Polyeder, Konvexität, Platonische und archimedische Körper

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1 Unter einem Polyeder verstehen wir einen zusammenhängenden Teil des dreidimensionalen Raumes der durch Polygone begrenzt wird. Seine Oberfläche besteht also aus Punkten (Ecken genannt), Strecken (Kanten genannt) und Flächen. Beispiele: Würfel, Tetraeder und allgemein alle Pyramiden und Prismen Die Oberfläche eines Polyeders besteht aus Ecken, Kanten und Flächen. Ihm ist also eine wohl definierte Anzahl Ecken (E), Kanten (K) und Flächen (F) zugeordnet. Damit ist für ihn auch eindeutig die Euler-Charakteristik festgelegt. Diese hat den Wert E K + F Wir haben gesehen, dass Polyeder verschiedene Euler-Charakteristiken haben können. Aufgefallen ist aber, intuitiv, dass 'anständige, 'einfachere' Körper häufig die Euler- Charakteristik 2 haben. Euler hatte angegeben, unter welcher Zusatzbedingung ein Polyeder immer die Euler- Charakteristik 2 hat; für welche Polyeder also der Euler'sche Polyedersatz gilt: dies gilt für konvexe Polyeder. Der Begriff der Konvexität: Ein Körper heisst konvex, wenn mit irgend zwei Punkten des Körpers auch alle Punkte auf deren Verbindungsstrecke innerhalb des Körpers liegen. (Diese Definition ist nicht auf Polyeder beschränkt eine Kugel z. B. ist auch konvex) Beispiele: Konvex sind: Würfel, quadratische Pyramiden und Prismen, Kugeln Nicht konvex sind: Ringe, Prismen mit nicht konvexen Polygonen als Grundfläche, Sternpolyeder Anschaulich gesprochen ist ein Körper dann konvex, wenn er mit einem Schwert oder einer Bandsäge (ebener Schnitt) aus einer Kugel gefertigt werden kann, wenn er also nirgendwo 'nach innen' geht, also keine Einbuchtungen hat. A6509- B. Willimann Seite 1 / 12

2 Von ästhetisch und mathematisch hohem Reiz sind die Platonischen Körper: Ein Platonischer Körper ist ein konvexes Polyeder, das folgende Bedingungen erfüllt: 1. Seine Flächen sind reguläre Polygone 2. Alle Ecken des Polyeders sind kongruent Bemerkungen: 1. Die Flächen eines Platonischen Körpers sind also lauter gleiche Vielecke mit gleich langen Seiten und gleich grossen Winkeln. Platonische Körper werden auch reguläre (oder regelmässige) Polyeder genannt. 2. Die Bedingung 2 scheint auf den ersten Blick seltsam; sie ist aber nötig, denn es gibt Polyeder, welche die Bedingung 1 erfüllen aber keine Platonischen Körper sind. 3. Es gibt zwar unendlich viele reguläre Polygone, aber erstaunlicherweise nur fünf Platonische Körper. Die fünf Platonischen Körper: Name: E: K: F: E: K: F: E: K: F: Name: E: K: F: E: K: F: A6509- B. Willimann Seite 2 / 12

3 Der Hauptsatz über Platonische Körper: Es gibt genau 5 Platonische Körper Der Beweis dafür, dass es nur die 5 oben genannten Platonischen Körper gibt, bildet den krönenden Abschluss des berühmtesten Geometriebuchs "Die Elemente" von Euklid (um 300 v. Chr.). Die Grundidee: Die Summe der Winkel, die zwischen den Kanten einer konvexen Ecke entstehen ist immer kleiner als 360. Weil in jeder Ecke mindestens drei regelmässige Vielecke zusammenstossen müssen, kommen nur in Frage: gleichseitige e (Kantenwinkel 60 ) e (Kantenwinkel 90 ) reguläre Fünfecke (Kantenwinkel 108 ) Deshalb gibt es höchstens 5 Möglichkeiten für eine "Platonische" Ecke. q.e.d w.z.b.w. h.x. A6509- B. Willimann Seite 3 / 12

4 Duale Polyeder In der Euler'schen Polyederformel können wir die Anzahl der Ecken mit der Anzahl der Flächen vertauschen ohne dass wir die Formel zerstören. Geometrisch identifizieren wir dabei jede Fläche mit einer Ecke und jede Ecke mit einer Fläche. Zeichnerisch bestimmen wir auf jeder Fläche einen Punkt und verbinden ihn mit ebensolchen Punkten auf den benachbarten Flächen. Zwei Polyeder, die durch diesen Prozess ineinander überführbar sind heissen dual zueinander. Duale Platonische Körper erkennt man also indem man denjenigen sucht der gleich viele Seiten wie der andere Ecken hat. Die Dualität bei den platonischen Körpern Wenn wir die Flächenmittelpunkte der regulären Polyeder wählen, so sind der Würfel und das Oktaeder dual zueinander, genauso das Ikosaeder und das Dodekaeder. Das Tetraeder ist zu sich selbst dual. Dies kann die Konstruktion dieser Polyeder sehr erleichtern, wenn jeweils eines dieser Paare schon bekannt ist. A6509- B. Willimann Seite 4 / 12

