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1 13 Zeitreihenanalyse 1 Kapitel 13: Zeitreihenanalyse A: Übungsaufgaben: [ 1 ] 1 a a) Nach der Formel x t+i berechnet man einen ein f achen gleitenden Durchschnitt. 2a + 1 i= a b) Die Residuale berechnet man nach der Formel e t = x t T t S t. c) Bei monatlichen Daten über mehrere Jahre wird bei der in der Vorlesung besprochenen Zeitreihenanalyse S 1 = S 13 = S 25 =... d) Ein durch einfachen gleitenden Durchschnitt berechneter Trend wird glatter, wenn der Durchschnitt über mehr Werte gebildet wird. e) Auch bei Zeitreihen mit deutlicher Saisonschwankung kann man beliebige gleitende Durchschnitte zur Berechnung eines vernünftigen Trends verwenden. [ 2 ] Die folgende Zeitreihe gibt viermonatliche Daten für drei Jahre. Berechnen Sie die Saisonkomponente für die zweite Saison (zweites Jahresdrittel). (I) (II) (III) (I) (II) (III) (I) (II) (III) x t T t S 2 = [ 3 ] a) Soll ein gleitender Durchschnitt für eine Zeitreihe berechnet werden, so muss berücksichtigt werden, ob Saisonschwankungen vorliegen. b) Saisonschwankungen S t können erst berechnet werden, wenn der Trend T t bekannt ist. c) Es gilt: T t = t x t / (Anzahl aller Werte x t ). d) Den Wert des Residuums e t mit t = 1 kann man nicht berechnen. e) Für jede Zeitreihe lässt sich genau eine Trendfunktion bestimmen.

2 13 Zeitreihenanalyse 2 [ 4 ] Die folgende Zeitreihe gibt über 4 Jahre Daten des jeweiligen Sommer- und Winterhalbjahres wieder: t W 1 S 1 W 2 S 2 W 3 S 3 W 4 S 4 x t Berechnen Sie nach der Methode der klassischen Zeitreihenanalyse den Trend (T 2 bis T 7 ) und die Saisonschwankung für Sommer- und Winterhalbjahr! Geben Sie die Summe der berechneten Trendwerte (T 2 bis T 7 ) an! Geben Sie die Saisonkomponente der Sommerhalbjahre an! [ 5 ] Welche der folgenden Aussagen sind im Zusammenhang mit dem Begriff des einfachen gleitenden Durchschnitts D t = (x t a x t x t+a )/(2a + 1) WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) D 1, D 2,..., D a kann man mit der gegebenen Formel nicht erhalten. b) Vergrößert man den verwendeten Wert von a, so wird der gleitende Durchschnitt in der Regel glatter. c) Wenn keine Saisonschwankung vorliegt, wird in der klassischen Zeitreihenanalyse oft ein einfacher gleitender Durchschnitt zur Berechnung des Trends verwendet. d) Es gibt eine eindeutige Lösung zur Bestimmung der Saisonkomponente. e) Zur Berechnung des Trends bei monatlichen Daten mit Saisonschwankungen ist der einfache gleitende Durchschnitt in der Regel nicht geeignet.

3 13 Zeitreihenanalyse 3 [ 6 ] Bei der Analyse einer Zeitreihe nach der klassischen Methode soll der Trend durch einfache gleitende Durchschnitte berechnet werden: T t = 1 a x t+i 2a + 1 i= a a) Je größer a ist, desto mehr Trendwerte können am Anfang der Zeitreihe nicht berechnet werden. b) Je kleiner a ist, desto glatter verläuft der Trend. c) Weist die Zeitreihe deutliche Saisonschwankungen auf, so ist der Wert von a beliebig. d) Bei Zeitreihen ohne Saisonschwankungen werden die Fehler e t um so größer, je kleiner a ist. e) Weist die Zeitreihe keine Saisonschwankung auf, berechnet man die Fehler U t als Differenz zwischen den Werten der Zeitreihe x t und dem Trend T t. [ 7 ] Gegeben ist die folgende Zeitreihe mit Quartalsdaten und Saisonschwankung: (I) (II) (III) (IV) (I) (II) (III) (IV) (I) (II) (III) (IV) t x t Verwenden Sie zentrierte gleitende Durchschnitte zur Berechnung des Trends, und berechnen Sie die Saisonkomponente für das 3. Quartal. S III = [ 8 ] Gegeben ist die folgende Zeitreihe mit halbjährlichen Daten und deutlicher Saisonschwankung: (I) (II) (I) (II) (I) (II) t x t Berechnen Sie nach der Methode der klassischen Zeitreihenanalyse die Saisonkomponenten. S I = S II =

4 13 Zeitreihenanalyse 4 [ 9 ] Gegeben ist die folgende Zeitreihe mit halbjährlichen Daten und deutlicher Saisonschwankung. (I) (II) (I) (II) (I) (II) t x t Berechnen Sie nach der Methode der klassischen Zeitreihenanalyse die Saisonkomponenten. S I = S II = [ 10 ] a) Ein durch einfachen gleitenden Durchschnitt berechneter Trend wird glatter, wenn der Durchschnitt über mehr Werte gebildet wird. b) Liegen Daten mit Saisonschwankungen vor, so sind die zentrierten Filter für die Berechnung des Trends besonders geeignet. c) Der gewichtete Durchschnitt wird wie folgt berechnet: b D t = λ i x t+i, t = a + 1,...,n b a,b > 0 i= a d) Die Residuale e t geben die Differenz zwischen Trend und Saisonkomponente an. e) Es gibt unterschiedliche Verfahren zur Bestimmung des Trends, der Saisonkomponente und des Fehlers, die auch zu unterschiedlichen Ergebnissen führen. [ 11 ] Welche der folgenden Aussagen über Zeitreihen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Den Wert der Residualen e t mit t = 1 kann man nicht berechnen. b) Der einfache gleitende Durchschnitt wird mit wachsendem a glatter. c) Für jede Zeitreihe läßt sich genau eine Trendfunktion bestimmen. d) Der gewichtete Durchschnitt wird wie folgt gemessen: D t = b i= a λ i x t+i t = a + 1,..., n b a,b > 0. e) Es gilt : T t = x t /(Anzahl aller Werte x t ).

