Physikalisches Grundpraktikum. Fehlerrechnung

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1 Fachrchtuge der Physk UNIVERSITÄT DES SAARLANDES Physkalsches Grudpraktkum Fehlerrechug WWW-Adresse Grudpraktkum Physk: 0Hhttp://grudpraktkum.physk.u-saarlad.de/ Kotaktadresse der Praktkumsleter: PD Dr. Mafred Decher Zmmer:., Gebäude E.6 e-mal: Telefo: 068/ PD Dr. Patrck Huber Zmmer: 3.3, Gebäude E.6 e-mal: Telefo: 068/ Verso 3 (3/00)

2 Fehlerrechug. Grudlage. Eletug Im Rahme des Grudpraktkums soll der Studerede das Expermetere erlere. Dazu gehört das Keelere der Messtechk ud der Techk des Messes, aber auch das Erlere der Bewertug ees Messergebsses. De um aus de Ergebsse ees Expermetes schleße zu köe, ob e theoretsches Modell gültg st oder cht, muss de Qualtät ud Aussagekraft der Messug bekat se. Alle Messuge, we sorgfältg se auch geplat ud durchgeführt werde, uterlege Messuscherhete. Dese zu utersuche, hre Größe ud Ursache zu bestmme, sd Gegestad der Fehleraalyse. De Agabe ees Messwertes alle recht cht aus. De Agabe der Messuscherhet st ubedgt otwedg, um auf de Aussagekraft der Messug zu schleße. Verefacht glt: De Messug eer physkalsche Größe ohe Agabe der Messuscherhet st wertlos. Grobe Fehler ud Irrtümer, z.b. falsche Bedeug der Messapparatur, falsche Protokollerug vo Messdate oder Programmfehler Auswerteprogramme, werde cht als Messuscherhete betrachtet. I desem Fall sd de Messuge oder de Auswertug falsch ud müsse wederholt werde. Das Vorhadese grober Fehler erket ma ur durch krtsches Überprüfe ud Kotrollere der Messergebsse. Ee physkalsche Größe wrd durch Zahlewert ud Maßehet beschrebe. Jede physkalsche Größe lässt sch expermetell ur äherugswese bestmme. De Zahlewerte lege erhalb ees vo dem Messverfahre abhägge Fehlertervalles, das gesodert abgeschätzt werde muss. De Schwakuge köe hre Ursache der Messgröße oder der Messapparatur habe. De mathematsche Formulerug physkalscher Gesetzmäßgkete st daher ur als e Grezfall verschwded kleer Fehlerbereche azusehe. Zwe ubedgt zu uterschedede Begrffe bem Bewerte vo Messergebsse sd Präzso ud Geaugket. De Präzso beschrebt, we gut ee Messug durchgeführt wurde, d.h. we reproduzerbar der Messwert st, de Geaugket gbt dagege a, we ahe der Messwert dem wahre Wert st. Durch ee falsche Alage des Expermets oder e defektes Messgerät ka mt hoher Präzso e völlg usger Messwert bestmmt werde. Ma muss be eer Messug sowohl ach Präzso als auch ach Geaugket strebe. Dese bede Egeschafte werde durch zwe uterschedlche Arte vo Messabwechuge oder Fehler bestmmt: Systematsche ud zufällge (statstsche) Fehler. De Greze zwsche bede st cht mmer edeutg zu zehe. De systematsche Fehler werde z.b. durch Ugeaugket der Echug ees Messgerätes ud der Azege des Gerätes folge vo fehlerhafter Fukto verursacht. Se sd oft dadurch gekezechet, dass se de Messwert mest stes ee Rchtug verfälsche. (Bespel: der verbogee Zeger ees Messgerätes). Systematsche Fehler erket ma durch geegete Kotrollmessuge der Messapparatur a bekate Messobjekte, d.h. durch Echug des Messgerätes. Obwohl de systematsche Fehler ebeso wchtg sd we de zufällge, spele letztere be der üblche Fehlerabschätzug ee größere Rolle. Das legt u.a. dara, dass se durch ee efache Statstk lecht zu erkee ud abzuschätze