PS1. Schwingungen I Version vom 12. April 2016

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1 Schwingungen I Version vom 1. April 016

2 Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Grundlagen 1.1 Begrie Schwingungen Freie gedämpfte harmonische Schwingung Drehpendel 5.1 Grundlagen Begrie Grundlagen zum Drehpendel Aufgaben Versuchsaufbau und Durchführung Gekoppelte Pendel Grundlagen Begrie Gekoppelte Schwingungen Aufgaben Versuchsaufbau und Durchführung Dopplerverschiebung einer bewegten Schallquelle Grundlagen Begrie Dopplereekt Aufgaben Versuchsaufbau und Durchführung

3 Inhaltsverzeichnis Lehr/Lernziele Schwingungen besser verstehen. Erlernen des Umganges mit der mathematischen Beschreibung für Schwingungen und Wellen. Eigenschaften schwingender Systeme verstehen, interpretieren und erklären können. Messtechniken für zeitlich periodische Vorgänge kennen lernen und üben. Mit Überlagerungsphänomenen (Schwebung) bei Schwingungen experimentieren (gekoppelte Pendel). Erzwungene Schwingungen verstehen und analysieren

4 1 Allgemeine Grundlagen 1 Allgemeine Grundlagen 1.1 Begrie Pendel, harmonische Schwingung, Amplitude, Kreisfrequenz, Phase, Schwingungsgleichungen, Eigenfrequenz, Überlagerung harmonischer Schwingungen, Schwebung 1. Schwingungen Abbildung 1: Funktionsgraph einer harmonischen Schwingung Als Schwingung bezeichnet man eine zeitlich periodische Veränderung eines physikalischen Zustandes. Es gilt also f(t+t ) = f(t), wobei T die Periodendauer oder Schwingungsdauer ist. Folgt die zeitlich periodische Veränderung einer Sinus- oder Cosinusfunktion, so nennt man sie eine harmonische Schwingung. Abbildung 1 zeigt den Funktionsgraphen einer solchen Schwingung. f(t) = A cos(ωt + ϕ) (1) Formelzeichen Einheit Bezeichnung A Amplitude ω s 1 Kreisfrequenz ϕ (rad) Phasenkonstante Das Argument der Winkelfunktion ωt + ϕ wird auch als Phase bezeichnet 1. Die Phase 1 Anmerkung: der Winkel ist eigentlich eine dimensionslose Gröÿe. Die Einheiten rad und dienen nur - -

5 1 Allgemeine Grundlagen Abbildung : Schema eines Federpendels c nach Sexl, Physik, 1994 bestimmt den momentanen Schwingungszustand. Die Phasenkonstante ϕ beschreibt den Schwingungszustand zum Anfangszeitpunkt t = 0. Wie man sich ausgehend von Abbildung 1 vorstellen kann, verschiebt die Phasenkonstante eine Schwingungsfunktion entlang der t-achse. Sie hat keine Auswirkung auf die Amplitude oder die Frequenz. Als Beispiel einer harmonischen Schwingung der Mechanik kann man sich die periodische Bewegung eines Körpers der Masse m unter dem Einuss einer Feder vorstellen: Die Feder übt auf die Masse eine, der Auslenkung x proportionale rücktreibende Kraft (od. Rückstellkraft) F = D x aus. Diese Kraft ist gemäÿ dem. Newton'schen Axiom Ursache einer Beschleunigung F = m a = D x. Der Zusammenhang ist in Abb. illustriert. Wirken auf dieses System keine weiteren Kräfte, so spricht man von einer freien Schwingung. 1.3 Freie gedämpfte harmonische Schwingung Abbildung 3: Federpendel der Klarheit, z.b. bei der Angabe von konkreten Winkeln (vgl. ϕ = 11.5 rad und ϕ = 11.5 ), sind aber keine Einheiten im physikalischen Sinn

