Geometrie. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard

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1 GRUNDWISSEN MATHEMATIK Geometrie Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing J O H A N N E S - N E P O M U K - G Y M N A S I U M

2 Körper Körper sind räumliche Gebilde. (3 Dimensionen) Sie lassen sich anhand von Schrägbildern oder Netzen darstellen. Würfel 6 gleiche quadratische Seiten Quader Gegenüberliegende Rechtecke sind gleich. Prisma Gleiche eckige Grund- und Deckfläche. Pyramide Eckige Grundfläche und Spitze Zylinder Gleiche kreisförmige Grund- und Deckfläche Seite von 30

3 Kegel Kreisförmige Grundfläche und Spitze Kugel Alle Punkte der Oberfläche sind vom Mittelpunkt gleich weit entfernt. Geometrische Grundbegriffe Strecke [AB] ist die Menge aller Punkte zwischen A und B einschließlich A und B. Länge der Strecke AB ist die Entfernung von A nach B. Abstand eines Punktes P von einer Geraden g ist die Länge der senkrechten Verbindungsstrecke von P zu g: d(p;g) A B Halbgerade [AB Gerade AB A A B B Seite 3 von 30

4 zueinander senkrecht: Zeichnen der Lotgerade durch S zu CD: zueinander parallel: Zeichnen der Parallelen durch P zu [AB]: Rechts: Zeichnen der Parallelen zu g durch einen weit entfernten Punkt A (Parallelverschiebung) Seite 4 von 30

5 Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind; es entsteht, wenn sich zwei Parallelenpaare kreuzen. Parallelogramm Rechteck (Parallelogramm mit vier rechten Winkeln) Quadrat (Rechteck mit vier gleich langen Seiten) Raute (Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten) Kreis: Alle Punkte der Kreislinie haben vom Mittelpunkt die gleiche Entfernung (Radius r) k(m;r) M x Seite 5 von 30

6 Winkel Dreht man die Halbgerade g (Schenkel) um den Anfangspunkt S (Scheitel) gegen den Uhrzeigersinn (Linksdrehung) bis zur Halbgeraden h (Schenkel), so entsteht der Winkel zwischen g und h. B h S A g Bezeichnungen: (g, h) oder ASB oder mit gr. Buchstaben: α, β, γ, δ, ε, φ Winkelarten: Gradzahl Bezeichnung 0 < < 90 spitzer Winkel = 90 rechter Winkel 90 < < 80 stumpfer Winkel = 80 gestreckter Winkel 80 < < 360 überstumpfer Winkel = 360 Vollwinkel Seite 6 von 30

7 Achsensymmetrie Zueinander symmetrische Punkte bilden eine Strecke, die von der Symmetrieachse senkrecht halbiert wird. C C. A A B B Symmetrieachse Figuren, die man durch Falten (entlang der Symmetrieachse) aufeinander legen kann heißen achsensymmetrisch. Seite 7 von 30

8 Rechnen mit Größen Eine Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Längen: Umrechnungszahl ist 0. (Ausnahme km = 000m) mm cm dm m km Massen: Umrechnungszahl ist immer 000. mg g kg t Zeit: s min h Umrechnungszahl ist 60. Größen können auch in gemischten Einheiten (kg30g) oder in Kommazahlen (3,5m oder auch 3:0,5h) angegeben werden. Rechenregeln: Es können nur Größen derselben Einheit addiert bzw. subtrahiert werden. cm + 3,m = cm + 30cm = 33cm = 3,3m Der Quotient zweier gleichartiger Größen ergibt eine (An-)zahl. 5kg : 3kg = 5 Eine Größe wird mit/durch eine/r Zahl multipliziert/dividiert, indem man die Maßzahl mit/durch die/der Zahl multipliziert/dividiert und die Einheit beibehält. 3h0min 4 =00min 4 = 800min = 3h0min Seite 8 von 30

9 Maßstab :000 bedeutet, dass Längen auf der Karte in Wirklichkeit 000mal größer sind oder, dass Längen in Wirklichkeit auf einer Karte 000mal kleiner zu sehen sind. Flächeneinheiten Flächen: Umrechnungszahl ist immer 00. mm cm dm m a ha km m = ha 34 a 56 m m cm 34 mm = 000,34 cm Rechteck: Quadrat: U = ( l + b ) U Q = 4a A = l b A Q = a² Oberflächeninhalte Quader: O = ( l b + l h + b h ) ) O = 6s Würfel: (bei Kantenlänge s) Seite 9 von 30

