Vektorrechnung Raumgeometrie

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1 Vektorrechnung Raumgeometrie Sofja Kowalewskaja (*1850, 1891) Hypatia of Alexandria (ca. *360, 415) Maria Gaetana Agnesi (*1718, 1799) Emmy Noether (* ) Émilie du Châtelet (*1706, 1749) Cathleen Morawetz (*1923) Frauen in der Mathematik: Frauen dürfen erst seit Mitte bis Ende 19. Jahrhundert ein Studium besuchen. Dennoch ist es Frauen seit der Antike immer wieder gelungen wichtige Beiträge zur Forschung zu leisten.

2 1. Repetition: Rechenoperationen mit Vektoren Addition und Subtraktion Definition Geometrische Interpretation a1 b1 a1+ b1 a+ b = a2 + b2 = a2 + b2 + a3 b3 a3 b3 a1 b1 a1 b1 a b = a2 b2 = a2 b2 a3 b3 a3 b3 Multiplikation mit einem Skalar Definition Geometrische Interpretation a1 k a1 k a= k a2 = k a2 mitk a3 k a3 Definition des Betrags a a = a= a = a + a + a a Länge des Vektors Skalarprodukt Definition Geometrische Interpretation a1 b1 a b= a2 b2 = a b + a b + a b a3 b Anwendungen Winkel bestimmen: cosϕ= a b a b Rechte Winkel ausmessen: a b = 0 a b falls a 0, b 0 Vektorrechnung: Raumgeometrie Seite 2 (November 11)

3 Vektorprodukt Definition Geometrische Interpretation a1 b1 a2b3 a3b2 a b = a2 b2 = a3b1 ab 1 3 a3 b3 ab 1 2 a2b1 Anwendung Flächen bestimmen: A = a b Lote konstruieren: a b 0 a bsenkrecht zuaundb; a, b und a b bilden ein Rechtssystem Parallelen ausmessen: a b = 0 a, b sind kollinear Spatprodukt Definition a,b, c = a b c ( ) ( ) Geometrische Interpretation Anwendung Volumina bestimmen: V = ( a, b, c ) Orientierung messen: ( a, b,c)> 0 a, b, c bilden ein Rechtssystem ( a, b,c)< 0 a, b, c bilden ein Linkssystem a, b,c = 0 a, b, c sind linear abhängig Ebenen ausmessen: ( ) Aufgaben Aufgabe 1: Gegeben sind die Vektoren a =, b =, c = Berechne auch den Betrag von d Berechne d= a+ 2b c. 2 Vektorrechnung: Raumgeometrie Seite 3 (November 11)

4 Aufgabe 2: Berechne den Zwischenwinkel der Vektoren a = und 3 = 4 12 b. Aufgabe 3: Der Vektor a = 7 y z Berechne y und z mithilfe des Skalarprodukts. steht normal (d.h. senkrecht) auf den Vektoren und Aufgabe 4: Berechne den Winkel zwischen dem Vektor a = und der xz-ebene. Aufgabe 5: Gegeben sind die Punkte A( 2 3 2) und B( 6 1 1). Für welche Punkte P der x-achse misst der Winkel APB 90 (Winkel bei P)? Aufgabe 6: Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks A(102)B( 240)C(82 1). Aufgabe 7: Diese Aufgabe hast du schon einmal mithilfe des Skalarprodukts gelöst. Löse sie noch einmal, nun mit dem Vektorprodukt: Der Vektor Vektoren und Berechne y und z. a = Aufgabe 8: Bestimme einen Vektor x so, dass er senkrecht zu den Vektoren 7 y z steht normal (d.h. senkrecht) auf den steht, dass er den Betrag 7 besitzt und dass u, v und x in dieser Reihenfolge ein Linkssystem bilden. Aufgabe 9: Ist das Skalarprodukt kommutativ? Ist das Vektorprodukt kommutativ? Begründe deine Antwort sowohl algebraisch, wie auch geometrisch. u = Aufgabe 10: Berechne das Spatprodukt der folgenden drei Vektoren. Sind die Vektoren voneinander linear abhängig? und v = a) a =, 4 = b, c = b) a =, 4 = 9 13 b, c = Aufgabe 11: Liegen die 4 Punkte A(0 2 4), B(1 0 5), C(2 2 4) und D(1 4 3) in einer Ebene? Aufgabe 12: Weshalb berechnet das Spatprodukt das Volumen eines Spates (Parallelepiped)? Aufgabe 13: Das Dreieck A(220) B(041) C(4 62) sei Grundfläche einer Pyramide ABCS. Der Punkt S liege auf der Geraden g, die senkrecht zur Grundfläche der Pyramide steht und durch den Schwerpunkt des Dreiecks ABC geht. Bestimme S so, dass das Pyramidenvolumen 27 beträgt. Vektorrechnung: Raumgeometrie Seite 4 (November 11)