6 1 Allgemeine Grundlagen Die Dierentialgleichung einer freien gedämpften harmonischen Schwingung lautet für mechanisches Pendel (z.b. Federpendel): m ẍ + k ẋ + D x = 0 () Der erste Term in Gleichung ist die Trägheitskraft, der zweite die Reibungskraft und der dritte die Rückstellkraft. Mit dem Lösungsansatz x = x 0 sin ωt (3) ergibt sich für den ungedämpften Oszillator (k = 0) die Eigenfrequenz D ω 0 = m. (4) Für die gedämpfte Schwingung (k > 0) ndet man eine Verstimmung zu kleinerer Frequenz: der Oszillator schwingt mit der (Kreis-)Frequenz ω = ω0 δ (5) und die Lösung lautet: wobei δ = k/m gesetzt wurde. x(t) = x 0 e δt cos ωt, (6) Formelzeichen x 0 m k δ Bezeichnung Amplitude Masse Reibungszahl Dämpfungskonstante Man sieht an Gleichung 6, dass die Amplitude nach jeder Periode um einen konstanten Faktor reduziert ist: x(0) x(t ) = x(t ) x(t ) =... = x(nt ) x((n + 1)T ) = eδt. (7) Daraus erhält man das logarithmische Dämpfungsdekrement Λ: x(nt ) Λ = ln x((n + 1)T ) = δt (8) Ist die Dämpfung sehr groÿ, so kann es sein, dass keine Schwingung mehr zustande kommt, denn für δ > ω 0 wird ω imaginär. Wir unterscheiden daher drei Fälle: - 4 -

7 Drehpendel Abbildung 4: links: Schwingfall, mitte: aperiodischer Grenzfall; rechts: Kriechfall; c nach Stöcker, DeskTop Physik, 1998 δ < ω0 δ = ω0 δ > ω0 Schwingfall aperiodischer Grenzfall Kriechfall Lesen Sie dazu die Grundlagenvertiefung und sehen Sie sich das Applet des Federpendels auf der elearning Seite von PS1 an. Drehpendel.1 Grundlagen.1.1 Begrie Erzwungene Schwingung, Resonanz, Dämpfung, Resonanzkatastrophe, Halbwertsbreite.1. Grundlagen zum Drehpendel Wirkt auf das System eines Oszillators eine periodische äuÿere Kraft, so ist die Bewegungsgleichung inhomogen, Formel () muss erweitert werden

8 Drehpendel Das System schwingt nun mit der gleichen Frequenz ω wie die äuÿere Kraft jedoch mit einer Phasenverschiebung ϕ. Die Berechnung der Phasenverschiebung und der Amplitude A in Abhängigkeit von der erzwungenen Frequenz ω lässt sich sehr anschaulich in der komplexen Ebene durchführen : x = A e i(ωt+ϕ) mit tan ϕ = kω m(ω ω 0) = δω ω ω 0 (9) Es ergibt sich eine Resonanzkurve der Form: A = F 0 m (ω 0 ω ) + k ω (10) wie in der Abbildung 5 dargestellt. Abbildung 5: Links: Resonanzkurve einer erzwungenen Schwingung für verschiedene Dämpfungen δ i. Rechts: die zugehörigen Phasenverschiebungen. Für den halben Maximalwert der Resonanzkurve A max/ beträgt die Breite der Kurve für kleine δ gerade ω = δ. (= Halbwertsbreite). Im Experiment messen Sie jedoch nicht A, sondern A. Daher wird die Breite der Resonanzkurve bei A max / bestimmt. Als wichtige Gröÿe wird der Gütefaktor Q deniert: Q = ω 0 /δ = ω 0 / ω (11) Er ist ein Maÿ für den Energieverlust eines schwingenden Systems Q = π mittlere Gesamtenergie Energieverlust in einer Periode (1) Für gute Oszillatoren mit scharfer Resonanz gilt Q >> 1. Siehe Feynman, Vorlesungen über Physik, Band 1-6 -

