WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK

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1 WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK PROF. DR. ROLF HÜPEN FAKULTÄT FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT Semiar für Theoretische Wirtschaftslehre Vorlesugsprogramm Zweidimesioale Datesätze (Fortsetzug) 3. Regressiosaalyse: lieare Regressio, Methode der kleiste Quadrate Grudlage der Zeitreiheaalyse 1. Kompoetezerlegug vo Zeitreihe 2. Tredbestimmug vo Zeitreihe 3. Glätte vo Zeitreihe Literatur: Dege, Horst / Lorscheid, Peter: Statistik-Lehrbuch, 2. Aufl., Müche-Wie 2002, S , Mosler, Karl ud Schmid, Friedrich: Beschreibede Statistik ud Wirtschaftsstatistik, 4. Aufl., Berli-Heidelberg-New York 2009, S , vo der Lippe, Peter: Deskriptive Statistik, Stuttgart 1993, Olie-Ausgabe, S , S Wewel, Max C.: Statistik im Bachelor-Studium der BWL ud VWL, 2. erw. Aufl., Müche 2011, S Übugsaufgabe: SS 08 A4. WS 08/09 A4. SS 10 A5. WS 10/11 A4. WS 11/12 A2. SS 12 A5. Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester 2013

2 Zweidimesioale Datesätze Regressiosaalyse Regressiosaalyse Die Regressiosaalyse beschäftigt sich mit der Schätzug fuktioaler Beziehuge zwische zwei oder mehr metrisch skalierte Merkmale. Hier: Zweidimesioale Datesätze Eifache Regressio Es wird uterstellt, das eie metrische Merkmal (die uabhägige Variable, im Folgede immer mit x bezeichet) beeiflusse das adere metrische Merkmal (die abhägige Variable, im Folgede immer mit y bezeichet). Gesucht ist also die Fuktio y = f x, durch welche die gegebee Wertepaare x i, y i geeriert werde. Bei der lieare Regressio wird ageomme, die gesuchte Fuktio sei liear vo der Form y = a + b x Die vorliegede Wertepaare erfülle diese Beziehug i der Regel icht exakt, d. h. es gibt Abweichuge u i = y i a + b x i, i = 1,, Die lieare Eifachregressio läuft also darauf hiaus, die durch de Datesatz gegebee Puktwolke im Streudiagramm durch eie Gerade so azuäher, dass die Abweichuge u i möglichst gerig sid. Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

3 y Zweidimesioale Datesätze Lieare Eifachregressio Zahlebeispiel 10 i x i y i u u I der Abbildug wurde i die Puktwolke mit der Freihadmethode eie Regressiosgerade eigezeichet. Die Abweichuge sid jeweils die sekrechte Abstäde zwische de Pukte ud der Gerade u 1 u 2 u x Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

4 Zweidimesioale Datesätze Lieare Eifachregressio Methode der kleiste Quadrate ach Gauß: Die Koeffiziete a ud b der Regressiosgerade y = a + b x sid so zu wähle, dass die Summe der quadratische Abweichuge miimiert wird. Uter der Voraussetzug Q a, b = u i 2 = x i x 2 0 ist die Lösug dieser Miimierugsaufgabe eideutig ud lautet: y i (a + b x i ) 2 b = x i x y i y x i x 2 = s xy s x 2 a = y b x oder alterativ: 2 b = x i y i x i y i x i 2 x i a = y b x Beweis Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

5 y Zweidimesioale Datesätze Lieare Eifachregressio Zahlebeispiel: i x i y i x i x y i y x i x y i y x i x S AM 4 5 7, b = x i x y i y x i x 2 = = 0,95 a = y b x = 5 0,95 4 = 1,2 Regressiosgerade y = 1,2 + 0,95 x x Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

