Fachhochschule Flensburg. Torsionsschwingungen

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1 Name : Fachhochschule Flensburg Fachbereich Technik Institut für Physik und Werkstoffe Name: Versuch-Nr: M5 Torsionsschwingungen Gliederung: Seite 1. Das Hookesche Gesetz für Torsion Grundlagen der Torsion Versuchsaufbau Aufgabenstellung 2 2. Torsionsschwingungen Grundlagen der Torsionsschwingungen Aufgabenstellung 4 Semester:... Unterschrift des/der Studenten Als Übungsergebnis anerkannt: Flensburg, den Unterschrift des Dozenten

2 Labor für Physik Versuch : M5 Blatt: 1 1. Das Hookesche Gesetz für Torsion 1.1 Grundlagen der Torsion Die Verdrehung eines Drahtes um seine Achse wird als Torsion bezeichnet. Soll ein Draht tordiert werden, so muss ein von außen aufgeprägtes ( äußeres ) Drehmoment wirken. Dieses Drehmoment bewirkt eine plastische Verformung des Drahtes. Auf Grund seiner elastischen Eigenschaften ist der verformte Draht bestrebt, wieder in seine ursprüngliche Form zurückzukehren. Daraus resultiert ein rücktreibendes Moment. Das Drehmoment ist eine vektorielle Größe und wird beschrieben durch wobei der Vektor von der Drehachse zum Angriffspunkt der Kraft gerichtet ist. z Abb. 1 Definition des Drehmomentes (1.1) Wenn der so ermittelte Drehmomentvektor nicht die Richtung der Achse hat, wird nur seine Komponente in Achsenrichtung für die Verdrehung wirksam. Wenn und zueinander senkrecht und beide senkrecht zur Drehachse stehen, gilt (1.2) Verdreht man den Draht um einen Winkel φ gegenüber seiner Einspannung, so ist das Drehmoment Ma dem Winkel proportional (1.3) Die Proportionalitätskonstante D wird als Richtgröße bezeichnet und spielt dieselbe Rolle wie die Federkonstante bei der Auslenkung einer Feder. Je steifer der Draht, desto größer ist seine Richtgröße, und desto größer muss das Moment Ma sein, um die Torsion um den Winkel φ zu erreichen. Die Beziehung (1.3) ist das Hookesche Gesetz für Torsion. Das äußere Drehmoment wird aufgebracht, indem man an einem Hebelarm r mit einer Kraft F zieht. Dem äußeren Drehmoment Ma wirkt ein rücktreibendes Drehmoment Mr entgegen. Befindet sich der verdrehte Draht in der um den Winkel φ ausgelenkten Stellung in Ruhe, gilt für die Summe aller Momente d. h. (1.4) Das äußere Drehmoment Ma und das rücktreibende Moment Mr befinden sich dann im Gleichgewicht. Für alle folgenden Messungen sind Tabellen entsprechend den Aufgabenstellungen im angehängten Messblatt anzufertigen. Dies ist Teil der Vorbereitung und soll nicht erst während der Versuchsdurchführung geschehen!

