Die Proportionen der regelmässigen Vielecke und die

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1 geometricdesign Die Proportionen der regelmässigen Vielecke und die Platonischen Körper Die Proportionen der regelmässigen Vielecke und die Platonischen Körper Rechtecke gebildet aus Seite und Diagonale Die grundlegenden Proportionen der Platonischen (und Archimedischen) Körper finden wir an den regelmässigen Vielecken in den Massverhältnissen ihrer Seitenlängen zu den Diagonalen. Die Seiten an den Diagonalen im Rechten Winkel aufgeklappt, spannen die entsprechend proportionierten Rechtecke auf. Es zeigt sich, dass den Platonischen Körpern die folgenden Massverhältnisse zu Grunde liegen: 1 : 2 = 1 : und 1 : 3 = und 1 : Φ = 1 : und = 1 : Im Würfel finden wir räumlich das Längenverhältnis von Kante : Flächendiagonale : Raumdiagonale: 1 : 2 : 3 Das sind die Proportionen, von denen Würfel, Oktaeder und Tetraeder beherrscht werden. Es sind auch die Massverhältnisse von denen die Mineralwelt ausgeht. Der Raum ist ausgefüllt mit Materie. Man könnte sie die kubischen oder mineralischen Proportionen nennen. Die Verhältnisse des Goldenen Schnittes, d.h. 1 : Φ und 1 : ( Φ + 1) finden wir am Ikosaeder und am Pentagondodekaeder. Diese Körper sind sphärisch gebau,t und der Raum lässt sich mit ihnen (wie auch mit Kugeln) nicht lückenlos ausfüllen. Jeder Körper ist eine eigene Welt. Man könnte den Goldenen Schnitt auch sphärische Proportion nennen. Man findet in der Vergangenheit auch die Bezeichnung Göttliche Teilung (divina proportione). Dreieck Jede Ecke ist mit jeder anderen Ecke über eine Seite erreichbar. Die Seiten fallen mit den Diagonalen zusammen, könnte man sagen. Von den Enden einer Dreiecksseite klappen wir das Dreieck zum Quadrat auf. Das Quadrat (1:1) ist die Diagonalebene des Oktaeders. Quadrat Die beiden Diagonalen im Quadrat schneiden sich im Mittelpunkt der Fläche und halbieren sich gegenseitig. Der Punkt hat keine Ausdehnung. Das aufgespannte Rechteck mit dem Massverhältnis 1: 2 entspricht den Diagonalebenen von Kante zur gegenüberliegenden Kante im Würfel. Ueli Wittorf 1

2 Die Proportionen der regelmässigen Vielecke und die Platonischen Körper geometric design Fünfeck Die fünf Diagonalen im Fünfeck schneiden sich gegenseitig jeweils mit zwei benachbarten Diagonalen im Goldenen Schnitt. Bei einer Seitenlänge 1 bildet sich folgende Einteilung: (Φ-1) : 2-Φ : (Φ-1) oder : : das ist das Seitenverhältnis der Rechtecke, mit denen ein Ikosaeder aufgespannt werden kann. Die fünf Diagonalen im Fünfeck umschliessen gemeinsam ein kleineres Fünfeck, in dem die gleiche Teilung wiederholt durchgeführt werden kann. Fünfeck Verwenden wir den eckanliegenden Teil der Diagonalen als Rechteckseite, so ergibt sich ein überlanges Rchteck im ereweiterten Goldenen Schnitt. das ist das raumdiagonale Rechteck, das im Pentagondodekaeder aufgespannt ist. Sechseck Sechs der neun Diagonalen dritteln sich gegenseitig und umschliessen in ihrer Mitte ein neues Sechseck (in dem die Teilung von Neuem volzogen werden könnte), während drei Diagonalen sich in der Flächenmitte schneiden. Diese halbieren die äusseren Diagonalen und werden selber geviertelt. Die Platonischen Körper aus Rechtecken Diagonal sich gegenüberliegende Kanten der Platonischen Körper spannten Rechtecke auf, welche entsprechende Proportionen aufweisen. Mit Ausnahme des Tetraeders können alle Platonischen Körper aus der halben Anzahl ihrer Kanten Diagonalrechtecken gebaut werden. Zunächst sei die Frage gestellt, wieviele solche Rechtecke genügen, damit jede Körperecke einmal besetzt ist? Der Würfel Zwei sich im Rechten Winkel schneidende Rechtecke mit dem Seitenverhältnis 1 : 2 spannen die 8 Ecken des Würfels auf. Sie bestimmen damit eine der drei möglichen (Symmetrie-) Achsen. Dadurch sind nicht alle Einblicke in die Quadrate gleich. 2 Ueli Wittorf