9 Drehpendel. Aufgaben Für zwei Dämpfungen (erfragen Sie die Stromwerte für den Elektromagneten beim Betreuer/der Betreuerin!) sind folgende Aufgaben zu erfüllen: 1. Bestimmen Sie die Schwingungskreisfrequenz ω des Pendels.. Bestimmen Sie die Dämpfungskonstante δ aus der Abnahme der Schwingungsamplitude als Funktion der Zeit. 3. Berechnen Sie die Eigenfrequenz ω 0 des Pendels. 4. Nehmen Sie die Amplitudenresonanzkurve für einen Frequenzbereich der Erregung von Hz auf. 5. Bestimmen Sie die Dämpfungskonstante δ aus der Halbwertsbreite der Resonanzkurve und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem von Aufgabe. 6. Bestimmen sie Q für beide Dämpfungen und vergleichen sie die Werte..3 Versuchsaufbau und Durchführung Der Oszillator ist eine Kupferscheibe, die unter der Wirkung einer Spiralfeder Drehschwingungen ausführt. Sie kann von einem Motor mit Exzenter zu erzwungenen Schwingungen angeregt werden, siehe Abbildung 6. Die Schwingungen der Scheibe werden von einem Elektromagneten nach dem Prinzip der Wirbelstrombremse gedämpft. Die Stärke der Bremse wird über einen Regelwiderstand eingestellt. Abbildung 6: Messaufbau zur Untersuchung des Drehpendels

10 3 Gekoppelte Pendel Aufgaben 1 und können Sie sehr einfach mittels einer freien gedämpften Schwingung lösen (Drehpendel ohne Motor). Lenken Sie das Pendel aus und messen Sie die Dauer mehrerer Schwingungen sowie die zugehörigen Amplitudenwerte. Arbeiten Sie dazu zu zweit, um genauere Ergebnisse zu erzielen. Aus einer linearen Regression der logarithmierten Amplitudenwerte gegen die Zeit erhalten Sie δ. Benutzen Sie für Aufgabe 4 den Motor, um eine gedämpfte erzwungene Schwingung zu erhalten. Nehmen Sie für Frequenzen aus einem Intervall 0.4 Hz bis 0.7 Hz die Amplituden auf. Daraus können sie grasch die Resonanzkurve bestimmen und aus dieser den Wert von δ. Die Erregerfrequenz des Motors messen Sie mit dem optischen Zähler und der schwarzweiÿen Scheibe. Achten Sie auf einen möglichen Oset des Drehpendels (Verschiebung des Nullpunktes in Ruhelage). Aus den Ergebnissen aus den Aufgaben 1 und Aufgaben (bzw. 4) können Sie nun Q berechnen. Literatur Wagner, Reischl, Steiner Einführung in die Physik Feynman Vorlesungen über Physik, Band 1 Walcher Praktikum der Physik Gerthsen Physik Stöcker Desk Top Physik 3 Gekoppelte Pendel 3.1 Grundlagen Begrie Frequenz, Schwebung, Kopplung, Richtmoment, Trägheitsmoment, gleichsinnige und gegensinnige Schwingung, Überlagerung von Schwingungen, Fourrierspektrum 3.1. Gekoppelte Schwingungen Eine Art gegenseitig erzwungener Schwingungen ndet man auch bei gekoppelten Schwingungssystemen, die periodisch ihre Schwingungsenergie austauschen. Im Fall der gekoppelten Pendel hängt die rücktreibende Kraft auÿer von der Schwerkraft auch vom Kopp

11 3 Gekoppelte Pendel lungsgrad K (vom Kopplungsgewicht G und der Kopplungslänge l bestimmt) ab. Abbildung 7: Skizze gekoppelter Pendel. Die Bewegung der beiden Pendel wird durch zwei gekoppelte Dierentialgleichungen beschrieben, wie in der Grundlagenvertiefung dargestellt. Ihre Lösung führt zu den Eigenschwingungen ω 0 und ω 1 des Systems: D D + D ω 0 = ω 1 = (13) J J Dabei sind J das Trägheitsmoment, D das Richtmoment aufgrund der Schwerkraft und D Richtmoment aufgrund der Kopplung. Je nach Wahl der Anfangsbedingungen treten drei Sonderfälle auf, die auch die physikalische Bedeutung der Eigenfrequenzen erklären. 1. Gleichsinnige Schwingung Beide Pendel werden gleichzeitig, in die gleiche Richtung angestoÿen und schwingen dann unabhängig von der Stärke der Kopplung mit der Frequenz ω 0. Ψ 1 (0) = Ψ (0) = Ψ 0 Ψ 1 (t) = Ψ (t) = Ψ 0 cos ω 0 t ω gl = ω 0 (14). Gegensinnige Schwingung Beide Pendel werden gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung angestoÿen. Sie schwingen - 9 -

