3. Bayreuther Tag der Mathematik Mathematikwettbewerb 12. Juli Aufgabe 1: Der Quader liefert noch für weitere 8 Tage Pulver.

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1 3. Bayreuther Tag der Mathematik Mathematikwettbewerb 12. Juli 2008 Klassenstufen 7 und 8 Bitte jeweils in Teams von 3 bis 5 Schülern bearbeiten. Die Bewertung hängt neben der Korrektheit auch von der Qualität der Begründungen und der Beschreibung der Lösungswege ab. Auch Ansätze werden belohnt. Aufgabe 1: Der Quader liefert noch für weitere 8 Tage Pulver. Begründung: Zunächst betrachten wir das Volumen V 0 des Quaders vor dessen Erstbenutzung, sowie das Volumen V 1 des verbleibenden Quaders nach 19 Tagen Gebrauch. Dazu bezeichnen wir die Länge, Breite und Höhe eines neuen Quaders mit l, b, bzw. h und erhalten somit V 0 = l b h. Da die Länge, Breite und Höhe des Quaders nach 19 Tagen Gebrauch jeweils um genau ein Drittel abnehmen, gilt V 1 = 2 3 l 2 3 b 2 3 h = 8 27 l b h = 8 27 V 0. Da wir davon ausgehen, dass sich das Volumen des Quaders jeden Tag um den gleichen Betrag vermindert, können wir mit Hilfe von V 0 und V 1 die tägliche Quaderabnutzung berechnen. Diese beträgt (V 0 V 1 ) : 19 = (V V 0) : 19 = V 0 : 19 = 1 27 V 0. Mit dem verbleibenden Quader kann also noch genau für weitere 8 27 V 0 : Tage Pulver zur Verfügung gestellt werden V 0 = 8 Aufgabe 2: Der Einfachheit halber bezeichnen wir die fünf Mitglieder der Expedition mit M 1, M 3, M 6, M 8, M 12, wobei die Indizes 1, 3, 6, 8 bzw. 12 die Minutenanzahl angeben, welche die jeweiligen Mitglieder für die Überquerung der Hängebrücke benötigen. Im Folgenden geben wir eine mögliche Reihenfolge der Überquerungen an, so dass die Mitglieder der Expedition innerhalb einer halben Stunde über die Schlucht gelangen: 1. M 1, M 3 überqueren die Brücke. 2. M 1 läuft zurück. 3. M 8, M 12 überqueren die Brücke. 4. M 3 läuft zurück. 5. M 1, M 6 überqueren die Brücke. 6. M 1 läuft zurück. 7. M 1, M 3 überqueren die Brücke.

2 Summiert man die Dauer der jeweiligen Überquerungen, d.h. die Maxima der Indices in den Schritten 1 bis 7, so ergibt sich = 29. Damit beträgt die Zeit der Überquerung 29 Minuten, also weniger als eine halbe Stunde. Aufgabe 3: In der oberen Abbildung sind alle im Text eindeutigen Aussagen vermerkt. Diese werden dann sukzessiv ergänzt bis man zum Ergebnis in der unteren Abbildung gelangt. Abbildung 1 und 2 Arthur Bert Carmen Daniela Emil Muenchen Politik Familie x Fernsehen x Musik Sport x München x Hamburg Berlin Köln Bayreuth x Hamburg Berlin Koeln Bayreuth Arthur Bert Carmen Daniela Emil Muenchen Politik x x x Familie x x x Fernsehen x x x Musik x x x Sport x x x München x x Hamburg x x Berlin x x Köln x x Bayreuth x x 13 x 14 x 15 x 16 x 17 x Hamburg Berlin Koeln Bayreuth Seite 1

3 1. Emil ist nicht 17, da der Brief über Familie von einer Person geschrieben wurde, die nicht 17 ist. 2. Carmen und Daniela sind jünger als 17, da ein Mädchen jünger als der Junge aus Berlin ist und das andere Mädchen über Politik schrieb und der Brief über Politik von einer Person geschrieben wurde, die nicht 17 Jahre alt ist. Bert ist 17, kommt aus Münchnen und schrieb über Sport. 3. Arthur schrieb nicht über Politik, da Arthur ein Junge ist. 4. Die Autorin des politischen Briefes ist nicht 16, da Arthur 16 ist. Weil Emil keine 16 ist, ist der Brief über Familie nicht von einer 16-jährigen Person geschrieben worden. 5. Der Brief über Musik, wurde ebenfalls nicht von einer 16-jährigen Person geschrieben, da die Person, die über Musik schrieb, 2 Jahre älter ist als die Person aus Köln. Arthur ist 16, kommt aus Hamburg und schrieb übers Fernsehen. 6. Die Person aus Köln ist 2 Jahre älter... die Person aus Köln ist 15 Jahre alt. 7. Eines der Mädchen ist ein Jahr jünger als der Junge aus Berlin. die Person aus Berlin ist älter als 13 und deshalb ist die Person aus Berlin 14 und die aus Bayreuth Junge aus Berlin Emil kommt aus Berlin, ist 14 Jahre alt und schrieb über Familie. 9. Carmen schrieb nicht aus Köln. Carmen kommt aus Bayreuth und Daniela aus Köln. Carmen ist 13 und Daniela Eines der Mädchen ist ein Jahr jünger als der Junge aus Berlin, das andere Mädchen schrieb über Politik. Das Mädchen, das über Politik schrieb, ist 15 und das andere Mädchen ist 13. Die Person, die über Politik schrieb, kommt aus Köln und die, die über Musik schrieb, aus Bayreuth. Daniela schrieb über Politik und Carmen über Musik. Aufgabe 4: Es gibt eine Eins mehr als Zweien. Begründung: Wir denken uns die Zahlen 1 bis 1000 wie folgt in eine Tabelle geschrieben ,

