1. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik 1 Wintersemester 2009/10

Transkript

1 M. Boßle, P. Engel B. Krinn, Dr. I. Rybak. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 9/ Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A.-M. Sändig Präsenzübungen Aufgabe P. Elementares Rechnen Berechnen Sie ohne Taschenrechner: (a) x = 97, 8 : 7 (b) x = (c) x 3 = ( ) (d) x 4 = 7 Aufgabe P. Vollständige Induktion Beweisen Sie folgenden Summenformeln mit Hilfe der vollständigen Induktion: (a) n k= k (k + ) = n n + (b) n k= k 3 = n (n + ) 4 Aufgabe P 3. Summen Welche der folgenden Ausdrücke sind gleich? (a) (c) (e) n k= a k+ n+ a k k= n l= n k= a k ( ) l +l a n (l ) n+ + ( ) k+ a k k= (b) (d) n+4 a k 7 k=4 n+ l= ( ( ) l ) ( π ) sin + lπ a l Aufgabe P 4. Drei Logiker sitzen auf Stühlen hintereinander. Der hinterste sieht die beiden vorderen, der mittlere sieht nur den vordersten, der vorderste sieht niemanden. Alle drei wissen, dass sie jeweils einen Hut aus der Garderobe eines Theaters aufgesetzt bekommen haben, und sie wissen, dass diese Garderobe fünf Hüte zur Verfügung hat: zwei rote und drei schwarze. Nun wird der hinterste Logiker gefragt, ob er seine Hutfarbe kenne. Er sagt Nein. Dann wird der mittlere das gleiche gefragt. Auch er sagt Nein. Schließlich wird der vorderste gefragt. Was antwortet er?

2 . Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H. Beweisen Sie mit Hilfe von vollständiger Induktion die folgenden Aussagen: n (a) Für jede natürliche Zahl n ist k + eine Quadratzahl. k= Hinweis: Finden Sie zunächst durch Einsetzen einiger Zahlen für n eine Formel der Form n k + =? und beweisen Sie dann diese. k= (b) Für jede natürliche Zahl m gilt m k= q k = qm+ q für jede Zahl q R {} Aufgabe H. Zweimal Induktion Sei M(d, k) die Menge der k-tupel mit maximaler Komponentensumme d gegeben durch { } M(d,k) = (d,...,d k ) N k k d l d. Zeigen Sie, dass die Anzahl der Elemente von M(d,k) geschrieben als M(d,k) berechnet werden kann durch ( ) d + k M(d,k) =. d Machen Sie dazu die folgenden Hilfsüberlegungen: (a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion über m die Hilfsformel m ( ) ( ) n + j n + m + =. n n + j= ( ) d + (b) Zeigen Sie, dass gilt: M(d, ) =. d d (c) Zeigen Sie, dass gilt: M(d,k + ) = M(d l,k). l= (d) Zeigen Sie die gewünschte Aussage, durch eine Induktion über k und benutzen Sie dabei (a), (b) und (c). Aufgabe H 3. (a) Skizzieren Sie die folgenden Mengen (b) Skizzieren Sie nun die Mengen l= M : = { (x,y) R x + y = }, M : = { (x,y) R x + y < }. M 3 : = { (x,y) R (x ) + (y ) (x ) + (y + ) }, M 4 : = { (x,y) R y > }. und die Schnittmenge von M 3 und M 4.

3 M. Boßle, P. Engel B. Krinn, Dr. I. Rybak. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 9/ Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A.-M. Sändig Präsenzübungen Aufgabe P 5. Bestimmen Sie die Menge aller reellen Zahlen, die die folgenden Ungleichungen erfüllen: (a) x + 3 > x (x + 3) (b) x + 3x 4 + < x x (c) x x Aufgabe P 6. Eigenschaften von Abbildungen Untersuchen Sie, ob folgenden Abbildungen surjektiv, injektiv oder bijektiv sind: (a) f : R R: x x (b) f : R R + : x x (c) f 3 : R R: x min{x, x } (d) f 4 : R + R + : x x (e) f 5 : R (, ]: x + x Aufgabe P 7. Skizzieren Sie die Mengen M := {(x, y) R x > }, M := {(x, y) R x + y = }, M 3 := {(x, y) R (x ) + y = 4}, M 4 := {(x, y) R (x ) + (y + ) = 4}, M 5 := {(x, y) R (x ) + (y + ) 4}, M 6 := {(x, y) R y (x + ) }. Aufgabe P 8. Zwei Schatzsucher finden folgenden Text, mit dem ein Pirat die Lage seines vergrabenen Schatzes auf einer Insel beschrieben hat: Gehe von der alten Eiche am Westufer 65 Schritte in Richtung Brunnen, dann 5 Schritte nach Norden. Von hier gehe exakt die Hälfte der Strecke auf den Leuchtturm zu, dann 3 Schritte nach Westen. Na toll!, meint der erste Schatzsucher. Woher sollen wir wissen, wie lang die Schritte des Piraten waren? Ich habe die Insel erkundet!, entgegnet der zweite Schatzsucher. Die Eiche, der Brunnen und der Leuchtturm stehen noch. Von der Eiche zum Brunnen und zum Leuchtturm habe ich jeweils 39 Schritte gebraucht. Der Leuchtturm steht 3 Schritte nördlich des Brunnens. Ich weiß wo der Schatz liegt! Wo müssen die beiden Schatzsucher graben?