6 Zweidimesioale Datesätze Lieare Eifachregressio Zwische dem Korrelatioskoeffiziete r vo Bravais-Pearso ud dem Regressioskoeffiziete b gibt es folgede Beziehug: b = r s y s x mit s x = 1 x i x 2 ud s y = 1 y i y 2 Die sich durch Awedug der Regressiosgleichug aus de Beobachtugswerte ergebede Werte y i = a + b x i heiße theoretische y-werte oder durch die Regressio erklärte Werte. Die Abweichuge u i = y i y i zwische de beobachtete y-werte ud de theoretische y-werte heiße KQ-Residue. Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

7 y Zweidimesioale Datesätze Lieare Eifachregressio Zur Eischätzug der Güte der Regressio wird der Determiatioskoeffiziet d berechet. Diese bezeichet ma auch als Bestimmtheitsmaß. Er ist wie folgt defiiert: d = y i y 2 y i y mit y i y Der Determiatioskoeffiziet misst, welcher Ateil der Variaz (quadratische Abweichug der Beobachtugswerte vom arithmetische Mittel y i y 2 ) durch die Regressio erklärt wird x Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

8 Zweidimesioale Datesätze Lieare Eifachregressio Für de Determiatioskoeffiziete gelte folgede Aussage: Der Determiatioskoeffiziet gibt a, wie groß der Ateil der durch die Regressiosgerade erklärte quadratische Abweichuge des abhägige Merkmals y vom seiem Mittelwert y a der Gesamtsumme der quadratische Abweichuge ist. d = 1 u i y i y 2 0 d 1 d = r 2 d = 1 geau da, we alle Pukte x i, y i auf der Regressiosgerade liege. d = 0 geau da, we beide Merkmale ukorreliert sid. Dies ist uter de Aahme s x 0 ud s y 0 geau da der Fall, we b = 0 ud a = y. Die Apassug durch die Regressiosgerade ist umso besser, je größer d ist. Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

9 Mege Zweidimesioale Datesätze Lieare Eifachregressio Zahlebeispiel Zahlebeispiel Obsthädler : 1 Ei Obsthädler otiert a zeh aufeiader folgede Tage de Preis (i Euro pro kg) eier bestimmte Erdbeersorte ud die verkaufte Tagesmege (i kg): Preis i Euro kg Mege i kg 4, , , , , , , , , , ,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 Preis 1 Quelle für das Zahlebeispiel: Mosler / Schmid, Beschreibede Statistik ud Wirtschaftsstatistik, 4. Aufl., Berli-Heidelberg-New York 2009, S Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

10 Zweidimesioale Datesätze Lieare Eifachregressio Zahlebeispiel Arbeitstabelle: Preis Mege i x i y i x i x y i y x i x y i y x i x 2 y i y 2 1 4, ,30-0,50-0,15 0,09 0,25 2 4, ,10 4,50-0,45 0,01 20,25 3 3, ,60 9,50-5,7 0,36 90,25 4 4, ,10 4,50 0,45 0,01 20,25 5 5, ,00-20,50-20, ,25 6 5, ,60-10,50-6,3 0,36 110,25 7 4, ,30-0,50 0,15 0,09 0,25 8 4, ,10-5,50 0,55 0,01 30,25 9 3, ,50 4,50-2,25 0,25 20, , ,40 14,50-5,8 0,16 210,25 S ,34 922,5 AM 4,40 70,5-4 0,234 92,25 Korrelatioskoeffiziet: x i x y i y r = x i x 2 y i y 2 40 = 2,34 922,5 = 0,8609 Also starke egative Korrelatio. b = x i x y i y x i x 2 = 40 2,34 = 17,0940 a = y b x = 70,5 + 17,0940 4,4 = 145,7137 Regressiosgerade: y = 145, ,0940 x Determiatioskoeffiziet: Ca. 74% der Abweichuge werde durch die Regressio erklärt. d = r 2 = 0, = 0,7412 Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

