Mathematik. Abiturprüfung Prüfungsteil A. Arbeitszeit: 90 Minuten. Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden.

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1 Mathematik biturprüfung 016 Prüfungsteil rbeitszeit: 90 Minuten ei der earbeitung der ufgaben dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden. Zu den Themengebieten nalysis, Stochastik und Geometrie wählt der Fachausschuss jeweils eine ufgabengruppe zur earbeitung aus. Die zu einer ufgabengruppe gehörenden ufgaben im Prüfungsteil dürfen nur in Verbindung mit den zur selben ufgabengruppe gehörenden ufgaben im Prüfungsteil bearbeitet werden. Name des Prüflings Das Geheft mit den ufgabenstellungen ist abzugeben.

2 nalysis ufgabengruppe 1 Diese ufgaben dürfen nur in Verbindung mit den zur selben ufgabengruppe gehörenden ufgaben im Prüfungsteil bearbeitet werden. E 1 Gegeben ist die Funktion f:x 1 lnx mit maximaler Definitionsmenge D. a) estimmen Sie D. b) estimmen Sie den Wert x D mit f x. Zeigen Sie, dass der Graph der in IR definierten Funktion g:x x sinx punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und geben Sie den Wert des Integrals π x sinxdx an. π Skizzieren Sie im ereich 1 x 4 den Graphen einer in IR definierten Funktion f mit den folgenden Eigenschaften: f ist nur an der Stelle x nicht differenzierbar. f 0 1. f 0 und für die bleitung f von f gilt: Der Graph von f ist im ereich 1 x linksgekrümmt. 4 Gegeben ist eine in IR definierte ganzrationale Funktion f dritten Grades, deren Graph G f an der Stelle x 1 einen Hochpunkt und an der Stelle x 4 einen Tiefpunkt besitzt. a) egründen Sie, dass der Graph der bleitungsfunktion f von f eine Parabel ist, welche die x-chse in den Punkten 1 0 und 4 0 schneidet und nach oben geöffnet ist. b) egründen Sie, dass,5 die x-koordinate des Wendepunkts von G f ist. (Fortsetzung nächste Seite)

3 5 Die bbildung zeigt den Graphen der in IR definierten Funktion f. 5 a) estimmen Sie mithilfe der bbildung einen Näherungswert für Die Funktion F ist die in IR definierte Stammfunktion von f mit f x dx. F 0. 1 b) Geben Sie mithilfe der bbildung einen Näherungswert für die bleitung von F an der Stelle x an. c) Zeigen Sie, dass Fb 0 b f xdxmit b IR gilt.

4 nalysis ufgabengruppe Diese ufgaben dürfen nur in Verbindung mit den zur selben ufgabengruppe gehörenden ufgaben im Prüfungsteil bearbeitet werden. E 1 Gegeben ist die Funktion ln x f:x mit maximalem Definitionsbereich D. x a) Geben Sie D sowie die Nullstelle von f an und bestimmen Sie lim f x. x 0 4 b) Ermitteln Sie die x-koordinate des Punkts, in dem der Graph von f eine waagrechte Tangente hat. Geben Sie jeweils den Term und den Definitionsbereich einer Funktion an, die die angegebene(n) Eigenschaft(en) besitzt. a) Der Punkt 0 ist ein Wendepunkt des Graphen von g. b) Der Graph der Funktion h ist streng monoton fallend und rechtsgekrümmt. bbildung 1 zeigt den Graphen der in IR definierten Funktion f. bb. 1 (Fortsetzung nächste Seite) 4

5 a) estimmen Sie mithilfe von bbildung 1 einen Näherungswert für 5 f x dx. Die Funktion F ist die in IR definierte Stammfunktion von f mit F 0. 1 b) Geben Sie mithilfe von bbildung 1 einen Näherungswert für die bleitung von F an der Stelle x an. c) Zeigen Sie, dass Fb b f xdxmit b IR gilt. 4 4 bbildung zeigt den Graphen G k einer in IR definierten Funktion k. Skizzieren Sie in bbildung den Graphen der zugehörigen bleitungsfunktion k. erücksichtigen Sie dabei insbesondere einen Näherungswert für die Steigung des Graphen G k an dessen Wendepunkt 0 sowie die Nullstelle von k. 0 bb. 5

