2.7. Aufgaben zu Ähnlichkeitsabbildungen

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1 .7. Aufaben zu Änlickeitsabbildunen Aufabe 1 Strecke das Dreieck AB mit A(3 1), B( 3) und ( ) an Z(1 1) um die Streckfaktoren k 1 =, k = 1, k 3 = 1, k 4 = und k =. Aufabe Strecke das Dreieck AB mit A( 0, ), B( 3, 3,) und ( 0,) an Z(1 0,) um die Streckfaktoren k 1 = 4 3 und k = 3 3. Aufabe 3 Eränze jeweils das Streckzentrum Z und die felenden Bildpunkte. Bestimme außerdem den Streckfaktor k: a) A(,,), B( 4,), (, 4), D( 4 4), A ( 4 1) und D ( 3 ) b) A(1 ), B( ), (3 3,), D(1 4), A (4 1) und B ( 1) Aufabe 4 Geeben sind das Dreieck AB und die Bildpunkte von drei Dreiecken A 1 B 1 1, A B und A 3 B 3 3. Bestimme das Streckzentrum Z und eränze die folende Tabelle. Formuliere eine Reel, mit der sic die Streckenlänen, Fläceninalte und Winkel des Bilddreiecks mit Hilfe des Streckfaktors k aus den entsprecenden Größen des Oriinals berecnen lassen. Nr k A B a b c α β γ A Oriinal 1 (1 1) (3 1) (1 ) 1 ( 3) (6 3) (0, 0) (1, 0) 3 ( 0, ) ( 1, ) Aufabe Berecne jeweils den Fläceninalt der Bildfiuren im Maßstab 1 LE = 1 cm: a) Streckun des Dreiecks AB mit A(1, 3), B(4 ) und (4 ) an Z(0 3) mit k =. b) Streckun des Dreiecks AB mit A(0 0), B(6 ) und ( ) an Z( 1 1) mit k = 1. c) Streckun des Dreiecks AB mit A(4 ), B( 0,) und (0, ) an Z( 1 1) mit k = 3. d) Streckun des Vierecks ABD mit A( 3 ), B( 1 ), ( 1) und D( 4 1) an Z(0 0) um k = 3 e) Streckun des Vierecks ABD mit A(4 0), B(6 3), (3 7) und D(1 3) an Z(1 1) um k 1 = 3 und k = 3 4 Aufabe 6 a) Ein Goldwürfel mit der Kantenläne 1 cm at eine Oberfläce von 6 cm und wiet 19,3. Welce Oberfläce und welces Gewict at ein doppelt so roßer Goldwürfel? b) Bei einem Würfel werden alle Seiten um % verlänert. Um wie viel Prozent ändern sic dadurc das Volumen und die Oberfläce? c) Ein euties Nasorn mit einer Sculteröe von ca. 1,80 m wiet ca. Tonnen. Wie scwer waren seine 4 m oen Vorfaren, die vor 0 Millionen Jaren lebten? d) Ein 1 m laner Lacs wiet ca. 0 k. Scätze das Gewict eines 8 m lanen Scwertwales und eines 30 m lanen Blauwales. In Wirklickeit wiet ein Scwertwal nur ca. 6 Tonnen und ein Blauwal nur ca. 10 Tonnen. Woran könnte das lieen? 1

2 Aufabe 7 Die Geraden und sind parallel. Berecne x. Aufabe 8 Die Geraden und sind parallel. Berecne x und. Aufabe 9 Prüfe recnerisc, ob die Geraden, und k parallel sind. Aufabe 10 Zwei Geländepunkte A und B sind durc einen See etrennt. Bestimme aus den einetraenen Anaben die Entfernun der Punkte A und B. Aufabe 11 Wie oc ist ein Baum, der einen m lanen Scatten wirft, wenn leiczeiti der Scatten eines 1,80 m roßen Wanderers 1,0 m lan ist? Aufabe 1 Die Geraden und sind parallel. Berecne x und. Aufabe 13 Will man die Breite x eines Flusses von einer Uferseite aus bestimmen, so kann man wie in der Fiur vier Punkte wälen. Aus den Länen a, b und c lässt sic x berecnen. Bestimme x für a) a = 60 m; b = 48 m; c= 1 m b) a = 7 m; b = m; c = m c) a = 90 m; b = 76 m; c = 16 m.