11 Mege Zweidimesioale Datesätze Lieare Eifachregressio Zahlebeispiel Die Regressiosgleichug ka zu Progosezwecke beutzt werde, we ma abschätze will, mit welchem y-wert bei eiem bestimmte x-wert zu reche ist. Im Beispiel Obsthädler ist etwa y 3,50 = 145, ,0940 3,50 = 85,8847 sodass der Obsthädler damit reche ka, ca. 86 kg Erdbeere absetze zu köe, we er de Preis auf 3,50 /kg sekt. Je kleier d ud je weiter der eigesetzte x-wert vo de bisher beobachtete Werte etfert ist, umso usicherer ist jedoch die Progose. 40 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 Preis Beispiel Kosumfuktio Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

12 Zeitreiheaalyse Begriff der Zeitreihe Zeitreiheaalyse Zeitreihe etstehe bei statistische Lägsschittaalyse. Ei Merkmal X wird zu verschiedee, aufeiader folgede Zeitpukte oder Zeititervalle erhobe. Dadurch erhält ma eie zeitlich geordete Abfolge vo Beobachtugswerte. Der Gegebegriff ist die statistische Querschittaalyse, bei der sich die Beobachtugswerte verschiedeer statistischer Eiheite alle auf ei- ud deselbe Zeitpukt oder Zeitraum beziehe. Defiitio: Eie Folge vo Beobachtugswerte x t mit t = 1,2,, welche i der Reihefolge x 1, x 2,, x zeitlich acheiader beobachtet wurde, heißt Zeitreihe. t = 1,2,, heißt Zeitidex. Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

13 Zeitreiheaalyse Begriff der Zeitreihe Bei Zeitreihe ist Folgedes zu beachte: Hadelt es sich bei de Beobachtugswerte um Bestadsgröße, so ist der Zeitidex t als aufeiader folgede Reihe äquidistater Zeitpukte zu iterpretiere. x t ist da der Wert der Bestadsgröße zum Zeitpukt t, also z. B. die Eiwoherzahl Deutschlads am Hadelt es sich bei de Beobachtugswerte um Stromgröße, so ist der Zeitidex t als aufeiader folgede Reihe vo Zeitperiode eiheitlicher Dauer zu iterpretiere. 1 I diesem Fall bezeichet x t de währed der Dauer der Periode t kumulierte Wert der betrachtete Stromgröße, z. B. das Bruttoiladsprodukt im zweite Quartal Empirisch gehaltvolle Aussage erforder, dass der im Zeitidex ausgedrückte Modellzeit eideutig Kalederzeiteiheite zugeordet werde köe. Der Graph eier Zeitreihe mit t a der Abszisse ud x t a der Ordiate heißt Zeitreihediagramm (Plot). 1 ) Liege aufeiader folgede Zeitperiode T 1,, T vor, so gibt es Stromgröße x 1, x. Betrachtet ma die damit korrespodierede Afags- ud Edzeitpukte der Periode, so gibt es + 1 solcher Zeitpukte, ämlich t 0, t 1,, t mit T i = t i t i 1. Der Zeitidex für die Bestadsgröße ist da t = 0,1,,. So gehöre z. B. zu + 1 aufeiader folgede äquidistate Bestadsgröße geau aufeiader folgede Wachstumsrate. Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

14 Zeitreiheaalyse Zeitreihediagramm Registrierte Arbeitslose im alte Budesgebiet, Moatswerte Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

15 Zeitreiheaalyse Zeitreihediagramm Registrierte Arbeitslose i Deutschlad, Moatswerte Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

16 Zeitreiheaalyse Kompoetezerlegug vo Zeitreihe Kompoetezerlegug vo Zeitreihe Bewegugskompoete beschreibe charakteristische Veräderuge der Beobachtugswerte im Zeitablauf: T t Z t G t = T t + Z t S t R t Tredkompoete: Beschreibt die mootoe lagfristige Etwicklug. Zyklische Kompoete: Beschreibt de Kojukturverlauf. Glatte Kompoete: Zusammefassug vo Tred ud zyklischer Kompoete. Saisokompoete: Beschreibt die saisoale Abweichug vo der glatte Kompoete. Irreguläre Kompoete: Restkompoete, beschreibt de Teil der Beobachtuge, de die vorgeate Kompoete icht erfasse. Additives Kompoetemodell: x t = T t + Z t + S t + R t G t Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

