Beispiel zur Bemessung einer Spannbetonbrücke

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1 Beispiel zur Bemessung einer Spannbetonbrücke Betrachtet wird eine zweifeldrige Straßenbrücke mit Einzelstützweiten von je 18,00 m. Der Überbau wird in einem Guss hergestellt, so entfällt der Nachweis von Bauzuständen. Der Überbau wird als Spannbetonbauteil hergestellt. In Brückenlängsrichtung kommen Spannglieder mit nachträglichem Verbund zum Einsatz. In Querrichtung ist die Brücke schlaff bewehrt. Die Spannglieder laufen über die gesamte Länge durch und werden nicht gestoßen. Im Rahmen dieser Bemessung werden nur die nachfolgenden Bereiche betrachtet: Endauflager, maximales Feldmoment (bei ca. 0,4 L), Mittelstütze, Momentennullpunkt. 1. System Grundriss: Querschnitt: 1

2 statisches System weitere Kennzeichen: Kreuzungswinkel zwischen Brückenachse Auflagerachsen: 100 gon bzw. 90 Höhe zwischen Geländeoberkante und Unterkante Konstruktion: 5,00 m 2. Anforderungen an die Dauerhaftigkeit: DIN Fb 102, Bewehrungskorrosion: Karbonatisierungsinduziert: XC4 C 25/30 Chloridinduziert: XD1 C 30/37 Betonangriff: XF2 C 25/30 gewählt: C 35/54 Betondeckung für den Betonstahl: Korrosion: XC4 c min = 25 mm XD1 c min = 40 mm (maßgebend) Δc = 15 mm = 55 mm (maßgebend) c nom Verbund: d s,max = 28 mm c min = 28 mm Δc = 15 mm = 43 mm Betondeckung für den Spannstahl: Verbund: Hüllrohrdurchmesser d a = 82 mm c min = 82 mm Δc = 15 mm c nom = 97 mm nach DIN Fb c nom 100 mm (maßgebend) (unter der Oberfläche von Fahrbahnplatten) c nom Baustoffe: Beton: C 35/45 f ck = 35/ N/mm² f ctm = 3,2 N/mm² f ctk,0,05 = 2,2 N/mm² E cm = N/mm² Betonstahl: BSt 500 S E s = N/mm² Spannstahl: St 1570/1770 f p0,1k = 1500 N/mm² f pk = 1770 N/mm² = N/mm² E p 2

3 3. Querschnittswerte: b eff = Σb eff,i + b w Feldbereich: b eff = 4,25 m Stützbereich: b eff = 2,97 m Zusammenstellung der wichtigsten Werte: Feldquerschnitt Stützenquerschnitt A c m² 1,963 1,632 Querschnittsfläche z co m -0,333-0,374 Schwerpunktsabstand obere Randfaser z cu m 0,667 0,626 Schwerpunktsabstand untere Randfaser z cp m 0,529-0,236 Schwerpunktsabstand Spannglied I c m 4 0,154 0,135 Trägheitsmoment W co m³ -0,461-0,362 Widerstandsmoment W cu m³ 0,230 0,216 Widerstandsmoment Feldbereich: Stützbereich: 3

4 4. Einwirkungen (charakteristische Werte) Die nachfolgenden Einwirkungen verstehen sich als Einwirkungen pro Steg. 4.1 Ständige Einwirkungen (Eigengewicht) Konstruktionseigengewicht: g 1 = 1, = 49,1 kn/m Ausbaulasten: g 2 Kappen: 0, = 7,6 kn/m Leitplanke: = 0,3 kn/m Geländer: = 0,3 kn/m Belag: 7 cm 0,07 3,00 25 = 6,0 kn/m Gradientenausgleich: 0,50 3,00 = 1,5 kn/m g 2 = 15,6 kn/m 4.2 Einwirkungen aus Verkehr Vertikale Verkehrslast Aufteilung der Fahrbahn in Fahrstreifen: Für unser Beispiel ergeben sich 2 Fahrbahnen und keine Restfläche. 4

