Vektorrechnung Raumgeometrie

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Vektorrechnung Raumgeometrie"

Transkript

1 Vektorrechnung Raumgeometrie Sofja Kowalewskaja (*1850, 1891) Hypatia of Alexandria (ca. *360, 415) Maria Gaetana Agnesi (*1718, 1799) Emmy Noether (* ) Émilie du Châtelet (*1706, 1749) Cathleen Morawetz (*1923) Frauen in der Mathematik: Frauen dürfen erst seit Mitte bis Ende 19. Jahrhundert ein Studium besuchen. Dennoch ist es Frauen seit der Antike immer wieder gelungen wichtige Beiträge zur Forschung zu leisten.

2 1. Repetition: Rechenoperationen mit Vektoren Addition und Subtraktion Definition Geometrische Interpretation a1 b1 a1+ b1 a+ b = a2 + b2 = a2 + b2 + a3 b3 a3 b3 a1 b1 a1 b1 a b = a2 b2 = a2 b2 a3 b3 a3 b3 Multiplikation mit einem Skalar Definition Geometrische Interpretation a1 k a1 k a= k a2 = k a2 mitk a3 k a3 Definition des Betrags a a = a= a = a + a + a a Länge des Vektors Skalarprodukt Definition Geometrische Interpretation a1 b1 a b= a2 b2 = a b + a b + a b a3 b Anwendungen Winkel bestimmen: cosϕ= a b a b Rechte Winkel ausmessen: a b = 0 a b falls a 0, b 0 Vektorrechnung: Raumgeometrie Seite 2 (November 11)

3 Vektorprodukt Definition Geometrische Interpretation a1 b1 a2b3 a3b2 a b = a2 b2 = a3b1 ab 1 3 a3 b3 ab 1 2 a2b1 Anwendung Flächen bestimmen: A = a b Lote konstruieren: a b 0 a bsenkrecht zuaundb; a, b und a b bilden ein Rechtssystem Parallelen ausmessen: a b = 0 a, b sind kollinear Spatprodukt Definition a,b, c = a b c ( ) ( ) Geometrische Interpretation Anwendung Volumina bestimmen: V = ( a, b, c ) Orientierung messen: ( a, b,c)> 0 a, b, c bilden ein Rechtssystem ( a, b,c)< 0 a, b, c bilden ein Linkssystem a, b,c = 0 a, b, c sind linear abhängig Ebenen ausmessen: ( ) Aufgaben Aufgabe 1: Gegeben sind die Vektoren a =, b =, c = Berechne auch den Betrag von d Berechne d= a+ 2b c. 2 Vektorrechnung: Raumgeometrie Seite 3 (November 11)

4 Aufgabe 2: Berechne den Zwischenwinkel der Vektoren a = und 3 = 4 12 b. Aufgabe 3: Der Vektor a = 7 y z Berechne y und z mithilfe des Skalarprodukts. steht normal (d.h. senkrecht) auf den Vektoren und Aufgabe 4: Berechne den Winkel zwischen dem Vektor a = und der xz-ebene. Aufgabe 5: Gegeben sind die Punkte A( 2 3 2) und B( 6 1 1). Für welche Punkte P der x-achse misst der Winkel APB 90 (Winkel bei P)? Aufgabe 6: Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks A(102)B( 240)C(82 1). Aufgabe 7: Diese Aufgabe hast du schon einmal mithilfe des Skalarprodukts gelöst. Löse sie noch einmal, nun mit dem Vektorprodukt: Der Vektor Vektoren und Berechne y und z. a = Aufgabe 8: Bestimme einen Vektor x so, dass er senkrecht zu den Vektoren 7 y z steht normal (d.h. senkrecht) auf den steht, dass er den Betrag 7 besitzt und dass u, v und x in dieser Reihenfolge ein Linkssystem bilden. Aufgabe 9: Ist das Skalarprodukt kommutativ? Ist das Vektorprodukt kommutativ? Begründe deine Antwort sowohl algebraisch, wie auch geometrisch. u = Aufgabe 10: Berechne das Spatprodukt der folgenden drei Vektoren. Sind die Vektoren voneinander linear abhängig? und v = a) a =, 4 = b, c = b) a =, 4 = 9 13 b, c = Aufgabe 11: Liegen die 4 Punkte A(0 2 4), B(1 0 5), C(2 2 4) und D(1 4 3) in einer Ebene? Aufgabe 12: Weshalb berechnet das Spatprodukt das Volumen eines Spates (Parallelepiped)? Aufgabe 13: Das Dreieck A(220) B(041) C(4 62) sei Grundfläche einer Pyramide ABCS. Der Punkt S liege auf der Geraden g, die senkrecht zur Grundfläche der Pyramide steht und durch den Schwerpunkt des Dreiecks ABC geht. Bestimme S so, dass das Pyramidenvolumen 27 beträgt. Vektorrechnung: Raumgeometrie Seite 4 (November 11)

5 2. Punkt, Gerade und Ebene Der Punkt Jeder Punkt P im Raum wird durch seine Koordinaten (p x, p y p z ) beschrieben. Der Vektor r vom Ursprung des Koordinatensystems O zum Punkt P beschreibt den Ort des Punkts und heisst Ortsvektor. y P r = OP = Aufgaben p x p y p z O r x Aufgabe 14: Gegeben sind die Punkte A(3 4 2), B( 3 5 8) und C(2 6 5). Ermittle a) die Koordinaten des Punktes D so, dass ABCD ein Parallelogramm ist, wobei gilt D C A B. b) die Koordinaten von P, sodass 7 AP = gilt. 6 8 c) die Koordinaten des Mittelpunktes von AB. d) den Zwischenwinkel der Vektoren AB und AC bzw. BC und BA. Aufgabe 15: Berechne die Koordinaten des Eckpunktes C eines Dreiecks, wenn das Folgende bekannt ist: Eckpunkte A(2 31) und B(6103) sowie der Schwerpunkt S(145). Aufgabe 16: Welche Punkte der y-achse haben vom Punkt A(1212 6) eine doppelt so grosse Entfernung wie vom Punkt B(6153)? Die Gerade Eine Gerade ist im zweidimensionalen Raum in der expliziten Koordinatenform gegeben durch y y = m x + q Δy Aufgabe 17: Gegeben ist die lineare Funktion y = 5 / 6 x q a) Wo schneidet die Funktion die y-achse? b) Wo schneidet der Funktionsgraph die x-achse? c) Liegt der Punkt P(60 67) auf dem Graph? d) Der Punkt P(66 y) liegt auf dem Graphen. Bestimme seine Koordinaten. e) Der Punkt P(x 86) liegt ebenfalls auf dem Graphen. Bestimme seine Koordinaten. Δx m= Δy Δx x Vektorrechnung: Raumgeometrie Seite 5 (November 11)