10 . Grundwissen Mathematik Flächen- und Rauminhalt Parallelogramm: AP aha b h b ; Der Abstand zweier paralleler Seiten heißt Höhe. d.. h a c h b.. a b Dreieck C A D a h a bh b c h ; c A b. h b a. h a h c. c B Dreiecke mit gleicher Grundlinie und Höhe haben denselben Flächeninhalt Trapez. c A (a c) h T m h ; d a h. m b Seite 0 von 30

11 Volumeneinheiten: mm 3 cm 3 dm 3 m 3 Umrechnungszahl 000 bzw. Komma verschiebt sich um 3 Stellen l = dm 3 Bsp: cm 3 = 3,456 dm 3 = 3 dm cm 3 m 3 dm 3 34 cm 3 = cm 3 =,00034 m 3 Volumen des Quaders h V Q = l b h = G h b l l = Länge, b = Breite, h = Höhe, G = l b Grundfläche Volumen des Würfels V w = s 3 s = Seitenlänge s Seite von 30

12 Symmetrische Figuren Achsensymmetrie Abbildungsvorschrift der Achsenspiegelung: Bei gegebener Achse a wird jedem Punkt P der Ebene ein Bildpunkt P auf folgende Weise zugeordnet: Falls P a, liegt P so, dass [PP ] von der Achse a senkrecht halbiert wird. Falls P a ist, gilt P = P (Fixpunkt) Die Spiegelachse und alle senkrecht zu ihr verlaufenden Geraden sind Fixgeraden. Eine Figur, die bei einer Achsenspiegelung wieder auf sich abgebildet wird, heißt achsensymmetrisch. Punktsymmetrie A B=B C a A C Abbildungsvorschrift der Punktspiegelung: Bei gegebenem Zentrum Z wird jedem Punkt P der Ebene ein Bildpunkt P so zugeordnet: Für P Z liegt P so, dass P PZ A B C Z B A und PZ = P'Z ( so auch Konstruktion) Für P = Z ist P = Z (Fixpunkt). C Seite von 30

13 Alle Geraden durch Z sind Fixgeraden. Eine Figur, die bei einer Punktspiegelung (80 -Drehung um ein Symmetriezentrum) wieder auf sich abgebildet wird, heißt punktsymmetrisch. Besondere Vierecke Parallelogramm Ein Viereck, bei dem je zwei Gegenseiten parallel sind, heißt Parallelogramm. Jede der folgenden Aussagen ist gleichwertig: Das Parallelogramm ist punktsymmetrisch. Im Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig. Sonderfälle: Die Raute ist ein Parallelogramm mit 4 gleich langen Seiten (zweifach diagonalsymmetrisch). Das Rechteck ist ein Parallelogramm mit 4 gleich großen Winkeln (zweifach mittensymmetrisch). Das Quadrat ist ein Parallelogramm mit 4 gleich langen Seiten und 4 gleich großen Winkeln (jeweils zweifach diagonal- und mittensymmetrisch). Trapez Ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel sind, heißt Trapez. Seite 3 von 30

14 Ein einfach mittensymmetrisches Trapez heißt auch gleichschenkliges Trapez. Drachenviereck Ein Viereck heißt Drachenviereck, wenn es eine Symmetrieachse durch zwei Gegenecken hat (einfach diagonalsymmetrisch). Sätze über Winkel Geradenkreuzung: Zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden, nennt man eine Geradenkreuzung. Nebeneinander liegende Winkel heißen Nebenwinkel, sie ergeben zusammen stets Gegenüberliegende Winkel heißen Scheitelwinkel. Sie sind gleich groß. Doppelkreuzung: Die Winkelpaare und, und, und sowie und heißen Stufenwinkel (F-Winkel). und, und, und sowie und heißen Wechselwinkel (Z- Winkel). und, sowie und heißen Nachbarwinkel g h Seite 4 von 30