4 . Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 4. Ungleichungen, vollständige Induktion (a) Mit Hilfe des Binomischen Satzes zeigen Sie für x R, x und n N, n die Abschätzung ( + x) n + n 4 x. (b) Zeigen Sie: a n = (n ) 3 + n 3 + (n + ) 3 ist für n N durch 9 teilbar. Aufgabe H 5. Mengen Gegeben sind die Mengen M bis M 5 und die Zahlen x bis x 6 : M = { k N n N: n! = k } M = { x R 4x Z } M 3 = { a R b R: a = b } M 4 = { x R y N : x < y } { M 5 = z R n N : z n } x = x = 7 x 3 = x 4 = 3 x 5 = 5, 5 x 6 = Erstellen Sie eine Tabelle und tragen Sie in die (k, l)-te Zelle wahr ein, falls die Aussage x k M l wahr ist. Aufgabe H 6. Injektivität, Surjektivität und Bijektivität (a) Prüfen Sie folgenden Funktionen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität: f : R R: x x 3 x g : N N: n n! h: N Q: n 5n 3n + 5 n 5 (b) Es seien die Mengen M := {,,, 3} und M := {,,, 3, 4} gegeben. Existiert eine injektive, eine surjektive bzw. eine bijektive Abbildung von M nach M? (c) Existiert eine injektive, eine surjektive bzw. eine bijektive Abbildung vom Intervall I := [, 3] R ins Intervall I := [, 4] R?

5 M. Boßle, P. Engel B. Krinn, Dr. I. Rybak 3. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 9/ Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A.-M. Sändig Präsenzübungen Aufgabe P 9. Rechnen mit komplexen Zahlen Geben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form a + bi an. z = ( + i) z = + 5i 3 + i z 3 = Im ( ) 3 + 7i Aufgabe P. komplexe Wurzeln Berechnen Sie alle Nullstellen der folgenden Polynome: (a) p (z) = z 4 (b) p (z) = z 3 8i Aufgabe P. Komplexe Gebiete Gegeben sind die Mengen M = { z C Im(z) < 3 } M = { z C z i < } M 3 = { z C ( + i)z 4 } M 4 = { z C Re ( ) z, z } in der komplexen Zahlenebene. Skizzieren Sie M bis M 4 und M 3 M 4. Aufgabe P. Überprüfen Sie, ob die folgenden Abbildungen injektiv, surjektiv oder bijektiv sind und begründen Sie Ihre Antwort: (a) f : C C: c c (b) h: C C: c i c (c) k: C C: c c (cos(arg(c)) + i sin(arg(c))) (d) l: C C: c (cos(arg(c)) + i sin(arg(c))) Zusatzaufgabe P 3. C kein geordneter Körper Zeigen Sie, dass es keine Anordnung < auf C gibt, die sich mit der Addition und der Multiplikation des Körpers verträgt: d. h. so, dass für beliebige z,z,z 3 C gilt: z < z = z + z 3 < z + z 3 ( < z < z ) = < z z (z < z ) (z > z ) (z = z ) Hinweis: Überlegen Sie, was aus < i (bzw. i < ) folgen würde.

6 3. Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 7. Komplexe Zahlen Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil, Betrag und Argument, sowie das komplex Konjugierte der folgenden komplexen Zahlen: (a) z = + i 3 4i (b) z = 3 i + i ( + i) (c) z 3 = ( ) i (d) z 4 = ( ( i) ) 8 Aufgabe H 8. Wurzelziehen im Komplexen Bestimmen alle n-ten Wurzeln von z für die folgenden Werte n und z. Geben Sie das Ergebnis in der Form a + bi mit a,b R an. (a) n = 8 und z = (b) n = und z = i (c) n = und z = + 3i Aufgabe H 9. Gegeben sind folgende Mengen: M = { z C z }, M = { z C Im z + Re z }, M 3 = C C (M M ) M 4 = C C (M ) C C (M ) Zeichnen Sie die Mengen M, M, M 3 und M 4. Aufgabe H. Berechnen Sie alle komplexen Nullstellen der folgenden Polynome: (a) p (x) = x 3 8x + 7x (b) p (x) = x 3 x +