sd ud ohe Äderug der Messapparatur auch mest durch Wederholug des Messvorgages verrgert werde köe. Zufällge Fehler köe e Messergebs mt ählcher Wahrschelchket zu höhere oder zu edrgere Werte h verfälsche. Dese Symmetre uterschedet se vo de systematsche Fehler. Bespele für Ursache zufällger Fehler sd e schwakeder Zegerausschlag oder das Abschätze vo Zwschewerte auf eer Skala. De m folgede agegebee Methode der Fehlerabschätzug beschräke sch auf de Atel der zufällge Fehler am Gesamtfehler. Allerdgs

3 Fehlerrechug 3 muss de Möglchket systematscher Fehler, de de zufällge Fehler überwege köte, mmer be der Auswertug eer Messug berückschtgt werde.. Darstellug vo Messergebsse Be der Messug eer physkalsche Größe wrd expermetell für dese Größe de Maßzahl zu eer gegebee Ehet zu ermttel. Ee korrekte Agabe vo Messergebsse behaltet daher Messwert, Messuscherhet (Fehler) ud Maßehet. Beutzt ma de absolute Messuscherhet, so gbt ma de beste Schätzwert (Bestwert) der Messgröße ud hre Uscherhet a: Messwert = (Bestwert ± Uscherhet) [Maßehet] De Agabe der Uscherhet zegt zwar de Zuverlässgket des Messergebsses a, doch lässt sch de Qualtät der Messug scheller a dem Quotete aus Uscherhet ud Bestwert, der relatve Messuscherhet, erkee: Messwert = (Bestwert) [Maßehet] ± (Uscherhet/Bestwert) [%] Für de Agabe der Messuscherhet wrd de Messuscherhet auf ee sgfkate Stelle gerudet. Für de Agabe des Messwertes soll de letzte sgfkate Stelle deselbe Größeordug bestze we de Messuscherhet. Bespel: Ee Messug der Erdbeschleugug lefert das rechersche Ergebs 9,843 m/s ud de Berechug der Messuscherhet ergbt ± 0,0385 m/s. Da wrd das Ergebs für de Messuscherhet auf ± 0,0 m/s gerudet. Für das Bespel bedeutet des: g = (9,8 ± 0,0) m/s Wäre de Messuscherhet 0, m/s, so lautete de svolle Agabe des Messergebsses g = (9,8 ± 0,) m/s Werde allerdgs Messwerte beützt, um de gesuchte Größe zu bereche, so müsse mdestes zwe sgfkate Stelle der Messuscherhet mtgeführt werde, um Rudugsfehler möglchst kle zu halte.. Messfehler der Ezelgröße. Mttelwert Zur Verkleerug des Atels der zufällge Fehler am Gesamtfehler msst ma deselbe Größe x mehrfach uter uveräderte Versuchsbedguge. Aus Ezelmessuge x bestmmt ma de Mttelwert x durch arthmetsche Mttelug: x = x = () De Mttelwertbldug führt zu eer geauere Aussage als der Ezelmesswert, da sch de Schwakuge der Messgröße, sowet es sch um zufällge Fehler hadelt, telwese kompesere. Systematsche Fehler werde dagege durch ee Mttelwertbldug cht verrgert, da se jede Ezelmesswert ormalerwese derselbe Rchtug verfälsche. Zu uterschede st der Mttelwert vom wahre Wert (bezüglch der zufällge Fehler). Bede werde erst da überestmme, we de Zahl gege Uedlch geht. Der arthmetsche Mttelwert x ergbt sch aus der Forderug, dass de Summe der Quadrate aller Abwechuge der Ezelmesswerte x vom Mttelwert mmal se soll:

4 4 Fehlerrechug ( ) Mmum = f = x x () Fasse wr f als Fukto vo x auf, so st das Mmum durch de Nullstelle der erste Abletug gegebe ud daraus folgt df = ( x x) = 0 (3) dx = x = x x = x = =. Gauß-Fehler der Ezelmessug Das Ausglechsprzp, das auf das arthmetsche Mttel führt, et ma Gaußsches Ausglechsprzp oder de Methode der kleste Quadrate. Be deser Methode wrd das Mmum vo Gl. () als Maß für de Schwakug der x um de Mttelwert, d.h. für de Fehler geomme. Frelch wächst das Mmum mt wachseder Zahl vo Messuge, daher muss ma durch de Zahl der Messuge dvdere, geauer durch de Zahl der Kotrollmessuge, de ur dese köe ee Aussage über de Fehler gebe. Ist der wahre Wert berets vor der Messug bekat (z.b. de Wkelsumme eem Dreeck), so stelle alle Messuge Kotrollmessuge dar. Häufg aber st der wahre Wert ubekat, so dass vo de Messuge ur - Kotrollmessuge sd. Damt das Fehlermaß vo der Dmeso der Messgröße st, muss och de Wurzel gezoge werde, ud wr erhalte x = G ( x x) (4) = Deser Fehler trägt de Bezechug mttlerer Fehler der Ezelmessug, Gaußscher Fehler der Ezelmessug oder Stadardabwechug. Er st e Maß für de Streuug der Ezelwerte um de Mttelwert, wobe de Uscherhet des Mttelwertes, d.h. desse möglche Abwechug vom wahre Wert durch de Dvso durch - statt durch mtberückschtgt st. Das Quadrat des Fehlers wrd auch Varaz geat. I der Statstk bezechet ma de Gesamthet aller uter gleche Bedguge aufgeommee Messuge als Grudgesamthet, de durch ee Grezvertelug beschrebe wrd. Da de dazu erforderlche Datemege uedlch groß st, ka ma e ee Realserug der Grezvertelug erreche, soder ma muss se durch ee Stchprobe vom Umfag aäher. Uterschedlche Messgröße habe oft auch uterschedlche Grezverteluge. So werde z.b. Messuge, de vele klee ud zufällge Abwechuge uterlege, durch ee Gauß- oder Normalvertelug beschrebe. Adere Bespele für physkalsche Verteluge sd der Theore der Wärme de Maxwellsche Geschwdgketsvertelug oder bem Zähle vo Eregsse aus dem radoaktve Zerfall de Possovertelug. Folgt de Vertelug der Messwerte um de Mttelwert herum eer Gaußsche Normalvertelug (s. Bld des 0 DM-Sches auf der Ttelsete), so gbt der Fehler x G de Abstad hrer Wedepukte vom Mttelwert a, ud m Fehlertervall befde sch 68% aller gemessee Ezelwerte. De Brete der Gauß-Vertelug etsprcht der Stadardabwechug. Legt kee

5 Fehlerrechug 5 Gauß-Vertelug vor, so lässt sch e geauer Zahlewert für de Wahrschelchket, dass e weterer zu messeder Wert das Fehlertervall fällt, cht geau agebe. Ma ka aber sage, dass er mt überwegeder Wahrschelchket deses Itervall falle wrd. Mt dem Mttelwert x ud dem Fehler x G wrd das Ergebs eer Messug agegebe der Form:.3 Durchschttlcher Fehler x= x ± x G (5) Häufg wrd auch e aderes Streumaß verwedet, de durchschttlche absolute Abwechug der Ezelergebsse vom Mttelwert d (6) = x = x x Obwohl er vom statstsche Stadpukt aus ee etwas usaubere Defto darstellt, st se Gebrauch wet verbretet..4 Gaußscher Fehler des Mttelwertes Mest teressert cht so sehr de Streuug der x um x, soder de Zuverlässgket des aus der Messrehe als Bestwert gefudee Mttelwertes, d.h. desse Fehler bezüglch des wahre Wertes, der be errecht wrd. I der Gaußsche Fehlertheore ergbt sch deser mttlere Fehler des Mttelwertes oder Gaußsche Fehler des Mttelwertes zu = δ xg = ( x x) ( ) (7) Er sagt aus, dass mt überwegeder Wahrschelchket der wahre Wert der Messgröße x w erhalb des Itervalls x δx x x + δx G w G legt..5 Absoluter ud relatver Fehler De bsher besprochee Fehler sd absolute Fehler. Damt bezechet ma das Fehlertervall der Messgröße. Absolutfehler der Größe ud de Größe selbst habe deselbe Maßehet. Dvdert ma de Absolutfehler durch de Absolutbetrag des Mttelwertes der Messgröße, so