12 3 Gekoppelte Pendel mit einer vom Kopplungsgrad abhängigen, höheren Frequenz ω 1. Ψ 1 (0) = Ψ (0) = Ψ 0 Ψ 1 (t) = Ψ 0 cos(ω 1 t) (15) Ψ (t) = Ψ 0 cos(ω 1 t) = Ψ 0 cos(ω 1 t π) ω geg = ω 1 3. Schwebungsfall Wird nur ein Pendel angestoÿen, während das zweite in Ruhe ist, so erhält man eine Schwebung. Ψ 1 (t) = +Ψ 0 cos( ω 1 ω 0 Ψ (t) = Ψ 0 sin( ω 1 ω 0 ω S = ω 1 ω 0 Ψ 1 (0) = Ψ 0 Ψ (0) = 0 t) cos( ω 1 + ω 0 t) t) sin( ω 1 + ω 0 t) (16) ω = ω 1 + ω 0 Abbildung 8: Skizze gekoppelter Pendel. Das Pendel schwingt mit der Kreisfrequenz ω, und die Amplitude nimmt langsam ab, bis das erste Pendel vollständig ruht und die gesamte Energie auf das zweite Pendel über

13 3 Gekoppelte Pendel gegangen ist. Die Schwebungsdauer T S zwischen zwei Stillständen ist T S = π/ω S. Als Kopplungsgrad K deniert man das relative Richtmoment K = D D + D = ω 1 ω 0 ω 1 + ω 0 = ω S ω ω S + ω (17) Lesen Sie dazu die Grundlagenvertiefung und sehen sie sich die zugehörigen Applets auf der elearning Seite von PS1 an. Sehen sie sich auch die Videos der gekoppelten Pendel an. 3. Aufgaben 1. Erfragen Sie zwei verschiedene Gewichte G und eine Kopplungslänge l vom Betreuer/von der Betreuerin.. Untersuchen Sie für jedes Gewicht die gleichsinnige und gegensinnige Schwingung sowie den Schwebungsfall. 3. Berechnen Sie den Kopplungsgrad K aus den Eigenfrequenzen sowie aus den Frequenzen der Schwebung. 4. Vergleichen und diskutieren Sie die Ergebnisse für die gewonnenen Kopplungsgrade. 3.3 Versuchsaufbau und Durchführung Es steht zur Messung ein gekoppeltes Pendel sowie ein Satz Kopplungsgewichte zur Verfügung. Ein Bild der Anordnung nden sie in Abbildung

14 3 Gekoppelte Pendel Abbildung 9: Gekoppeltes Pendel mit Angabe der wesentlichen physikalischen Gröÿen. Messen Sie genau L und l und wiegen sie die verwendeten Kopplungsgewichte. Machen Sie für jede Kopplung K (Kopplungsgewicht) eine Messserie für die Schwingungsfälle 1 3. Bestimmen Sie aus den gemessenen Schwingungsdauern die entsprechenden Frequenzen. Berechnen sie dann aus den beiden Teilen von Formel (17) jeweils K. Vergleichen Sie die Ergebnisse. Achten Sie beim Anstoÿen der Pendel im gegen- bzw. gleichsinnigen Fall auf kleine, aber gleiche Auslenkung und im Schwebungsfall darauf, dass Ψ (0) = 0. Literatur Walcher, Praktikum der Physik Gerthsen Physik - 1 -