3 Labor für Physik Versuch : M5 Blatt: Versuchsaufbau für Hookesche Gesetz An einem Stativ wird ein Reifen, der an einem Torsionsdraht hängt, eingespannt. Am Reifen wird im unbelasteten Zustand und in absoluter Ruhestellung (keine Drehschwingungen) ein Nullpunkt markiert. Der Nullpunkt wird benötigt, um bei Verdrehung des Reifens den Drehwinkel ϕ ablesen zu können. Durch Anhängen von verschiedenen Wägestücken an einem Faden, der um den Reifen mit dem Radius r (Hebelarm) geschlungen ist, werden verschiedene Drehmomente auf den Torsionsdraht ausgeübt. Durch das im Torsionsdraht hervorgerufene rücktreibende Moment stellt sich ein Gleichgewicht der Drehmomente ein. Der sich dabei ergebende Winkel ϕ kann abgelesen werden. 1.3 Aufgabenstellung für das Hookesche Gesetz Bestimmen Sie den Radius r, an der die durch das Wägestück bedingte Kraft F am Reifen angreift (siehe Abb. 2). Der Torsionsdraht wird nacheinander mit dem aus 5 verschiedenen über eine Umlenkrolle am Reifen angehängten Massen m resultierenden Drehmoment belastet. Verwendete Massen: m = 0,05 kg; 0,1 kg; 0,15 kg; 0,2 kg; 0,25 kg Lesen Sie die zu den angehängten Massen zugehörigen Drehwinkel ϕ ab und stellen Sie die Daten in einer Tabelle zusammen. Tragen Sie die Messwerte in einem Diagramm Drehmoment M über dem gemessenen Drehwinkel ϕ (im Bogenmaß) ein. Die an die Messwerte angepasste Gerade heißt Hookesche Gerade, ihre Steigung ergibt die Richtgröße D. Bestimmen Sie D± D mittels einer Linearen Regression. r Torsionsdraht Umlenkrolle Abb. 2 Schema des Versuchsaufbaus F m Torsionschwingungen Wird der am Draht hängende Reifen um einen bestimmten Winkel ϕ aus seiner Ruhelage heraus verdreht und dann losgelassen, so führt er bedingt durch das rücktreibende ϕ ϕ T Moment MR des Torsionsdrahtes t Schwingungen aus. Der maximale Drehwinkel ist die Amplitude der Drehschwingung, und Abb. 3 Zeitlicher Verlauf einer Drehschwingung die Dauer T einer vollen Schwingung ist die Schwingungsdauer T, deren Kehrwert Schwingungsfrequenz definiert. die

4 Labor für Physik Versuch : M5 Blatt: Grundlagen der Torsionsschwingungen Für das rücktreibende Moment gilt MR = - Ma = - D ϕ (2.1) MR und ϕ sind Funktionen der Zeit: MR = MR(t) und ϕ = ϕ(t). (2.1) gilt zu jedem Zeitpunkt t. Die Wirkung dieses Momentes auf den Reifen folgt der Grundgleichung der Drehbewegung M = I α (2.2) Dabei ist I das Massenträgheitsmoment des rotierenden Körpers in kg m 2 und α die Winkelbeschleunigung (2.3) In diesem Falle ist das beschleunigende Moment gleich dem rücktreibenden Moment, so dass sich mit (2.1) und (2.2) I α = - D ϕ(t) (2.4) und mit (2.3) und (2.4) sich die Bewegungsgleichung (2.5) ergibt. Diese homogene Differentialgleichung 2. Ordnung ist die Schwingungsgleichung einer ungedämpften Torsionsschwingung. Der zeitliche Verlauf der Funktion ϕ(t) ist damit weitgehend festgelegt, auch wenn ϕ(t) noch nicht explizit als Gleichung da steht. Eine mögliche Lösung von (2.5) ist die Schwingungsfunktion (2.6) Dies können Sie leicht prüfen, indem Sie (2.6) zweimal nach der Zeit ableiten und in (2.5) einsetzen. Dann werden Sie bemerken, dass die Schwingungsgleichung von der Schwingungsfunktion dann und nur dann erfüllt wird, wenn für den Parameter T bzw. f in der Lösung gilt: bzw. (2.7) Dies ist die Thomson sche Schwingungsformel für Torsionsschwingungen. Der Parameter ist die Amplitude der Schwingung. Für sie kann man jeden Wert einsetzen, sofern noch das Hookesche Gesetz der Torsion gilt, d. h. die Auslenkung noch im linearen Bereich der Verformung bleibt. Dann geht die Amplitude nicht in (2.7) ein. Im Hookeschen Bereich hängt die Schwingungsdauer T nur vom Trägheitsmoment I und der Winkelrichtgröße D ab, nicht aber von der Amplitude. Dies gilt, solange die rücktreibende Kraft dem Drehmoment proportional ist; größere Auslenkungen führen zu weiteren nichtlinearen Termen in (2.7). 1.5 Aufgabenstellung zu den Torsionsschwingungen Überprüfen Sie die Zusammenhänge der Thomson schen Schwingungsformel experimentell.