6 Aufgabe 18: Der Graph der linearen Funktion f hat die Steigung 2 und verläuft durch den Punkt P(2 6) Wie lautet die Funktionsgleichung? Aufgabe 19: Vom Graphen einer linearen Funktion kennt man zwei Punkte A und B. Wie lautet die Funktionsgleichung? a) A(0 3), B(1 5) b) A(0 3), B( 3 0) Aufgabe 20: Stelle die Gleichung 5x 6y + 96 = 0 so um, dass sie die Form y = erhält. Eine Gerade ist im zweidimensionalen Raum in der impliziten Koordinatenform gegeben durch ax + by + c = 0 Aufgabe 21: Liegen diese Punkte auf der Geraden g: 3x 2y 10 = 0? a) P(6 4) b) P(2 2) Aufgabe 22: Diese Punkte liegen auf der Geraden g: 8x 5y + 10 = 0. Ergänze die fehlende Koordinate! a) P(5 ) b) P( 2) Aufgabe 23: Der Ortsvektor eines Punktes P ist gegeben durch diesen Ausdruck: 4 2 OP = + t 3 1 Zeichne in dem nebenstehenden Koordinatensystem die Punkte P für folgende Werte von t ein: t = 0, 1, 2, 3, 1, 2, 0.5 Was fällt an diesen Punkten auf? Die Koordinatenform lässt sich nicht auf mehr Dimensionen erweitern. In der Ebene, aber auch im Raum können wir Geraden mit Vektoren in Parameterform schreiben: OP = OA + t AB t r = r + t a t 0 y A t a B Ein Ort OP auf der Geraden erhalten wir, indem wir uns r 0 r=r +t 0 a vom Ursprung des Koordinatensystems mit OA auf die Gerade begeben und uns anschliessend t Schritte von der Richtung und Länge AB entlang der Geraden bewegen. O x Die Parameterdarstellung wird in der Physik zum Beispiel zur Beschreibung der Bewegung eines Gegenstands benutzt. Zum Beispiel die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit: s = s + v t 0 wobei s der Ort zur Zeit t, s 0 der Ort zur Zeit 0 und v die Geschwindigkeit. Vektorrechnung: Raumgeometrie Seite 6 (November 11)

7 Aufgaben Aufgabe 24: Liegen die Punkte A(389) und B(1 10 8) auf der Geraden durch C(523) und D(456)? Die Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit der xy, der xz und der yz Ebene. Aufgabe 25: Bestimme eine Parametergleichung der Geraden g, die durch die Punkte A(583) und B(4 39) verläuft. Bestimme dann die Spurpunkte dieser Geraden. Aufgabe 26: Stelle im Dreieck ABC je eine Parametergleichung folgender Geraden auf. Es ist A( 3 2)B( 4 3)C( 3 5). a) Parallele zu BC durch A. b) Seitenhalbierende s c. c) Parallele zu AB durch den Schwerpunkt des Dreiecks. Aufgabe 27: Die Gerade g geht durch die Punkte A(0 0) und B(2 4), die Gerade h geht durch die Punkte C(4 5) und D(6 0). Unter welchem Winkel schneiden sich g und h? Aufgabe 28: Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(4 2 1) und B(8 2 3). Unter welchem Winkel schneidet sie die xy-ebene? Aufgabe 29: Gegeben seien zwei Geraden g und h im Raum durch eine Parameterdarstellung. Welche grundsätzlich verschiedenen gegenseitigen Lagen können diese zwei Geraden einnehmen? Überlege dir einen Algorithmus (= genau definierte Handlungsvorschrift zur Lösung eines Problems), mit dem entschieden werden kann, welche gegenseitige Lage g und h besitzen. Wende diesen Algorithmus auf die folgenden vier Beispiele an. a) g: s h: t b) g: s h: t c) g: s h: t d) g: s h: t Aufgabe 30: Zeichne im nebenstehenden Kasten ein Schema, das den Algorithmus zur Bestimmung der gegenseitigen Lage von zwei Geraden im Raum g: r = p0 + s a und h: r = q0 + t b darstellt. Vektorrechnung: Raumgeometrie Seite 7 (November 11)

8 Aufgabe 31: Ein Schiff startet in (4 2) und fährt mit konstanter Geschwindigkeit von 10 Knoten in Richtung einer Boje in (7 6). In welchem Punkt kommt das Schiff einem Felsen in (5 5) am nächsten? Wann erreicht es diesen Punkt? Wie weit ist dieser Punkt vom Felsen entfernt? Die Koordinaten sind in Seemeilen (1 Seemeile = 1852 m) und die Geschwindigkeit in Knoten (1 Knoten = 1 Seemeile pro Stunde) angegeben. Die Ebene Auch die Ebene lässt sich mit der Parameterdarstellung schreiben: r = r + s a+ t b s,t 0 z Aufgaben Aufgabe 32: Gegeben ist die Ebene E: r = x y = 1+ s6+ t2 z a) Welchen Punkt der Ebene erhält man für t = 5 x und s = 3? b) Liegen die Punkte A(11 3 1) bzw. B( ) in der Ebene? Aufgabe 33: Zeige, dass sich die Geraden g: r = t und h: r = t schneiden. Welche Ebene ist durch diese Geraden bestimmt? r 0 b a y Aufgabe 34: Bestimme einen Vektor, der senkrecht auf der Ebenen E: s + t steht. Satz: Im dreidimensionalen Raum lässt sich die Ebene in der impliziten Koordinatenform schreiben: a x + b y+ c z + d= 0 Aufgabe 35: Liegen die Punkte A(0 2 2) und B( ) in der Ebene E mit Gleichung 2x + 3y 3z + 1 = 0? Aufgabe 36: Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die durch die drei Punkte A(1 1 2), B( 2 0 3) und C(3 1 2) geht. Vektorrechnung: Raumgeometrie Seite 8 (November 11)

9 Aufgabe 37: Wir betrachten die Ebene E: x y 1 s 1 t 4 z = + +. a) Bestimme die Koordinatendarstellung der Ebene E. Du kannst die drei Komponenten der Vektoren x, y und z als drei Gleichungen betrachten. Löse dieses Gleichungssystem so auf, dass du die Parameter s und t eliminieren kannst. b) Berechne den Normalenvektor auf die Ebene E. c) Fällt dir was auf? Satz: Die Koeffizienten a, b und c in der Koordinatengleichung einer Ebene ax + by + cz + d = 0 stellen einen Normalenvektor n = a b c auf die Ebene dar. Satz: Den Normalenvektor n zur Ebene E: r = r0 + s a+ t b Vektorprodukt: n = a b finden wir mit dem Aufgabe 38: Bestimme die Koordinatengleichung der Ebene H, die durch den Punkt P(2 1 5) geht und zur Ebene E parallel ist. E: x y = 5+ s 2 + t0 z Aufgabe 39: Die Ebene E verlaufe durch die drei Punkte A( 2 2 4), B( 1 1 6) und C(1 3 5). Bestimme eine Koordinatengleichung derjenigen Ebene F, die durch den Punkt P(2 5 3) geht und die zur Ebene E parallel ist. Aufgabe 40: Bestimme den Durchstosspunkt der Geraden g durch die Punkte A( 1 0 4) und B(1 2 0) mit der Ebene E mit Gleichung x y + 2z 3 = 0. Aufgabe 41: Bestimme die Koordinatengleichung derjenigen Ebene E, die a) durch den Punkt P(2 3 1) geht und die zur Geraden g durch die Punkte A(6 4 0) und B( 2 8 8) senkrecht steht. b) durch die Punkte A( 1 2 0) und B(1 1 2) geht und zur Ebene F: x + 2y + 2z 4=0 senkrecht steht? Aufgabe 42: Welche räumlichen Lagen haben die folgenden Ebenen? Gehen die Ebenen durch den Nullpunkt? Sind die Ebenen parallel zu einer Hauptebene oder zu einer Achse des Koordinatensystems? a) E: 2x 4y + z = 0 b) F: x z = 0 c) G: y + 2z 6 = 0 d) H: z + 3 = 0 Vektorrechnung: Raumgeometrie Seite 9 (November 11)