7 M. Boßle, P. Engel B. Krinn, Dr. I. Rybak 4. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 9/ Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A.-M. Sändig Präsenzübungen Aufgabe P 4. Es seien die folgenden Vektoren gegeben: v = ( ) (, v = ) ( 5, v 3 = 4 ), w = Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind: (a) Die Menge L (v ) ist ein Untervektorraum von R. (b) Die Vektoren v und v sind linear unabhängig. (c) Die Vektoren v und v bilden eine Basis von R. (d) Es gilt: L (v,v,v 3 ) = R. (e) Die Vektoren v, v und v 3 sind ein Erzeugendensystem von R. (f) Die Vektoren v, v und v 3 bilden ein Basis von R. (g) Es gilt: w w =. (h) Es gilt: L (w,w ) = { (x,y,z) R 3 5x + y 4z = }., w = Aufgabe P 5. Nach.4.3 der Vorlesung ist C ein R-Vektorraum. Welche der folgenden Mengen sind R-Untervektorräume von C? Welche sind C-Untervektorräume? (a) M = R (b) M = { z C Im(z) } (c) M 3 = { z C Im(z) = Re(z) } (d) M 4 = { z C (Im(z)) = (Re(z)) } (e) M 5 = { z C z = z i } (f) M 6 = {} Aufgabe P 6. Gegeben seien die folgenden Funktion aus dem Vektorraum C ([, π]) (siehe.6.3): f : R R: x f : R R: x cos(x) Begründen Sie die folgenden Aussagen: (a) Die Funktionen f und f sind linear unabhängig. (b) Es gilt (sin(x)) L (f,f ) und (cos(x)) L (f,f ). (c) Es gilt sin(x) cos(x) / L (f,f ). 3.

8 4. Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H. In R 3 seien die Punkte P = (,, ), P = (,, ), P 3 = (3,, ) sowie Q = (,, ), Q = (,, ), Q 3 = (,,α) gegeben. Geben Sie die Ebene, die P, P und P 3 enthält, und die Ebene, die Q, Q und Q 3 enthält, an. Berechnen Sie α so, dass die beiden Ebenen parallel sind. Aufgabe H. Sei V ein R-Vektorraum mit Skalarprodukt (siehe.6..) und b,b,b 3 V so, dass b b =, b b =, b b 3 =, b b =, b b 3 = und b 3 b 3 = 3. Berechnen Sie b + b + b 3 αb b 3 b für α R und b + b + b 3. Aufgabe H 3. Faktorisierung von Polynomen, Wurzelziehen bei komplexen Zahlen Berechnen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichung Hinweis: z = ist mehrfache Lösung. z 6 4z 5 + 5z 4 4z 3 + 5z 4z + 4 = Aufgabe H 4. { } Wir betrachten den Vektorraum Pol R := j= α jx j αj R der reellen Polynome vom Grad höchstens und die Mengen B = {,X,X } und C = {X,X,X + }. Weisen Sie nach, dass es sich um Basen von Pol R handelt.

9 M. Boßle, P. Engel B. Krinn, Dr. I. Rybak 5. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 9/ Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A.-M. Sändig Präsenzübungen Aufgabe P 7. Gegeben seien die Basen B = {b,b } und C = {c,c } des R durch ( ) ( ) ( ) ( b =, b = und c =, c = Weiter seien die Vektoren v, w in den Basen B bzw. C gegeben durch ( ) ( ) 4 v =, B w =. C Berechnen Sie die Summe v + w und geben sie das Ergebnis in der Basis B an. Überlegen Sie sich mindestens 3 mögliche Wege durch die Sie das Ergebnis berechnen können. Aufgabe P 8. (a) Sei b, b ein Orthonormalsystem. Zeigen Sie, dassw(b,b ) = π gilt. (b) Geben Sie ein Rechtssystem und ein Linkssystem für R 3 an. (c) Sei f = 5 (, ) R. Bestimmen Sie f R, so dass f, f ein Rechtssystem bilden. Aufgabe P 9. Gegeben sei das Dreieck im R bestehend aus den Punkten (, ), (3, ) und (, 5) (a) Finden Sie Bedingungen, die die Punkte innerhalb des Dreiecks beschreiben. (b) Berechnen Sie die Höhen und den Höhenschnittpunkt des Dreiecks. Aufgabe P. Sei V der Raum alle Polynome auf [, ] mit Grad maximal gegeben durch { } V = p: [, ] R: X ax + bx + c a,b,c R. Dieser Raum kann mit dem Skalarprodukt p q = p(x)q(x) dx aus Beispiel.6.3 versehen werden. (a) Bestimmen Sie eine Basis des Vektorraums V. Welche Dimension besitzt er? (b) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von V bezüglich des gegebenen Skalarproduktes. ).

10 5. Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 5. Vektoren, Skalarprodukt, Vektorprodukt Gegeben seien drei Vektoren a, b, c R 3. (a) Beweisen Sie den folgenden Entwicklungssatz durch elementare Rechnung: a (b c) = a c b a b c. (b) Gegeben seien zwei nicht parallele Vektoren a und c. Für welche Vektoren b R 3 gilt a (b c) = (a b) c? Aufgabe H 6. Gegeben seien die Basen B = {b,b,b 3 } und C = {c,c,c 3 } des R 3 durch b =, b = 3 b 3 = und c =, c =, c 3 =. Weiter seien die Vektoren v, w in den Basen B bzw. C gegeben durch v =, w = 3. B C 3 Berechnen Sie C v, B w sowie B (3v + 3w). Aufgabe H 7. Im R 3 sei E die Ebene durch die Punkte P = (,, 3), P = (, 3, ), P 3 = (,, ) (a) Berechnen Sie die Hessesche Normalform von E. (b) Berechnen Sie das Spiegelbild der Geraden g an E, wobei 3 g : x = 4 + t 3.