5 Weitere Lastmodelle wie das LM 2 (geeignet für Brücken mit sehr kurzen Stützweiten) und das LM 4 (Ermüdungslastmodell) werden im Rahmen dieses Beispiels nicht untersucht. Weitere Verkehrslasten: Verkehrslasten auf Kappen: 5,00 kn/m² (ermäßigt q = 2,5 kn/m²) Fb 101, IV, Fb 101, IV, Die Lasten sind entsprechend der Quereinflusslinie zu verteilen: Daraus ergeben sich folgende Belastungen für einen Längsträger: Lastmodell 1: TS-System: 120 (0,68 + 0,55) = 147,6 kn / Achse 80 (0,48 + 0,33) = 64,8 kn / Achse Summe: = 212,4 kn / Achse UDL: 0,71+ 0,50 Fahrstreifen 1 9,00 3, 00 2 = 16,3 kn/m 0,50 + 0,32 Fahrstreifen 2 2,50 3, 00 2 = 3,1 kn/m Summe = 19,4 kn/m Verkehrslast auf den Kappen: Kappe 1 0,80 + 0,71 5,00 1, 50 2 = 5,6 kn/m (2,8) Kappe 2 0,32 + 0,20 5,00 1, 50 2 = 2,0 kn/m (1,0) Summe = 7,6 kn/m (3,8) Die Klammerwerte gelten für eine abgeminderte Verkehrslast auf den Kappen (2,5 kn/m²). 5

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10 4.2.1 Horizontale Verkehrslasten (DIN Fb 101, 4.4.1): Q lk = 0,6 α Q (2 Q lk )+0,10 α ql q 1k w l L mit 360 α ql Q lk 900 kn Q lk = 0,6 0,8 ( ) + 0,10 1,0 9,0 3,0 36,0 = 385,2 kn Zentrifugalkräfte treten nicht auf, da der Krümmungsradius unendlich groß ist. 4.3 Einwirkungen aus Wind (DIN Fb 101, IV, Anhang N, Tab. N.1) Als Parameter werden berücksichtigt: Querschnittsform Höhe über Gelände mit bzw. ohne Verkehrsband bzw. Lärmschutzwand Windbeanspruchung ohne Verkehrsband bzw. Lärmschutzwand Situation Eingangswerte: b = 9,00 m d = 1,07 m (OK Fahrbahn UK Konstruktion) b/d = 9,00 / 1,07 = 8,41 5 z e = 5,00 +2,17 / 2 = 6,09 m w = 1,90 kn/m² w k = 1,90 2,17 = 4,1 kn/m e w = 2,17 / 2 0,67 = 0,42 m 10

11 4.3.2 Windeinwirkung mit Verkehrsband bzw. Lärmschutzwand Situation Eingangswerte: b = 9,00 m d = 3,07 m b/d = 9,00 / 3,07 = 2,93 z e = 5,00 + 3,07 / 2 = 6,54 m w = 1,97 kn/m² (interpoliert) w k = 1,97 3,07 = 6,0 kn/m e w = 3,07 / 2 0,67 = 0,87 m Die Brücke ist nicht schwingungsanfällig. 4.4 Einwirkungen aus Temperatur (DIN Fb 101, Anhang V, ) Es gibt tägliche und jahreszeitliche Temperaturschwankungen, denen die Brücke ausgesetzt ist. Das dabei entstehende Temperaturprofil kann in 4 Anteile aufgeteilt werden. a) konstanter Temperaturanteil, ΔT N b) linear veränderlicher Temperaturanteil in der x-z-ebene ΔT Mz c) linear veränderlicher Temperaturanteil in der x-y-ebene ΔT My d) nicht-lineare Temperaturverteilung ΔT E 11