10 Winkelberechnungen Aufgabe 43: Bestimme den Schnittwinkel der zwei Ebenen E: 2x 2y + 4z 6 = 0 und F: 3x y z = 0. Merke: Den Winkel zwischen zwei Ebenen kann man berechnen, indem man den Winkel... berechnet. Aufgabe 44: Berechne den Schnittwinkel von a) E: 2x + 3y + 4z 6 = 0 und F: 3x 2y z + 4 = 0 b) E: 3x + 4y + 7z = 0 und der xy-ebene. Aufgabe 45: Berechne den Schnittwinkel von g und E: E: 2x + 3y + 4z 6 = 0 g: x 2 2 y = 0 + t 5 z 3 1 Merke: Den Winkel zwischen einer Ebene und einer Geraden kann man berechnen, indem man den Winkel. berechnet. Aufgabe 46: Berechne den Schnittwinkel von g und E: E: 3x 4y + z 29 = 0 g: x 1 1 y = 5+ t 3 z 7 6 Schnittwinkel zwischen einer Ebene E 1 und einer zweiten Ebene E 2. Schnittwinkel zwischen einer Geraden g und einer Ebene E. Vektorrechnung: Raumgeometrie Seite 10 (November 11)

11 3. Abstandsprobleme Wir wollen den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden zeichnerisch bestimmen. Dazu konstruieren wir eine Senkrechte auf die Gerade. Nun schieben wir die Gerade, bis sie durch den Punkt geht. Der Abstand vom Punkt zur Geraden misst sich nun entlang der Senkrechten bis zum Schnittpunkt mit der Geraden. P g h P g h P g Um den Abstand von einem Punkt P von einer Ebene E zu bestimmen, gehen wir genauso vor. Wir suchen ein Lot (eine Senkrechte) auf die Ebene E. Nun legen wir dieses Lot so, dass es durch den Punkt P geht. Wir schneiden das Lot mit der Geraden g und finden den Punkt F. Der Abstand von P und F ist der Abstand des Punktes P von der Ebene E. Aufgabe 47: Gegeben ist die Ebene E: 2x y + 2z 9 = 0. Berechne den Abstand des Punktes P(6 0 12) von E sowie den Fusspunkt F des Lotes durch P auf E. Auch hier geht es genauso wie in der Konstruktion. Aufgabe 48: Gegeben seien die zwei Geraden h: t und g: r = t Zeige, dass g und h windschief sind. Berechne ihren Abstand. Aufgabe 49: Wir betrachten die Gerade g: 4x 3y 30 = 0 a) Stelle die Gerade g in der Form y = m x + q dar. b) Stelle die Gerade g in der Parameterform dar. c) Berechne den Abstand des Punktes P(9 2) von der Geraden g: 4x 3y 30 = 0. Aufgabe 50: Berechne die Länge der Höhe h a des Dreiecks A( 37), B( 5 7), C(72). Aufgabe 51: Bestimme die Koordinatengleichung derjenigen zu E: 2x + 2y + z 8 = 0 parallelen Ebenen F und G, die von E einen Abstand von 4 haben. Aufgabe 52: Welche beiden Geraden stehen zur Geraden g: 3x 4y 12 = 0 senkrecht und haben vom Punkt P(10) den Abstand 10? Vektorrechnung: Raumgeometrie Seite 11 (November 11)

12 4. Kreis und Kugel Kreisgleichung Definition: Ein Kreis mit dem Mittelpunkt M(uIv) und dem Radius r ist die Menge aller Punkte P in einer Ebene, für die gilt: MP = r, also r rm = r Mit r = x y und r M = u v ergibt sich die Gleichung eines Kreises in der Ebene: Satz: Die Gleichung eines Kreises k in der Ebene lautet k: (x u) 2 + (y v) 2 = r 2 mit dem Mittelpunkt M(u v) und dem Radius r. Speziell für einen Kreis mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung M(0 0): Satz: Die Gleichung eines Kreises um den Koordinatenursprung lautet: k: x 2 + y 2 = r 2 Beispiel: Der Kreis mit dem Mittelpunkt M( 3 5) und dem Radius 4 erfüllt die Bedingung 2 x 3 y 5 = 16 also (x + 3) 2 + (y 5) 2 = 16. Die letzte Gleichung lässt sich umformen zu x 2 + y 2 + 6x 10y + 18 = 0. An dieser Gleichung kann man aber den Mittelpunkt und den Radius nicht mehr sofort ablesen. Aufgaben Aufgabe 53: Gib die Gleichung des Kreises mit Radius r=5 um den Mittelpunkt M(6 3) an. Wo liegen die Punkte A(2 6) bzw. B(5 2) bezüglich des Kreises? Aufgabe 54: Wie ist D zu wählen, damit die Gerade mit der Gleichung 4x 3y + D = 0 a) zur Sekanten (schneidet den Kreis), b) zur Tangenten (berührt den Kreis) oder 2 c) zur Passanten (hat keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis) des Kreises r = 25 wird? Vektorrechnung: Raumgeometrie Seite 12 (November 11)

13 Kugelgleichung Satz: Analog zum Kreis erhält man für die Kugel mit dem Mittelpunkt M(u v w) und dem Radius r die Gleichung r r = r M oder K: (x u) 2 + (y v) 2 + (z w) 2 = r 2. Aufgaben Aufgabe 55: Wo liegen die Punkte A(5 3 1), B(2 1 2) und C( 4 3 7) bezüglich der Kugel k mit Gleichung x 2 + y 2 + z 2 4x + 6y 2z + 5 = 0? Um dies zu bestimmen, musst du die Gleichung zuerst in die Form (x u) 2 + (y v) 2 + (z w) 2 = r 2 bringen. Aufgabe 56: Bestimme die Schnittpunkte der Kugel mit Mittelpunkt M(000) und Radius r=11 mit der Geraden g, die durch A(0610) und B(269) verläuft. Aufgabe 57:Bestimme die Gleichung derjenigen Kugel, die durch die Punkte A(544) und B( 162) verläuft und deren Mittelpunkt sich auf der Geraden durch die Punkte P(511) und Q(37 9) befindet? Vektorrechnung: Raumgeometrie Seite 13 (November 11)

Analytische Geometrie II

Analytische Geometrie II Analytische Geometrie II Rainer Hauser März 212 1 Einleitung 1.1 Geradengleichungen in Parameterform Jede Gerade g in der Ebene oder im Raum lässt sich durch einen festen Punkt auf g, dessen Ortsvektor

Mehr

d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1

d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1 2008/2009 Das Wichtigste in Kürze Klasse 3 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Definiton (Lineare Gleichungssysteme: Lineare Gleichungssysteme löst man entweder mit dem Gauß-Algorithmus oder nach