15 4 Dopplerverschiebung einer bewegten Schallquelle 4 Dopplerverschiebung einer bewegten Schallquelle 4.1 Grundlagen Begrie Dopplereekt, Relativgeschwindigkeit, Schall, Schallgeschwindigkeit 4.1. Dopplereekt Der Dopplereekt wurde nach dem österreichischen Physiker und Mathematiker Christian Doppler benannt. Der akustische Dopplereekt entsteht, wenn sich eine Schallquelle und ein Empfänger relativ zu einander in einem Medium bewegen. Man muss dabei unterscheiden, ob sich die Schallquelle, der Beobachter, oder beide relativ zum Medium (der ruhenden Luft) bewegen. Benutzt man zwei Lautsprecher mit der selben Frequenz ν 0, wobei einer davon bewegt ist, so überlagern sich die unverschobene und dopplerverschobene Frequenz zu einer Schwebung. Lesen Sie dazu die Grundlagenvertiefung und vergleichen Sie die Fälle für ruhende(n) und bewegte(n) Schallquelle (Empfänger). 4. Aufgaben 1. Bestimmen Sie die Grundfrequenz ν 0 genau.. Bestimmen Sie anschlieÿend für jeweils 5 Wagengeschwindigkeiten +v bzw. v (1 6 cm s 1 ) die Schwebungsdauern T S. 3. Benutzen Sie die Schwebungsdauern T S und Ihr Wissen aus Gekoppelte Pendel um die Schallgeschwindigkeit in Luft zu bestimmen

16 4 Dopplerverschiebung einer bewegten Schallquelle 4.3 Versuchsaufbau und Durchführung Von einem ruhenden und einem mit der Geschwindigkeit v auf einem Wagen langsam und gleichförmig bewegten Lautsprecher werden sinusförmige Schallwellen der gleichen Frequenz und Amplitude ausgesandt. Abbildung 10: Skizze des Aufbaus zur Messung des Dopplereektes. Ein Mikrofon empfängt nun sowohl die Schwingung der ruhenden Quelle mit der Frequenz ν 0 als auch die Schwingung der bewegten Quelle mit der scheinbar veränderten Frequenz ν ν = ν 0 (1 + v c ) (18) Dabei ist c die zu bestimmende Schallgeschwindigkeit in Luft 3. Vorbereitungen für die Messung: Stellen Sie die Lautsprecherfrequenz ν 0 am Funktionsgenerator (siehe Abb. 10) bei ca. 0 khz ein (jenseits der Hörschwelle). Dazu muss der Drehknopf für die Wellenform auf Sinusförmig stehen, die beiden Drehknöpfe AC und DC bleiben in mittiger Stellung. Die beiden Drehknöpfe für die Frequenz (unter dem Drehknopf für die Wellenform) ergeben multipliziert mit einander die gewünschte Frequenz. Der Ausgang des Frequenzgenerators muss mit dem Eingang des Verstärkers verbunden werden. 3 Wie aus dem Skript zur Grundlagenvertiefung ersichtlich, handelt es sich um die Formel für einen bewegten Beobachter und eine ruhende Schallquelle. Der Versuchsaufbau beinhaltet aber genau das Gegenteil. Formel (18) wird hier für kleine v als Näherung für die richtige Formel verwendet, um die Auswertung zu vereinfachen!