5 13 Zeitreihenanalyse 5 [ 12 ] Gegeben ist die folgende Zeitreihe mit halbjährlichen Daten und deutlicher Saisonschwankung. (I) (II) (I) (II) (I) (II) (I) (II) t x t Berechnen Sie nach der Methode der klassischen Zeitreihenanalyse die Saisonkomponente für das erste Halbjahr. S I = [ 13 ] Gegeben ist die folgende Zeitreihe mit halbjährlichen Daten und Saisonschwankung. (I) (II) (I) (II) (I) (II) (I) (II) t x t Berechnen Sie nach der Methode der klassischen Zeitreihenanalyse die Saisonkomponente für das erste Halbjahr und bestimmen Sie das Residual e 5. S I = e 5 = [ 14 ] Gegeben sei folgende Zeitreihe mit halbjährlichen Messungen pro Jahr und deutlicher Saisonschwankung: (I) (II) (I) (II) (I) (II) (I) (II) (I) t x t Berechnen Sie den Trend T 5 und die Saisonkomponente für das zweite Halbjahr S II. T 5 = S II =

6 13 Zeitreihenanalyse 6 [ 15 ] Gegeben ist die folgende Zeitreihe mit drei Messungen pro Jahr und deutlicher Saisonschwankung: a) Berechnen Sie den Trend T 4. (I) (II) (III) (I) (II) (III) (I) (II) (III) t x t b) Berechnen Sie die Saisonkomponente für die mittleren 4 Monate eines jeden Jahres (S II ). a) T 4 = b) S II = [ 16 ] Gegeben ist die folgende Zeitreihe mit Halbjahresdaten und deutlicher Saisonschwankung. (I) (II) (I) (II) (I) (II) t x t Berechnen Sie nach der Methode der klassischen Zeitreihenanalyse die Saisonkomponente für das zweite und das erste Halbjahr und geben Sie die Summe beider Saisonkomponenten an. Berechnen Sie ebenso das Residual e 4. S I + S II = e 4 = B: Klausuraufgaben: [ 17 ] II07S Für vierteljährliche Daten liegen die folgenden Beobachtungen vor: Quartalsdaten t Quartal I II III IV I II III IV I x t Bestimmen Sie den gewichteten gleitenden Durchschnitt D mit dem entsprechenden zentrierten Filter für t = 5. Bestimmen Sie außerdem die Saisonkomponente des 3. Quartals III. D 5 = S III =

7 13 Zeitreihenanalyse 7 [ 18 ] IV07S2 Gegeben seien folgende Umsatzzahlen (in 1000 Euro für jeweils 4 Monate) eines Unternehmens von 2002 bis 2004: Jahr t Saison I II III I II III I II III x t Bestimmen Sie den Trend T 2 für t = 2, die Saisonkomponente S II und das Residual e 8 für t = 8. Geben Sie in Ihren Ergebnissen (falls nötig) gekürzte Brüche an. T 2 = S II = e 8 = [ 19 ] II07S2 a) Man spricht von einer Zeitreihe, wenn eine Variable zu verschiedenen aufeinanderfolgenden Zeitpunkten beobachtet wird. b) Verwendet man ein additives Modell für eine Zeitreihe, so ist der beobachtete Wert der Variablen gleich der Summe aus dem Trend und der Saisonkomponente. c) Wachsen die Saisonschwankungen mit der Zeit, so ist oft ein multiplikatives Modell für die Beschreibung der Daten geeignet. d) Wird das multiplikative Modell verwendet, so folgen die Logarithmen der Zeitreihe einem additiven Modell. e) Das Ziel einer logarithmischen oder anderen Transformation der Daten ist es, die Saisonschwankungen konstant zu machen. [ 20 ] IV07S a) Ein einfacher gleitender Durchschnitt kann für alle Werte der Zeit t berechnet werden. b) Mit wachsendem a wird der gleitende Durchschnitt glatter. c) Für monatliche, vierteljährliche und halbjährliche Daten muss ein zentrierter Filter verwendet werden. d) Ein Nachteil des multiplikativen Modells ist es, dass man keine Zerlegung der Ursprungsdaten erhalten kann. e) Saisonkomponente und Saisonfaktor bedeuten dasselbe.

8 13 Zeitreihenanalyse 8 C: Lösungen: 1) a, b, c, d 2) 1 3 3) a, b, d 4) 76 ; 3 5) a, b, c, e 6) a, e 7) ) -2 ; 3 9) ; ) a, b, c, e 11) a, b, e 12) -7 13) -6 ; 0 14) 12 ; ) 9 ; ) 1 ; -1 17) 25 ; -6 18) 182 ; 23 3 ; ) a, d, e 20) b, c

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