3 geometricdesign Die Proportionen der regelmässigen Vielecke und die Platonischen Körper Das Ikosaeder Drei zueinander senkrecht sich durchdringende Rechtecke im Goldenen Schnitt (1 : Φ) spannen im Raum die 12 Ecken des Ikosaeders regelmässig auf. Es existieren zwei verschiedene Einblicke durch die Dreiecke (sechs und acht). Das Pentagondodekaeder Fünf geneigte, um eine Achse gesammelte überlange Goldene Rechtecke (1 : (Φ+1) = 1 : 2.618) spannen die 20 Ecken des Pentagondodekaeders auf. Auf der Achse ergeben sich zwei Zentren. Die beiden Einblicke in Richtung der Achse erweisen sich als regelmässige Trichter. Die anderen zehn Trichter sind asymmetrisch. An letzter Stelle der Bauanleitungen findet man die Anleitung zum Bau aus Papier und eine Abbildung. Das Oktaeder Mit 6 Ecken benötigt das Oktaeder ein Quadrat und nur noch eine senkrecht dazu gerichtete Quadratdiagonale. Das Tetraeder Die vier Ecken des Tetraeders liegen um 90 verdreht im Raum. Eine rechteckige, ebene Fläche kann das nicht erfüllen. Sie müsste um 90 verdreht sein. Die Stäbe können als Diagonalen zweier sich im Würfel parallel gegenüberliegender Quadrate aufgefasst werden. Ueli Wittorf 3

4 Die Proportionen der regelmässigen Vielecke und die Platonischen Körper geometric design Die Platonischen Körper aus allen ihren Diagonalrechtecken Oktaeder Drei Quadrate durchdringen sich senkrecht zueinander stehen. Alle 12 Quadratkanten sind zugleich Oktaederkanten. Hexaeder/Würfel Im Würfel weisen die sechs Diagonal-rechtecke das Seitenverhältnis 1: 2 auf. Das in Eurpopa normierte A-Format beruht auf dieser Proportion, was den Vorteil hat, dass bei jeder weiteren Halbierung das Längenverhältnis der langen zur kurzen Seite erhalten wird. Aus sechs A4-Blättern lässt sich somit ein Würfel zusammenbauen. (Vergl. weiter unten). Ikosaeder Entsprechend den 30 Kanten des Ikosaeders spannen 15 Rechtecke mit dem Seitenverhältnis 1: Φ (1:1.618 ) das Ikosaeder auf. In jeder Ecke treffen sich fünf Rechteckecken. Pentagondodekaeder Auch das Pentagondodekaeder hat 30 Kanten. Die 15 Diagonalrechtecke sind schlanker als beim Ikosaeder und weisen das Seitenverhältnis 1:( Φ+1) auf. 4 Ueli Wittorf

5 geometricdesign Die Proportionen der regelmässigen Vielecke und die Platonischen Körper Tetraeder Im Tetraeder können es keine Rechtecke mehr sein, da die gegenübeliegenden Kanten um 90 gedreht sind. Geometrische Körper aus regelmässigen Diagonalvielecken Bündelgeometrie Nur in wenige geometrische Körper lassen sich regelmässige Vielecke als Diagonalebenen einschreiben. Das Oktaeder mit seinen drei Quadraten haben wir oben bereits kennen gelernt. Es bleiben noch das Kuboktaeder und das Ikosidodekaeder. Oktaeder: 3 Diagonal-Quadrate Ober fläche : 4 Dreiecken und 4 Dreiecken Das Oktaeder ist der Kern der Tetraeder-Tetraeder-Durchdringung Kuboktaeder: 4 Diagonal-Sechsecke Ober fläche : 8 Dreiecken und 6 Quadraten Das Kuboktaeder ist der Kern der Oktaeder-Hexaeder-Durchdringung Ikosidodekaeder: 6 Diagonal-Zehnecke Ober fläche : 20 Dreiecke und 12 Fünfecke Das Ikosidodekaeder ist der Kern der Ikosaeder-Dodekaeder-Durchdringung Es fällt auf, dass nur gerade die drei Kerne der Dualpaar-Durchdringungen der Platonischen Körper regelmässige Vielecke als Diagonalebenen aufweisen. Sie spielen im Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper eine zentrale Rolle. (Vergl. Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper) Ueli Wittorf 5

6 Die Proportionen der regelmässigen Vielecke und die Platonischen Körper geometric design Bauanleitungen Die folgenden Anleitungsblätter sind auf die Hälfte der ihrer Längenmasse verklienert. 5 mm Schaumstoffsandwich-Platten 6 Ueli Wittorf

7 geometricdesign Die Proportionen der regelmässigen Vielecke und die Platonischen Körper Papier 160 g. Die Schlitze müssen mit zwei Schnitten geschnitten werden, so dass sie 0.5 bis 1 mm breit werden. Ueli Wittorf 7

8 Die Proportionen der regelmässigen Vielecke und die Platonischen Körper geometric design 8 Ueli Wittorf

9 geometricdesign Die Proportionen der regelmässigen Vielecke und die Platonischen Körper Ueli Wittorf 9

10 Die Proportionen der regelmässigen Vielecke und die Platonischen Körper geometric design Das Pentagondodekaeder mit zwei Zentren aus zehn schiefen Papiertrichtern gebaut. Die beiden geraden Trichter ergeben sich. Trichter-Pentagondodekaeder mit zwei Zentren Die Abbildung zeigt deutlich die beiden Zentren im Pentagondodekaeder übereinander. Die geraden Trichter liegen somit oben und unten. Dreiteiliges Pentagondodekaeder Die beiden in einer fünfzähligen Symmetrieachse liegenden Zentren geben die Anregung das Pentagondodekaeder aus drei Teilen zu bauen, d.h. aus zwei identischen als Deckel und Boden und einem eingeschlossenen Patisson. Zürich, im September 2013 Ueli Wittorf 10 Ueli Wittorf