Physikalisches Grundpraktikum V10 - Koppelschwingungen

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1 Aufgabenstellung: 1. Untersuchen Sie den Einfluss des Kopplungsgrades zweier gekoppelter physikalischer Pendel auf die Schwingungsdauern ihrer Fundamentalschwingungen. 2. Charakterisieren Sie die Schwebungsschwingung zweier gekoppelter Pendel. Stichworte zur Vorbereitung: mathematisches Pendel, physikalisches Pendel, gekoppelte Pendel, Drehmoment, Trägheitsmoment, Schwingung, Bewegungsgleichung, Fundamentalschwingung, Schwebung, Kopplungsgrad Literatur: F. Schenk, W. Kremer, Physikalisches Praktikum, Kapitel 2.4, 14. Auflage, Springer-Verlag Berlin 2014 H.J. Eichler, D.-D. Kronfeldt, J. Sahm, Das neue Physikalische Grundpraktikum, Kapitel 6, 2. Auflage, Springer-Verlag Berlin 2006 W. Demtröder, Experimentalphysik I Mechanik und Wärme, Kapitel 11.8, 7. Auflage, Springer-Verlag /05/2016 1/7

2 1. Theoretische Grundlagen Bewegungsgleichung gekoppelter physikalischer Pendel Im Folgenden sollen zwei identische physikalische Pendel betrachtet werden, die durch eine Verbindung, z.b. eine Schraubenfeder, miteinander gekoppelt sind. Die beiden schwingfähigen Systeme bewegen sich dann nicht mehr unabhängig voneinander, vielmehr stehen sie im ständigen Energieaustausch. Die Schwingungen, die beide Pendel nun ausführen, werden als Koppelschwingungen bezeichnet. x! 1! 2 D K DP D P 1 2 Abb. 1: Gekoppelte Pendel Wird ein einzelnes physikalisches Pendel aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, so wirkt ein Drehmoment, das bestrebt ist, das Pendel zur Ruhelage zurückzuziehen. Dieses Drehmoment ist proportional zum Auslenkwinkel φ des Pendels, in die Proportionalitätskonstante D # geht u.a. die Lage des Massenmittelpunktes des Pendels bzgl. der Aufhängung ein. Die vorhandene Kopplung zwischen den beiden Pendeln macht sich in Form eines zusätzlichen Drehmomentes bemerkbar, das so wirkt, dass die Feder möglichst entspannt wird. Es ist daher proportional zur Differenz der Auslenkwinkel der beiden Pendel, die konkrete Realisierung der Kopplung schlägt sich in der Proportionalitätskonstante D $ nieder. Für die beiden Pendel ergeben diese Überlegungen die folgenden Bewegungsgleichungen: M & = Jφ & = D # φ & D $ φ & φ (1a) M = Jφ = D # φ + D $ (φ & φ ). (1b) Durch Addition bzw. Subtraktion der Gleichungen (1a) und (1b) können diese in Differentialgleichungen harmonischer ungedämpfter Schwingungen für die Summe φ & + φ bzw. Differenz φ & φ der Pendelauslenkungen überführt werden, für die allgemeine Lösungen angegeben werden können: φ & + φ = a / cos ω / t + b / sin ω // t (2a) φ & φ = a // cos ω // t + b // sin ω // t. (2b) 18/05/2016 2/7