5 2. Punkt, Gerade und Ebene Der Punkt Jeder Punkt P im Raum wird durch seine Koordinaten (p x, p y p z ) beschrieben. Der Vektor r vom Ursprung des Koordinatensystems O zum Punkt P beschreibt den Ort des Punkts und heisst Ortsvektor. y P r = OP = Aufgaben p x p y p z O r x Aufgabe 14: Gegeben sind die Punkte A(3 4 2), B( 3 5 8) und C(2 6 5). Ermittle a) die Koordinaten des Punktes D so, dass ABCD ein Parallelogramm ist, wobei gilt D C A B. b) die Koordinaten von P, sodass 7 AP = gilt. 6 8 c) die Koordinaten des Mittelpunktes von AB. d) den Zwischenwinkel der Vektoren AB und AC bzw. BC und BA. Aufgabe 15: Berechne die Koordinaten des Eckpunktes C eines Dreiecks, wenn das Folgende bekannt ist: Eckpunkte A(2 31) und B(6103) sowie der Schwerpunkt S(145). Aufgabe 16: Welche Punkte der y-achse haben vom Punkt A(1212 6) eine doppelt so grosse Entfernung wie vom Punkt B(6153)? Die Gerade Eine Gerade ist im zweidimensionalen Raum in der expliziten Koordinatenform gegeben durch y y = m x + q Δy Aufgabe 17: Gegeben ist die lineare Funktion y = 5 / 6 x q a) Wo schneidet die Funktion die y-achse? b) Wo schneidet der Funktionsgraph die x-achse? c) Liegt der Punkt P(60 67) auf dem Graph? d) Der Punkt P(66 y) liegt auf dem Graphen. Bestimme seine Koordinaten. e) Der Punkt P(x 86) liegt ebenfalls auf dem Graphen. Bestimme seine Koordinaten. Δx m= Δy Δx x Vektorrechnung: Raumgeometrie Seite 5 (November 11)

6 Aufgabe 18: Der Graph der linearen Funktion f hat die Steigung 2 und verläuft durch den Punkt P(2 6) Wie lautet die Funktionsgleichung? Aufgabe 19: Vom Graphen einer linearen Funktion kennt man zwei Punkte A und B. Wie lautet die Funktionsgleichung? a) A(0 3), B(1 5) b) A(0 3), B( 3 0) Aufgabe 20: Stelle die Gleichung 5x 6y + 96 = 0 so um, dass sie die Form y = erhält. Eine Gerade ist im zweidimensionalen Raum in der impliziten Koordinatenform gegeben durch ax + by + c = 0 Aufgabe 21: Liegen diese Punkte auf der Geraden g: 3x 2y 10 = 0? a) P(6 4) b) P(2 2) Aufgabe 22: Diese Punkte liegen auf der Geraden g: 8x 5y + 10 = 0. Ergänze die fehlende Koordinate! a) P(5 ) b) P( 2) Aufgabe 23: Der Ortsvektor eines Punktes P ist gegeben durch diesen Ausdruck: 4 2 OP = + t 3 1 Zeichne in dem nebenstehenden Koordinatensystem die Punkte P für folgende Werte von t ein: t = 0, 1, 2, 3, 1, 2, 0.5 Was fällt an diesen Punkten auf? Die Koordinatenform lässt sich nicht auf mehr Dimensionen erweitern. In der Ebene, aber auch im Raum können wir Geraden mit Vektoren in Parameterform schreiben: OP = OA + t AB t r = r + t a t 0 y A t a B Ein Ort OP auf der Geraden erhalten wir, indem wir uns r 0 r=r +t 0 a vom Ursprung des Koordinatensystems mit OA auf die Gerade begeben und uns anschliessend t Schritte von der Richtung und Länge AB entlang der Geraden bewegen. O x Die Parameterdarstellung wird in der Physik zum Beispiel zur Beschreibung der Bewegung eines Gegenstands benutzt. Zum Beispiel die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit: s = s + v t 0 wobei s der Ort zur Zeit t, s 0 der Ort zur Zeit 0 und v die Geschwindigkeit. Vektorrechnung: Raumgeometrie Seite 6 (November 11)

