Die Wände, die die Schächte umschließen, sollen jeweils,00 dm stark sein. Die Abbildung zeigt einen Grundriss dieses Schornsteins. dm b dm 8 dm 8 dm 8 dm y dm a dm (Abbildung nicht maßstäblich) c) Stellen Sie eine Gleichung für den Inhalt der in der Abbildung grau unterlegten Grundrissfläche des Schornsteins in Abhängigkeit von auf. Von den folgenden beiden Teilaufgaben ist entweder () oder () zu lösen. () Ermitteln Sie die Werte von und y, so dass der Flächeninhalt der Grundrissfläche des Schornsteins minimal wird. () Beschreiben Sie detailliert das Lösen einer Etremwertaufgabe mithilfe der Differentialrechnung ausgehend von einer stetigen Zielfunktion A mit A = A() und D für den Fall, dass ein Minimum gesucht ist.

3 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 004 Gebiet G Aufgabe. Analysis Gegeben ist die Funktion f durch y = f() = 8 e, R. a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Nullstellen, Monotonie und auf das Verhalten für ±. Begründen Sie, dass der Graph der Funktion f weder lokale Etrempunke noch Wendepunkte besitzt. Die Abbildung zeigt die Graphen G, G und G 3 dreier Funktionen, von denen nachfolgende drei Funktionsgleichungen gegeben sind: (I) y = f() = 8 e (II) y = g() = 8 5 (III) y = h() = 3 e Ordnen Sie den Graphen diese Funktionsgleichungen zu und begründen Sie die Zuordnung. b) Die Koordinatenachsen, der Graph der Funktion f und die Gerade mit der Gleichung = begrenzen eine Fläche vollständig. Ermitteln Sie das Verhältnis, in welchem die Tangente f() diese Fläche teilt. an den Graphen der Funktion f im Punkt P ( ) c) Begründen Sie die folgende Integrationsregel: f ( m + n )d = F( m + n ) + c, c R. m d) Der Tabelle kann man die Bevölkerungsentwicklung eines Landes für den Zeitraum von 30 Jahren entnehmen (Angabe in Millionen). Zeit t in Jahren Anzahl N in Millionen 3,9 5,3 7, 9,6 Weisen Sie nach, dass die Bevölkerungsentwicklung in diesem Zeitraum durch eine b t Funktion mit der Gleichung N(t) = a e näherungsweise beschrieben werden kann. Berechnen Sie, in welcher Zeit sich die Bevölkerungszahl unter den gegebenen Bedingungen verdoppelt.

4 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 004 Gebiet G Aufgabe. Analytische Geometrie In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte gegeben. A(3 5 0), B( ), C(3 8 9) und D (5 3 7) a) Die Punkte A und B bestimmen eine Gerade g; die Punkte C und D bestimmen eine Gerade h. Stellen Sie jeweils eine Gleichung für die Geraden g und h auf und weisen Sie nach, dass diese Geraden zueinander windschief liegen. In einem Bergwerk wird der Verlauf zweier Stollen I und II im oben genannten kartesischen Koordinatensystem durch die Strecken AB bzw. CD beschrieben. Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht 0 m. Vom Punkt C des Stollens II aus soll ein neuer Stollen III parallel zum Stollen I gebaut werden. b) Stellen Sie eine Gleichung der Geraden auf, die den Verlauf des Stollens III charakterisiert. Berechnen Sie das Gradmaß des Winkels, unter dem die Stollen II und III zueinander verlaufen. c) Im Punkt B trifft der Stollen I orthogonal auf eine nicht abbauwürdige Schicht. Die Grenzfläche dieser durch den Punkt B verlaufenden Schicht kann durch Punkte einer Ebene E beschrieben werden. Stellen Sie eine Koordinatengleichung für diese Ebene E auf. Der Stollen III würde im Punkt S auf diese nicht abbauwürdige Schicht treffen, soll aber 0 m vorher im Punkt P enden. Weisen Sie nach, dass die Lage des Punktes S durch den Ortsvektor O 93 S = 5 39 beschrieben wird und berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P.