3 Die Konstanten a /, a //, b / und b // und damit auch die konkreten Lösungen φ & (t) und φ t ergeben sich aus den Anfangsbedingungen. Die Kreisfrequenzen ω / und ω // können direkt aus den Bewegungsgleichungen abgelesen werden und ergeben sich zu ω / = 9 : ; = < = > (3a) ω // = 9 ; = < = >>. (3b) Die Größenverhältnisse der Konstanten D # und D $ zueinander bestimmen, wie stark die Bewegungen der beiden schwingungsfähigen Systeme durch die Kopplung beeinflusst werden. Dies wird auch durch den Kopplungsgrad χ = = = B B > C=>> : = > B?= >> B (4) charakterisiert, der Werte zwischen 0 (keine Kopplung) und 1 (Kopplung dominiert die Bewegung) annehmen kann. Gleichungen (2) beinhalten im Prinzip alle Bewegungsmöglichkeiten der gekoppelten Pendel. Im Folgenden sollen einige Spezialfälle diskutiert werden, die für die experimentelle Untersuchung der Koppelschwingungen relevant sind. Fundamentalschwingungen Fundamentalschwingungen sind diejenigen Bewegungszustände, in denen die Pendel mit gemeinsamer Kreisfrequenz ω / oder ω // harmonische ungedämpfte Schwingungen ausführen. Aus den Anfangsbedingungen φ & = φ = φ D und φ & = φ = 0 ergibt sich die gleichsinnige Schwingung beider Pendel. Die Kopplung hat dann keinen Einfluss, beide Pendel schwingen mit der Kreisfrequenz ω / entsprechend Gleichung (3a), die auch die Schwingung des einzelnen, ungekoppelten Pendels charakterisiert. Anhand der Anfangsbedingungen φ & = φ = φ D und φ & = φ = 0 erhält man entsprechend den Fall gegensinniger Schwingungen beider Pendel. Sie führen spiegelsymmetrische Schwingungen mit der gleichen Kreisfrequenz ω // entsprechend Gleichung (3b) aus, wobei diese nun durch das Wirken der Kopplung gegenüber der der gleichsinnigen Schwingung vergrößert wird. Die Kopplung der beiden Pendel führt also zu einer kleineren Schwingungsdauer der gegensinnigen Schwingung.. 18/05/2016 3/7

4 a) b) Abb. 2: Fundamentalschwingungen: a) gleichsinnige Schwingung, b) gegensinnige Schwingung. Schwebung Lenkt man zum Anfangszeitpunkt t = 0 nur eines der Pendel aus und belässt das andere in Ruhelage, d.h. es gelten die Anfangsbedingungen φ & = φ D, φ = 0 und φ & = φ = 0, so erhält man unter Zuhilfenahme von Additionstheoremen φ & t = φ D cos F >>CF > φ t = φ D sin F >>CF > t cos F >>?F > t t sin F >>?F > t. (5a) (5b)! 0! 1 t -! 0! 2 " T + t Abb. 3: Zeitlicher Verlauf der Amplituden beider Pendel für den Fall der Schwebung. Beide Pendel führen demnach (vgl. auch Abb. 3) Schwingungen mit der gleichen Kreisfrequenz ω? = F >>?F > = < = G (6) aus. Die Schwingungen der einzelnen Pendel sind gegeneinander um 90 phasenverschoben. Deren Amplitude ist nicht konstant, sondern ändert sich zusätzlich mit der kleineren Kreisfrequenz 18/05/2016 4/7