3 Aufabe 14 Eine reelmäßie vierseitie Pramide mit der Grundkante a = 6 cm und der Höe = 8 cm wird im Abstand d = 3,6 cm von der Grundfläce von einer zu dieser parallelen Ebene escnitten. Wie lan ist eine Seite der quadratiscen Scnittfläce? Aufabe 1 Einem Kreis mit Radius r = 4 cm soll ein Recteck einbescrieben werden (d.., die Ecken des Rectecks sollen auf dem Kreis lieen), dessen Seiten sic wie 3: veralten. Aufabe 16 Konstruiere ein rectwinklies Dreieck mit γ = 90 aus a : b = : 3 und w = 3, cm. Aufabe 17 Konstruiere ein Dreieck AB aus a) a : b=4 : ; γ = 80 und s c = 4 cm b) c : b = : 1, α = 0 und s a = 6 cm. Aufabe 18 Konstruiere ein Dreieck AB aus a) a:b:c=:3:4 und s c = 3 cm c) a:b:c=:3:6 und c = 3 cm b) a:b:c=3::7 und s a = cm d) a: b:c=4:6: und a = 3, cm Aufabe 19 Zeicne in einen Halbkreis mit r = 4 cm a) ein Quadrat, sodass zwei Ecken auf dem Kreis lieen und eine Seite auf dem Durcmesser b) ein Recteck mit dem Seitenverältnis 3 :, sodass zwei Ecken auf dem Kreis lieen und eine Seite auf dem Durcmesser ( Lösunen). Aufabe 0 Zeicne ein Dreieck AB mit a =, cm, b = 7, cm und c = 6,1 cm. Dem Dreieck soll ein Recteck mit dem Seitenverältnis 7:4 einbescrieben werden, sodass je eine Ecke auf A und B und eine Seite auf AB liet. Aufabe 1 Untersuce, ob die Vielecke änlic sind und beründe. Aufabe Prüfe, ob ein Dreieck mit den aneebenen Winkeln zu einem Dreieck mit Winkeln von und 30 änlic ist. a) β = 30 und γ = 9 b) α = 7 und β = c) α = und γ = 10 Aufabe 3 Beründe mit dem Änlickeitssatz: a) Ein rectwinklies Dreieck mit dem Winkel 30 und ein rectwinklies Dreieck mit dem Winkel 60 sind änlic. b) Ein leicscenklies Dreieck mit den Basiswinkeln 7 und ein leicscenklies Dreieck, dessen Basiswinkel doppelt so roß sind wie der Winkel an der Spitze, sind änlic. 3

4 Aufabe 4 a) Zeie, dass die vier Teildreiecke I bis IV änlic sind. b) Berecne die Abscnitte, in welce B und D durc die Punkte F bzw. G eteilt werden. c) Gib den Änlickeitsmaßstab der Dreiecke I bis IV in Form einer Verältniskette w : x : : z mit natürlicen Zalen w, x,, z an. Aufabe Das Viereck ABD ist ein Paralleloramm. Zeie: Für einen beliebien Punkt E auf B ist das Produkt x konstant. Aufabe 6 Bei einem DIN-A4-Blatt ABD steen die Seiten im Verältnis 1 : Zeie: das Lot von D auf die Diaonale A diese im Verältnis 1 :. Aufabe 7 Beweise: Wenn zwei Dreiecke in einem Winkel (z. B. γ = γ') und im Verältnis der einscließenden Seiten (z. B. a : b = a': b') übereinstimmen, dann sind sie änlic. Aufabe 8 Zeie, dass sic im Dreieck AB die Höen umekert wie die zueörien Seiten veralten: b : c = c : b. Aufabe 9 Untersuce, ob das roße weiße und das kleine raue Dreieck änlic sind und beründe. Aufabe 30 Untersuce, ob das roße weiße und das kleine raue Viereck änlic sind und beründe. 4

5 .7. Lösunen zu den Aufaben zu Änlickeitsabbildunen Aufabe 1 B 1 B 1 B A A A 1 A 4 A 4 A 3 B 3 1 x B 4 B Aufabe B 1 B A 1 A 1 1 Z 1 A x B

6 Aufabe 3 D D A B D ( ) A B A B ( 3 1) 1 Z( 1) k = k = 1 B A x Z( 1 ) (0 4) Aufabe 4 D (4 ) 1 A 1 B 1 1 A B A B 1 x B3 A 3 Nr k A B a b c α β γ A 1 (1 1) (3 1) (1 ), ,6 63,4 1 1 ( 3) (6 3) ( ) 4, ,6 63,4 4 0, (0, 0) (1, 0) (0, 0,) 1,1 0, ,6 63,4 0, 3 0, ( 0, ) ( 1, ) (-0, -,) 1,1 0, ,6 63,4 0, Allemeine Reeln: Die Streckenlänen ändern sic um den Faktor k. Die Fläceninalte ändern sic um den Faktor k. Die Winkel bleiben unverändert. 3 6