11 M. Boßle, P. Engel B. Krinn, Dr. I. Rybak 6. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 9/ Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A.-M. Sändig Präsenzübungen Aufgabe P. Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden linearen Gleichungssysteme: ( ) ( ) ( ) 4 x (a) = x ( ) ( ) ( ) 3 5 x (b) = 6 4 x Aufgabe P. Matrizenaddition und -multiplikation Gegeben seien die Matrizen A = ( ) ( ), B =, C = ( ), D = 3 Geben Sie an, welche der Matrizenprodukte und Summen ( ), E = 3 4 AB, BA, CE, EC, E C, A + B, B + D, C + D. existieren und berechnen Sie diese. ( ). 4 3 Aufgabe P 3. Wir betrachten die folgenden linearen Gleichungssysteme in R 3. (a) x x 3 + 3x = x + x 3 = 3x + 3x = (b) x + 3x = x + x = 4 7x + x = Sind die Gleichungssysteme jeweils homogen oder inhomogen? Stellen Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix auf. Lösen Sie die Gleichungssysteme. Führen Sie eine Probe durch. (c) x + x = 5 x + x = 4 3x + x = Aufgabe P 4. Lineares Gleichungssystem André Citroën, Rudolf Diesel und Henry Ford spielen ein Würfelspiel, bei dem jeder mit einem Würfel genau einmal würfeln darf. Rudolf Diesel würfelt nur eine halb so hohe Augenzahl wie Henry Ford und André Citroën zusammen. Dahingegen würfelt Henry Ford eine genauso hohe Augenzahl wie die anderen beiden gemeinsam. Wenn André Citroën, Rudolf Diesel und Henry Ford zusammengenommen genau die bei einem Würfel höchstmögliche Augenzahl würfeln, welche Augenzahl würfeln dann die einzelnen Ingenieure?

12 6. Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 8. Entscheiden Sie ob die folgenden Terme definiert sind und berechnen Sie diese (falls sie definiert sind): A := 3 7 B := C := (a) AB (b) BA (c) C + A (d) C AB (e) (B + C) A Aufgabe H 9. Bestimmen Sie alle Lösungen des linearen Gleichungssystem Ax = b mit Hilfe des Gauß- Algorithmus, dabei sind A und b gegeben durch A = 3 4 3, b = Aufgabe H. ( ) a a Wir betrachten die -Matrix A =. Welche Bedingungen müssen die Einträge a a von A erfüllen, damit für beliebige -Matrizen B die Gleichung AB = BA gilt? Aufgabe H. Lineares Gleichungssystem Es soll nach folgender Tabelle (Nährstoffanteile (in %)) ein Obstsalat zusammengestellt werden, der insgesamt 9 g Eiweiß, 5 g Fett und 94 g Kohlenhydrate enthält. Eiweiß Fett Kohlenhydrate Äpfel,3,6 5 Bananen,, Orangen,, Stellen Sie hierfür ein lineares Gleichungssystem auf und lösen Sie es. Interpretieren Sie das Ergebnis.

13 M. Boßle, P. Engel B. Krinn, Dr. I. Rybak 7. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 9/ Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A.-M. Sändig Präsenzübungen Aufgabe P 5. Gegeben sei die Matrix A = (a) Bestimmen Sie den Rang von A. (b) Untersuchen Sie die Abbildung f : R 4 R 3 : x Ax auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität. (c) Führen Sie die Punkte (a) und (b) auch für A durch. Was stellen Sie fest? Aufgabe P 6. Basiswechsel Gegeben ist der Vektorraum R 3 mit der Basis B: (,, ), (,, ), (,, ) sowie mit der Standardbasis E. (a) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung E id B, die Koordinaten bezüglich B in Koordinaten bezüglich E umrechnet. (b) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung B id E, die Koordinaten bezüglich E in Koordinaten bezüglich B umrechnet. Aufgabe P 7. Eine lineare Abbildung ϕ: R 3 R 3 soll die folgenden Bedingungen erfüllen: ϕ = ϕ = Bestimmen Sie E ϕ E. ϕ =.

14 7. Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H. Es sei die Matrix B gegeben durch B = Berechnen Sie die Inverse der Matrix B. Aufgabe H Gegeben seien der Vektor b = (,,, 3 t ) und die Matrix 3 A(t) = t t 4 + t 4t 4 t 8t, t R t 9 + t (a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von t den Rang der Matrix A sowie die Dimension des Lösungsraumes des homogenen linearen Gleichungssystems Ax =.. (b) Geben Sie für t = eine Basis des Kerns von A an. (c) Für welche Werte von t ist das inhomogene Gleichungssystem Ax = b lösbar? Aufgabe H 4. Gegeben sei die lineare Abbildung ϕ: R 3 R mit ϕ(x) = ( (a) Berechnen Sie die Matrix B, die die Abbildung ϕ bezüglich der folgenden Basen ausdrückt: ) v = (,, ), v = (,, ), v 3 = (,, ) im R 3, und w = (, 3), w = (, 5) im R. (b) Welche Koordinaten hat ϕ x x x 3. bezüglich der Basis {w,w }?

