Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen

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1 Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen Komplexe Zahlen Koordinatenwechsel Aufgabe. Zeichnen Sie die folgende Zahlen zunächst in ein (kartesisches) Koordinatensystem. Bestimmen Sie dann die Polarkoordinaten der jeweiligen Zahl: a) z = i b) z = i c) z = 5 d) z = i e) z = i f) z = + i g) z = 0 Aufgabe. Schreiben Sie z in Polar- bzw. Kartesischen Koordinaten a) z = + i b) z = ( cos( π ) + i sin( π )) Aufgabe. Berechnen Sie zu den folgenden Polarkoordinaten r, ϕ jeweils z in kartesischer Darstellung. Zeichnen Sie die entstehenden Zahlen in ein (kartesisches) Koordinatensystem. a) r =, ϕ = π b) r =, ϕ = π c) r =, ϕ = π + π d) r =, ϕ = π e) r =, ϕ = π Rechnen mit komplexen Zahlen Aufgabe. Berechnen Sie Re(z), Im(z) sowie z, z und z für folgende komplexe Zahlen z: a) z = + i b) z = c) z = i d) z = + i Aufgabe.5 Für z = i und w = + i berechnen Sie z w sowie w z. Zeichnen Sie z und w sowie z w und w z in ein kartesisches Koordinatensystem. Welche Beziehungen gelten für die Winkel der Zahlen? Aufgabe.6 (Gleichung mit komplexen Zahlen): Für welche reellen Zahlen a, b R gilt a bi a( + i) + 5b + i = 0? Tipp: Analog zu Gleichungen mit Vektoren im R, erhalten Sie aus der obigen Gleichung in komplexen Zahlen zwei Gleichungen in reellen Zahlen.

2 Gleichungen mit komplexen Zahlen Aufgabe.7 Berechnen Sie z aus: a) i = (5 + i) z b) 9i = ( i)(z + i) Tipp: Es ist möglich durch komplexe Zahlen a + ib zu teilen! Aufgabe.8 Skizzieren sie folgende Punktmengen in der komplexen Ebene: a) {z C : z = } b) {z C : z = } c) {z C : z = } Tipp: Nutzen Sie das Verhalten der Winkel bei der Multiplikation von komplexen Zahlen. Aufgabe.9 Skizzieren sie folgende Punktmengen in der komplexen Ebene: a) {z C : 0 Im(z), Re(z) } b) {z C : z 6} c) {z C : z } d) {z C : z ( + i) } Tipp: ) Die Zahl w := z (c + id) ist die Zahl, die zu c + id addiert z ergibt: (c + id) + w = z. Von dieser Zahl w wird in c) und d) eine Aussage über die Länge gemacht. ) Betrachten Sie einmal eine Darstellung von z als a + bi mit a, b R. Es ergibt sich z. B.: a + bi ( + i) = (a ) + (b ) Im R gilt ganz analog: ( ) (a ) + (b ) = a b ( ) = Der Abstand von ( ) zu a b ( )

3 Lösungen Lösungen Lösungen zu Aufgabe.: Skizze: 0 i π π 5π π i i i i Berechnen der Polarkoordinaten: a) z = i r = + =, arg(z) = arctan( ) = π = π π = 7π b) z = i r = 8, arg(z) = π + arctan() = π + π = 5π c) z = 5 r = 5, arg(z) = arctan(0) = 0 d) z = i r =, arg(z) = π e) z = i r = =, arg(z) = arctan( ) = π (da Re(z) = 0 und Im(z) < 0.) = π π = 7π f) z = + i r = + =, arg(z) = π + arctan( ) = π π = π g) z = 0 r = 0, Der Winkel von z = 0 ist beliebig. Lösungen zu Aufgabe.: Schreiben Sie z in Polar- bzw. Kartesischen Koordinaten (a) r = ( ) + = + =, arg(z) = arctan +π = arctan( )+π = π +π π z = ( cos( π ) + i sin( π )) (b) In diesem Fall ist z bereits in Polarkoordinaten gegeben, der Radius is r =, Winkel ist ϕ = π. Berechnung der kartesischen Koordinaten: Re(z) = cos ( π ) = =, Im(z) = sin ( π ) = z = i Lösungen zu Aufgabe.: Zu den gegebenen Polarkoordinaten von z die kartesischen Koordinaten berechnen: (a) z = cos(π ) + i sin( π ) = i =0 = (b) z = cos(π ) + i sin( π ) = ( + i) = =

4 (c) z = cos(π + π ) + i sin(π + π ) = i =0 = Da cos(π + x) = cos(x) und sin(π + x) = sin(x) kann man die π im Winkel eigentlich sofort weglassen. (d) z = cos(π ) + i sin( π ) = i =0 = (e) z = cos(π ) + i sin( π ) = ( + i) = = Lösungen zu Aufgabe.: (Rechnungen mit komplexen Zahlen): Berechnen Sie Re(z), Im(z), arg(z), z, z, z. (a) z = + i Re(z) =, Im(z) =, arg(z) = arctan( ) = π, z = i, z = z z z = i + = i, z = ( + i) ( + i) = + i + i = + i = i (b) z = Re(z) =, Im(z) = 0, arg(z) = π + arctan( 0 ) = π + 0 = π z =, z = =, z = ( ) ( ) = 9 (c) z = i Re(z) = 0, Im(z) =, arg(z) = π (Der Winkel ergibt sich ohne Rechnen, da Re(z) = 0 und Im(z) > 0.) z = i, z = z z z = i ( i)(i) = i = i, z = (d) z = + i Re(z) =, Im(z) =, arg(z) = arctan(/) π z = i, z = z z z = i + = 5 5 i, z = ( + i) ( + i) = + i + (i) = i = 7 + i Lösungen zu Aufgabe.5: Berechnen von z + w, z w sowie z w. z = i, w = + i, (bemerke: w = z) z w = ( i) ( + i) = ( + i) i ( + i) = + i i i = ( ) =

