Zeitreihenanalyse Das klassische Komponentenmodell

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1 Zeitreihenanalyse Das klassische Komponentenmodell Worum geht es in diesem Lernmodul? Zeitreihen mit unterschiedlichen Charakteristika Zeitreihen mit regelmäßigen Schwankungen Mittel und Niveau einer Zeitreihe Stationäre Zeitreihen Komponenten des klassischen Komponentenmodells Das additive Modell Das multiplikative Modell Transformation Weiterführende Links Worum geht es in diesem Lernmodul? In diesem Lernmodul werden Sie in erster Linie das klassische Komponentenmodell kennen lernen. Es werden die einzelnen Komponenten anhand von Beispielreihen erläutert sowie die beiden Varianten, additive und multiplikative, des Models besprochen. Sie haben die Gelegenheit, die oft notwendige Transformation des multiplikativen in das additive Modell im Rahmen einer Übungsaufgabe durchzuführen. Darüber hinaus werden die Begriffe stationäre Zeitreihe, Mittel und Niveau geklärt. Zeitreihen mit unterschiedlichen Charakteristika Die Verläufe verschiedener Zeitreihen können sehr unterschiedlich ausfallen. Wie wir im vorangegangenen Kapitel festgestellt haben, ist die grafische Darstellung der Zeitreihe, der Plot, stets der erste Schritt bei der Zeitreihenanalyse. Wir wollen nun sehen, ob wir aus den Plots der folgenden vier Zeitreihen erste Charakteristika, wie z.b. regelmäßiges Verhalten, erkennen können. Der Preisindex für die Lebenshaltungskosten privater Haushalte in Deutschland steigt seit Januar 1991 beständig. Die entsprechende Zeitreihe in der folgenden Abbildung zeigt trotz kleinerer Schwankungen eine deutlich positive Steigung. Abb. LEBENSHALTUNGSKOSTEN: Preisindex für die Lebenshaltung Quelle: Statistisches Bundesamt Page 1

2 Vielleicht ist Ihnen das auch schon passiert: Erst ist das Wasser, das aus dem Hahn kommt, zu heiß zum Baden. Dann dreht man schnell das warme Wasser zu. Schon bald ist es zu kalt, also wird das warme Wasser wieder aufgedreht. Kurz darauf ist es wieder zu heiß. Das kann unter Umständen eine ganze Weile so weiter gehen: heiß, kalt, heiß, kalt....in der Ökonomie ist ein ähnliches Phänomen für die Regulierung von Angebot und Nachfrage bekannt. Es wurde als erstes am Schweinemarkt beobachtet, daher stammt auch der Name Schweinezyklus. Ist der Preis für Schweine besonders hoch, züchten extrem viele Bauern Schweine. Wenn aber aus den Ferkeln ausgewachsene Schweine geworden sind, können sehr viele Bauern ihre Schweine am Markt anbieten. Es gibt ein Überangebot und der Preis sinkt. Kein Bauer hat mehr Interesse an der wenig lukrativen Schweinezucht und schon bald herrscht ein Mangel an Schweinen. Mit der Folge, dass für die wenigen erhältlichen Schweine horrende Preise gezahlt werden. Der Kreislauf kommt zu seinem Ausgangspunkt und so geht es weiter und weiter. [ZVEI, 2001] Die folgende Zeitreihe zeigt schematisch einen solchen mehrjährigen, zyklischen Verlauf: Abb. SCHWEINEZYKLUS: schematische Darstellung Zeitreihen mit regelmäßigen Schwankungen Es gibt aber auch Zeitreihen, die keinen zyklischen Verlauf über mehrere Jahre aufweisen, sondern relativ regelmäßig mit Jahresperiode schwanken. Ein Beispiel dafür ist die Höhe der Steuereinnahmen. Die Schwankungen der monatlichen Einnahmen sind Jahr für Jahr relativ gleich. Wie die Abbildung STEUERN zeigt, sind die Einnahmen im März, Juni und September hoch, dazwischen eher niedrig, im Dezember schließlich erreichen sie ihren absoluten Spitzenwert. Abb. STEUERN: Gemeinschaftssteuern BRD insgesamt Quelle: Statistisches Bundesamt Die letzte Zeitreihe weist keinerlei Regelmäßigkeiten auf. Es sind keine regelmäßigen Schwankungen mit Jahresperiode oder zyklische Verläufe über größere Zeitabschnitte zu erkennen. Über die gesamte Zeitspanne betrachtet ist zudem weder eine positive noch eine negative Steigung der Zeitreihe zu erkennen. Der Verlauf der Zeitreihe wirkt wie ein wildes Auf und Ab im Intervall Null bis Zehn. Abb. RAUSCHEN Mittel und Niveau einer Zeitreihe Mittel Die zentrale Lage der Werte einer Zeitreihe wird durch das arithmetische Mittel beschrieben. ist der mittlere Wert oder, anders ausgedrückt, das Mittel, um das die Beobachtungen schwanken. Niveau Page 2