5 Labor für Physik Versuch : M5 Blatt: Ist die Schwingungsdauer von der Amplitude abhängig? Die Dauer T einer einzelnen Schwingung ist zu ermitteln. Dazu stoppt man mit einer Stoppuhr die Zeit, die der Reifen für mehrere z. B. n = 5 Schwingungen- benötigt. Die Unsicherheit der Zeitnahme auf die Messung der Periodendauer T wirkt sich dann weniger aus als bei Einzelperioden. Man verdreht den Reifen aus seiner Ruhelage und startet beim Loslassen die Stoppuhr. Der Messfehler einer Zeitmessung mit der Stoppuhr beträgt je nach Geschick ca. 0,05 bis 0,2 s. Das ist der Messfehler der Gesamtdauer von 5 Schwingungen. Vergleichen Sie die bei verschiedenen Amplituden gemessenen Schwingungsdauern. Der Reifen wird um verschiedene Winkel ϕ aus seiner Ruhelage verdreht (z. B. 40, 80, 120, 160 ) und losgelassen, so dass er Schwingungen dieser Amplitude ausführt Ist die Schwingungsdauer proportional zur Wurzel aus dem Trägheitsmoment? Wenn die Beziehung (2.7) korrekt ist, dann lässt sich darüber wiederum die Winkelrichtgröße D des (gleichen) Drahtes bestimmen und mit dem Ergebnis aus 1.3 innerhalb der Fehlergrenzen vergleichen. Wird der Reifen durch Anhängen zusätzlicher Massen m belastet (Abb. 4), so nimmt die Schwingungsdauer T zu, denn es zählt in der Thomson schen Schwingungsformel das gesamte Trägheitsmoment, das sich aus den Trägheitsmomenten leigen des Reifens und Izusätzlich der angehängten Massen ergibt. Eine Masse m, die im Abstand R von der Drehachse angebracht wird, vergrößert das Massenträgheitsmoment um Izusätzlich = m R 2 (2.8) Das Gesamtträgheitsmoment ist dann Iges = leigen + Izusätzlich = leigen + m R 2 ; leigen = const. (2.9) Iges ist eine Funktion von Izusätzlich. Durch verschiedene angehängte Massen lassen sich verschiedene Gesamtträgheitsmomente Iges realisieren. Damit wird auch die jeweilige Periodendauer T von Izusätzlich abhängig. Durch Umstellen der Gleichung (2.7a) erhalten wir Dies stellt eine Geradengleichen mit der Steigung D und dem Achsenabschnitt Ieigen dar. m R Torsionsdraht Abb. 4 Belastung des Torsionsschwingers durch zusätzliche Massen m (2.7 a) (2.7b)

6 Labor für Physik Versuch : M5 Blatt: 5 Um diesen Zusammenhang zu zeigen, belastet man den Reifen mit verschiedenen zusätzlichen Massen und misst bei beliebigen nicht zu großen ( 40 ) Amplituden die Schwingungsdauer T. Die Amplitude wird hier begrenzt, weil sonst die Gewichte durch die Fliehkraft nach außen gegen das tragende Gestänge gedrückt werden. Verwendete Massen: m = 2 x (0,5 kg; 1,0 kg; 1,5 kg; 2,0 kg; 2,5 kg; 3,0 kg) Dabei muss beachtet werden, dass der Reifen jeweils mit zwei Massen belastet wird, woraus sich das Massenträgheitsmoment also zu ergibt. Izusätzlich = 2 m R 2 Abb. 4 Beispiel zu (2.7b) Aufgabe: Tragen Sie Izusätzlich als Funktion von in einem Diagramm auf. Der negative Ordinatenabschnitt stellt das Eigenträgheitsmoment des Reifens dar. Bestimmen Sie mittels Linearer Regression D± D und Ieigen. Vergleichen Sie das hier dynamisch ermittelte D mit dem statisch ermittelten aus Zusammenfassung Stellen Sie Ihre Ergebnisse in einer Schlussbetrachtung zusammenfassend dar. Schf. / CN 4408

7 Labor für Physik Versuch : M5 Anlage A Anmerkungen : Dieser Vordruck ist von jedem Studenten während der Versuchsdurchführung mit Tinte oder Kugelschreiber auszufüllen. Tragen Sie übersichtlich die gemessenen Werte und die abgeschätzten Messfehler ein. Diese Vordrucke sind zusammen mit den Laborberichten abzugeben Student Studiengruppe Datum Laboringenieur Tragen Sie hier Ihre Messwerte in die Tabelle ein: Abgeschätzte Messunsicherheiten:

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