5 Konstruieren Sie in dieses Dodekaeder den dualen Platonischen Körper: Dieser heisst: A6509- B. Willimann Seite 5 / 12

6 Konstruieren Sie in dieses Oktaeder den dualen Platonischen Körper: Dieser heisst: A6509- B. Willimann Seite 6 / 12

7 Die Definition eines archimedischen Körpers Die Archimedischen Körper bestehen aus regulären Polygonen wie die Platonischen Körper, aber nicht nur aus einer Sorte, sondern aus mindestens zweien. (Sie sehen die Analogie in der Bezeichnung zu Platonischen und Archimedischen Parketten). Ein aus regulären Polygonen bestehendes Polyeder ist ein Archimedischer Körper falls es nicht zu einer der folgenden Gruppen gehört: Die fünf Platonischen Körper. Alle Prismen, die aus genau zwei kongruenten regelmässigen n-ecken und n en bestehen. Zu jeder natürlichen Zahl n grösser gleich drei existiert ein solches Prisma. An einer Ecke treffen stets ein n-eck und zwei e zusammen. Im Fall n = 4 ergibt sich ein Würfel, also ein Platonischer Körper. Alle Antiprismen, die aus genau zwei kongruenten n-ecken und 2n gleichseitigen en bestehen. Zu jeder natürlichen Zahl n grösser gleich drei existiert ein solches Antiprisma. An einer Ecke treffen stets ein n-eck und drei e zusammen. Im Fall n = 3 ergibt sich ein Oktaeder, also ein Platonischer Körper. A6509- B. Willimann Seite 7 / 12

8 Die 13 archimedischen Körper Name und Bild Flächen Kanten Ecken Flächenfolge an den Ecken Kuboktaeder (3,4,3,4) 14 8 e 6 e Ikosidodekaeder e 12 Fünfecke (3,5,3,5) Fünfeck Fünfeck Abgestumpftes Tetraeder 8 4 e 4 Sechsecke (3,6,6) Sechseck Sechseck Abgestumpftes Hexaeder 14 8 e 6 Achtecke (3,8,8) Achteck Achteck A6509- B. Willimann Seite 8 / 12

9 Abgestumpftes Oktaeder 14 6 e 8 Sechsecke (4,6,6) Sechseck Sechseck Abgestumpftes Dodekaeder e 12 Zehnecke (3,10,10) Zehneck Zehneck Abgestumpftes Ikosaeder oder Fussballkörper Fünfecke 20 Sechsecke (5,6,6) Fünfeck SechseckSechseck Kleines Rhombenkuboktaeder (3,4,4,4) 26 8 e 18 e A6509- B. Willimann Seite 9 / 12

10 Grosses Rhombenkuboktaeder e 8 Sechsecke 6 Achtecke) (4,6,8) Sechseck Achteck Kleines Rhombenikosidodekaeder e 30 e 12 Fünfecke (3,4,5,4) Fünfeck Grosses Rhombenikosidodekaeder e 20 Sechsecke 12 Zehnecke (4,6,10) Sechseck Zehneck A6509- B. Willimann Seite 10 / 12

11 Abgeschrägtes Hexaeder (zwei spiegelbildlich entgegengesetzte Varianten) (3,3,3,3,4) e 6 e Abgeschrägtes Dodekaeder (zwei spiegelbildlich entgegengesetzte Varianten) (3,3,3,3,5) e 12 Fünfecke Fünfeck A6509- B. Willimann Seite 11 / 12

12 Hinweis: je nach Zählweise der spiegelbildlichen Varianten trifft man in der Literatur auch die Angabe von 15 Archimedischen Körpern an. Das Pseudo-Rhombenkuboktaeder Lange Zeit benutzte man für die Definition der archimedischen Körper nicht die globale, sondern die anschaulichere lokale Uniformität der Ecken. Erst im Jahr 1930 stellte der britische Mathematiker J. C. P. Miller fest, dass ein konvexes Polyeder mit regelmässigen Seitenflächen existiert, welches die lokale Uniformität der Ecken erfüllt, aber bisher nicht als archimedischer Körper erkannt worden war. Dieses Polyeder entsteht, wenn man beim Rhombenkuboktaeder eine Kappe um 45 Grad verdreht. Es wird als Pseudo-Rhombenkuboktaeder, als Miller's solid oder als Johnson-Körper J 37 bezeichnet. In jeder Ecke dieses Körpers stossen wie beim Rhombenkuboktaeder drei e und ein zusammen, die lokale Uniformität der Ecken ist also gegeben. Im Gegensatz zu den klassischen archimedischen Körpern können trotzdem zwei verschiedene Typen von Ecken unterschieden werden. Dazu ist es aber notwendig, nicht nur die direkten Nachbarflächen der Ecke zu betrachten, sondern zur Unterscheidung auch die weiter entfernten Nachbarflächen der Ecke mit einzubeziehen. Gelegentlich klassifiziert man das Pseudo-Rhombenkuboktaeder als 14. archimedischen Körper. In der Regel herrscht aber die Meinung vor, dass es aufgrund der unterschiedlichen Typen von Ecken nicht als archimedischer Körper angesehen werden sollte. Die Forderung der starken Uniformität der Ecken sorgt dann dafür, dass das Pseudo-Rhombenkuboktaeder aus der Definition ausgeschlossen wird. A6509- B. Willimann Seite 12 / 12