7 Aufgaben Aufgabe 24: Liegen die Punkte A(389) und B(1 10 8) auf der Geraden durch C(523) und D(456)? Die Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit der xy, der xz und der yz Ebene. Aufgabe 25: Bestimme eine Parametergleichung der Geraden g, die durch die Punkte A(583) und B(4 39) verläuft. Bestimme dann die Spurpunkte dieser Geraden. Aufgabe 26: Stelle im Dreieck ABC je eine Parametergleichung folgender Geraden auf. Es ist A( 3 2)B( 4 3)C( 3 5). a) Parallele zu BC durch A. b) Seitenhalbierende s c. c) Parallele zu AB durch den Schwerpunkt des Dreiecks. Aufgabe 27: Die Gerade g geht durch die Punkte A(0 0) und B(2 4), die Gerade h geht durch die Punkte C(4 5) und D(6 0). Unter welchem Winkel schneiden sich g und h? Aufgabe 28: Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(4 2 1) und B(8 2 3). Unter welchem Winkel schneidet sie die xy-ebene? Aufgabe 29: Gegeben seien zwei Geraden g und h im Raum durch eine Parameterdarstellung. Welche grundsätzlich verschiedenen gegenseitigen Lagen können diese zwei Geraden einnehmen? Überlege dir einen Algorithmus (= genau definierte Handlungsvorschrift zur Lösung eines Problems), mit dem entschieden werden kann, welche gegenseitige Lage g und h besitzen. Wende diesen Algorithmus auf die folgenden vier Beispiele an. a) g: s h: t b) g: s h: t c) g: s h: t d) g: s h: t Aufgabe 30: Zeichne im nebenstehenden Kasten ein Schema, das den Algorithmus zur Bestimmung der gegenseitigen Lage von zwei Geraden im Raum g: r = p0 + s a und h: r = q0 + t b darstellt. Vektorrechnung: Raumgeometrie Seite 7 (November 11)

8 Aufgabe 31: Ein Schiff startet in (4 2) und fährt mit konstanter Geschwindigkeit von 10 Knoten in Richtung einer Boje in (7 6). In welchem Punkt kommt das Schiff einem Felsen in (5 5) am nächsten? Wann erreicht es diesen Punkt? Wie weit ist dieser Punkt vom Felsen entfernt? Die Koordinaten sind in Seemeilen (1 Seemeile = 1852 m) und die Geschwindigkeit in Knoten (1 Knoten = 1 Seemeile pro Stunde) angegeben. Die Ebene Auch die Ebene lässt sich mit der Parameterdarstellung schreiben: r = r + s a+ t b s,t 0 z Aufgaben Aufgabe 32: Gegeben ist die Ebene E: r = x y = 1+ s6+ t2 z a) Welchen Punkt der Ebene erhält man für t = 5 x und s = 3? b) Liegen die Punkte A(11 3 1) bzw. B( ) in der Ebene? Aufgabe 33: Zeige, dass sich die Geraden g: r = t und h: r = t schneiden. Welche Ebene ist durch diese Geraden bestimmt? r 0 b a y Aufgabe 34: Bestimme einen Vektor, der senkrecht auf der Ebenen E: s + t steht. Satz: Im dreidimensionalen Raum lässt sich die Ebene in der impliziten Koordinatenform schreiben: a x + b y+ c z + d= 0 Aufgabe 35: Liegen die Punkte A(0 2 2) und B( ) in der Ebene E mit Gleichung 2x + 3y 3z + 1 = 0? Aufgabe 36: Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die durch die drei Punkte A(1 1 2), B( 2 0 3) und C(3 1 2) geht. Vektorrechnung: Raumgeometrie Seite 8 (November 11)