15 M. Boßle, P. Engel B. Krinn, Dr. I. Rybak 8. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 9/ Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A.-M. Sändig Präsenzübungen Aufgabe P 8. Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrizen: ( ) 3 A = B = Aufgabe P 9. Gegeben sind die Abbildungen g : R 3 R 3 : (x,y,z) (x + y 4z, y + z, x + y z) g : R 3 R 3 : (x,y,z) (x,xyz,z + 3x 9y) g 3 : R R 3 : (x,y) (5x + y, 4y, 3y + 4x) (a) Welche dieser Abbildungen sind linear? Geben Sie die Matrixdarstellung der linearen Abbildungen bezüglich der Standardbasis an. (b) Bestimmen Sie jeweils den Kern der gegebenen Abbildungen, falls sie linear sind. Welche Dimension haben jeweils Kern und Bild der linearen Abbildungen? (c) Welche der linearen Abbildungen sind injektiv, surjektiv, bijektiv? (d) Begründen Sie, warum die Abbildung g g 3 linear ist. Geben Sie auch dafür die Matrixdarstellung E (g g 3 ) E bezüglich der Standardbasis E an. Bestimmen Sie den Kern und das Bild von g g 3. Aufgabe P 3. Gegeben sei die Matrix A durch A = (a) Berechnen Sie die Determinate von A (b) Bestimmen Sie die Adjunkte à von A. Dabei ist die Adjunkte à die Matrix, die die Einträge ã jk = ( ) j+k detãjk hat. (Siehe Skript Definition 3.3.) (c) Berechnen Sie die Inverse von A. (d) Finden Sie einen Zusammenhang zwischen deta, à und A..

16 8. Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 5. Berechnen Sie die Determinante der Matrix A, die gegeben ist durch 3 4 A = 5. Aufgabe H 6. Gegeben sei für α R die Matrix A α durch A α = 3 α. (a) Bestimmen Sie für welche α R die Matrix A α invertierbar ist. (b) Berechnen Sie die inverse Matrix von A α, falls sie existiert. Aufgabe H 7. Gegeben sei die folgende Matrix A n = cos(x) cos(x) cos(x) R n n.... cos(x) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion deta n = cos(nx).

17 M. Boßle, P. Engel B. Krinn, Dr. I. Rybak 9. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 9/ Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A.-M. Sändig Präsenzübungen Aufgabe P 3. Orthogonale Matrizen Welche der folgenden Matrizen sind orthogonal? Welche davon sind eigentlich bzw. uneigentlich orthogonal? A = ( ) (, B = ), C =. Aufgabe P 3. Orthonormierungsverfahren Gegeben seien die Vektoren a,a,a 3,a 4 R 4 mit 6 a =, a =, a 3 = 7, a 4 = und V = L (a,a,a 3,a 4 ). (a) Berechnen Sie die Dimension von V und eine Basis von V. (b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Verfahrens von Schmidt eine Orthonormalbasis von V. 4 Aufgabe P 33. kongruente Ellipsen Gegeben seien die beiden Ellipsen } E = {(x,y) R x + y 4 =, E = {(x,y) R (x 5) 4 } + (y + ) =. Skizzieren Sie die beiden Ellipsen. Geben Sie eine eigentliche Bewegung an, die E auf E abbildet.

18 9. Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 8. Schmidtsches Orthonormierungsverfahren In R 3 sind die Vektoren v = (,, ), v = (,, ) und v 3 = (,, ) gegeben. (a) Konstruieren Sie (mit Hilfe des Schmidtschen Orthonormierungsverfahrens) eine Orthonormalbasis F : f,f,f 3 von R 3 derart, dass L (f ) = L (v ), L (f,f ) = L (v,v ) und L (f,f,f 3 ) = L (v,v,v 3 ). (b) Lässt sich mit Hilfe dieses Verfahrens auch eine Orthonormalbasis von R 3 konstruieren, wenn ṽ 3 = (,, ) statt v 3 verwendet werden soll? Aufgabe H 9. Drehachsen und Drehwinkel Gegeben seien die affinen Abbildungen α : u Au, β : v Av + s und γ : w Aw + t von R 3 nach R 3 mit A =, s = 5, t =. 3 4 (a) Bestätigen Sie, dass α, β und γ Bewegungen sind. Handelt es sich um eigentliche oder uneigentliche Bewegungen? (b) Zeigen Sie, dass α eine Drehung ist, indem Sie die Drehachse (die Menge aller Fixpunkte x mit x = α(x)) und den Drehwinkel bestimmen. Hinweis: Finden Sie zur Berechnung des Drehwinkels einen Vektor y, der orthogonal zur Drehachse ist, und berechnen Sie den Winkel zwischen y und α(y) oder benutzen Sie (c) Bestimmen Sie die Fixpunkte von β und γ (also die Punkte x mit β(x) = x beziehungsweise γ(x) = x). Kann es sich auch bei β und γ um Drehungen handeln? Aufgabe H 3. Komposition und Inverse von Bewegungen Gegeben sind Bewegungen α: R n R n : x Ax + s und β : R n R n : x Bx + t. Zeigen Sie, dass die Komposition β α ebenfalls eine Bewegung ist. Zusatz: Ist jede Bewegung invertierbar? Sind die Inversen von Bewegungen wieder Bewegungen?

