Mathematik Quadratwurzel und reelle Zahlen

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1 Mathematik Quadratwurzel und reelle Zahlen Grundwissen und Übungen a : a a Stefan Gärtner

2 Gr Mathematik elementare Algebra Seite Inhalt Inhaltsverzeichnis Seite Grundwissen Definition Quadratwurzel Intervallschachtelung Irrationalität von 4 reelle Zahlen 5 Rechenregeln 5 Übungen 6 Lösungen 9

3 Gr Mathematik elementare Algebra Seite Grundwissen Definition Quadratwurzel In einem Quadrat mit dem Flächeninhalt F und der Seitenlänge a gilt: a Die Länge der Seite a ist also eine Zahl, F a die mit sich selbst multipliziert die Zahl ergibt. Diese Zahl bezeichnen wir mit. a also a, denn ( ) Allgemein definieren wir: Die Quadratwurzel a aus einer positiven Zahl a ist diejenige positive Zahl, für die gilt: ( a ) a. Für a 0 gilt: 0 0. Bezeichnungen: Das Zeichen heißt Wurzelzeichen. Die Zahl unter dem Wurzelzeichen (hier a) heißt Radikand. Beachten Sie: Sowohl der Radikand, als auch der Wert der Wurzel darf nicht negativ sein. Das hat verschiedene Gründe: Der Radikand kann nicht negativ sein, da es keine Zahl gibt, die mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt. Der Wert der Wurzel darf nicht negativ sein, da sonst das Rechnen mit der Wurzel nicht mehr eindeutig wäre. Intervallschachtelung Was läßt sich über diese neue Zahl sagen? 1. liegt zwischen 1 und, denn 1 1 < < 4. liegt zwischen 1,4 und 1,5, denn 1,4 1,96 < <,5 1,5. liegt zwischen 1,41 und 1,4, denn 1,41 1,9881 < <,0164 1, Auf diese Weise läßt sich die gesuchte Zahl beliebig genau einschachteln. Hier ist dies schon bis zur ersten Nachkommastelle gelungen. Dieses Verfahren heißt Intervallschachtelung. Intervallschachtelung bedeutet hier also, dass die linken Intervallgrenzen immer größer werden, die rechten Intervallgrenzen immer kleiner werden und die Intervalllänge beliebig klein wird. Damit wird im Inneren aller Intervalle eindeutig eine Zahl festgelegt.

4 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 4 Grundwissen Wird man auf diese Weise irgendwann auf die Zahl stoßen, deren Quadrat genau ist? Der Taschenrechner liefert z. B. die Zahl 1, Eine einfache Überlegung zeigt, dass diese Zahl nicht genau die gesuchte Zahl ist: 1,41416 hat 7 Stellen nach dem Komma. Quadriert man diese Zahl, so erhält man eine Dezimalzahl mit 14 Stellen nach dem Komma, an der 14. Stelle steht dann die Ziffer 6. Damit ist die Quadratzahl nicht wie gefordert die Zahl, also 1, Der Taschenrechner liefert also mit 1,41416 lediglich eine Näherungszahl. Diese Überlegung läßt sich verallgemeinern: Es gibt keine abbrechende Dezimalzahl a, für die gilt a. Wir suchen nun nach einer Bruchdarstellung für : 1) als Bruch geschrieben müsste so aussehen: q p, wobei p und q natürliche Zahlen sind mit p > q ) Das Quadrat von q p müsste sein, also p p q q q p (*) ) p ist also ein Vielfaches von (p ist eine gerade Zahl) Damit ist auch schon p ein Vielfaches von (p ist eine gerade Zahl) ( denn nur gerade Zahlen ergeben mit sich selbst multipliziert wieder gerade Zahlen! ) Also: p m mit einer geeigneten Zahl m N In (*) eingesetzt ergibt sich: q ( m) q 4 m q m 4) q ist also ein Vielfaches von (q ist eine gerade Zahl) Damit ist auch schon q ein Vielfaches von (q ist eine gerade Zahl) Also: q n mit einer geeigneten Zahl n N p m 5) Wir setzen ein: q n n m, wobei m und n natürliche Zahlen (m > n) 6) Dieselben Überlegungen könnten nun für m und n noch einmal durchgeführt werden und der Bruch könnte wieder mit gekürzt werden und so weiter. Der Bruch wäre also beliebig oft kürzbar. So einen Bruch gibt es aber nicht. Folgerung: Satz: kann nicht als Bruch dargestellt werden.

5 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 5 Grundwissen Dieser Satz hat weitreichende Konsequenzen: Der bisher benutzte Zahlbereich der rationalen Zahlen Q reicht nicht mehr aus, um alle Zahlen darzustellen, denn es gibt offenbar außer den Brüchen noch andere Zahlen, die nicht als Bruch darstellbar sind. Bezeichnungen: 1. Diejenigen Zahlen, die nicht als Bruch darstellbar sind, heißen irrationale Zahlen.. Alle Zahlenarten zusammengefasst nennt man die Menge der reellen Zahlen, kurz: R. Der Zusammenhang zwischen den Zahlenarten sieht nun so aus: 0;1;;;... natürliche Zahlen N 0 irrationale Zahlen 1;;;... ganze Zahlen 9 1 ; ; ; ;... 4 rationale Zahlen Θ π ; ; 5 ;... reelle Zahlen in formaler Schreibweise: N 0 Z Q R Wie rechnet man nun mit diesen neuen Zahlen? Regel 1: Für a 0 gilt: ( a ) a Begründung: siehe Definition! Regel : Für a,b 0 gilt: a b a b Beweis: ( b ) a a b a b a a b b Insbesondere gilt: Regel : Für a 0 gilt: a a ( a ) ( b ) ab ( a b ) Regel 4: Für a,b 0 gilt: a : b a : b Beweis: wie bei Regel!