5 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 004 Gebiet G Aufgabe. Analytische Geometrie Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem von einer Ebene E die Punkte A( 3), B(9 5 7) und C( 6 7). a) Stellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E auf. b) Ein Punkt D liege so in der Ebene E, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist. Prüfen Sie, ob dieses Parallelogramm ein Rhombus ist. Berechnen Sie das Gradmaß des Innenwinkels ABC und die Maßzahl des Flächeninhalts des Parallelogramms ABCD. Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunktes M der Diagonalen des Parallelogramms ABCD. c) Das Parallelogramm ABCD soll die Grundfläche von zwei Pyramiden mit den Spitzen S i (i = ; ) sein. Die Höhe dieser Pyramiden sei h = MS i = 4. Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte S i. Berechnen Sie die Maßzahl des Gesamtvolumens beider Pyramiden.

6 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 004 Gebiet G 3 Aufgabe 3. Stochastik In einer Firma werden Dichtungen produziert. Die Dichtungen werden unabhängig voneinander hergestellt. Die Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Dichtung beträgt 5 %. a) Der Produktion wird eine Stichprobe von 50 Dichtungen entnommen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der mehr als drei Dichtungen fehlerhaft sind. Berechnen Sie den Umfang einer Stichprobe, wenn in dieser mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens eine fehlerhafte Dichtung enthalten sein soll. b) Eine Baumarktkette soll mit 000 Dichtungen beliefert werden. Als Ersatz für fehlerhafte Dichtungen will die Firma zusätzlich 60 Dichtungen liefern. Berechnen Sie näherungsweise mithilfe der Standardnormalverteilung die Wahrscheinlichkeit, mit der auf diese Weise mindestens 000 fehlerfreie Dichtungen geliefert werden. c) Die Lieferung an die Baumarktkette erfolgt in 0 Packungen zu je 00 Dichtungen. Für eine Stichprobe werden jeder Packung zufällig fünf Dichtungen entnommen. Sind in der so entstandenen Stichprobe mehr als vier fehlerhafte Dichtungen, so wird die Lieferung zurückgewiesen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Lieferung zurückgewiesen wird.

7 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 004 Gebiet G 3 Aufgabe 3. Stochastik Eine Unternehmensgruppe untersucht in einem Langzeittest eine Autowaschanlage, die über ein neuartiges Sicherheitssystem zum Schutz der Autos vor Beschädigungen verfügt. Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der täglichen störungsbedingten Abschaltungen der Anlage. Es ist die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung ermittelt worden: X = i P(X = i ) 0,56 0,4 0,09 0,07 0,04 a) Betrachtet werden die nachstehenden Ereignisse: A: Die Anlage ist täglich höchstens dreimal störungsbedingt abgeschaltet. B: Die Anlage ist täglich mindestens einmal störungsbedingt abgeschaltet. C: < X 4 Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Ereignisse und beschreiben Sie das Ereignis C verbal. b) Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße X und interpretieren Sie diesen Erwartungswert. Bei einer technischen Überprüfung der Anlage wird festgestellt, dass die störungsbedingten Abschaltungen unabhängig voneinander erfolgen und 75 % dieser Abschaltungen auf eine Übersensibilisierung des Sicherheitssystems zurückzuführen sind. c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 00 störungsbedingten Abschaltungen mehr als 50 auf Übersensibilisierung zurückzuführen sind. d) Berechnen Sie näherungsweise mithilfe der Standardnormalverteilung die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 50 störungsbedingten Abschaltungen höchstens 0 auf Übersensibilisierung zurückzuführen sind.