5 ω C = F >>CF > = < = H = < I. (7) Die mechanische Energie wird also permanent durch die Kopplung zwischen den beiden Pendeln umverteilt. Die Gesamtenergie des Systems aus beiden Pendeln bleibt dabei unverändert. Die Amplitude eines Pendels wird immer dann Null, wenn das jeweils andere mit maximaler Amplitude schwingt. Die periodische Änderung der Amplitude wird mit der Schwebungsdauer τ = & T C charakterisiert, nach der ein vollständiger Umlauf stattgefunden hat. 2. Versuchsdurchführung Allgemeines Die Eigenschaften gekoppelter schwingfähiger Systeme soll im Experiment mit Hilfe des so genannten Oberbeck-Pendels untersucht werden. Dieses besteht aus zwei gleichartig gestalteten Stangenpendeln, deren Kopplung durch einen Faden mit angehängtem Massestück realisiert wird. Unterschiedliche Kopplungsgrade können dann einfach durch Anhängen unterschiedlich schwerer Massestücke erreicht werden. Während der Messungen ist darauf zu achten, dass das Gestell mit den angehängten Pendeln nicht erschüttert wird. Dies kann zusätzliche Kopplungen mit den Schwingungen des Gestells verursachen. Ebenso ist darauf zu achten, dass die Pendel richtig in den Lagerungsspitzen aufliegen. Die Pendelstangen, insbesondere aber die Lagerungsspitzen sind empfindlich für mechanische Deformation arbeiten sie entsprechend umsichtig. Achten Sie stets auf die Einhaltung der für den zu untersuchenden Fall erforderlichen Anfangsbedingungen. Schwingung einzelner Pendel Zunächst ist zu prüfen, ob beide Stangenpendel im Rahmen der Messunsicherheit die gleiche Periodendauer aufweisen. Entfernen Sie dazu die Massestücke, belassen Sie jedoch den Faden an den Pendeln. Wählen Sie Anfangsauslenkungen der einzelnen Pendel, bei denen der Faden nicht gespannt wird. Messen Sie für jedes Pendel mindestens drei Mal die Dauer von 20 Schwingungen mittels Handstoppuhr. Fundamentalschwingungen Messen Sie für drei verschiedene Kopplungsgrade jeweils drei Mal die Dauer von 20 gleichsinnigen und gegensinnigen Schwingungen. 18/05/2016 5/7

6 Schwebung Der zeitliche Verlauf der Amplitude eines der beiden Pendel kann mit dem Messwerterfassungssystem CASSY aufgezeichnet werden. Dazu ist an der Aufhängung des einen Pendels ein Permanentmagnet befestigt, in der Lagerung ein entsprechender Sensor für das tangential durchgreifende Magnetfeld. Dieser gibt eine zum Magnetfeld proportionale Spannung aus. Auslenkung des Pendels bewirkt nun eine Schwächung dieser Magnetfeldkomponente, die für kleine Auslenkwinkel proportional zur Auslenkung ist. Die computergestützte Datenerfassung erlaubt die graphische Auswertung insbesondere das einfache Bestimmen der Schwebungsdauer τ und der Schwingungsdauer T?. Laden Sie die im Ordner CASSY-Lab Vorlagen / Mechanik / Koppelpendel befindliche Einstellungsdatei Koppelpendel Schwebung.labx in das Mess- und Auswerteprogramm. Vor Beginn jeder Messung ist die Nulllage zu kalibrieren bei ruhendem Pendel klicken Sie dazu auf die Schaltfläche à0ß. Lenken Sie zunächst die Pendel aus, und starten Sie die Messung (Taste F9) bei schwingenden Pendeln. Zeichnen Sie die Schwebung für die zuvor verwendeten Kopplungen auf. Eine Beispielkurve ist im Versuchsprotokoll zu dokumentieren. Zum Ablesen kann die Funktion Markierung setzen - Differenz messen im Auswertemenü, das mittels Rechtsklick auf die Diagrammfläche erreicht werden kann, genutzt werden. Die Differenzen parallel zu den Koordinatenachsen des Diagramms werden in der Statuszeile angezeigt. 3. Hinweise zur Auswertung Schwingung einzelner Pendel Geben Sie die Schwingungsdauer der beiden einzelnen Pendel als Mittelwert der drei Einzelmessungen an. Geben Sie den Größtfehler für die Messungen an und vergleichen Sie die Ergebnisse im Rahmen der Messunsicherheiten. Fundamentalschwingungen Geben Sie die Periodendauern für die Fundamentalschwingungen inklusive Größtfehler an. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit den theoretischen Erwartungen entsprechend Gleichung (3a) und (3b). Berechnen Sie die Kopplungsgrade entsprechend Gleichung (4). 18/05/2016 6/7

7 Schwebung Geben Sie für die drei Kopplungsgrade die Periodendauer der Pendelschwingung und die Schwebungszeit an. Schätzen Sie die Messunsicherheit anhand der Ablesegenauigkeit im Diagramm ab. Vergleichen Sie die Resultate mit den Erwartungen entsprechend Gleichung (6) und (7). 18/05/2016 7/7