Mehr

1 lineare Gleichungssysteme

1 lineare Gleichungssysteme Hinweise und Lösungen: http://mathemathemathe.de/lineare-algebra-grundlagen 1 lineare Gleichungssysteme Übung 1.1: Löse das lineare Gleichungssystem: I 3x + 3y + 7z = 13 II 1x 2y + 2, 5z = 1, 5 III 4x

Mehr

A Vektorrechnung. B Geraden und Ebenen

A Vektorrechnung. B Geraden und Ebenen A Vektorrechnung Seite 1 Lineare Gleichungssysteme... 4 2 Gauß-Algorithmus... 6 3 Vektoren... 10 4 Vektorberechnungen und Vektorlängen... 12 5 Linearkombination und Einheitsvektor... 16 6 Lineare Abhängigkeit

Mehr

E : y=0. g : x= ) +s ( 1 1. d = 17. Partnerquiz Punkte, Geraden und Ebenen im Raum Ausschneidebogen

E : y=0. g : x= ) +s ( 1 1. d = 17. Partnerquiz Punkte, Geraden und Ebenen im Raum Ausschneidebogen Partnerquiz Aufgabe A Partnerquiz Aufgabe B Gib eine Ebenengleichung in Parameterform für die xz-ebene an. Gib eine Ebenengleichung in Koordinatenform für die xz-ebene an. E : y= E : x=r +s Partnerquiz

Mehr

Zusammenfassung der Analytischen Geometrie

Zusammenfassung der Analytischen Geometrie Zusammenfassung der Analytischen Geometrie 1. Rechnen mit Vektoren (Addition, Subtraktion, S-Multiplikation, Linearkombinationen) 1. Gegeben sind die Punkte A(2-6 ) und B(-1 14-4), 4 4 sowie die Vektoren

Mehr

1.12 Einführung in die Vektorrechung

1.12 Einführung in die Vektorrechung . Einführung in die Vektorrechung Inhaltsverzeichnis Definition des Vektors Skalare Multiplikation und Kehrvektor 3 3 Addition und Subtraktion von Vektoren 3 3. Addition von zwei Vektoren..................................

Mehr

Grundwissen Abitur Geometrie 15. Juli 2012

Grundwissen Abitur Geometrie 15. Juli 2012 Grundwissen Abitur Geometrie 5. Juli 202. Erkläre die Begriffe (a) parallelgleiche Pfeile (b) Vektor (c) Repräsentant eines Vektors (d) Gegenvektor eines Vektors (e) Welcher geometrische Zusammenhang besteht

Mehr

Analytische Geometrie I

Analytische Geometrie I Analytische Geometrie I Rainer Hauser Januar 202 Einleitung. Geometrie und Algebra Geometrie und Algebra sind historisch zwei unabhängige Teilgebiete der Mathematik und werden bis heute von Laien weitgehend

Mehr

3.6 Einführung in die Vektorrechnung

3.6 Einführung in die Vektorrechnung 3.6 Einführung in die Vektorrechnung Inhaltsverzeichnis Definition des Vektors 2 2 Skalare Multiplikation und Kehrvektor 4 3 Addition und Subtraktion von Vektoren 5 3. Addition von zwei Vektoren..................................

Mehr

Kugel - Kugelgleichung, Lagebeziehungen

Kugel - Kugelgleichung, Lagebeziehungen . Kugelgleichung. Lage Punkt / Kugel 3. Lage Gerade / Kugel 3. Standardverfahren 3. Alternative Kugel - Kugelgleichung, Lagebeziehungen. Lage Ebene / Kugel 5. Lage Kugel / Kugel (Schnittkreis, Berührungspunkt).

Mehr

Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans

Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans josef.coenen@web.de Abitour Analytische Geometrie Leistungskurs Aufgaben 1. Welche Lagebeziehungen zwischen

Mehr

Geometrie. 1 Vektoren, Vektorielle analytische Geometrie der Ebene

Geometrie. 1 Vektoren, Vektorielle analytische Geometrie der Ebene Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 207. Vektoren, Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes 3. Anwendungen in der Geometrie, Lagebeziehungen

Mehr

Formelsammlung Analytische Geometrie

Formelsammlung Analytische Geometrie Formelsammlung Analytische Geometrie http://www.fersch.de Klemens Fersch 6. August 6 Inhaltsverzeichnis 6 Analytische Geometrie 6. Vektorrechung in der Ebene......................................... 6..

Mehr

1 Vektoren, Vektorielle analytische Geometrie der Ebene

1 Vektoren, Vektorielle analytische Geometrie der Ebene Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 208. Vektoren, Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes 3. Anwendungen in der Geometrie, Lagebeziehungen

Mehr

1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil

1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil 1 Vorlesungen: 4.10.005 und 31.10.005 Vektor Rechnung: 1.Teil Einige in der Physik auftretende Messgrößen sind durch eine einzige Zahl bestimmt: Temperatur T K Dichte kg/m 3 Leistung P Watt = J/s = kg

Mehr

Geometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt:

Geometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt: Geometrie 1. Vektoren Die Menge aller zueinander parallelen, gleich langen und gleich gerichteten Pfeile werden als Vektor bezeichnet. Jeder einzelne Pfeil heißt Repräsentant des Vektors. Bei Ortsvektoren:

Mehr

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter

Mehr

Aufgabe A7/08 Die Ebene geht durch die Punkte 1,5 0 0,!0 3 0 und " Untersuchen

Aufgabe A7/08 Die Ebene geht durch die Punkte 1,5 0 0,!0 3 0 und  Untersuchen Aufgabe A6/08 Gegeben sind die zwei parallelen Gerade und durch 2 3 1 6 : 9 4, : 2 8;, 4 1 5 2 Bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden. (Quelle Abitur BW 2008 Aufgabe 6) Aufgabe A7/08 Die Ebene geht

Mehr

1 Rund um die Kugel. a) Mathematische Beschreibung

1 Rund um die Kugel. a) Mathematische Beschreibung Rund um die Kugel a) Mathematische Beschreibung Die Punkte der Oberfläche haben vom Mittelpunkt M alle die Entfernung r. Oder, mit den Mitteln der analytischen Geometrie: Für alle Punkte der Kugeloberfläche

Mehr

Lage zweier Ebenen. Suche alle Punkte von E 1 die in E 2 enthalten sind. Setze also die Parameterform von E 1 in die Koordinatenform von E 2.

Lage zweier Ebenen. Suche alle Punkte von E 1 die in E 2 enthalten sind. Setze also die Parameterform von E 1 in die Koordinatenform von E 2. LAGE Lage zweier Ebenen Suche alle Punkte von E die in E 2 enthalten sind. Setze also die Parameterform von E in die Koordinatenform von E 2. B = E : X E 2 : x + x 2 + x 3 = Parameterform (PF) in Koordinatenform

Mehr

Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunktes dieser beiden Geraden und erklären Sie Ihre Vorgehensweise!

Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunktes dieser beiden Geraden und erklären Sie Ihre Vorgehensweise! Aufgabe 2 Lagebeziehungen von Geraden im Raum Gegeben sind zwei Geraden g und h in 3. =( 3 Die Gerade g ist durch eine Parameterdarstellung X 4 2 Die Gerade h verläuft durch die Punkte A = (0 8 0 und B

Mehr

Mathematik Analytische Geometrie

Mathematik Analytische Geometrie Mathematik Analytische Geometrie Grundlagen:. Das -Dimensionale kartesische Koordinatensystem: x x x. Vektoren und Ortsvektoren: a x = x x ist ein Vektor, der eine Verschiebung um x -Einheiten in x-richtung,

Mehr

Formelsammlung Analytische Geometrie

Formelsammlung Analytische Geometrie Formelsammlung http://www.fersch.de Klemens Fersch. September 8 Inhaltsverzeichnis 6 6. Vektorrechung in der Ebene.............................................. 6.. Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt.................................

Mehr

Lektionen zur Vektorrechnung

Lektionen zur Vektorrechnung Die Homepage von Joachim Mohr Start Mathematik Lektionen zur Vektorrechnung in Aufgaben Diese Datei kann auch als PDF-Datei heruntergeladen werden. Download... Es handelt sich um " Basisaufgaben " der

Mehr

Durch Eliminieren der Wurzel erhalten wir die bekannte Kreisgleichung:

Durch Eliminieren der Wurzel erhalten wir die bekannte Kreisgleichung: Fixieren wir ein Seil der Länge r an einem Punkt M, nehmen das lose Ende in die Hand und bewegen uns so um den Punkt M herum, dass das Seil stets gespannt bleibt, erhalten wir, wie in nebenstehender Abbildung

Mehr

r a t u Parametergleichung der Geraden durch den Punkt A mit dem Richtungsvektor u t R heisst Parameter

r a t u Parametergleichung der Geraden durch den Punkt A mit dem Richtungsvektor u t R heisst Parameter 8 3. Darstellung der Geraden im Raum 3.. Parametergleichung der Geraden Die naheliegende Vermutung, dass eine Gerade des Raumes durch eine Gleichung der Form ax + by + cz +d = 0 beschrieben werden kann

Mehr

entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =

entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x = Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.

Mehr

Geometrie Q11 und Q12

Geometrie Q11 und Q12 Skripten für die Oberstufe Geometrie Q und Q. E: x + 3x 4 = 0 A 3 H. Drothler 0 www.drothler.net Geometrie Oberstufe Seite Inhalt 0. Das räumliche Koordinatensystem... 0. Vektoren...3 03. Vektorketten...4

Mehr

Teil II. Geometrie 19

Teil II. Geometrie 19 Teil II. Geometrie 9 5. Dreidimensionales Koordinatensystem Im dreidimensionalen Koordinatensystem gibt es acht Oktanten, oben I bis VI und unten VI bis VIII. Die Koordinatenachsen,x 2 und stehen jeweils

Mehr

Vektorprodukt. Satz: Für a, b, c V 3 und λ IR gilt: = a b + a c (Linearität) (Linearität) b = λ

Vektorprodukt. Satz: Für a, b, c V 3 und λ IR gilt: = a b + a c (Linearität) (Linearität) b = λ Vektorprodukt Satz: Für a, b, c V 3 und λ IR gilt: 1 a b = b a (Anti-Kommutativität) ( ) 2 a b + c ( 3 a λ ) b = λ = a b + a c (Linearität) ( a ) b (Linearität) Satz: Die Koordinatendarstellung des Vektorprodukts

Mehr

3 Vektoren. 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum. Höhere Mathematik 60

3 Vektoren. 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum. Höhere Mathematik 60 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum 3 Vektoren 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum In der Ebene (mathematisch ist dies die Menge R 2 ) ist ein kartesisches Koordinatensystem festgelegt

Mehr

einführendes Beispiel: In der Skizze ist die durch die Punkte A(2, 4, 3) B(2, 6, 2) C(4, 4, 2) festgelegte Ebene ε dargestellt.

einführendes Beispiel: In der Skizze ist die durch die Punkte A(2, 4, 3) B(2, 6, 2) C(4, 4, 2) festgelegte Ebene ε dargestellt. 6 4. Darstellung der Ebene 4. Die Parametergleichung der Ebene einführendes Beispiel: In der Skizze ist die durch die Punkte A(2, 4, 3) B(2, 6, 2) C(4, 4, 2) festgelegte Ebene ε dargestellt. 0 2 r uuur

Mehr

Übungen 4 Gerade, Ebene - Kurze Aufgaben Ebene: Spurpunkte, Spurgerade, Achsenabschnittsform Gerade, Ebene U04 Übungen 4 - Seite 1 (von 5)

Übungen 4 Gerade, Ebene - Kurze Aufgaben Ebene: Spurpunkte, Spurgerade, Achsenabschnittsform Gerade, Ebene U04 Übungen 4 - Seite 1 (von 5) Übungen Gerade, Ebene - Kurze Aufgaben ) Gesucht ist Normalenform einer Ebene, die den Punkt P( ) enthält und auf der x- Achse senkrecht steht. ) Gegeben ist die Ebene E: x ( Gesucht ist der Winkel zwischen

Mehr

Rechnen mit Vektoren. 1. Vektoren im Koordinatensystem Freie Vektoren in der Ebene

Rechnen mit Vektoren. 1. Vektoren im Koordinatensystem Freie Vektoren in der Ebene Rechnen mit 1. im Koordinatensystem 1.1. Freie in der Ebene 1) Definition Ein Vektor... Zwei sind gleich, wenn... 2) Das ebene Koordinatensystem Wir legen den Koordinatenursprung fest, ferner zwei zueinander

Mehr

Abgleich mit dem Kerncurriculum 2016 für die gymnasiale Oberstufe Stoffverteilungsplan Mathematik Leistungskurs

Abgleich mit dem Kerncurriculum 2016 für die gymnasiale Oberstufe Stoffverteilungsplan Mathematik Leistungskurs Q2.1 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Einführung und Lösungsverfahren: Beispiele für LGS (auch über- und unterbestimmte), Darstellen von LGS mithilfe von Koeffizientenmatrizen, systematisches Lösen von

Mehr

Vektorgeometrie - Teil 1

Vektorgeometrie - Teil 1 Vektorgeometrie - Teil 1 MNprofil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 14. März 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung & die analytische Darstellung der

Mehr

Vorkurs Mathematik. Vektoren, lineare Gleichungssysteme und Matrizen

Vorkurs Mathematik. Vektoren, lineare Gleichungssysteme und Matrizen Dorfmeister, Boiger, Langwallner, Pfister, Schmid, Wurtz Vorkurs Mathematik TU München WS / Blatt Vektoren, lineare Gleichungssysteme und Matrizen. In einem kartesischen Koordinatensystem des R sei eine

Mehr

Klasse Schulaufgabe Mathematik (Thema: Raumgeometrie)

Klasse Schulaufgabe Mathematik (Thema: Raumgeometrie) Klasse 11 2. Schulaufgabe Mathematik (Thema: Raumgeometrie) Aufgabe 1 Gegeben sind die Punkte A ( 2 12 4 ); B ( 4 22 6 ); C ( 6 20 8 ); S ( 0 14 14 ) a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig

Mehr

Abgleich mit dem Kerncurriculum 2016 für die gymnasiale Oberstufe Stoffverteilungsplan Mathematik Grundkurs

Abgleich mit dem Kerncurriculum 2016 für die gymnasiale Oberstufe Stoffverteilungsplan Mathematik Grundkurs Lambacher Schweizer Q2.1 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Einführung und Lösungsverfahren: Beispiele für LGS (auch über- und unterbestimmte), Darstellen von LGS mithilfe von Koeffizientenmatrizen, systematisches

Mehr

Vektorrechnung Aufgabe aus Abiturprüfung Bayern GK

Vektorrechnung Aufgabe aus Abiturprüfung Bayern GK Vektorrechnung Aufgabe aus Abiturprüfung Bayern GK 1. In einem kartesischen Koordinatensystem sind der Punkt C(4 4, die Ebene E 1 : x 1 x +x 3 + = und die Gerade g: x = ( + λ( 1 gegeben. a Zeigen Sie,

Mehr

Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil) Lösung A6/08 Lösungslogik (einfach) Klausuraufschrieb (einfach)

Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil) Lösung A6/08 Lösungslogik (einfach) Klausuraufschrieb (einfach) Lösung A6/08 (einfach) Der Abstand zweier Geraden im Raum errechnet sich über Richtungsvektor der ersten Geraden, als Aufpunkt der ersten und als Aufpunkt der zweiten Geraden. (einfach) 3 12 1 297 1 5

Mehr

Übungsblatt

Übungsblatt Übungsblatt 6..7 ) Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Sätze durch Verwendung abstrakter Vektoren (ohne Bezug auf konkrete Komponenten), deren Addition bzw. Subtraktion und Multiplikation mit Skalaren:

Mehr

Übungsblatt Analytische Geometrie - Geraden und Ebenen - 6C /07

Übungsblatt Analytische Geometrie - Geraden und Ebenen - 6C /07 Übungsblatt Analytische Geometrie - Geraden und Ebenen - 6C - 6/7. Gegenseitige Lage von Geraden Gesucht ist die gegenseitige Lage der Geraden g durch die beiden Punkte A( ) und B( 5 9 ) und der Geraden

Mehr

Übungsserie 5 Die Gerade

Übungsserie 5 Die Gerade Kantonsschule Solothurn Übungen Vektorrechung RYS Übungsserie Die Gerade Bestimme eine Parametergleichung durch die wei Punkte A( -) und B( -) b) Liegen die Punkte P( -8) und Q( -) auf dieser Geraden?

Mehr

5. Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen. 5.1 Gegenseitige Lage zweier Geraden (siehe Kap. 3.2) 5.2: Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene

5. Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen. 5.1 Gegenseitige Lage zweier Geraden (siehe Kap. 3.2) 5.2: Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene 5 5. Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen 5. Gegenseitige Lage zweier Geraden (siehe Kap..) 5.: Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene Beispiel: : x + y + 4z - 4 = g = P(6, -, )Q(, 6, 4) geometrisch:

Mehr

Vektorgeometrie 2. Teil

Vektorgeometrie 2. Teil Vektorgeometrie 2. Teil WRProfil - Oberstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 7. Januar 2017 Überblick über die bisherigen Vektorgeometrie - Themen: 1. Einführung

Mehr

5.4 Vektorgeometrie. 1 Repetition der Vektorgeometrie I Freie Vektoren, Ortsvektoren Die skalare Multiplikation eines Vektors...

5.4 Vektorgeometrie. 1 Repetition der Vektorgeometrie I Freie Vektoren, Ortsvektoren Die skalare Multiplikation eines Vektors... 5.4 Vektorgeometrie Inhaltsverzeichnis Repetition der Vektorgeometrie I. Freie Vektoren, Ortsvektoren................................... Die skalare Multiplikation eines Vektors.............................3

Mehr

Aus folgt: 1; 3 Eingesetzt in : $$$$$ #! * 1 + ; # $$$$$$$ # $$$$$ 2 $$$$$! * 3 Der Bildpunkt hat die Koordinaten

Aus folgt: 1; 3 Eingesetzt in : $$$$$ #! * 1 + ; # $$$$$$$ # $$$$$ 2 $$$$$! * 3 Der Bildpunkt hat die Koordinaten Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil) ab Lösung A6/ Wir stellen die gegebene Normalengleichung von in die Koordinatengleichung um und bilden. Im Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei

Mehr

Aufgabe 4: Analytische Geometrie (WTR)

Aufgabe 4: Analytische Geometrie (WTR) Abitur Mathematik: Nordrhein-Westfalen 2013 Aufgabe 4 a) (1) SEITENLÄNGEN BERECHNEN Die Seitenlängen sind die Abstände der Eckpunkte voneinander:, 31 30 1 12 10 2 14 16 2 1 4 4 9 3, 31 32 1 12 11 1 14

Mehr

b 1 b 2 b 3 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

b 1 b 2 b 3 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 1. Rechnen mit Vektoren Skalarprodukt a b = a b cosα = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 b a 1. Betrag = Länge eines Vektors: a = a a = a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 2. Winkel zwischen 2 Vektoren:

Mehr

Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie 1

Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie 1 Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie. Bei einer geraden Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche von 00 cm beträgt die Seitenkante 3 cm. a) Welche Höhe hat die Pyramide? b) Wie groß

Mehr

Aufgabe A6/13. Aufgabe A7/13. Aufgabe A6/14

Aufgabe A6/13. Aufgabe A7/13. Aufgabe A6/14 Aufgabe A6/ Gegeben sind die Ebene 4 : Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil) ab und : 8. Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden. (Quelle Abitur BW Aufgabe 6) Aufgabe A7/ Gegeben sind

Mehr

1993 III Aufgabe. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Gerade

1993 III Aufgabe. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Gerade 993 III Aufgabe In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Gerade = g : X mit R sowie die beiden Punkte A( -) und C(- 2 ) gegeben. A und C bestimmen die Gerade h..a) Begründen Sie, dass der Mittelpunkt

Mehr

5. Geraden und Ebenen im Raum 5.1. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren

5. Geraden und Ebenen im Raum 5.1. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren 5 Geraden und Ebenen im Raum 5 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren Definition: Die Vektoren a,a,,a n heißen linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination

Mehr

Pflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg

Pflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg Pflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz wwwmathe-aufgabencom September 6 Abituraufgaben (Haupttermin) Aufgabe

Mehr

Übungsblatt 3 (Vektorgeometrie)

Übungsblatt 3 (Vektorgeometrie) Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW Hochschule für Technik Institut für Mathematik- und Naturwissenschaft Übungsblatt (Vektorgeometrie Roger Burkhardt 08 Mathematik. Aufgabe Gegeben seien die Vektoren

Mehr

n n x a 1 a 2 = 0 n 1 x 1 + n 2 x 2 + ( n 1 a 1 n 2 a 2 )

n n x a 1 a 2 = 0 n 1 x 1 + n 2 x 2 + ( n 1 a 1 n 2 a 2 ) IX. Normalformen ================================================================== 9.1 Die Normalenform einer Geradengleichung im 2-dimensionalen Punktraum ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Prüfungsteil B, Aufgabengruppe 1, Geometrie. Bayern Aufgabe 1. a b. Bundesabitur Mathematik: Musterlösung. Abitur Mathematik Bayern 2014