8 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 004 HINWEISE ZUR KORREKTUR UND BEWERTUNG Gebiet G Aufgabe. Analysis Aufgabe BE Hinweise, Lösungen a) 9 Untersuchen der Funktion auf Nullstellen, auf Polstellen, auf Monotonie und auf das Verhalten im Unendlichen, z. B.: Nullstellen: = 4 ; = Polstelle: P = 0 8 f + () = > 0 für alle 0, monoton wachsend in den Intervallen < < 0 und 0 < < 8 8 lim ( + ) = bzw. lim ( + ) = Erklären eines Zusammenhangs zwischen Monotonieverhalten und Eistenz lokaler Etrema für die Funktion f, z. B.: Die Funktion f ist in den Teilintervallen < < 0 und 0 < < streng monoton wachsend. Daher hat sie in diesen Teilintervallen keinen Monotoniewechsel, der eine Bedingung für die Eistenz lokaler Etrema ist. Folglich hat diese Funktion keine lokalen Etrema. 4 Zeichnen des Graphen F b) 5 Ermitteln der Tangentengleichungen, z. B.: t : y = 3 6 Ermitteln der Koordinaten des Berührungspunktes von t : P( 4) t : y = Berechnen des Abstandes der Tangenten, z. B.: Gleichung einer Geraden g, die senkrecht zu t bzw. t ist: y = + Schnittpunkte von g mit t bzw. t : S t ( 0) und S t (,8,6) Abstand: 5,06 c) 4 Aufstellen einer Gleichung für den Flächeninhalt, z. B.: 64 A () = mit > 0 5 Lösen der Teilaufgabe () oder (), z. B.: () A () = = 0 E/ = ± ±, 3 ; Wegen > 0 ist E, A () = ; A (,3) > 0 A(,3) ist lokales Minimum. 3 Das lokale Minimum ist zugleich das globale Minimum. =,3 und y = 3,46 () Es ist das globale Minimum von A im Definitionsbereich D einer stetigen Funktion gesucht. Dazu ermittelt man zunächst die lokalen Minima aus A ( E ) = 0 und A ( E ) > 0 (notwendige Bedingung, hinreichende Bedingung). Dann ist zu entscheiden, ob das gesuchte globale Minimum eines der lokalen Minima ist oder am Rand des Definitionsbereiches D liegt. Ist D ein abgeschlossenes Intervall, dann sind die Funktionswerte der Zielfunktion an den Rändern des Definitionsbereiches zu untersuchen und mit dem kleinsten lokalen Minimum zu vergleichen. Ist D ein offenes Intervall und hat A zum Beispiel genau ein lokales Etremum (nämlich das lokale Minimum), dann ist dieses auch das globale Minimum. 3 3

9 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 004 HINWEISE ZUR KORREKTUR UND BEWERTUNG Gebiet G Aufgabe. Analysis Aufgabe BE Hinweise, Lösungen a) 7 Untersuchen der Funktion f, z. B.: keine Nullstelle f () = 4 e > 0 für alle f ist monoton wachsend lim f() = lim 8 e =, lim f() = lim 8 e = 0 4 Begründen, dass weder lokale Etrempunke noch Wendepunkte eistieren, z. B.: f () = 4 e, 4 e = 0 notwendige Bedingung für Etrempunkte für keinen Wert von erfüllt f () = e, e = 0 notwendige Bedingung für Wendepunkte für keinen Wert von erfüllt 6 Zuordnen der Funktionsgleichungen und Begründen, z. B.: (I) G ; f(0),9 und f monoton wachsend (II) G 3 ; g(0) =,6 (III) G ; h ist monoton fallend b) 9 Ermitteln des Verhältnisses, z. B.: A = f() d = 6 e = 6 ( ) 0 e 0 Tangentengleichung: y = 4 A = a b = 8 A A = A A = 8( ) = e e A c) 3 Begründen der Regel, z. B.: F(m + n) + c = f(m + n) m + 0 = f(m + n) m m d) 4 Nachweisen, z. B.: N(0) = 3,9 a = 3,9 N(0) = 5,3 b 0,0307 Überprüfen von a und b für restliche Wertepaare; Schlussfolgerung Berechnen der Verdopplungszeit, z. B.: 0,03t ln N(t) = 3,9 e ; t = ; 0,03 Verdopplungszeit: 3, Jahre 35

10 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 004 HINWEISE ZUR KORREKTUR UND BEWERTUNG Gebiet G Aufgabe. Analytische Geometrie Aufgabe BE Hinweise, Lösungen a) 7 Aufstellen von Gleichungen für die Geraden g und h und Nachweisen der windschiefen Lage, z. B.: g: = 5 + t 6, h: = 8 + s 5 ; t, s R 0 9 Zeigen, dass für Richtungsvektoren gilt: vg r vh, r R Zeigen, dass das Gleichungssystem aus den Geradengleichungen keine Lösung besitzt; Schlussfolgerung b) Aufstellen einer Gleichung der Geraden, z. B.: 3 9 g : = 8 + u 6, u R 9 3 Berechnen des Gradmaßes des Winkels, z. B.: cos (h, g ) = cos ( vh, vg ) = 86 6 (h, g ) 6,8 c) 3 Aufstellen einer Gleichung der Ebene E, z. B.: ne vg B E E: 9 6y z 7 = 0 5 Nachweisen der Lage des Punktes S und Berechnen der Koordinaten des Punktes P, z. B.: OS 3 9 = 8 + u 6 für u = 0 S E 9 9 = PS = a v g = 6 OP = = = OS PS P( ) 0