17 Zeitreiheaalyse Tredkompoete Methode der Reihehälfte Tredbestimmug mit der Methode der Reihehälfte Fall 1: Die Azahl der vorhadee Zeitreihewerte ist gerade = 2 Zeitreihe i die beide Hälfte x 1,, x ud x +1,, x aufteile. Die arithmetische Mittel x 1 = 1 x t ud x 2 = 1 t=1 t= +1 x t der beide Reihehälfte bereche. Eie Gerade durch die beide Pukte +1, x 2 1 ud Diese Gerade ist die Tredgerade , x 2 lege. Tredgerade: T t = a + b t Parameter der Tredgerade: b = x 2 x 1 ud a = x 1 b Fall 2: Die Azahl der vorhadee Zeitreihewerte ist ugerade = Mittlere Wert x +1 weglasse. Weiteres Vorgehe aalog zu Fall 1. Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

18 Zeitreiheaalyse Tredkompoete Methode der Reihehälfte Bruttoiladsprodukt, preisbereiigt (verkettet, 1991 = 100) 130,00 120,00 110,00 100,00 Ketteidex, 1991 = ,00 80,00 70,00 60,00 50,00 40, Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

19 Zeitreiheaalyse Tredkompoete Methode der Reihehälfte Jahr BIP Jahr BIP , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,08 Summe 1 313,07 Summe 1 977,47 x 1 72,9483 x 2 109,8596 b = x 2 = 36 = , x 2 1 = 9,5; 72, , x 2 2 = (27,5; 109,8596) x 1 = 109, , a = x 1 b + 1 = 2 = 72,9483 2,0506 9,5 = 53,4674 Tredgerade: T t = a + b t = 53, ,0506 t = 2,0506 Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

20 Zeitreiheaalyse Tredkompoete Methode der Reihehälfte Bruttoiladsprodukt, preisbereiigt (verkettet, 1991 = 100) 140,00 130,00 120,00 110,00 Ketteidex, 1991 = ,00 90,00 80,00 70,00 60,00 50,00 40, Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

21 Zeitreiheaalyse Tredkompoete Methode der kleiste Quadrate Tredbestimmug mit der Methode der kleiste Quadrate Die Tredgerade wird wie bei der lieare Regressio mit der Methode der kleiste Quadrate agepasst, idem die Zeitreihewerte als abhägige Variable ud die Zeit t als uabhägige Variable iterpretiert werde. Die Parameter der Tredgerade T t = a + b t resultiere da als 2 b = t x t t x t t 2 t t=1 t=1 t=1 t=1 t=1 a = 1 x t b 1 t t=1 t=1 Dabei gilt: t=1 t=1 t = ( + 1) 2 t 2 = (2 + 1) 6 Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

22 Zeitreiheaalyse Tredkompoete Methode der kleiste Quadrate Bruttoiladsprodukt (x t ), preisbereiigt (Ketteidex, 1991 = 100) Fortsetzug Jahr t x t t x t Jahr t x t t x t ,57 58, , , ,07 122, , , ,11 192, , , ,75 259, , , ,17 320, , , ,03 402, , , ,37 485, , , ,53 572, , , ,59 671, , , ,57 755, , , ,05 836, , , ,67 908, , , ,78 998, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,88 t=1 t 2 = t=1 t = ( + 1) t=1 t=1 = = x t = 3290,56 tx t = 68459,01 = Parameter der Tredgerade: = b = tx t t x t t 2 t , , = 1,9520 a = x t b t 3290,56 1, = 36 = 55,2918 Tredgerade: T t = 55, ,9520 t = Summe : , ,01 Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

23 Zeitreiheaalyse Tredkompoete Methode der kleiste Quadrate Bruttoiladsprodukt, preisbereiigt (verkettet, 1991 = 100) 140,00 130,00 120,00 110,00 Ketteidex, 1991 = ,00 90,00 80,00 Ursprugswerte Tred, RH Tred, KQ 70,00 60,00 50,00 40, Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