7 Aufabe a) A = 1 3 cm, cm = 3,7 cm und A = k A = 1 cm. b) A = cm 6 cm 1 cm cm 1 4 cm 3 cm 1 cm 6 cm = (30 6 6) cm = 13 cm und A = k A = 3, cm. Die (nict benötiten) Bildpunkte mit Koordinaten in cm sind A ( 1, 1,), B ( 4,,) und (, 4). c) A = 4, cm 3, cm 1 1, cm 1, cm 1 cm 4, cm 1 3 cm 3, cm = (1,7 1,1 4,,) cm = 4,87 cm und A = k A,167 cm. Die (nict benötiten) Bildpunkte mit Koordinaten in cm sind A ( 13 3 ), B ( 3 ) und ( 3). d) A = cm 1 cm = cm und A = k A = 4, cm. Die (nict benötiten) Bildpunkte mit Koordinaten in cm sind A ( 3), B (1, 3), (3 1,) und D (6 1,) e) A = 1 cm 7 cm = 17, cm, A = 3 A 7,78 cm und A = Koordinaten in cm sind A ( 1 3 ), B ( ), ( 1 3 3), D (1 1 3 ) und A ( D (1 1 ) ,84 cm. Die (nict benötiten) Bildpunkte mit ), B ( ), ( 1 7 ), Aufabe 6 a) Bei cm Kantenläne at der Würfel eine Oberfläce von 4 6 cm = 4 cm und ein Gewict von 8 19,3 = 14,4. b) Streckfaktor 1 % = 1, O = 1, O = 1,6 O und V = 1, 3 V = 1,931 V Die Oberfläce wäcst um 6, % und das Volumen soar um 9,31 %! 3 4 c) Die Indricoterien woen vermutlic ca. Tonnen und waren Zeitenossen unserer ersten aufrect eenden 1,8 Vorfaren. Sie woen nict viel wenier als die bekannten Sauropoden der Jurazeit (100 Millionen Jare vor unserer Zeit) d) Der Scwertwal at das 8 3 = 1 face Volumen und müsste daer mer als 10 Tonnen wieen. Beim Blauwal käme man auf 40 Tonnen. Große Fisce aben andere Proportionen als kleine Fisce: Der Scwanz ist verleicsweise sclanker und nimmt einen rößeren Teil der Läne ein. Aufabe 7 a) x = 0 3 b) x = 8 3 c) x = 1 4 Aufabe 8 a) x = 3 und = 8 b) x = 3 4 und = 4 c) x = 4 4 und = 1 Aufabe 9 keine ist parallel mit einer anderen, weil 1, : 1,4 : 1, 1,8 : : 1,9 ist. Aufabe 10 Aufabe 11 x = 373,33 m = 30 m Aufabe 1 a) x 1,3 und = 1,1 b) x 1,16 und 1,07 c) w = 19,; z = 6,67; x = 10,4 und = 1,6 Aufabe 13 a) x = 18,7 m b) x = 30 m c) x 18,9 m Aufabe 14 a = 3,3 cm 7

8 Aufabe 1 Aufabe 16 Aufabe 17 Aufabe 18 Aufabe 19 Aufabe 0 Aufabe 1 a) nein, da die entsprecenden Seitenlänen nict im leicen Verältnis zueinander steen. b) ja, da es sic um rectwinklie leicscenklie Dreiecke andelt. Sie stimmen in allen Winkeln überein und aben daer auc leice Länenverältnisse. c) nein, da die entsprecenden Seitenlänen nict im leicen Verältnis zueinander steen. d) ja mit Streckfaktor k =. e) ja mit Streckfaktor k = 3. f) nein, da die entsprecenden Seitenlänen nict im leicen Verältnis zueinander steen. 8

9 Aufabe Prüfe, ob ein Dreieck mit den aneebenen Winkeln zu einem Dreieck mit Winkeln von und 30 änlic ist. a) Ja, denn α = b) Nein, denn γ = 0 c) Ja, denn β = 30 Aufabe 3 a) In beiden Dreiecken sind die Winkel 30, 60 und 90. b) In beiden Dreiecken sind die Winkel 7, 7 und 36. Aufabe 4 a) Mittels Winkelsummen siet man, dass alle Dreiecke die leicen Winkel besitzen und daer änlic sind. b) BF = cm, F = 1,7 cm, G = cm, GD = cm. c) I : II : III : IV = 4 : 3 : 1,7 : 3,7 = 16 : 1 : 7 : 1 Aufabe Die Dreiecke AFD und ED stimmen in zwei Winkeln (jeweils Wecselwinkel an escnitten Parallelen) überein und sind daer änlic. Daer ist AD = D x x = AD D = konstant G F Aufabe 6 Da die Dreiecke AD, ED und AED in allen Winkeln übereinstimmen, sind sie änlic. Daer ilt x z = b a = 1 z = x und ebenso z = b a = 1 z =. Gleicsetzen eribt x = = x. Aufabe 7 Wenn man das Dreieck AB am Zentrum um den Faktor k = a' a = b' b streckt, erält man das Dreieck A B. Aufabe 8 Die Dreiecke ABD und AE stimmen in allen Winkeln übereil und sind daer änlic. Daer ilt b : c = c : b. Aufabe 9 a) Ja, denn die beiden Dreiecke stimmen in allen Winkeln überein. b) Nein, denn z.b. durc Eränzun zu einem Paralleloramm siet man, dass die beiden sic entsprecenden mittleren Winkel verscieden sind α > α. α α α 9

10 Aufabe 30 a) Ja, denn aus der anedeuteten Konstruktion siet man, dass es sic um einen Teil eines reelmäßien Secseckes andelt. Die Innenwinkel in beiden Vierecken sind also 90, 10, 90 und 60. Der Streckfaktor ist k = b) Ja, denn aus der anedeuteten Konstruktion siet man wieder, dass es sic um einen Teil zweier reelmäßie Secsecke andelt. Die Innenwinkel in beiden Vierecken sind also 90, 10, 90 und 60. Der Streckfaktor ist k = 1, 10