Übungen zur Optik (E3-E3p-EPIII) Blatt 8

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1 Übungen zur Optik (E3-E3p-EPIII) Blatt 8 Wintersemester 2016/2017 Vorlesung: Thomas Udem ausgegeben am Übung: Nils Haag besprochen ab Die Aufgaben ohne Stern sind von allen Studenten zu bearbeiten. Die Aufgaben mit einem Stern (*) sind nur von Studenten der E3 und E3p zu bearbeiten (freiwillig für EPIII). Die Aufgaben mit zwei Sternen (**) müssen nur von Studenten der E3 bearbeitet werden (alle anderen dürfen natürlich freiwillig). Aufgabe 31: Der Achromat Ein Achromat bestehe aus einer Sammel- und Zerstreuungslinse (siehe Abbilldung). Der Krümmungsradius R 1 der symmetrisch-bikonvexen Sammellinse soll in dem hier betrachteten Beispiel gleich dem Radius der konkaven Fläche der konvex-konkaven Zerstreuungslinse sein. Der Krümmungsradius R 2 der konvexen Fläche der Zerstreuungslinse unterscheidet sich jedoch von R 1. Die Sammellinse besteht aus optischem Glas (BK7). Die Zerstreuungslinse sei aus Schwerflintglas (SF11).

2 a) Berechnen Sie die Brechungsindices der beiden Gläser aus der Sellmeier-Gleichung n 2 (λ) 1 = 3 B i λ 2 λ 2 C i i=1 mit den Werten aus untenstehender Tabelle bei den Wellenlängen λ rot = 656, 27 nm und λ blau = 486, 13 nm. BK7 SF11 B 1 1, , B 2 0, , B 3 1, , C µm 2 0, µm 2 C 2 0, µm 2 0, µm 2 C 3 103, µm 2 155,23629 µm 2 b) Wie müssen die Radien R 1 und R 2 gewählt werden, damit der Achromat sowohl im roten als auch im blauen Spektralbereich eine Brennweite von 200 mm hat? Hinweis: Rechnen Sie mit dünnen Linsen. c) Es soll ein anderer Achromat der Brennweite f = 50 mm aus Flintglas mit einer Abbezahl von 20 und Kronglas mit einer Abbezahl von 60 hergestellt werden. Bestimmen Sie die Brennweiten der dafür notwendigen dünnen Einzellinsen. Aufgabe 32 Sphärische Aberration Sie wollen parallel einlaufendes Licht in einem Punkt fokussieren. Sie benutzen hierzu eine kurzbrennweitige plan-konvexe Linse. a) Welche Seite der Linse sollte zur Lichtquelle hin orientiert sein? Warum? b) Die plankonvex-linse habe einen Krümmungsradius R 1 von 10 cm, Brechungsindex n = 1, 5. Wie groß ist der Unterschied in der Brennweite bei verschiedener Orientierung

3 der Linse zur Lichtquelle bei achsennahen Strahlen (Abstand a << R 1 ) und achsenfernen Strahlen (Abstand a = 1 cm)? Hinweis: Betrachten Sie dazu die Brechungen an den beiden Oberflächen der Linse und vernachlässigen Sie die Dicke der Linse. Aufgabe 33: Vergrößernde optische Instrumente a) Lupe Geben Sie anhand der Zeichnung einen Ausdruck für die Winkelvergrösserung ɛ I ɛ 0 an. Wo entsteht das reelle Bild der Gegenstands? der Lupe b) Welche Brennweite müssten Sie wählen, um eine Winkelvergrößerung von 100 mit s 0 = 25 cm zu erreichen? Wie groß wäre der Krümmungsradius einer entsprechenden bikonvex-linse mit n = 1, 5? Welche Probleme ergeben sich dabei? c) Fassen Sie ein Mikroskop, bestehend aus zwei Linsen f Ok und f Ob als Lupe auf, indem Sie es mit der entsprechenden Matrix aus Aufgabe 27 beschreiben. Wie löst diese zwei Linsen Lupe das Problem aus b) und wie berechnet sich die Winkelvergrößerung? d) Ein Teleskop soll verwendet werden, um den Winkelradius eines entfernten Objektes um den Faktor V = ɛ i ɛ 0 zu vergrößern, d.h. die Linsen befinden sich im Abstand d = fok +f Ob. Verwenden Sie die Matrix des Systems um V zu berechnen. e) Bildet das Teleskop aus d) ab?