24 Zeitreiheaalyse Glatte Kompoete Methode der gleitede Durchschitte Reiheglättug mit der Methode der gleitede Durchschitte Versio 1: Zum Beobachtugswert x t zu eiem Zeitpukt (oder eier Zeitperiode) t werde m Vorgäger- ud m Nachfolgewerte hizugezoge. x t ud die hizugezogee Werte bilde zusamme de Stützbereich. Dieser umfasst also immer eie ugerade Azahl vo Werte, ämlich 2m + 1 Werte. Dem Zeitpukt (oder itervall) t wird soda der Durchschitt x t dieser 2m + 1 Werte zugeordet. x t = t m t+m x t 2m + 1 = x t m + x t m x t + + x t+m 1 + x t+m 2m + 1 Versio 2: Der erste ud der letzte Wert des Stützbereichs gehe ur mit halbem Gewicht i die Berechug ei. Diese Versio ist relevat, we eie gerade Azahl (2m) uterjähriger, saisobehafteter Date geglättet werde soll, z. B. Moatsdate (2m = 12 Moate) oder Quartalsdate (2m = 4 Quartale). Die Saisofigur wird dadurch elimiiert. x t = 1 2 x t m + x t m x t + + x t+m x t+m 2m Für beide Versioe gilt: Für die erste m Werte ud die letzte m Werte der Zeitreihe ka der gleitede Durchschitt x t icht berechet werde, weil der Stützbereich zu klei ist. Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

25 Zeitreiheaalyse Glatte Kompoete Methode der gleitede Durchschitte Jahr Moat Arbeitslose Registrierte Arbeitslose i Deutschlad Gleiteder Durchschitt m = 6 Gleiteder Jahr Moat Arbeitslose Durchschitt m = Jauar Jauar Februar Februar Maerz März April April Mai Mai Jui Jui Juli Juli August August September September Oktober Oktober November November Dezember Dezember Jauar Jauar Februar Februar Maerz März April April Mai Mai Jui Jui Juli Juli August August September September Oktober Oktober November November Dezember Dezember Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

26 Zeitreiheaalyse Glatte Kompoete Methode der gleitede Durchschitte Registrierte Arbeitslose i Deutschlad, Moatswerte Origialwerte Glatte Kompoete (Versio 2) Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

27 Zeitreiheaalyse Glatte Kompoete Methode der gleitede Durchschitte Bruttoiladsprodukt (BIP) Quartalswerte (Mrd. Euro) Deutschlad Berechug des gleitede Durchschitts, beispielhaft für das dritte Quartal 2004: x 7 = , , , , ,80 = 552,88 4 Kalederzeit t Ursprugswerte Vj 1 523,00 2.Vj 2 531,80 BIP i Mrd Gleiteder Durchschitt m = 2 3.Vj 3 552,00 542,73 4.Vj 4 557,00 546, Vj 5 537,20 549,34 2.Vj 6 546,90 551,60 3.Vj 7 560,50 552,88 4.Vj 8 566,60 554, Vj 9 537,80 557,20 2.Vj ,50 559,85 3.Vj ,30 563,79 4.Vj ,00 568, Vj ,90 572,00 2.Vj ,20 577,48 3.Vj ,50 584,04 4.Vj ,60 590, Vj ,80 597,56 2.Vj ,60 3.Vj ,00 Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester

28 BIP i Mrd. Euro Zeitreiheaalyse Glatte Kompoete Methode der gleitede Durchschitte Bruttoiladsprodukt i Deutschlad, Quartalswerte Vj 2.Vj 3.Vj 4.Vj 1.Vj 2.Vj 3.Vj 4.Vj 1.Vj 2.Vj 3.Vj 4.Vj 1.Vj 2.Vj 3.Vj 4.Vj 1.Vj 2.Vj 3.Vj 4.Vj Ursprugswerte Gleiteder Durchschitt (m = 2) Prof. Dr. Rolf Hüpe Modul Statistik I Sommersemester 2013 Beispiel Erwerbslose 28