3 Der häufig gebrauchte Begriff des Niveaus einer Zeitreihe ist mathematisch nicht eindeutig bestimmt. Im Grunde meint der Begriff Niveau die Höhe, in der sich die Reihe bewegt. Wir erfassen das Niveau ebenfalls durch das arithmetische Mittel. Hat die Zeitreihe eine wachsende oder eine sinkende Tendenz, lässt sich das Niveau nicht bestimmen. Stationäre Zeitreihen Stationäre Zeitreihen weisen keine systematische Veränderung im Gesamtbild auf, d.h. es bestehen keine systematischen Änderungen im Mittel oder der Varianz, und es liegen keine streng periodischen Schwankungen vor (siehe Abb. RAUSCHEN ). Anders ausgedrückt, schwanken solche Zeitreihen nicht regelmäßig mit Jahresperiode, sie weisen keine mehrjährigen, zyklischen Verläufe auf und es lässt sich auch keine deutlich positive oder negative Steigung über einen längeren Zeitraum erkennen. Die weiterführenden Methoden der Zeitreihenanalyse beschäftigen sich größtenteils mit stationären Reihen. Deshalb ist es oft notwendig nichtstationäre in stationäre Zeitreihen zu überführen. Komponenten des klassischen Komponentenmodells Eine gängige Vorgehensweise der Analyse nichtstationärer Zeitreihen beruht auf der Annahme, dass sich die Reihe aus unterschiedlichen Komponenten zusammensetzt. Die Komponenten des klassischen Komponentenmodels 1. Trend Der Trend erfasst die langfristige Veränderung im Mittel einer Zeitreihe (siehe Abb. LEBENSHALTUNGSKOSTEN ). 2. Konjunkturkomponente Die Konjunkturkomponente ist eine mehrjährige, nicht notwendig regelmäßige Schwankung. Ökonomische Reihen z.b. können durch Geschäftszyklen mit mehrjähriger Periodendauer beeinflusst sein ( Abb. SCHWEINEZYKLUS ). 3. Saison Die Saison ist eine jahreszeitlich bedingte Schwankungskomponente, die sich nahezu unverändert jedes Jahr wiederholt. Insbesondere in ökonomischen Zeitreihen sehen wir oft ausgeprägte Saisonfiguren, d.h. zyklische Schwankungen mit Jahresperiode (siehe Abb. STEUERN ). Bei monatlich erhobenen Daten ist folglich die Periodendauer p=12, bei Quartalsdaten dementsprechend p=4. 4. Restkomponente Die Restkomponente besteht aus nicht zu klärenden Einflüssen und Störungen. Wir gehen durchweg von einem unabhängig identisch verteiltem Rest aus. Die ersten beiden Komponenten, Trend und Konjunkturkomponente, werden häufig zu einer einzigen, der sogenannten glatten Komponente, zusammengefasst. Page 3

4 Glatte Komponente = Trend + Konjunktur Die Trennung in Trend und Konjunkturkomponente ist oft problematisch. In der Ökonomie kennt man Zyklen, die sich über viele Jahre erstrecken. Hat die betrachtete Zeitreihe in einem solchen Fall nicht die entsprechende Länge, erscheinen diese Zyklen als Trend. Erst bei einer Reihe mit ausreichender Länge werden solche mehrjährigen Schwankungen als Konjunkturkomponente sichtbar. In dieser Übung haben Sie die Gelegenheit, sich etwas näher mit der Saisonkomponente einer Zeitreihe zu beschäftigen. Labordatei öffnen ( ab4.spf ) Das additive Modell Im klassischen Komponentenmodell gehen wir entweder von einer additiven oder einer multiplikativen Überlagerung der Komponenten aus. Unterstellen wir, dass sich die Komponenten additiv überlagern, erhalten wir die folgende formale Beschreibung: Reihe = Trend + Konjunktur + Saison + Rest bzw. Reihe = glatte Komponente + Saison + Rest Wir wählen für eine Zeitreihe mit Trend und Saisonkomponente das additive Modell in der Regel dann, wenn die Saisonausschläge über den gesamten Beobachtungsbereich in etwa gleich stark sind. Abb. MAUNALOA: Kohlendioxidkonzentration über Mauna Loa Quelle: Schlittgen, Rainer (2001). Angewandte Zeitreihenanalyse. München; Wien, Oldenbourg. Das multiplikative Modell Häufig steigt in empirischen Reihen die Streuung der Werte mit der glatten Komponente. Bei solchen Reihen wird in der Regel von einem multiplikativen Modell ausgegangen: Reihe = glatte Komponente * Saison * Rest bzw. Reihe = glatte Komponente * Saison * Rest Für eine Zeitreihe mit Trend und Saisonkomponente bedeutet dieses, dass das multiplikative Model dann angebracht ist, wenn mit dem Mittel auch die Größe der Saisonausschläge wächst. Abb. VERKAUF: Monatliche Verkaufszahlen einer Herstellerfirma nach Chatfield/Prothero Quelle: Gareth, Janacek (2001), Practical Time Series. London:, Arnold. Transformation Das multiplikative Modell kann durch logarithmische Transformation auf ein additives Page 4

5 zurückgeführt werden. Die Transformation dient dazu, die Saisoneffekte bzw. die Varianz konstant zu machen. Im Labor wird Ihnen eine Zeitreihe vorgegeben, bei der die Saisonausschläge mit dem Mittel wachsen. Wir müssen also von einem multiplikativen Modell als Grundlage ausgehen. Transformieren Sie die Reihe logarithmisch und überführen Sie so das multiplikative Modell in ein additives. Labordatei öffnen ( b08.spf ) Weiterführende Links Zeitreihen zum Üben und Ausprobieren: vergleiche: Chatfield, Christopher (1982). Analyse von Zeitreihen. München, Hanser. Janacek, Gareth (2001). Practical Time Series. London, Arnold. Schlittgen, Rainer (2001). Angewandte Zeitreihenanalyse. München; Wien, Oldenbourg. Schlittgen, R.; Streitberg, B.H.J. (1994).Zeitreihenanalyse. München; Wien, Oldenbourg. Zentralverband Elektrotechnik- und Elektronikindustrie (ZVEI) e.v. (Hrsg.) (2001): Was ist der Schweinezyklus? Internet: (c) Projekt Neue Statistik 2003, Freie Universität Berlin, Center für Digitale Systeme Kontakt: Page 5