19 M. Boßle, P. Engel B. Krinn, Dr. I. Rybak. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 9/ Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A.-M. Sändig Präsenzübungen Aufgabe P 34. ehemalige Klausuraufgabe Im affinen Raum R sind die Punkte P = (, ) und Q = (, ) sowie die Vektoren ( ) f =, f = ( ), g = ( ) und g = ( ) gegeben. Bestimmen Sie die Koordinatentransformation G κ F, welche Koordinaten bezüglich F = (P;f,f ) in solche bezüglich G = (Q;g,g ) umwandelt. Bestimmen Sie die Umkehrung dieser Transformation. Aufgabe P 35. Gegeben ist im R eine Gerade, die beschrieben wird durch die Gleichung x x + =. Finden Sie eine Matrix A und einen Vektor t so, dass die Spiegelung an der Geraden beschrieben wird durch die affine Abbildung x Ax + t. Handelt es sich um eine Bewegung? Ist diese eigentlich? Aufgabe P 36. Gegeben sei die Funktion f : [ π,π] R: x { für π x für < x π Weiter seien für n Z die Basisfunktionen (vgl. Skript Z..9) ϕ n : [ π,π] R: x c n (x) = π cos( nx) für n <, ϕ n : [ π,π] R: x c (x) = π für n =, ϕ n : [ π,π] R: x s n (x) = π sin(nx) für n > gegeben. Berechnen Sie den n-ten Fourier Koeffizienten a n, der gegeben ist durch Will be continued... a n := f ϕ n := π π f(x)ϕ n (x) dx..

20 . Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 3. Gegeben ist im R 3 die Ebene, die beschrieben wird durch die Gleichung x + x + x 3 = 5. Finden Sie eine Matrix A und einen Vektor t so, dass die Spiegelung an der Ebene beschrieben wird durch die affine Abbildung x Ax + t. Aufgabe H 3. Gegeben sind das Standard-Koordinatensystem E und das affine Koordinatensystem 3 F = ;, 3, im R 3 sowie die lineare Abbildung α : R 3 R 3 : v Av mit 4 A = Geben Sie die Koordinatentransformationen E κ F und F κ E sowie die Beschreibung der Abbildung α bzgl. des Koordinatensystems F an. Zusatzaufgabe H 33. Fortsetzung von Aufgabe P 36. Die Fourier Approximation N -ter Stufe ist gegeben durch N f N (x) := a n ϕ n (x). n= N Benutzen Sie ein Computerprogramm ihrer Wahl (WolframAlpha.com, Maple, Mathematica, Matlab,... ) oder einen Taschenrechner um f, f 3, f 5, f 7,... zu zeichnen. Zeichnen Sie zum Vergleich auch f selbst. Berechnen Sie den Fehler e N für N =, 3, 5, 7,..., der definiert wird durch e N := f f N = f f N f f N. Hinweis: Die auftretenden Integrale dürfen nachgeschlagen oder näherungsweise berechnet werden.

21 M. Boßle, P. Engel B. Krinn, Dr. I. Rybak. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 9/ Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A.-M. Sändig Präsenzübungen Aufgabe P 37. Gegeben ist die Matrix A und die Vektoren v, v, v 3 R 3 durch A := 4 7, v :=, v :=, v 3 := 3 3 (a) Welche der Vektoren v, v, v 3 sind Eigenvektoren? Geben Sie die zugehörigen Eigenwerte an. (b) Ist die Matrix A diagonalisierbar? 3. Aufgabe P 38. Berechnen Sie alle Eigenwerte und Eigenräume der folgenden Matrizen. ( ) 3 3 A := B := Geben sie die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte an. Sind A und B reell diagonalisierbar? Sind A und B komplex diagonalisierbar? Aufgabe P 39. Gegeben seien die Matrizen A, B R 3 3 durch A =, B = (a) Bestimmen Sie die charakteristischen Polynome χ A (λ) und χ B (λ). (b) Bestimmen Sie die reellen sowie die komplexen Eigenwerte und Eigenvektoren. (c) Geben Sie in den diagonalisierbaren Fällen jeweils eine Transformationsmatrix T an, die auf Diagonalgestalt transformiert. (d) Verwenden Sie diese Transformationsmatrix und die zugehörige Diagonalmatrix, um explizit B zu berechnen.