9 Aufgabe 37: Wir betrachten die Ebene E: x y 1 s 1 t 4 z = + +. a) Bestimme die Koordinatendarstellung der Ebene E. Du kannst die drei Komponenten der Vektoren x, y und z als drei Gleichungen betrachten. Löse dieses Gleichungssystem so auf, dass du die Parameter s und t eliminieren kannst. b) Berechne den Normalenvektor auf die Ebene E. c) Fällt dir was auf? Satz: Die Koeffizienten a, b und c in der Koordinatengleichung einer Ebene ax + by + cz + d = 0 stellen einen Normalenvektor n = a b c auf die Ebene dar. Satz: Den Normalenvektor n zur Ebene E: r = r0 + s a+ t b Vektorprodukt: n = a b finden wir mit dem Aufgabe 38: Bestimme die Koordinatengleichung der Ebene H, die durch den Punkt P(2 1 5) geht und zur Ebene E parallel ist. E: x y = 5+ s 2 + t0 z Aufgabe 39: Die Ebene E verlaufe durch die drei Punkte A( 2 2 4), B( 1 1 6) und C(1 3 5). Bestimme eine Koordinatengleichung derjenigen Ebene F, die durch den Punkt P(2 5 3) geht und die zur Ebene E parallel ist. Aufgabe 40: Bestimme den Durchstosspunkt der Geraden g durch die Punkte A( 1 0 4) und B(1 2 0) mit der Ebene E mit Gleichung x y + 2z 3 = 0. Aufgabe 41: Bestimme die Koordinatengleichung derjenigen Ebene E, die a) durch den Punkt P(2 3 1) geht und die zur Geraden g durch die Punkte A(6 4 0) und B( 2 8 8) senkrecht steht. b) durch die Punkte A( 1 2 0) und B(1 1 2) geht und zur Ebene F: x + 2y + 2z 4=0 senkrecht steht? Aufgabe 42: Welche räumlichen Lagen haben die folgenden Ebenen? Gehen die Ebenen durch den Nullpunkt? Sind die Ebenen parallel zu einer Hauptebene oder zu einer Achse des Koordinatensystems? a) E: 2x 4y + z = 0 b) F: x z = 0 c) G: y + 2z 6 = 0 d) H: z + 3 = 0 Vektorrechnung: Raumgeometrie Seite 9 (November 11)

10 Winkelberechnungen Aufgabe 43: Bestimme den Schnittwinkel der zwei Ebenen E: 2x 2y + 4z 6 = 0 und F: 3x y z = 0. Merke: Den Winkel zwischen zwei Ebenen kann man berechnen, indem man den Winkel... berechnet. Aufgabe 44: Berechne den Schnittwinkel von a) E: 2x + 3y + 4z 6 = 0 und F: 3x 2y z + 4 = 0 b) E: 3x + 4y + 7z = 0 und der xy-ebene. Aufgabe 45: Berechne den Schnittwinkel von g und E: E: 2x + 3y + 4z 6 = 0 g: x 2 2 y = 0 + t 5 z 3 1 Merke: Den Winkel zwischen einer Ebene und einer Geraden kann man berechnen, indem man den Winkel. berechnet. Aufgabe 46: Berechne den Schnittwinkel von g und E: E: 3x 4y + z 29 = 0 g: x 1 1 y = 5+ t 3 z 7 6 Schnittwinkel zwischen einer Ebene E 1 und einer zweiten Ebene E 2. Schnittwinkel zwischen einer Geraden g und einer Ebene E. Vektorrechnung: Raumgeometrie Seite 10 (November 11)