17 4 Dopplerverschiebung einer bewegten Schallquelle Die Einstellungen des Verstärkers sind: schwache Verstärkung am linken Drehknopf (mit dem Lauter/Leiser-Symbol), 1-facher Verstärkungsfaktor (mittlerer Drehknopf), kein Oset (grünes Lämpchen über dem Oset-Drehknopf ganz rechts muss leuchten). wird die Verstärkung zu groÿ gewählt, verzerrt das sinusförmige Signal zu stark! Der Anschluss der Lautsprecher erfolgt seriell vom Ausgang des Verstärkers (Buchsen ganz rechts). Bestimmen Sie ν 0 genau mit Hilfe des Frequenzzählers, siehe Abbildung 10. Geschwindigkeitsmessung: Messen Sie die Geschwindigkeit der Quelle mittels der Lichtschranke. Dazu stellen Sie am Steuergerät für die Geschwindigkeitsmessung mit der Taste MODE single sequence, s ein. Danach drücken Sie die Taste R und STOP, damit die beiden Pfeile in der Anzeige verschwinden. Danach drücken Sie die Taste 1, worauf das Symbol am Display erscheint. Es bedeutet, dass die Zeitdierenz zwischen der ansteigenden Flanke eines Signals und der absteigenden Flanke eines Signal gemessen wird, was genau dem vorliegenden Experiment entspricht, da das Signal am Zeitmessgerät ansteigt, wenn die Kartonkarte am Wagen die Lichtschranke unterbricht und es wieder abfällt, wenn das Licht wieder auf den Detektor fällt. Die Messung wird mit RUN ausgelöst. Nun wartet das Messgerät auf ein Ansteigen (und danach wieder Abfallen) des Signals an der Lichtschranke. Die Zeit wird am Gerät angezeigt, sobald der Wagen vollständig durch die Lichtschranke gefahren ist. Aus der Länge der Kartonkarte und der angezeigten Zeit, kann die Geschwindigkeit des Wagens gemessen werden. Eine genaue Bedienungsanleitung des Zählers nden Sie am Arbeitsplatz (Abschnitt B.. 5). Messung der Schwebung mit dem Tektronix TDS101 Oszilloskop: Die Überlagerung der Schallschwingungen ergibt eine Schwebung, die auf dem Oszilloskop dargestellt wird. Prinzipiell sollten Sie seit PW11 mit der Bedienung eines Tektronix- Oszilloskopes vertraut sein. Die Scale-Drehknöpfe regeln Volts/Division (also die Skalierung der Y-Achse, auf der die Spannung dargestellt wird, die der zeitabhängigen Amplitude der Schallschwingung entspricht) und Time/Division (Skalierung der X-Achse bzw. Zeit-Achse). Sobald Sie die beiden Achsenskalierungen so optimiert haben, dass Sie eine Schwebung sehen können, kann diese mit den RUN/STOP-Knopf am Display eingefroren werden und Sie können mit der Cursor-Funktion die Schwebungsdauer ausmessen. Achten Sie auf das Mikrofon: Es schaltet sich nach 0 Minuten von alleine ab und muss erneut eingeschaltet werden. Bestimmung der Schallgeschwindigkeit aus einem linearen Zusammenhang: Aus der Schwebungsdauer T S können Sie nun mit Formel (16) die Frequenzverschiebung ν = ν ν 0 berechnen: T S = π/ω S = π/ ω = 1/ ν. Die Abhängigkeit der relativen Frequenzverschiebung ν/ν 0 von der Geschwindigkeit v der bewegten Quelle ergibt aus Formel (18) einen linearen Zusammenhang aus dem die Schallgeschwindigkeit c bestimmt werden kann

18 4 Dopplerverschiebung einer bewegten Schallquelle Bestimmen Sie dazu für jeweils 5 Wagengeschwindigkeiten +v bzw. v (1 6 cms 1 ) die Schwebungsdauern T S. Zur Richtungsänderung werden die Lautsprecher gewendet, und das Mikrofon an der anderen Seite der Laufschiene eingerichtet. Der Motor wird an der Stelle belassen. Zur Geschwindigkeitsmessung dient die Lichtschranke. Bestimmen Sie die Zeit, die ein, am beweglichen Lautsprecher angebrachtes, 3 cm langes Plättchen zum Durchlaufen der Schranke benötigt. Benutzen sie dazu den Digitalzähler. Die Anleitung zur Bedienung der Geräte liegt am Arbeitsplatz auf. Zeichnen Sie ein Diagramm der Wertepaare ν/ν 0 gegen v. c erhalten Sie aus dem Anstieg einer Linearen Regression. Achtung! Legen sie die Anschlusskabel des bewegten Lautsprechers immer so, dass die Bewegung des Wagens nicht behindert wird. Literatur Walcher Praktikum der Physik Gerthsen Physik