6 Stochastik ufgabengruppe 1 Diese ufgaben dürfen nur in Verbindung mit den zur selben ufgabengruppe gehörenden ufgaben im Prüfungsteil bearbeitet werden. E 5 1 Die beiden aumdiagramme gehören zum selben Zufallsexperiment mit den Ereignissen und. erechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P und ergänzen Sie anschließend an allen Ästen des rechten aumdiagramms die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. 0, ,6 1 (Teilergebnis: P 0,5) ei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweiten Mal Zahl (Z) oder zum zweiten Mal Wappen (W) oben liegt. ls Ergebnismenge wird festgelegt: {ZZ; WW; ZWZ; ZWW; WZZ; WZW}. a) egründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist. b) Die Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis die nzahl der entsprechenden Münzwürfe zu. erechnen Sie den Erwartungswert von X. 10 6

7 Stochastik ufgabengruppe Diese ufgaben dürfen nur in Verbindung mit den zur selben ufgabengruppe gehörenden ufgaben im Prüfungsteil bearbeitet werden. E 1 ei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweiten Mal Zahl (Z) oder zum zweiten Mal Wappen (W) oben liegt. ls Ergebnismenge wird festgelegt: {ZZ; WW; ZWZ; ZWW; WZZ; WZW}. a) egründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist. b) Die Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis die nzahl der entsprechenden Münzwürfe zu. erechnen Sie den Erwartungswert von X. n einem P-Seminar nehmen acht Mädchen und sechs Jungen teil, darunter nna und Tobias. Für eine Präsentation wird per Los aus den Teilnehmerinnen und Teilnehmern ein Team aus vier Personen zusammengestellt. a) Geben Sie zu jedem der folgenden Ereignisse einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnet werden kann. : nna und Tobias gehören dem Team an. : Das Team besteht aus gleich vielen Mädchen und Jungen. b) eschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den folgenden Term berechnet werden kann:

8 Geometrie ufgabengruppe 1 Diese ufgaben dürfen nur in Verbindung mit den zur selben ufgabengruppe gehörenden ufgaben im Prüfungsteil bearbeitet werden. E 1 etrachtet wird der abgebildete Würfel CDEFGH. Die Eckpunkte D, E, F und H dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten: D0 0, E 0 0, H F 0 und E H D F G C a) Zeichnen Sie in die bbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichnen Sie diese. Geben Sie die Koordinaten des Punkts an. b) Der Punkt P liegt auf der Kante F des Würfels und hat vom Punkt H den bstand. erechnen Sie die Koordinaten des Punkts P. Gegeben sind die Punkte 1 4 und a) estimmen Sie die Koordinaten des Punkts C so, dass gilt: C. b) Durch die Punkte und verläuft die Gerade g. etrachtet werden Geraden, für welche die edingungen I und II gelten: 10 I Jede dieser Geraden schneidet die Gerade g orthogonal. II Der bstand jeder dieser Geraden vom Punkt beträgt. Ermitteln Sie eine Gleichung für eine dieser Geraden. 8

9 Geometrie ufgabengruppe Diese ufgaben dürfen nur in Verbindung mit den zur selben ufgabengruppe gehörenden ufgaben im Prüfungsteil bearbeitet werden. E 1 Gegeben sind die Ebene E:x1 x x 6 Q 5 6. und sowie die Punkte P1 0 a) Zeigen Sie, dass die Gerade durch die Punkte P und Q senkrecht zur Ebene E verläuft. b) Die Punkte P und Q liegen symmetrisch zu einer Ebene F. Ermitteln Sie eine Gleichung von F. Gegeben sind die Punkte 1 4 und a) estimmen Sie die Koordinaten des Punkts C so, dass gilt: C. b) Durch die Punkte und verläuft die Gerade g. etrachtet werden Geraden, für welche die edingungen I und II gelten: 10 I Jede dieser Geraden schneidet die Gerade g orthogonal. II Der bstand jeder dieser Geraden vom Punkt beträgt. Ermitteln Sie eine Gleichung für eine dieser Geraden. 9

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