4 und zeigen, dass eine fortlaufende Quersummenbildung (wie sie in der Aufgabenstellung beschrieben wurde) jeder Zahl innerhalb einer Zeile der obigen Tabelle dasselbe Ergebnis liefert, nämlich gerade den Anfangswert der jeweiligen Zeile. Um sich dies klar zu machen, betrachten wir zunächst eine einzelne Zeile der obigen Tabelle etwa die erste. Wir erhalten die Zahlenfolge 1, 10, 19, 28, 37, 46, 55, 64, 53, 62,..., Was ist nun die Quersumme der jeweiligen Folgeglieder? Wir wissen, dass die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder stets 9 beträgt. Betrachtet man wie sich die Quersumme einer Zahl verändert, sobald man 9 hinzuzählt, so stellt man fest, dass genau einer der folgenden Fälle auftritt. Fall 1 Die Quersumme erhöht sich um 9. Dies tritt genau dann ein, wenn die Einerstelle der ursprünglichen Zahl 0 beträgt. In diesem Fall erhöht sich die Einerstelle um 9. (Zum Beispiel ist die Quersumme von 200 gleich 2, die von = 209 gleich 11.) Fall 2 Die Quersumme bleibt gleich. Dies tritt genau dann ein, wenn die Einerstelle der ursprünglichen Zahl ungleich 0 und die Zehnerstelle ungleich 9 ist. In diesem Fall verringert sich die Einerstelle um 1 und die Zehnerstelle erhöht sich um 1. (Zum Beispiel ist die Quersumme von 43 gleich der Quersumme von = 52.) Fall 3 Die Quersumme erniedrigt sich um 9. Dies tritt genau dann ein, wenn die Einerstelle der ursprünglichen Zahl ungleich 0, die Zehnerstelle gleich 9 und die Hunderterstelle ungleich 9 ist. In diesem Fall verringert sich die Einerstelle um 1, die Zehnerstelle verringert sich um 9 und die Hunderterstelle erhöht sich um 1. (Zum Beispiel ist die Quersumme von 692 gleich 17, die Quersumme von = 701 gleicht 8.) Fall 4 Die Quersumme erniedrigt sich um 18. Die tritt genau dann ein, wenn die Einerstelle der ursprünglichen Zahl ungleich 0 ist und die Zehner- sowie die Hunderterstelle jeweils 9 betragen. In diesem Fall verringert sich die Einerstelle um 1, die Zehner- und Hunderterstelle verringern sich um 9 und die Tausenderstelle erhöht sich um 1. (Zum Beispiel ist die Quersumme von 991 gleich 19, die von = 1000 gleich 1.) In jedem der vier Fälle verändert die Addition mit 9 die Quersumme entweder gar nicht oder nur um ein Vielfaches von 9. Das bedeutet, dass jedes Glied dieser Zahlenfolge als Quersumme eine Zahl besitzt, die ebenfalls in derselben Zahlenfolge enthalten ist. Da die Quersumme jeder natürlichen Zahl ungleich 1 kleiner ist als die Zahl selbst, erhalten wir nach ausreichend häufigem Ersetzen der Folgeglieder durch ihre Quersummen eine Zahlenfolge, deren Glieder allesamt aus dem Anfangsglied der ursprünglichen Folge bestehen. In unserem Beispiel ergibt sich = = = Ersetzen wir nun alle Einträge der ersten Tabelle, d.h. alle Zahlen von 1 bis 1000 durch ihre Quersumme und wiederholen dies solange, bis sich kein Eintrag der Tabelle mehr ändert, so ergibt sich

5 Damit ist klar, dass es im Vergleich mit der Anzahl der Zweien genau eine Eins mehr gibt.