Prüfungsteil B, Aufgabengruppe 1, Geometrie. Bayern Aufgabe 1. a b. Bundesabitur Mathematik: Musterlösung. Abitur Mathematik Bayern 2014 Abitur Mathematik Bayern Prüfungsteil B; Aufgabengruppe : Bundesabitur Mathematik: Prüfungsteil B, Aufgabengruppe, Bayern Aufgabe a) SCHRITT: BERECHNUNG DER VEKTOREN AB UND AC Den Flächeninhalt eines Dreiecks

Mehr

03. Vektoren im R 2, R 3 und R n

03. Vektoren im R 2, R 3 und R n 03 Vektoren im R 2, R 3 und R n Unter Verwendung eines Koordinatensystems kann jedem Punkt der Ebene umkehrbar eindeutig ein Zahlenpaar (x, y) zugeordnet werden P (x, y) Man nennt x und y die kartesischen

Mehr

Geometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte

Geometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 206. Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes, Anwendungen in der Geometrie,

Mehr

Abitur 2017 Mathematik Geometrie VI

Abitur 2017 Mathematik Geometrie VI Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur 7 Mathematik Geometrie VI Gegeben sind die beiden bezüglich der x x 3 -Ebene symmetrisch liegenden Punkte A( 3 ) und B( 3 ) sowie der Punkt C( ). Teilaufgabe

Mehr

Analytische Geometrie des Raumes

Analytische Geometrie des Raumes Analytische Geometrie des Raumes Als Begründer der analytischen Geometrie gilt René Descartes (Discours de la méthode). Seine grundliegende Idee bestand darin, geometrische Gebilde (Gerade, Kreis, Ellipse

Mehr

03. Vektoren im R 2, R 3 und R n

03. Vektoren im R 2, R 3 und R n 03 Vektoren im R 2, R 3 und R n Unter Verwendung eines Koordinatensystems kann jedem Punkt der Ebene umkehrbar eindeutig ein Zahlenpaar (x, y) zugeordnet werden P (x, y) Man nennt x und y die kartesischen

Mehr

Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen

Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen. Gegeben sind die Ebene E : x + = und die Gerade g : x = +λ Lösung: (a) E : (a) Berechne die Koordinaten der Achsenpunkte A, A und A von E sowie der Durchstoßpunkte

Mehr

Bestimme ferner die Koordinaten des Bildpunktes von B bei der Spiegelung

Bestimme ferner die Koordinaten des Bildpunktes von B bei der Spiegelung Vektoren - Skalar- und Vektorprodukt ================================================================== 1. Gegeben sind die Punkte A 1 2 3 und B 3 4 1 bzgl. eines kartesischen Koordina- tensystems mit

Mehr

eingesetzt in die Ebenengleichung

eingesetzt in die Ebenengleichung 25 5. Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen 5.1 Gegenseitige Lage zweier Geraden (siehe Kap. 3.2) 5.2: Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene Beispiel: ε: 2x + 3y + 4z - 24 = 0 g = P(6, -2, 2)Q(0,

Mehr

Übung (5) 4x 2y +2u 3v =1 3x 2u + v =0 2x +3y u +2v =0

Übung (5) 4x 2y +2u 3v =1 3x 2u + v =0 2x +3y u +2v =0 Übung (5). Lösen Sie folgendes lineare Gleichungssystem - sagen Sie zuvor, wie die Lösungsmenge aussehen sollte bzw. geometrisch zu interpretieren wäre: 4x y +u 3v = 3x u + v =0 x +3y u +v =0. Sagen Sie

Mehr

Algebra 4.

Algebra 4. Algebra 4 www.schulmathe.npage.de Aufgaben In einem kartesischen ( Koordinatensystem ) sind die Punkte A( ), B( ), C(5 ), D( 4 0) und S gegeben. a) Die Punkte A, B und C liegen in einer Ebene E. Stellen

Mehr

Zweidimensionale Vektorrechnung:

Zweidimensionale Vektorrechnung: Zweidimensionale Vektorrechnung: Gib jeweils den Vektor AB und seine Länge an! (a A(, B(6 5 (b A(, B( 4 (c A(, B( 0 (d A(0 0, B(4 (e A(0, B( 0 (f A(, B( Gib jeweils die Summe a + b und die Differenz a

Mehr

13. Klasse TOP 10 Grundwissen 13 Geradengleichungen 01

13. Klasse TOP 10 Grundwissen 13 Geradengleichungen 01 . Klasse TOP 0 Grundwissen Geradengleichungen 0 Punkt-Richtungs-Form Geraden sind gegeben durch einen Aufpunkt A (mit Ortsvektor a) auf der Geraden und einen Richtungsvektor u: x = a + λ u, λ IR. (Interpretation:

Mehr

Merkhilfe Vektorrechnung

Merkhilfe Vektorrechnung Merkhilfe Vektorrechnung 1. Was ist ein Vektor? 2. Verbindungsvektor AB =? 3. Punkte A und B, Gerade g Punkte A, B und C, Ebene E 4. Mitte M der Strecke AB OM =? a 1 a = a 2, b 1 b = b 2 a 3 b 3 5. Betrag

Mehr

Wie lautet die Gleichung der Geraden, durch die beiden Punkte A(4/1) und B(-5/8)?

Wie lautet die Gleichung der Geraden, durch die beiden Punkte A(4/1) und B(-5/8)? Übungsbeispiel / 2 Gerade durch 2 Punkte Wie lautet die Gleichung der Geraden, durch die beiden Punkte A(4/) und B(-5/8)? Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung Übungsbeispiel 2 / 2 Gerade

Mehr

Koordinatengeometrie. Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x² 9.

Koordinatengeometrie. Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x² 9. Koordinatengeometrie Aufgabe 1 Gegeben sind der Punkt P (-1; 9) sowie die Geraden g: 3x y + 6 = 0 und h: x + 4y 8 = 0. a) Die Geraden g und h schneiden einander im Punkt S. Berechnen Sie die exakten Koordinaten

Mehr

Analytische Geometrie

Analytische Geometrie Analytische Geometrie 1 Punkte und Vektoren im Raum G 1.1 Gegeben sind die Vektoren in nebenstehender Abbildung. Drücke die Vektoren AC durch a und b AB durch z und w BC durch c und d DB durch b und u

Mehr

(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2

(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2 Vektoren Mit der Vektorrechnung werden oft geometrische Probleme gelöst. Wenn irgendwelche Aufgabenstellungen geometrisch darstellbar sind, z.b. Flugbahnen oder Abstandsberechnungen, dann können sie mit

Mehr

Analytische Geometrie mit dem Voyage 1

Analytische Geometrie mit dem Voyage 1 Analytische Geometrie mit dem Voyage. Vektoren Vektoren lassen sich definieren in eckigen Klammern. Setzt man ein Semikolon zwischen die einzelnen Komponenten, so ergibt sich ein Spaltenvektor. Ein Spaltenvektor