15 Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn die Geraden g und h parallel sind; dann ergänzen sich auch Nachbarwinkel zu 80 Innenwinkel bei Dreiecken und Vierecken: Die Summe der Innenwinkel ergibt im Dreieck 80, in jedem Viereck 360. Die Winkelsumme im n-eck beträgt (n - ) 80 Besondere Dreiecke Das gleichschenklige Dreieck Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten (Schenkel) heißt gleichschenklig. Die dritte Seite heißt Basis. Jede der folgenden Aussagen ist gleichwertig: Das Dreieck ist gleichschenklig. Das Dreieck ist achsensymmetrisch. Das Dreieck besitzt zwei gleich große Winkel. Basis Das gleichseitige Dreieck Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten heißt gleichseitig. Seine Innenwinkel betragen jeweils Seite 5 von 30

16 Das rechtwinklige Dreieck Ein Dreieck ABC hat genau dann bei C einen rechten Winkel, wenn C auf dem Halbkreis über [AB] liegt. (Thaleskreis) Die Schenkel des rechten Winkels sind die Katheten, die Gegenseite des rechten Winkels ist die Hypotenuse (längste Seite). Besondere Linien im Dreieck Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zu den Dreiecksseiten (kann innerhalb, außerhalb des Dreiecks oder auf einer Seite liegen). A C B In jedem Dreieck schneiden sich die Win- Winkelhalbierenden in genau einem Punkt, dem Inkreismittelpunkt. C Seite 6 von 30 A B

17 Im Dreieck schneiden sich die Höhen in genau einem Punkt. Im Dreieck schneiden sich die Seitenhalbierenden im sogenannten Schwerpunkt. Kongruenz Figuren, die sich beim Aufeinanderlegen decken, heißen deckungsgleich oder kongruent. Sind zwei Figuren F und G kongruent, so schreibt man kurz: F G. In kongruenten Figuren sind einander entsprechende Winkel gleich groß und einander entsprechende Seiten gleich lang. Seite 7 von 30

18 Kongruenzsätze für Dreiecke SSS: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen Seiten übereinstimmen. SWS: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem Zwischenwinkel übereinstimmen. WSW Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und SWW: zwei gleichliegenden Winkeln übereinstimmen. SsW: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen. Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln: In jedem Dreieck liegt der längsten Seite der größte Winkel gegenüber. Jede Seite ist kleiner als die Summe der anderen Dreiecksseiten. Konstruktionen Symmetriepunkt. Kreise um A und B (beliebig auf a) mit Radien AP und BP. P ist zweiter Schnittpunkt der beiden Kreise Seite 8 von 30

19 Mittelsenkrechte (Symmetrieachse bzw. damit Symmetriezentrum zu A,B). Kreis um A und B mit gleichem Radius r. Gerade durch die Schnittpunkte ist die Mittelsenkrechte von [AB] A B Winkelhalbierende. Kreis um S mit beliebigem Radius r schneidet die beiden Schenkel des Winkels in G und H. Mittelsenkrechte zu [GH] ist die Winkelhalbierende S H w G Lot errichten (Pg). Kreis um P schneidet die Gerade g in A und B.. Mittelsenkrechte der Strecke [AB] ist das gesuchte Lot A P g B Lot fällen (Pg). Spiegle P an der Achse g.. Gerade PP ist das gesuchte Lot. Seite 9 von 30

20 Strahlensatz Sich schneidende Geraden werden von Parallelen geschnitten: V-Figur Z A A B B g g über dieschenkel : ZA : A B ZA : A B über die Parallelen : ZA : ZB A A : B B «Baum zu Stab, wie Baumschatten zu Stabschatten» A X-Figur B g A Z B Je zwei Abschnitte auf g verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf g. Die Abschnitte auf den Parallelen verhalten sich wie ihre Abstände zum Geradenschnittpunkt Z. g Seite 0 von 30

