Grundwissen Mathematik 7I/1

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Oskar Hochberg
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1 Gundwissen themtik 7I/ ultipliktion und Division in QI Rechenegeln c c c d : b d bd b d bc Vozeichenegeln : ++ : + : + + : otenzgesetze. otenzgesetz n m n m + eispiel: 7 + Ü: ) b) 5 0,5 0,5 0,5 c) ( ) ( ). otenzgesetz n m nm ( ) eispiel: ( ) Ü: ) 5 5 (,5) b) [(k )] c) 7. otenzgesetz n n n b ( b) eispiel: ( ) 6 Ü: ) 5 b) z c) 7 7 (,5) ( ). otenzgesetz n m n m eispiel: Ü: ) 7 7 :7 b) (,) :(,) c) 5 5. otenzgesetz n n n b b eispiel: 6 6 Ü: ) : b) 5 5 ( 8) : c) 9 Sttsinstitut fü Schulqulität und ildungsfoschung bteilung Relschule

2 Gleichungen Gundwissen themtik 7I/ Lösen von (Un)gleichungen duch Äquivlenzumfomungen Die Lösungsmenge eine Gleichung ändet sich nicht, wenn mn uf beiden Seiten die gleiche hl ddiet ode subthiet, beide Seiten mit de gleichen von Null veschiedenen hl multipliziet ode duch sie dividiet. eispiele: GI QI :( ),5 IL {,5} IL { 8} Ungleichungen Die Lösungsmenge eine Ungleichung ändet sich nicht, wenn mn uf beiden Seiten die gleiche hl ddiet ode subthiet, beide Seiten mit de gleichen positiven hl multipliziet ode duch sie dividiet, beide Seiten mit de gleichen negtiven hl multipliziet ode duch sie dividiet und ds Ungleichheitszeichen umkeht (Invesionsgesetz). eispiele: GI QI. < :( ) > 7 Invesion! IL { > 7}. 6 > 7 :6 >,5 IL { >,5}. + 5> 5 > 8 ( ) < Invesion! IL { < } Ü: Löse duch Äquivlenzumfomungen die folgenden Gleichungen und Ungleichungen mit GI QI : ) b) 67< c) + < 8 d) > e) (77 0) + 96 f) + < 6 g) > Sttsinstitut fü Schulqulität und ildungsfoschung bteilung Relschule

3 Indiekte opotionlität Gundwissen themtik 7I/ Entspicht bei eine uodnung von Gößen ds n-fche de einen Göße dem n-ten Teil de ndeen Göße, so heißt diese uodnung indiekte opotionlität. eispiel: De Flächeninhlt eines Rechtecks betägt cm². Wenn GI IN IN, ist dies fü cht Rechtecke veschiedene Länge cm und eite cm möglich : : :8 Eigenschften: lle hlenpe ( ) eine indiekten opotionlität sind poduktgleich. Ds odukt ht imme den gleichen Wet. eispiel: Spechweise: und sind zueinnde indiekt popotionl Scheibweise: : De Gph eine indiekten opotionlität ist ein + + Hpebelst. ( GI QI 0 QI 0) eispiel: O Sttsinstitut fü Schulqulität und ildungsfoschung bteilung Relschule

4 insechnung Gundwissen themtik 7I/ Die insechnung ist eine nwendung de ozentechnung. Unte insen (kuz: ins) vesteht mn den Geldbetg, den mn nch eine bestimmten eit fü geliehenes Geld bezhlen muss ode fü veliehenes Geld bekommt. Es entspechen sich: ozentwet (W) ozentstz (p) Gundwet (GW) Jheszins ( J ) insstz (p) Kpitl (K) Die so beechneten insen J beziehen sich uf ein Jh (Jheszins). Wid ein ndee eitum betchtet, so muss de Jheszins uf diesen eitum umgeechnet weden. Ein Geschäftsjh ht 65 Tge. ins fü Jh (Jheszins) ins fü n Jhe J n K p K p ins fü Tg t K pn K pt ins fü T Tge T eispiel: eechne die insen fü 9 instge, wenn ein Kpitl 5000,00 zu 8% veliehen wid. T T 960 De ins fü 9 Tge betägt 960,00. Übungen:.0 uf einem Spbuch, ds mit,75% vezinst wid, sind 90,00.. eechne die insen nch einem Jh.. eechne den insetg fü ds zweite Jh, wenn die insen des esten Jhes dem Kpitl zugeechnet weden. He ue gibt 0000,00 zu 6,5% uf die nk und legt lljählich die gewonnen insen wiede zu seinem Kpitl. Dmit ehöht sich sein Kpitl Jh fü Jh um den insetg. eechne sein Endkpitl nch 5 Jhen. Sttsinstitut fü Schulqulität und ildungsfoschung bteilung Relschule