Mehr

Kapitel 17 Skalar- und Vektorprodukt

Kapitel 17 Skalar- und Vektorprodukt Kapitel 17 Skalar- und Vektorprodukt Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 22 Bisher hatten wir die Möglichkeit Vektoren des R n zu addieren und Vektoren mit rellen Zahlen zu multiplizieren. Man

Mehr

Beispiel mit Hinweisen 1 1/3 Dreieck

Beispiel mit Hinweisen 1 1/3 Dreieck Beispiel mit Hinweisen 1 1/3 Dreieck Zeige für das Dreieck ABC [ A(5/5), B(29/15), C(5/15) ] die Richtigkeit von folgender Behauptung: Die drei Verbindungsstrecken der Eckpunkte mit den Berührungspunkten

Mehr

Vektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64

Vektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64 1/64 VEKTORRECHNUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Hochschule Esslingen März 2011 2/64 Overview Vektoralgebra 1 Vektoralgebra 2 Was sind Vektoren? 3/64 Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen:

Mehr

Abitur 2013 Mathematik Geometrie V

Abitur 2013 Mathematik Geometrie V Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur 1 Mathematik Geometrie V Teilaufgabe b ( BE) Ein auf einer horizontalen Fläche stehendes Kunstwerk besitzt einen Grundkörper aus massiven Beton, der die

Mehr

Algebra Für welche reellen Zahlen m hat das folgende Gleichungssystem nur die triviale

Algebra Für welche reellen Zahlen m hat das folgende Gleichungssystem nur die triviale Algebra 1 www.schulmathe.npage.de Aufgaben 1. Für welche reellen Zahlen m hat das folgende Gleichungssystem nur die triviale Lösung? x + y + mz = 0 mx y + z = 0 x + y + z = 0. Welche Punkte P z der z-achse

Mehr

Abituraufgaben bis 2018 Baden-Württemberg. Geraden, Ebenen, Abstand

Abituraufgaben bis 2018 Baden-Württemberg. Geraden, Ebenen, Abstand Abituraufgaben bis 8 Baden-Württemberg Geraden, Ebenen, Abstand allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com August 8 Aufgabe : (Abiturprüfung 8) Gegeben sind die Ebenen E: xx x

Mehr

REPETTITIONSAUFGABEN VEKTORGEOMETRIE 4. KLASSE

REPETTITIONSAUFGABEN VEKTORGEOMETRIE 4. KLASSE REPETTITIONSAUFGABEN VEKTORGEOMETRIE 4 KLASSE Zur Ausgangslage: In der Vektorgeometrie weichen die Stoffpläne der einzelnen Luzerner Mittelschulen kapitelmässig voneinander ab Daher sind die Repetitionsaufgaben

Mehr

Mögliche Lösung. Ebenen im Haus

Mögliche Lösung. Ebenen im Haus Lineare Algebra und Analytische Geometrie XX Ebenen im Raum Ebenen im Haus Ermitteln Sie die Koordinaten aller bezeichneten Punkte. Erstellen Sie für die Dachflächen E und E jeweils eine Ebenengleichung

Mehr

Vektorgeometrie 2. Teil

Vektorgeometrie 2. Teil Vektorgeometrie 2. Teil MNProfil - Oberstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 13. Januar 2017 Überblick über die bisherigen Vektorgeometrie - Themen: 1. Einführung

Mehr

Inhaltsverzeichnis Band 2b Analytische Geometrie. 1. Vektoralgebra

Inhaltsverzeichnis Band 2b Analytische Geometrie. 1. Vektoralgebra Inhaltsverzeichnis Band b Analytische Geometrie Auf der beigefügten CD befinden sich zwei Verzeichnisse: Inhalt_Mathcad und Inhalt_pdf In diesen Verzeichnissen sind alle Mathcad-Dateien (***.xmcd) und

Mehr

Lösungen Übungsblatt 3 (Vektorgeometrie)

Lösungen Übungsblatt 3 (Vektorgeometrie) Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW Hochschule für Technik Institut für Mathematik- und Naturwissenschaft Lösungen Übungsblatt (Vektorgeometrie Roger Burkhardt Mathematik. Aufgabe Gegeben seien die Vektoren

Mehr

Abstände und Zwischenwinkel

Abstände und Zwischenwinkel Abstände und Zwischenwinkel Die folgenden Grundaufgaben wurden von Oliver Riesen, KS Zug, erstellt und von Stefan Gubser, KS Zug, überarbeitet. Aufgabe 1: Bestimme den Abstand der beiden Punkte P( 3 /

Mehr

Abitur 2016 Mathematik Geometrie V

Abitur 2016 Mathematik Geometrie V Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur Mathematik Geometrie V Betrachtet wird der abgebildete Würfel A B C D E F G H. Die Eckpunkte D, E, F und H dieses Würfels besitzen in einem kartesischen

Mehr

Mathematik 12. Jahrgangsstufe - Hausaufgaben

Mathematik 12. Jahrgangsstufe - Hausaufgaben Mathematik. Jahrgangsstufe - Hausaufgaben Inhaltsverzeichnis Raumgeometrie. Punkte einer Geraden............................... Punkte und Geraden................................ Geraden und Punkte................................5

Mehr

Geometrische Objekte im 3-dimensionalen affinen Raum oder,... wie nützlich ist ein zugehöriger Vektorraum der Verschiebungen

Geometrische Objekte im 3-dimensionalen affinen Raum oder,... wie nützlich ist ein zugehöriger Vektorraum der Verschiebungen Geometrische Objekte im -dimensionalen affinen Raum Bekanntlich versteht man unter geometrischen Objekten Punktmengen, auf die man die üblichen Mengenoperationen wie z.b.: Schnittmenge bilden: - aussagenlogisch:

Mehr

1.1. Geradengleichung aus Steigung und y-achsenabschnitt

1.1. Geradengleichung aus Steigung und y-achsenabschnitt Version vom 4. Januar 2007 Gleichungen von Geraden in der Ebene 1999 Peter Senn * 1.1. Geradengleichung aus Steigung und y-achsenabschnitt In dieser Form lautet die Gleichung der Geraden wie folgt: g:

Mehr

Abitur 2011 G8 Musterabitur Mathematik Geometrie VI

Abitur 2011 G8 Musterabitur Mathematik Geometrie VI Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur G8 Musterabitur Mathematik Geometrie VI In einem kartesischen Koordinatensystem ist ein Würfel W der Kantenlänge gegeben. Die Eckpunkte G ( ) und D ( ) legen

Mehr

Abituraufgaben Analytische Geometrie Wahlteil 2012 BW

Abituraufgaben Analytische Geometrie Wahlteil 2012 BW Aufgabe B1 Die Ebene enthält die Punkte 6 1, 2 3 und 3 2,5. a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von. Stellen Sie die Ebene in einem Koordinatensystem dar. Unter welchem Winkel schneidet die -Achse?

Mehr

7.6. Prüfungsaufgaben zu Normalenformen

7.6. Prüfungsaufgaben zu Normalenformen 7.6. Prüfungsaufgaben zu Normalenformen Aufgabe () Gegeben sind die Gerade g: x a + r u mit r R und die Ebene E: ( x p ) n. a) Welche geometrische Bedeutung haben die Vektoren a und u bzw. p und n? Veranschaulichen

Mehr