5 z w = z w ( i) ( i) i + i = = w w ( + i) ( i) i = i = i Durch eine Zeichnung kann man arg(w) = pi und arg(z) = pi Es gilt: arg(w z) = arg() = 0 und arg(z) + arg(w) = 0. = π π = 7π verifizieren. Also gilt arg(z w) = arg(z) + arg(w) (wie stets bei komplexer Multiplikation). Es gilt: arg(z/w) = arg( i) = π π und arg(z) arg(w) = = π π = π. Also gilt arg(z/w) = arg(z) arg(w) (wie stets bei komplexer Division). Lösungen zu Aufgabe.6: (Gleichung mit komplexen Zahlen) Zunächst multipliziert man aus und sammelt alle Terme die i enthalten (Imaginärteil) zusammen: a bi a( + i) +5b + i = 0 a bi a a i +5b + i = 0 (a a + 5b + ) + ( b a ) i = 0 Damit die Gleichung erfüllt ist, muss der Imaginärteil und der Realteil der Zahl links gleichzeitig Null sein. Man erhält also zwei Gleichungen Re : a + 5b + = 0 Im : a b = 0 Re : a + 5b + = 0 Im : a = b Einsetzen der zweiten Gleichung in die erste liefert: ( b ) + 5b + = 0 b + = 0 b = Einsetzen von b = in die erste Gleichung liefert: Lösung: a =, b =. a = ( ) + = Lösungen zu Aufgabe.7: (Gleichungen mit komplexen Zahlen): Berechnen Sie z aus: (a) i = (5 + i) z : (5 i) ( i) (5 + i) = i = z NR ( i) (5+i) = ( i) (5 i) (5+i) (5 i) = i 5 + = i 6 Also folgt z = i. (b) Ausmultiplizieren bringt 9i = z( i) + 0i + 5. Auflösen ergibt z = +9i i Also folgt z = 7 5i. ( 9i) = ( i) (z + i) : ( i) ( 9i) ( i) = i i + i = z = z + i + i = 7 5i NR ( 9i) ( i) = ( 9i) (+i) (+i) (+i) = 0 5i + = i 5

6 Lösungen zu Aufgabe.8: c) Um z = zu lösen, benutzt man Polarkoordinaten: Gilt z =, so müssen auch die Winkel und Radii der beiden Zahlen gleich sein. Also muss für den Radius z von z gelten: z = z = =. gilt wegen z = Weil z eine reelle Zahl ist, kommt also nur z = in Frage. Für den Winkel α := arg(z) von z muss gelten: arg(z ) = arg(z) = α = arg() gilt wegen arg(x y) = arg(x) + arg(y) Der Winkel von ist eigentlich arg() = 0, allerdings ist dies nur eindeutig bis auf vielfache von π. Mit anderen Worten: auch arg() = n π mit n N ist richtig. Dies heißt also, dass arg(z ) = α ein vielfaches von π sein muss! Es gibt nun drei Möglichkeiten: α = 0 π α = π α = π oder oder α = 0 α = π α = π Die Lösungen mit größeren Werten für n in α = n π liefern keine neuen Lösungen von z = : Die Lösung α = 6π liefert α = π, und dies liefert das selbe z wie α = 0. Die Lösung α = 8π liefert α = 8π/ = π + (π/), und dies liefert das selbe z wie α = (π/). Die Lösung α = 0π liefert α = 0π/ = π + (π/), und dies liefert das selbe z wie α = (π/). Berechnet man nun die entsprechenden Punkte z aus α so erhält man die drei Lösungen: für α = 0 z = für α = π z = + i für α = π z = i Die einzigen Lösungen von z = sind z = und z =. In Polarkoordinaten gilt: z = arg(z ) = 0 z = arg(z ) = π Die einzigen Lösungen von z = sind z =, z = i, z = und z = i.. In Polarkoordinaten gilt: z = arg(z ) = 0 z = arg(z ) = π z = arg(z ) = π z = arg(z ) = π 6

7 Abbildung : Lösung Aufgabe.9 a) Die einzigen Lösungen von z = sind z =, z = + i und z = i.. In Polarkoordinaten gilt: z = arg(z ) = 0 z = arg(z ) = π z = arg(z ) = π Lösungen zu Aufgabe.9: (Geometrie) Skizzieren sie folgende Punktmengen in der kompl. Ebene: (a) Die Geraden Im(z) = 0, Im(z) =, Re(z) = teilen die Zahlenebene in 6 Bereiche auf, die gesuchte Punktmenge ist einer davon eine Art Halbstreifen (s. Abbildung ). (b) Innere des Kreises um z = 0 mit Radius 6, Kreislinie eingeschlossen. (c) Innere des Kreises um z = mit Radius, Kreislinie eingeschlossen (also eine um die Zahl nach rechts verschobener Kreisscheibe). (d) Innere des Kreises um z = + i mit Radius, Kreislinie eingeschlossen (also eine um die Zahl + i verschobene Kreisscheibe). 7