22 . Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 34. Gegeben ist die Matrix 5 4 A := Bestimmen Sie alle Eigenwerte von den Matrizen A, A und A. Aufgabe H 35. Finden Sie eine 3 3-Matrix, die die Eigenwerte, und 3 hat und zu diesen die Eigenräume V () = L, V () = L, V (3) = L. Aufgabe H 36. Berechnen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A. A = Aufgabe H 37. Es seien die Matrizen A, E n, R n n gegeben, wobei A eine beliebige Matrix, E n die Einheitsmatrix und die Nullmatrix ist. Wir definieren die Matrix M R n n durch M = ( A E n Zeigen Sie: Ist v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ, dann sind w + bzw. w Eigenvektoren von M zum Eigenwert µ + bzw. µ. Hierbei sind ( ) ( ) µ w + = + v µ, w = v, µ + = + λ, µ = λ. v v Aufgabe H 38. Berechnen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix M R 6 6 gegeben durch 3 4 M = 5. ). Hinweis: Benutzen Sie die Aussage von Aufgabe H 37.

23 M. Boßle, P. Engel B. Krinn, Dr. I. Rybak. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 9/ Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A.-M. Sändig Präsenzübungen Aufgabe P 4. Gegeben sei folgende Quadrik x + y + z + xz =. (a) Bestimmen Sie die symmetrische Matrix A R 3 3, den Vektor a R 3 und c R, so dass sich die Quadrik schreiben lässt als x Ax + a x + c =. (b) Bestimmen Sie A erw und damit, um welchen der in Definition 6.6 genannten Typen es sich handelt. (c) Zeichnen Sie Schnitte dieser Quadrik mit den Ebenen x =, y =, y = und x z =. (d) Zeichnen Sie die Quadrik. Aufgabe P 4. Gegeben sei die Quadrik Q = { (x,x ) R x x + = }. Zeichnen Sie die Quadrik in ein Koordinatensystem ein. Weiter sei die affine Abbildung α: R R gegeben durch ( ) ( ) α(v) = v +. Zeichnen Sie auch die Quadrik α(q). Aufgabe P 4. Gegeben Sei der Doppelkegel Q = { x R 3 x + x x 3 = }. (a) Skizzieren Sie die Schnitte von Q mit den Ebenen E : x 3 =, E : x 3 =, E 3 : x 3 =, E 4 : x =, E 5 : x =, E 6 : x =, E 7 : x =, und E 8 : x x =. (b) Erstellen Sie eine Skizze von Q. (c) Bestimmen Sie den Öffnungswinkel von Q.

24 . Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 39. Gegeben sei die quadratische Form q: R 3 R: (x,x,x 3 ) x + x + 3x 3 x x x x 3. Bestimmen Sie die symmetrische Matrix A R 3 3, so dass sich q schreiben lässt als q(x) = x Ax. Bestimmen Sie, ob q positiv definit, negativ definit oder indefinit ist. Aufgabe H 4. Gegeben sei die folgende Familie von Quadriken x + y + z + axz =, a R. Bestimmen Sie um welchen Typ (nach Definition 6.6) es sich in Abhängigkeit von a R handelt. Aufgabe H 4. Gegeben sei die Matrix 3 Der Vektor Eigenwerte von A. A = ist ein Eigenvektor von A. Bestimmen Sie alle Eigenräume und alle

25 M. Boßle, P. Engel B. Krinn, Dr. I. Rybak 3. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 9/ Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A.-M. Sändig Präsenzübungen Aufgabe P 43. Gegeben Sei die Quadrik Q = { x R x + x + x x = }. Bestimmen Sie eine euklidische Normalform von Q. Aufgabe P 44. Gegeben Sei die Quadrik Q = { x R 3 x + x + x 3 + x x + 4x 3 + = }. (a) Bestimmen Sie eine euklidische Normalform von Q und die Gestalt von Q. (b) Geben Sie ein Koordinatensystem an in dem Q Normalform hat. (Finden Sie auch ein zweites?) Geben Sie die Koordinatentransformation in dieses Koordinatensystem an. (c) Geben Sie eine affine Abbildung an, die die Gleichung von Q in eine der Formen aus / transformiert. Aufgabe P 45. Zeichnen Sie Niveaulinien der Funktion f : R R: (x,y) x + xy y für die Werte c {,,,, }. Die Niveaulinie N(c) zu c R ist definiert durch N(c) := { (x,y) R f(x,y) = c }.

26 3. Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 4. Gegeben sei folgende Quadrik x + y + z + axz =, a R. (a) Klassifizieren Sie diese Quadrik in Abhängigkeit von a. (b) Geben Sie eine auf Hauptachsenlage transformierende Drehung an, sowie die Quadrik nach dieser Transformation. Aufgabe H 43. Gegeben sei die Quadrik Q durch Q := { (x,y,z) R 3 4x + y + z 4xy + 4xz yz 4x + y z = }. Die Gestalt von Q ist ein paralleles Ebenenpaar. Bestimmen Sie Ebenen E E, die in Q liegen. Bestimmen Sie den Abstand zwischen E und E. Aufgabe H 44. Gegeben sei die Quadrik { Q := x R 3 x + x + x 3 + x x + x x 3 + x x 3 + } 6x 3 =. Berechnen Sie eine euklidische Normalform von Q. Geben Sie das Koordinatensystem, in dem Q diese Normalform hat und die zugehörige Koordinatentransformation an.