11 3. Abstandsprobleme Wir wollen den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden zeichnerisch bestimmen. Dazu konstruieren wir eine Senkrechte auf die Gerade. Nun schieben wir die Gerade, bis sie durch den Punkt geht. Der Abstand vom Punkt zur Geraden misst sich nun entlang der Senkrechten bis zum Schnittpunkt mit der Geraden. P g h P g h P g Um den Abstand von einem Punkt P von einer Ebene E zu bestimmen, gehen wir genauso vor. Wir suchen ein Lot (eine Senkrechte) auf die Ebene E. Nun legen wir dieses Lot so, dass es durch den Punkt P geht. Wir schneiden das Lot mit der Geraden g und finden den Punkt F. Der Abstand von P und F ist der Abstand des Punktes P von der Ebene E. Aufgabe 47: Gegeben ist die Ebene E: 2x y + 2z 9 = 0. Berechne den Abstand des Punktes P(6 0 12) von E sowie den Fusspunkt F des Lotes durch P auf E. Auch hier geht es genauso wie in der Konstruktion. Aufgabe 48: Gegeben seien die zwei Geraden h: t und g: r = t Zeige, dass g und h windschief sind. Berechne ihren Abstand. Aufgabe 49: Wir betrachten die Gerade g: 4x 3y 30 = 0 a) Stelle die Gerade g in der Form y = m x + q dar. b) Stelle die Gerade g in der Parameterform dar. c) Berechne den Abstand des Punktes P(9 2) von der Geraden g: 4x 3y 30 = 0. Aufgabe 50: Berechne die Länge der Höhe h a des Dreiecks A( 37), B( 5 7), C(72). Aufgabe 51: Bestimme die Koordinatengleichung derjenigen zu E: 2x + 2y + z 8 = 0 parallelen Ebenen F und G, die von E einen Abstand von 4 haben. Aufgabe 52: Welche beiden Geraden stehen zur Geraden g: 3x 4y 12 = 0 senkrecht und haben vom Punkt P(10) den Abstand 10? Vektorrechnung: Raumgeometrie Seite 11 (November 11)

12 4. Kreis und Kugel Kreisgleichung Definition: Ein Kreis mit dem Mittelpunkt M(uIv) und dem Radius r ist die Menge aller Punkte P in einer Ebene, für die gilt: MP = r, also r rm = r Mit r = x y und r M = u v ergibt sich die Gleichung eines Kreises in der Ebene: Satz: Die Gleichung eines Kreises k in der Ebene lautet k: (x u) 2 + (y v) 2 = r 2 mit dem Mittelpunkt M(u v) und dem Radius r. Speziell für einen Kreis mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung M(0 0): Satz: Die Gleichung eines Kreises um den Koordinatenursprung lautet: k: x 2 + y 2 = r 2 Beispiel: Der Kreis mit dem Mittelpunkt M( 3 5) und dem Radius 4 erfüllt die Bedingung 2 x 3 y 5 = 16 also (x + 3) 2 + (y 5) 2 = 16. Die letzte Gleichung lässt sich umformen zu x 2 + y 2 + 6x 10y + 18 = 0. An dieser Gleichung kann man aber den Mittelpunkt und den Radius nicht mehr sofort ablesen. Aufgaben Aufgabe 53: Gib die Gleichung des Kreises mit Radius r=5 um den Mittelpunkt M(6 3) an. Wo liegen die Punkte A(2 6) bzw. B(5 2) bezüglich des Kreises? Aufgabe 54: Wie ist D zu wählen, damit die Gerade mit der Gleichung 4x 3y + D = 0 a) zur Sekanten (schneidet den Kreis), b) zur Tangenten (berührt den Kreis) oder 2 c) zur Passanten (hat keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis) des Kreises r = 25 wird? Vektorrechnung: Raumgeometrie Seite 12 (November 11)

13 Kugelgleichung Satz: Analog zum Kreis erhält man für die Kugel mit dem Mittelpunkt M(u v w) und dem Radius r die Gleichung r r = r M oder K: (x u) 2 + (y v) 2 + (z w) 2 = r 2. Aufgaben Aufgabe 55: Wo liegen die Punkte A(5 3 1), B(2 1 2) und C( 4 3 7) bezüglich der Kugel k mit Gleichung x 2 + y 2 + z 2 4x + 6y 2z + 5 = 0? Um dies zu bestimmen, musst du die Gleichung zuerst in die Form (x u) 2 + (y v) 2 + (z w) 2 = r 2 bringen. Aufgabe 56: Bestimme die Schnittpunkte der Kugel mit Mittelpunkt M(000) und Radius r=11 mit der Geraden g, die durch A(0610) und B(269) verläuft. Aufgabe 57:Bestimme die Gleichung derjenigen Kugel, die durch die Punkte A(544) und B( 162) verläuft und deren Mittelpunkt sich auf der Geraden durch die Punkte P(511) und Q(37 9) befindet? Vektorrechnung: Raumgeometrie Seite 13 (November 11)

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