erhält ma de relatve Fehler; er st dmesoslos ud wrd häufg Prozet agegebe..6 Größeordugsmäßge Agabe vo Messfehler Zur exakte Agabe ees Messergebsses muss der Fehler hzugefügt werde. Dabe st es slos, das Messergebs oder desse Fehler mt eer übermäßge Stellezahl azugebe. Messfehler rudet ma, da se m allgemee ur grobe Wahrschelchketsaussage darstelle, auf e oder zwe Stelle ab. Das Messergebs soll da so vele Stelle ethalte, dass der letzte (bzw. de letzte bede) der Fehler legt, de übrge aber als zuverlässg azusehe sd. Etsprechedes glt für mttelbare Resultate, de ma durch Rechug aus verschedee Messwerte erhält. Ee, ur durch de Rechug bedgte, zu große Stelle-

6 6 Fehlerrechug zahl st gemäß dem Gesamtfehler des mttelbare Resultates abzurude. Be gergere Aforderuge a de Geaugket vo Messuge geügt es oft zu wsse, welcher Dezmalstelle der Maßzahl der Fehler legt, ohe desse geaue Größe zu kee. Für dese Fall st ma überegekomme, Messergebsse Dezmalzahle so azugebe, dass de vorletzte Zffer och zuverlässg st, ud der letzte der Fehler legt. Ee a letzter Stelle stehede Null muss da mt ageschrebe werde; würde ma se fortlasse, so würde des ee um ee Zeherpotez zu große Fehler vortäusche. 3. Fehlerfortpflazug De bsher agegebee Fehler charaktersere de Streuug eer drekt gemessee Größe. Häufg st ma aber a eer mttelbare Größe Z(x,y,z, ) teressert, de sch über ee Formel aus verschedee Messwerte x, y, z, ergbt. Ifolge der Fehler der drekte Messwerte hat auch Z ee Fehlerberech. Als Fehlerfortpflazug bezechet ma de Auswrkug der Ezelfehler δx, δy, usw. auf Z. Je ach Art der Fukto Z ka dese Auswrkug völlg uterschedlch se, z.b. ka e wzger Fehler δx ee gewaltge Fehler für Z bedge. Daher st es agebracht, de Fehlerfortpflazug scho vor der Messug der Ezelgröße abzuschätze, um zu wsse, welche Messuge besoders sorgfältg durchgeführt werde müsse ud be welche e großer Messaufwad überflüssg st. Zur Herletug des Fehlerfortpflazugsgesetzes wolle wr us der Efachhet halber auf ee Fukto Z = Z(x,y) mt Messgröße x ud y beschräke. Setze wr emal de Mttelwerte x, y ud da de Werte x+ δxy, + δy Z e, so gbt us der Utersched der zugehörge Z-Werte de Auswrkug der Fehler δx ud δy auf Z. Allgeme erhält ma de Wert Zx ( + xy, + y) eer (verüftge) Fukto Z, dem ma Z ee Taylor-Rehe um Z(x,y) herum etwckelt: Z Z Z Z Zx ( + xy, + y) = Zxy (, ) + x+ y+ x + x y+... x y x xy (8) Sofer de höhere Rehegleder rasch kleer werde, ka ma dese Rehe ach de leare Gleder abbreche, ud wr erhalte für de Dfferez der Z-Werte Z Z Zx ( + xy, + y) Zxy (, ) x+ y x y (9) Für de Größe x ud y köe wr u de Mttelwerte x ud y wähle ud für de Größe x ud y de Fehler der Mttelwerte δx ud δy esetze. Zur Berechug der obere Greze des Schwakugstervalls vo Z be Schwakuge vo x ud y erhalb hrer Fehlertervalle müsse wr de pessmstsche Fall aehme, dass de Beträge aller Ezelfehler dasselbe Vorzeche habe, d.h. wr ehme de Absolutbeträge der Ezelfehler. De Summe deser Absolutbeträge lefert da de Fehler vo Z, der kosequeterwese als der absolute Größtfehler bezechet wrd. De Vorschrft zur Bldug vo Z heßt Fehlerfortpflazugsgesetz: Z Z Z δx + δy x y (0) Dabe bedeute Z x ud Z y de partelle Abletuge. Ee partelle Abletug eer Fukto f vo Varable wrd gebldet, dem ma - Varable als Kostate aseht.