21 Ähnlichkeit Ähnliche Figuren Zwei Figuren F und F heißen ähnlich (F ~ F ), wenn sie formgleich sind, d.h. die eine ein maßstabsund winkeltreues Abbild der anderen ist (Maßstab Ähnlichkeitsfaktor). Ähnliche Dreiecke Eigenschaften: Wenn zwei Dreiecke ähnlich sind, sind entsprechende Winkel und entsprechende Seitenverhältnisse gleich groß. Ähnlichkeitssätze (analog zu den Kongruenzsätzen): Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn zwei Winkel des einen mit zwei Winkeln des andern übereinstimmen. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis ihrer Seiten übereinstimmen. Zueinander kongruente Figuren sind auch ähnlich, mit Ähnlichkeitsfaktor gleich. Seite von 30

22 Das rechtwinklige Dreieck Die Satzgruppe des Pythagoras C b h a A q c p B Hypotenusensatz (Satz des Pythagoras): In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Hypotenusenquadrat flächengleich der Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate. (Die Umkehrung des Satzes gilt auch!) Höhensatz: a b c In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten. h p q Seite von 30

23 Kathetensätze: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist jedes Kathetenquadrat flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und dem der Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt. a c p bzw. b cq Merkenswerte Anwendungen: Diagonale im Quadrat: Höhe im gleichseitigen Dreieck: Raumdiagonale im Quader: Trigonometrie (0 < α < 90 ) Sinus: Gegenkathete von sin Hypotenuse Kosinus: Ankathete von cos Hypotenuse Seite 3 von 30

24 Tangens: Gegenkathete von tan Ankathete von sin(90 ) cos cos(90 ) sin sin tan cos sin cos Schreibweise: sin : sin sin 0 3 cos 3 0 tan nicht definiert Seite 4 von 30

25 Raumgeometrie Cavalierisches Prinzip Stehen zwei Körper gleicher Höhe und gleichen Grundflächeninhalts auf einer Ebene E und werden sie von jeder Parallelebene in inhaltsgleichen Flächen geschnitten, haben sie das gleiche Volumen. Pyramide Spitze S Seitenkante Seitenfläche (Dreieck) Grundfläche G (Vieleck hier Sechseck) Höhe h: Lot von der Spitze auf die Grundebene. Mantelfläche: Summe aller Seitenflächen Volumen: V G h 3 Tetraeder: dreiseitige Pyramide mit gleich langen Kanten. Seite 5 von 30

26 Neigungswinkel β einer Geraden gegenüber einer Ebene (hier Seitenkante s und Grundflächen-ebene) Neigungswinkel α einer Ebene gegenüber einer Ebene (hier Seitenflächen- und Grundflächen-ebene) Prisma Volumen V G h Oberfläche: O M G Zylinder Volumen V G h r h Mantelfläche: M u Kreis h r h Oberfläche: O M G rh r Seite 6 von 30

27 Kegel Volumen: V 3 G h 3 r h s Netze r Die Mantelfläche ist ein Kreissektor mit dem Radius s (Mantellinie) und der Bogenlänge r Mantelfläche M rs. Oberfläche: O M G rs r Pyramidennetz Prismanetz Seite 7 von 30

28 Die Kreiszahl π Kreisteile Bogenlänge: Sektorfläche: b u r ASek AKreis r br Bogenmaß Das Bogenmaß x ist das zu gehörende Verhältnis Bogenlänge, also die Zahl x. Radius 80 Gradmaß Bogenmaß x Merke: x x, also Kugel V r und O 4r π Seite 8 von 30

29 -sin sin sin Grundwissen Mathematik Trigonometrie Einheitskreis - -sin tan -cos cos Die Sinus- und Kosinuswerte der Winkel (80 ), (80 ), (360 ) sind betragsgleich. Für die Vorzeichen gilt: Sinus Kosinus - negative Winkel (im Uhrzeigersinn) sin( ) sin, cos( ) cos, tan( ) tan sin si n ( ) 45 und cos 0,3 07,5 und 360 5, 5 sin 50 = sin (80-50 ) = sin 30 = 0,5 cos α = sin (90 - α) Seite 9 von 30

30 Sinus- und Kosinussatz Im Dreieck ist das Verhältnis zweier Seiten gleich dem Verhältnis der Sinuswerte der Gegenwinkel. a sin b sin a sin c sin b sin c sin In jedem Dreieck gilt : c a b abcos a b c bccos b a c ac cos (Der Satz des Pythagoras ist davon ein Sonderfall, 90 ) Seite 30 von 30