5 Die llelveschiebung Gundwissen themtik 7I/5 v Eigenschften: I ' ei llen llelveschiebungen sind die Vebindungsstecken von Upunkt und ildpunkt ' pllel, gleich lng und gleich geichtet. Sie bilden eine feilklsse. Jede feilklsse heißt Vekto. Duch jede llelveschiebung ist umkehb eindeutig ein Vekto bestimmt. lle llelveschiebungen hben keinen Fipunkt. lle llelveschiebungen sind längen- und winkelteu ( Konguenzbbildung ). lle llelveschiebungen sind geden- und keisteu. D ' ' feilklsse Vekto v ' D'... v (Fußpunkt) ' (Spitze) Jede Vekto v lässt sich im Koodintensstem duch seine Koodinten eindeutig festlegen. uuu Die Koodinten des feils ' und dmit des Vektos v weden duch die Koodinten des Fußpunktes ( ) und die Koodinten de Spitze '(' ') festgelegt. n beechnet sie nch de Regel: ' ' ' Spitze minus Fuß z.. ( ) und '( ) ( ) ' 6 ' eispiel: 6 v I ''' mit ( ), ( ) und ( ) ' ' O ' + +6 Sttsinstitut fü Schulqulität und ildungsfoschung bteilung Relschule

6 Gesetze zu Vektoechnung Gundwissen themtik 7I/5 Kommuttivgesetz und ssozitivgesetz bei de ddition von Vektoen Kommuttivgesetz b b ssozitivgesetz ( b) c (b c) eechnung von Summenvektoen llgemein eispiel ; b b b b + b b b b + b + ( ) ; b b b + b Otspfeil Otspfeile sind feile, die vom Uspung des Koodintensstems zu einem unkt im Koodintensstem fühen. Die Koodinten des Otspfeils sind dieselben wie die Koodinten des unktes. z..: ( ) O O O ( ) eechnung de Koodinten von ildpunkten llg.: O' O v ' v ' v z..: ( ) v + O' O' + 6 O' '(6 ) ' + v ' + v ( ) '(+ v + v) '(6 ) + + O 5 eechnung de Koodinten des ittelpunktes de Stecke [] llg.: ( ), ( ), ( ) + + ( ) z..: ( ), ( ) + + (0,5,5) Sttsinstitut fü Schulqulität und ildungsfoschung bteilung Relschule O

7 Die Dehung Gundwissen themtik 7I/6 ; ϕ Eigenschften: I ' Jede Dehung besitzt einen unkt ls Dehzentum und einen Winkel ϕ ls Dehwinkel. Die Vebindungsstecken [] von Upunkt und Dehzentum und ['] vom zugehöigen ildpunkt ' und Dehzentum sind gleich lng und schließen den Winkel ' mit dem ß ϕ ein. lle Dehungen hben nu ds entum ls Fipunkt. lle Dehungen sind längen- und winkelteu ( Konguenzbbildung ). lle Dehungen sind geden- und keisteu. positive Dehichtung negtive Dehichtung ' ' ' ' ' ϕ 5 ϕ -5 ϕ ; ϕ 5 I ' ; ϕ 5 I ' ; ϕ I ''' Eine Dehung um 80 nennt mn uch eine unktspiegelung m entum. ' ; ϕ 80 I ''' ' ' ϕ eke: Eine Figu heißt punktsmmetisch, wenn sie duch Dehung n einem unkt um 80 uf sich selbst bgebildet weden knn. D D D D llelogmm Rechteck Qudt Rute Sttsinstitut fü Schulqulität und ildungsfoschung bteilung Relschule