7 Fehlerrechug 7 Dadurch wrd f ee Fukto ur eer Varable ud ach deser wrd da etspreched de Regel für Fuktoe eer Varable dfferezert. We de Fehler uedlch kle werde, so stellt Gl. (9) das totale Dfferetal der Fukto Z dar. Ma ka also das Fehlerfortpflazugsgesetz auch dadurch herlete, dass ma der Formel für das totale Dfferetal eer Fukto de Dfferetale der Varable durch de edlch große Fehlertervalle ersetzt. Deser Näherugsschrtt st erlaubt, da es sch be der Fehlerrechug m allgemee ur um grobe Wahrschelchketsaussage hadelt. Wr habe Gl. (0) für ee Fukto vo Varable agegebe. Etspreched ka ma de Größtfehler eer Fukto f vo Varable y,,y agebe: f f y y δ () = Deser Fehler hat Ählchket mt dem durchschttlche Fehler der Ezelmessug, ma addert Absolutbeträge. I der Gaußsche Fehlertheore trtt a desse Stelle weder de Wurzel aus der Summe der Quadrate. Das Gaußsche Fehlerfortpflazugsgesetz lautet f = G f y y δ = () Für ege häufg auftretede Type vo Fuktoe lässt sch das Fehlerfortpflazugsgesetz Gl. (0) verefache. a) Fuktoe, de ausschleßlch aus Summe ud/oder Dffereze der Varable bestehe: = f = ay + a y a y = ay; a 0 Da erhält ma durch Dfferetato de Fehler = f aδy a δy = a δy (3) Regel: Der absolute Größtfehler st glech der Summe der Beträge der absolute Ezelfehler, multplzert mt de Kostate a. b) Fuktoe, de ausschleßlch aus Produkte ud/oder Quotete der Varable y mt belebge Poteze m bestehe: f = Ay y... y = A y ; m m m m m 0 Da erhalte wr durch partelle Dfferetato ud Dvso durch de Fuktoswert δ y δ y δy f m m = m (4) f y y = y

8 8 Fehlerrechug Regel: Der relatve Größtfehler st glech der Summe der Beträge der relatve Ezelfehler, jeder multplzert mt dem Expoete der Varable. Gl. (4) et a auch de Produktfehler. Übrges st cht festgelegt, we de Fehler δy für das Fehlerfortpflazugsgesetz zu blde sd; wr habe her de mttlere Fehler des Mttelwertes gewählt. 4. Fehler eer Fukto De agegebee Fehlerfortpflazugs-Formel erlaubt, für ee mt vorgegebee Zahlewerte der Varable berechete Fuktoswert de Fehler zu bestmme. Dazu muss de Fukto berets bekat se. Vele Expermete dee jedoch dazu, de Fukto selbst erst zu fde. Dazu müsse cht feste Werte der Varable achgemesse werde; es teressert auch cht der Fehler ees ezele Fuktoswertes, soder es stellt sch de Frage ach der aus de Messfehler resulterede Ugeaugket des fuktoale Zusammehages selbst. Ee fuktoale Zusammehag msst ma, dem ma Varable schrttwese ädert. 5 4 Equato f(x) f(x) = a + bx Value Stadard Error Itercept Slope f(x) x Abb. : Messpukte mt Apassug (rote Gerade) eer Bestgerade f(x) = a + bx ach der Methode der kleste Quadrate mt dem Programm Org. De Ergebsse sd a = 0,5 ± 0,08 ud b = 0,43 ± 0,0. Am Bespel eer Gerade f = a +bx soll der Fehler eer Fukto utersucht werde. De Varable x wurde vorgegebee Schrtte geädert, ud de zugehörge Fuktoswerte f(x) wurde gemesse. Dabe sd x mt eem Estellfehler ud de f mt eem Messfehler beaufschlagt. I eer grafsche Darstellug (Abb. ud ) erket ma, dass de Pukte (x, f(x)) ugefähr eem leare Zusammehag gehorche, wobe aber durch de Fehler bedgte Abwechuge auftrete. Gesucht werde u de Bestwerte der Kostate a ud b der durch de Pukte verlaufede Ausglechsgerade f = a +bx, sowe de Zuverlässgket der Kostate, d.h. dere Fehlertervall. De exakte, allerdgs aufwedge Methode st, ee Ausglech ach der Methode der kleste Quadrate vorzuehme, d.h. de Gerade so zu bestmme (zu ftte ), dass de Summe der Quadrate der Abwechuge v aller Messpukte vo der Gerade e Mmum wrd. Dese Gerade et ma da Bestgerade. Als Maß