27 M. Boßle, P. Engel B. Krinn, Dr. I. Rybak 4. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 9/ Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A.-M. Sändig Präsenzübungen Aufgabe P 46. Gegeben sind die Folgen (a n ) n N, (b n ) n N und (c n ) n N durch a n = + ( ) n, b n = cos nπ ( ) n, c =, c n+ = 3 9 c n. Zeigen Sie, dass jede der Folgen konvergent ist und geben Sie den Grenzwert an. Aufgabe P 47. Gegeben sind die Folgen (a n ) n N, (b n ) n N, (c n ) n N, (d n ) n N und (e n ) n N durch ( π ) ( a n = 5 n, b n = cos 3 + πn, c n = ) n, d n = n, e n = ( ) n +. (a) Bestimmen Sie, ob die Folgen beschränkt sind und finden Sie gegebenenfalls eine obere und untere Schranke. (b) Bestimmen Sie, ob die Folgen (streng) monoton wachsend bzw. fallend sind. (c) Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der Folgen. (d) Geben Sie für jeden Häufungspunkt eine Teilfolge an, die gegen diesen konvergiert. Aufgabe P 48. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit a n = 3n n +. Berechnen Sie für jede reelle Zahl ε > eine natürliche Zahl N ε > so, dass für jede natürliche Zahl k, die größer ist als N ε, gilt: a k 3 < ε.

28 4. Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 45. Gegeben seien die folgenden rekursiv definierten Folgen a =, a n = a n + 5, b = 3, b n = 4b n, c = 5, c n = c n +. Bestimmen Sie eine explizite Form dieser Folgen, d.h. eine Ausdruck der nur von n aber nicht von a n, a n,... abhängt. Aufgabe H 46. Gegeben sind die Folgen a n = (( ) n ( 5 ) n ) 5 b =, b =, b n = b n + b n für n. Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass a n = b n gilt. Aufgabe H 47. Monotonie und Beschränkheit Untersuchen Sie die Folge (a n ) n N jeweils auf Monotonie und Beschränkheit. Finden Sie gegebenenfalls eine obere und untere Schranke. (a) a n = n + n (b) a n = n cos(πn) (c) a n = + ( 3 ) n ( π (d) a n = sin sin 4) ( πn ) Aufgabe H 48. Konvergenz Untersuchen Sie die Folge (a n ) n N jeweils auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls den Grenzwert (a) a n = ( )n n n + (b) a n = 4 cos ( ) πn n + 4 n + ( )n (c) a n = n (d) a n = n cos(πn)

29 M. Boßle, P. Engel B. Krinn, Dr. I. Rybak 5. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 9/ Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A.-M. Sändig Präsenzübungen Aufgabe P 49. Berechnen Sie die Grenzwerte der folgenden Folgen, falls sie existieren: ( ) ( ) ( ) ( n + 5 (n + )(n ) 4 n+ n + (,,, n ) ) n. n + n + n + n! n + n N n N n N n N Aufgabe P 5. Untersuchen Sie die folgenden rekursiv definierte Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls die Grenzwerte (a) a =, a n+ = + a n, n N (b) b =, b n+ = 3 4 b n, n N (c) c =, c n+ = 3c n +, n N Aufgabe P 5. Gegeben sind die Reihen k= k + k + 3 Weisen Sie nach, dass diese Reihen konvergieren. und k= k 3 +. Aufgabe P 5. Konvergenzkriterien Untersuchen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren. (a) 3 k k (k + ) k= (b) n (c) (d) (e) n= n= k= n= ( + ) n ( )n n sin(kx) k 5 n n!

30 5. Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Hinweis: Die Abgaben zu diesen Aufgaben werden in der ersten Übung des kommenden Semesters eingesammelt und zählen zum HM-Schein. Aufgabe H 49. Gegeben sei die Folge (a n ) n N gegeben durch ( ) + ( ) n n a n =. (a) Bestimmen Sie lim a n und lim a n. n n (b) Bestimmen Sie sup a n und inf a n, falls sie existieren. n N n N (c) Bestimmen Sie alle Häufungspunkte von a n. (d) Entscheiden Sie, ob a n konvergent ist. Aufgabe H 5. Sätze über Konvergenz Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls die Grenzwerte (a) a n = 5n3 7n n n 6n (b) b n = 3n + n + (c) c n = n (d) d n = 5n n + /n (e) e n = n 9n4 + (f) f n = n + n Aufgabe H 5. Berechnen Sie den Grenzwert der folgenden Reihen. ( ) n n + 3 n (a) (b) 5 n= n= (c) n=5 5 n

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