8 Regeln fü Winkel Gundwissen themtik 7I/7 Neben- und Scheitelwinkel β β g Scheitelwinkel sind gleich goß: * * und β Nebenwinkel egänzen sich zu 80 : +β 80 Winkel n llelen ( g ). Stufenwinkel (F-Winkel) g β g β g β g β. Wechselwinkel (-Winkel) g β g β g β g β Innenwinkelsummen. im Deieck. im Vieeck In jedem Deieck betägt die Summe de Winkelmße de dei Innenwinkel 80 : +β+γ 80 Ü: Gib die fehlenden Winkelmße n und begünde. In jedem Vieeck betägt die Summe de Winkelmße de vie Innenwinkel 60 : +β+γ+δ 60 δ g δ γ δ g 70 Sttsinstitut fü Schulqulität und ildungsfoschung bteilung Relschule

9 De Keis Gundwissen themtik 7I/8 Keis k Die Vebindungsstecke zweie Keispunkte E und F heißt Sehne s. Die Sehne s teilt die Keislinie in zwei Keisbögen» EF und» FE. Ds von Keissehne und Keisbogen begenzte Flächenstück ist ein Keissegment. Ein von zwei Rdien und einem Keisbogen begenztes Flächenstück ist ein Keissekto. Die beiden Rdien schließen den ittelpunktswinkel mit dem ß e ein. E Rdius Duchmesse d Sehne s Sekto e Segment F Lgebeziehung von Keis k und Gede ssnte p: p k Tngente t: t k {} Tngente t ssnte p entle z: z k {;} mit z Seknte s: s k {E;F} entle z eühdius Seknte s E F eechnungen m Keis Fü den Keisumfng u gilt: uπ Fü den Inhlt de Keisfläche gilt: π Fü die Keiszhl π wid voläufig de Wet π, ode π benutzt. 7 Sttsinstitut fü Schulqulität und ildungsfoschung bteilung Relschule

10 Gundwissen themtik 7I/9 Geometische Otslinien Keis De Keis ist de geometische Ot lle unkte, die von einem unkt die gleiche Entfenung hben. k(;) { } k ittelsenkechte Die ittelsenkechte ist de geometische Ot lle unke, die von zwei unkten die gleiche Entfenung hben. m [] { } m Winkelhlbieende Die Winkelhlbieende ist de geometische Ot lle unkte, die von beiden Schenkeln eines Winkels den gleichen bstnd hben. S w ittelpllele Die ittelpllele zweie pllele Geden ist de geometische Ot lle unkte, die von den beiden Geden den gleichen bstnd hben. g m h 5 llelenp Ds llelenp zu eine Geden ist de geometische Ot lle unkte, die von eine Geden den gleichen bstnd hben. g p p Sttsinstitut fü Schulqulität und ildungsfoschung bteilung Relschule

11 Winkel m Keis Gundwissen themtik 7I/0 Rndwinkelstz De Winkel heißt ittelpunktswinkel übe de Sehne []. Die Winkel n sind die Rndwinkel übe de Sehne []. lle Rndwinkel übe eine Sehne eines Keises besitzen ds gleiche ß und sind hlb so goß wie de dzugehöige ittelpunktswinkel. Thleskeis (Sondefll des Rndwinkelstzes) Vebindet mn die unkte n des Hlbkeises übe eine ittelsehne mit den Endpunkten und, so hben lle Winkel n bzw. n ds ß 90. Umgekeht gilt: Ht de Winkel bzw. ds ß 90, liegt sein Scheitel uf dem Hlbkeis übe de ittelsehne [] 80 Tngentenkonstuktion Fll: Tngente im eühpunkt, de uf de Keislinie k liegt. Fll : Tngenten von einem unkt us n die Keislinie k. eichne die Stecke [] ode die entle duch und. eichne die Stecke []. eichne die Senkechte zu Stecke [] ode zu entle duch und. T T eichne einen Keis (Thleskeis), dessen ittelpunkt de ittelpunkt de Stecke [] ist. Die Schnittpunkte de beiden Keise bilden die eühpunkte und de beiden Tngenten. Sttsinstitut fü Schulqulität und ildungsfoschung bteilung Relschule

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