9 Fehlerrechug 9 für de Fehler vo a ud b ka ma de Verlauf des Mmums be Varato vo a ud b um de Bestwerte herum herazehe. Abb. zegt ee solche Apassug uter Beutzug des Programms Org. Es gbt jedoch ee grafsche Methode (Abb. ), de ohe PC auskommt, allerdgs auch ur de Größeordug der Fehler der Kostate lefert. f(x) f(x ) f(x ) x x x Abb. : Messpukte mt egezechete Best- (rot) ud Streugerade (blau). De Kostrukto der Streugerade erfolgte mt eem Hlfsrechteck (gestrchelte Le). Dazu zechet ma de Bestgerade (auch Ausglechsgerade geat) ach Augemaß durch de Messpukte. De Kostrukto der Bestgerade stellt ee Mttelug der Messwerte dar, de mt geegete Hlfsmttel (z.b. e durchschtges Leal) mt gutem Ergebs durchgeführt werde ka. Aus zwe Pukte (x, f(x )) ud (x, f(x )) auf der Bestgerade bestmmt ma de Kostate a ud b ud damt de Geradeglechug der Bestgerade. Zusätzlch zechet ma - ebefalls ach Augemaß - zwe wetere Gerade, de Streugerade oder Fehlergerade. Dese sd dadurch gekezechet, dass se de Gerade maxmaler ud mmaler Stegug sd, de sch gerade och mt de Messpukte verebare lasse (Abb. ). Wesetlch st, dass sch Streugerade ud Bestgerade eem Pukt m Ier des Messtervalls schede. E Mttel zur Kostrukto der Streugerade st e Hlfsrechteck. Dazu kostruert ma e Rechteck, desse Sete parallel ud etwa m gleche Abstad zur Bestgerade lege. Das Rechteck sollte möglchst alle Messpukte umschleße. De Streugerade sd da de Dagoale des Hlfsrechtecks. E aderes Verfahre zur Bestmmug der Bestgerade ud der Streugerade geht vom Schwerpukt der Messwerte aus. Zuächst schätzt ma de Lage des Schwerpuktes ab (z.b. mmt ma de Mttelwerte der x ud der y ) ud markert h der Zechug. Da stcht ma ee Blestft de Schwerpukt ud legt das Leal a de Blestftsptze. Nu dreht ma das Leal um de Blestftachse, bs de Datepukte bedsetg der Lealle statstsch glechmäßg vertelt sd. Damt st de Bestgerade festgelegt ud wrd egezechet. De erste Streugerade erhält ma durch weteres Drehe des Leals bs auf der ee Sete der Drehachse alle Datepukte oberhalb ud auf der adere Sete uterhalb des Leals lege. Für de zwete Streugerade vertauscht ma oberhalb ud uterhalb. Da der Schwerpukt

10 0 Fehlerrechug erhalb des Dateberechs legt, kreuze sch auch Bestgerade ud Streugerade erhalb des Dateberechs. Nu ka ma vo de Streugerade de Kostate a max, b max bzw. a m, b m bestmme ud de Dffereze deser Werte gebe us e Maß für de Geaugket der Werte der Bestgerade mt a best, b best. Als Streumaße für de Kostate der Bestgerade führe wr e: amax am bmax bm a = ; b= (5) Der Faktor / ergbt sch daraus, dass de Fehler als ± halbe Fehlertervallbrete agegebe werde. Deses grafsche Verfahre st wege der zemlch wllkürlche Wahl der Streugerade zemlch ugeau, lefert aber de rchtge Größeordug des Atels der zufällge Fehler auf besoders efache Wese. Se besoderer Wert legt dar, dass ma es auf adere Fuktostype erweter ka. Zwar lasse sch Best- ud Streugerade ur be eer leare Fukto zeche, ma ka aber durch geegete Varabletrasformatoe adere Fuktoe, etwa Parabel oder Expoetalfuktoe leare Fuktoe umforme. Wll ma überprüfe, wewet zwsche de Messgröße y ud x e bestmmter, cht learer, aalytscher Zusammehag y = f(x) besteht, so muss ma de Messgröße so trasformere, das zwsche de trasformerte Größe X = ϕ( x) ud Y = ψ ( y) e learer Zusammehag besteht. Trasformert ma de Messwerte deser Wese, so zegt de Streuug der trasformerte Größe X, Y um de Bestgerade, we gut der Zusammehag y = f(x) erfüllt st. Dabe st zu beachte, dass de Kostate der Gerade ud hre Fehler de Kostate der ursprüglche Fukto rücktrasformert werde müsse. Bespel: De Expoetalfukto y = Ae Bx wrd durch folgede Varabletrasformato ee Gerade überführt: Damt ergbt sch ud a = l A sowe b = B. X = x ; Y = l y Y = l( Ae Bx ) = l A + BX = a + bx Um de zetraubede Trasformato der Messwerte zu erspare, sd Mllmeterpapere m Hadel, dere Koordate berets ach bestmmte mathematsche Fuktoe trasformert sd. So gbt es für de Expoetalfukto das Semlogarthmepaper, desse Abszsse lear getelt st, de Ordate aber so, dass de ezutragede Werte a de hre Logarthme etsprechede Stelle komme. Ma erspart sch so das Logarthmere der Messwerte; auf eem solche Paper aufgezechet, ergbt ee Expoetalfukto also ee Gerade.