11 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 004 HINWEISE ZUR KORREKTUR UND BEWERTUNG Gebiet G Aufgabe. Analytische Geometrie Aufgabe BE Hinweise, Lösungen a) 5 Aufstellen einer Koordinatengleichung der Ebene E, z. B.: E: 4 4y 3z + 5 = 0 b) Prüfen, ob das Parallelogramm ein Rhombus ist, z. B.: AB BC kein Rhombus 5 Berechnen des Gradmaßes des Innenwinkels und der Maßzahl des Flächeninhalts, z. B.: cos ABC 0,864 o ABC 30, A = AB BC sin ABC, A ABCD 70, 4 ABCD Ermitteln der Koordinaten des Diagonalenschnittpunktes M, z. B.: M(0,5 5) c) 4 Ermitteln der Koordinaten der Punkte S i, z. B.: OSi = OM + MS i, MS i = 4 = s n E = s 4 s = ± S ( 4,5 8), S (4 6,5 ) Berechnen der Volumenmaßzahl, z. B.: V = A ABCD MS i V 300,6 3 0

12 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 004 HINWEISE ZUR KORREKTUR UND BEWERTUNG Gebiet G 3 Aufgabe 3. Stochastik Aufgabe BE Hinweise, Lösungen a) Berechnen der Wahrscheinlichkeit für mehr als drei fehlerhafte Dichtungen, z. B.: X: Anzahl fehlerhafter Dichtungen; X ~ B 50; 0,05 P(X > 3) = 0,396 5 Berechnen des Umfangs einer Stichprobe, z. B.: X n : Anzahl fehlerhafter Dichtungen; X n ~ B n; 0,05 lg0,05 P(X n ) 0,95 n = 58,40 lg0,95 Mindestumfang der Stichprobe: 59 b) 4 Berechnen der Wahrscheinlichkeit, z. B.: Y: Anzahl fehlerhafter Dichtungen; Y ~ B 060; 0,05 k µ + 0,5 P(Y k) Φ σ µ = 53; σ = 7,0 P(Y 60) Φ(,06) = 0,8554 c) 4 Berechnen der Wahrscheinlichkeit für das Zurückweisen, z. B.: Z: Anzahl fehlerhafter Dichtungen in der Stichprobe Z ~ B 50; 0,05 P(Z > 4) = 0,036 5

13 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 004 HINWEISE ZUR KORREKTUR UND BEWERTUNG Gebiet G 3 Aufgabe 3. Stochastik Aufgabe BE Hinweise, Lösungen a) 4 Berechnen der Wahrscheinlichkeiten und Wortformulierung, z. B.: P(A) = P(X = 4) = 0,96 P(B) = P(X = 0) = 0,44 P(C) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0, Die Anlage ist täglich dreimal oder viermal störungsbedingt abgeschaltet. b) 4 Berechnen und Interpretieren des Erwartungswertes, z. B.: E(X) = 0,79 Auf lange Sicht ist eine durchschnittliche störungsbedingte Abschaltung von 0,8 zu erwarten, also weniger als eine tägliche störungsbedingte Abschaltung. c) 3 Berechnen der Wahrscheinlichkeit, z. B.: Y: Anzahl der störungsbedingten Abschaltungen durch Übersensibilisierung; Y B 00; 0,75 P(Y > 50) = B 00; 0,75 ({0; ;...; 50}) = 0,479 d) 4 Berechnen der Wahrscheinlichkeit, z. B.: Z: Anzahl der störungsbedingten Abschaltungen durch Übersensibilisierung; Z B 50; 0,75 k µ + 0,5 P(Z k) Φ σ k = 0; µ =,5; σ = 5,30 P(Z 0) Φ(,5) = 0,9345 5

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