4 Übungsaufgaben zu E3 - E3p Blatt 8 - Vergrößernde optische Instrumente 3 Aufgabe 30 Vergrößernde optische Instrumente a) Lupe Geben Sie anhand der Zeichnungeinen Ausdruck für die Winkelvergrößerung ǫ i ǫ o an. Wo entsteht das reelle Bild des Gegenstands? b) Welche Brennweite müssten Sie wählen, um eine Winkelvergrößerung von 100 mit s o = 25cm zu erreichen? Wie groß wäre der Krümmungsradius einer entsprechend bikonvex-linse mit n = 1, 5? Welche Probleme ergeben sich dabei? c) Fassen Sie das Mikroskop bestehend aus zwei Linsen f Ok und f Ob als Lupe auf, indem Sie es mit der entsprechenden Matrix ( ) ( ) M11 M M = 12 1 d f = Ok 1 f M 21 M 22 d 1 d f Ob und der Gesamtbrennweite f: 1 f = d f Ob f Ok f Ob f Ok beschreiben. Wie löst die zwei-linsen-lupe das Problem aus a) und wie berechnet sich die Winkelvergrößerung? d) Teleskop

5 Übungsaufgaben zu E3 - E3p Blatt 8 - Vergrößernde optische Instrumente 4 Welchen Strahl können Sie durch die beiden Linsen hindurch zeichnerisch konstruieren? Reicht das für die Konstruktion eines Bildes? Wie kann die Matrix aus Teil c) weiterhelfen? e) Das Teleskop in d) soll verwendet werden um den Winkelradius eines entfernten Objekts um den Faktor V = ǫ i ǫ o zu vergrößern, d.h. die Linsen befinden sich im Abstand d = fok + f Ob. Verwenden Sie die Matrix des Systems um V zu berechnen. f) Bildet das Teleskop in e) ab? Musterlösung a) ǫ o = G s o ǫ i = G f ǫ i = s o ǫ o f Das reelle Bild entsteht auf der Netzhaut des Betrachters. b) V = 100 f = 0,25mm 1 f = (n 1)1 r r = f 0,5mm = 0,13mm Problem: Der Durchmesser der Linse müsste klein gegen f sein um spährische Abberrationen zu vermeiden. c) Mit d = f Ob +f Ok +t erhält man: 1 f = f Ob +f Ok +t = t f Ob f Ok f Ok f Ob f Ok f Ob wobei t: Tubuslänge. In der Praxis t >> f Ok,f Ob. Es ergibt sich eine recht kleine Gesamtbrennweite f für vernünftige Werte von t, f Ob, f Ok. Die Winkelvergrößerung dieser Lupe beträgt: V = s o f = s o t f Ok f Ob z.b. t = 160mm, f Ob = f Ok = 10mm V = 400 d) Nur der Strahl, der links von f Ob durch den Fokus geht lässt sich zeichnerisch konstruieren: zwischen den Linsen ist dieser parallel zur optischen Achse und geht rechts von f Ok durch dessen Fokus. Mit eineem Strahl lässt sich kein Bild konstruieren. Mit der Matrix M kann man jedoch alle Strahlen berechnen.

6 Übungsaufgaben zu E3 - E3p Blatt 8 - Vergrößernde optische Instrumente 5 e) ( ) Strahlvektor S nǫ = x wobei x der Abstand zur optischen Achse und n = 1 der Brechungsindex ist. S I = MS o f) M bildet ab M 21 = 0 Aber: ǫ i = M 11 ǫ ( o = 1 d = f Ob ) ǫ o ( 1 d + f ) Ok ǫ o f Ok f Ob = f Ok f Ob ǫ o V = f Ok f Ob M 21 = d = f Ok +f Ob 0 das Teleskop bildet nicht ab! Die Abbildung geschieht durch das Auge. Man braucht also nicht zu versuchen die Abbildung zu konstruieren.

7 Aufgabe 34: You can t start a Fire with Moonlight 1 ** Lässt sich mit einer Linse hinreichender Größe das vom Mond reflektierte Sonnenlicht so fokussieren, dass damit ein Stück Papier entzündet werden kann? Gegeben sei der Radius der Sonne R s = 1, m, deren Leistung P s = 3, W, sowie der Abstand unserer Linse (Radius R L, Brennweite f L ) zur Sonne von d s = 1, m. a) Wie groß ist die Intensität der Sonnenstrahlung im Brennpunkt? Drücken Sie diese durch die numerische Apertur NA aus. Welchen maximalen Wert der NA würden Sie annehmen? Hilft eine größere Linse (bei fester NA), um die Intensität zu erhöhen? b) Um das Mondlicht am besten nutzen zu können, warten Sie mit Ihrem Experiment bis zum nächsten Vollmond. Nehmen Sie vereinfachend an, der Mond sei eine Scheibe und vernachlässigen Sie den Schatten, den die Erde möglicherweise auf den Mond wirft (keine Mondfinsternis). Nehmen Sie ferner an, der Mond streue das Sonnenlicht wegen seiner rauhen Oberfläche mit gleicher Wahrscheinlichkeit in alle Richtungen. Weiterhin dürfen Sie den Abstand Erde Mond d M gegenüber dem Abstand Erde Sonne d s vernachlässigen. Wie hoch ist die Intensität im Fokus im Vergleich zur Abbildung der Sonne? c) Um welchen Faktor ist die Intensität des fokussierten Mondlichts geringer als die des fokussierten Sonnenlichts? Verwenden Sie dazu d M = 3, m und R M = 1, m. d) Wie würde dieser Vergleich ausfallen, falls der Mond ein perfekter Spiegel wäre, der auf die Erde ausgerichtet ist? 1 Pretty sure this is a Bon Jovi song (xkcd)

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