6 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 6 Grundwissen Permanenzprinzip: Die für die Menge der Rationalen Zahlen Q geltenden Rechengesetze gelten auch für die Menge der reellen Zahlen. Insbesondere gilt: Das Kommutativgesetz: Für a,b 0 gilt: a + b b + a a b b a Das Assoziativgesetz: Für a,b,c 0 gilt: ( a + b ) + c a + ( b + c ) ( a b ) c a ( b c ) Das Distributivgesetz: Für a,b,c 0 gilt: a ( b + c ) a b + a c Rational machen: Gelegentlich ist es sinnvoll, eine Wurzel aus dem Nenner eines Bruches zu eliminieren, man nennt das den Nenner rational machen. Dies geschieht durch geschicktes Erweitern und Kürzen: 1. Beispiel: ( Erweitern mit der Wurzel des Nenners). Beispiel: ( Erweitern mit Hilfe der. Binomischen Formel) ( 5 + ) 15 + ( 5 ) ( 5 + )

7 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 7 Übungen Übungen 1) Geben Sie den Wert der Quadratwurzel als Dezimalzahl (zwei Nachkommastellen) an. Benutzen Sie evtl. einen Taschenrechner! a) b) c) 4 d) 5 e) 10 f) 50 g) 100 h) 00 i) 800 j) 1000 ) Welcher der folgenden Ausdrücke ist richtig, welcher ist falsch? a) 4 b) 4 c) 4 d) 4 ) Zerlegen Sie in ein Produkt aus einer rationalen Zahl und einer irrationalen Zahl (teilweises Wurzelziehen) a) 80 b) 48 c) 75 d) 4 e) 54 f) 15 g) 6 h) i) 1 j) 45 k) 50 l) 108 4) Geben Sie die Definitionsmenge der Variablen an und ziehen Sie dann soweit wie möglich die Wurzel! a) d) a b) x 4 y e) 8a b a c) a b 5) Vereinfachen Sie mit Hilfe der Regeln: a) b) 8 10 c) 7 56 d) e) 18 1 f) 4 15 g) a a h) 8ab 6a i) ab : 4b j) 7 ab : a k) a a a a a l) a b b 6 m) 15a 7b 6ab b 5 5 6) Vereinfachen Sie durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen. (Der Definitionsbereich der Variablen sei + a) + 4 b) 6 7 c) 0, 8 0, 1 d) + 6 e) ( ) f) ( ) + g) ( 5 + 4) ( 5 4) h) 6 ( + 7 ) ( 5 7 ) i) ( + a )

8 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 8 Übungen j) ( x + 1) ( x + 1) k) ( + 1) ( 5) l) ( a + b ) m) ( a + ) 0,5 a 6 n) + a a o) ( 7 )( ) p) ( 6 + ) q) ( ) ( 6 5 ) r) ( a ) ( a + ) s) ( 5 x) ( + x) t) ( x + 1 ) ( x ) 7) Setzen Sie für x jeweils, 5, + und 7 5 ein. a) x b) x +x c) x 5x + d) x +4x 9 8) Welche der folgenden Aussagen ist wahr? Begründen Sie! (a) Jede Quadratwurzel ist irrational. (b) Jede irrationale Zahl ist reell. (c) Jede reelle Zahl ist irrational. (d) Eine natürliche Zahl kann nicht reell sein. (e) Eine reelle Zahl kann keine natürliche Zahl sein ) Es gilt:. Begründen Sie! 10) Machen Sie durch Erweitern den Nenner wurzelfrei und vereinfachen Sie dann soweit wie möglich! a) Beispiel: 10 b) 7 5 c) 1 7 d) 1 5 e) f) 1+ g) h) 1 5 i) 1 + j) a a + b b k) a a b 11) Ergänzen Sie die Wertetabelle: x x +x

9 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 9 Inhalt zu 1) a) 1,414 b) 1,70 c) d),60 e),16 f) 7,0710 g) 8,84 zu ) a,b) falsch, weil der Wert unter der Wurzel (Radikand) negativ ist c) richtig d) falsch (negativer Wert unter der Wurzel) zu ) a) 4 5 b) 4 c) 5 d) 6 e) 6 f) 5 5 g) 7 h) 4 i) i) 5 k) 5 l) 6 zu 4) a) a ; a b) a 0 ; a a c) a, b, ab d) x y 0 x y y e) (a0 Ÿ b ) v (a Ÿ b R 0 ) ; a b zu 5) a) 15 b) 4 5 c) 14 d) 11 6 e) 6 6 f) 6 10 g) a 6, a R 0 h) 4a b, a,b R 0 i) a :, a,b R 0 j) b : a, a,b R 0 k) a a l) a :, a,b R 0 9a b m) 5 ; a,b R 0 zu 6) a) 7 b) 4 c) 0,06 d) 5 e) 7+4 f) 74 g) 11 h) +1 7 i) 4+a+4 a j)9x+1+6 x k) 1918 l) a+4b+4 ab m) a+ a n) a o) 179 p) 8+1 q) 49 5 r) a6+ a s) 15 + x 5 x x t) x 5 + x + 1 zu 7) a) x b) x + x c) x 5x d) x 4x zu 8) a) falsch! Gegenbeispiel: 4 Q. b) richtig! Die reellen Zahlen umfassen alle Zahlen c) falsch! Gegenbeispiel: d + e ) falsch! (s. c!)

10 Gr Mathematik elementare Algebra Seite 10 Inhalt zu 9) (erweitern mit ) zu 10) b) c) 7 d) e) 7 10 f) g) + 5 a ab + b a + ab h) i) j) k) a b a b zu 11) passt nicht mehr drauf