12 Im folgenden werden nur die konstanten und linearen Temperaturunterschiede in der x-y- Ebene betrachtet. Temperaturschwankungen: Extremwerte der Temperatur in Deutschland: T max = 37 C T min = 24 C Extremwerte der effektiven Brückentemperatur: Betonbrücken Gruppe 3 T e,max = 37 C T e,min = 17 C Aufstelltemperatur: T 0 = 10 C Temperaturschwankungen, bezogen auf T 0 = + 10 C: ΔT N,neg = T e,min T 0 = 27 K ΔT N,pos = T e,max T 0 = 27 K Temperaturschwankungen insgesamt: ΔT N = T e,max T e,min = 54 K Lager und Übergänge: Für die Berechnung der Bewegungsschwankungen (z. B. bei der Bemessung von Lagern und Dehnungsfugen) muss, sofern keine anderen Werte vorliegen, die maximale Schwankung des positiven Temperaturanteils zu ΔT N + 20 K und die maximale Schwankung des negativen Temperaturanteils zu ΔT N 20 K angenommen werden. Wenn die mittlere Bauteiltemperatur beim Herstellen der endgültigen Verbindung mit den Lagern und bei der Ausbildung von Dehnfugen bekannt ist, kann der Wert von 20 K auf 10 K reduziert werden. Lineare Temperaturunterschiede (Fb 101, Kap. V, ) Vereinfachend wird der Einfluss aus linearem Temperaturunterschied durch eine positive und negative Temperaturdifferenz erfasst. Betonbrücken Gruppe 3 ΔT M,pos(50) = 15 C ΔT M,neg(50) = 8 C und K sur(70) = 0,88 (Oberseite wärmer) K sur(70) ΔT M,pos(70) = ΔT M,pos(50) K sur(70) = 13,2 K ΔT M,neg(70) = ΔT M,neg(50) K sur(70) = 8 K = 1,00 (Unterseite wärmer) Im allgemeinen braucht die lineare Temperaturunterverteilung nur in vertikaler Richtung berücksichtigt zu werden. In besonderen Fällen sollte man jedoch den horizontalen Temperaturgradienten beachten. Für diese Fälle darf ein Temperaturunterschied von 5 K angesetzt werden, wenn keine anderen Informationen vorhanden sind und keine Hinweise auf höhere Werte vorliegen. Kombination der Temperatureinwirkungen Fall 1: ΔT M + 0,35 ΔT N Fall 2: ΔT N + 0,75 ΔT M 12

13 4.5 Baugrundbewegungen (DIN Fb 102, Kap. II, und 2.3.4) Grundsätzlich ist zwischen der möglichen und der wahrscheinlichen Baugrundbewegung zu unterscheiden mögliche Baugrundbewegungen Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit Δs m = 2,0 cm wahrscheinliche Baugrundbewegungen Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit Δs w = 1,0 cm Werte in Absprache mit dem Baugrundgutachter 13

14 4.6 Vorspannung 14

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20 Schnittgrößen inf. Vorspannung an statisch unbestimmten Systemen 20

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22 4.6.1 Spannverfahren Als Spannverfahren wird ein Litzenspannverfahren mit 9 Litzen je Spannglied gewählt. Wichtigste Daten gemäß Zulassung für ein Spannglied von SUSPA-DSI, Typ 6-9: Querschnitt je Spannglied A p = 12,6 cm² Hüllrohrdurchmesser d i = 65 mm d a = 72 mm Reibungsbeiwert µ = 0,21 Ungewollter Umlenkwinkel: k = 0,30 /m Verankerungsschlupf Δl = 3 mm Zugfestigkeit f pk = 1770 N/mm² 0,1 %-Dehngrenze f p0,1k = 1500 N/mm² Alle Werte der Vorspannkraft basieren auf dem Mittelwert der Vorspannkraft. Der Mittelwert der Vorspannkraft P mt zu einem bestimmten Zeitpunkt t ergibt sich im Allgemeinen zu: hierin sind: P mt = P 0 ΔP c ΔP t (t) ΔP µ (x) ΔP sl (1) P mt P 0 ΔP c ΔP t (t) ΔP µ (x) ΔP sl Mittelwert der Vorspannkraft zur Zeit t an einer Stelle x längs des Bauteils Kraft am Spannende während des Spannvorgangs Spannkraftverlust inf. elastischer Verformung des Bauteils bei der Spannkraftübertragung Spannkraftverluste infolge Kriechen, Schwinden und Relaxation zur Zeit t Spannkraftverluste infolge Reibung Spannkraftverluste infolge Verankerungsschlupf Die am Spannglied aufgebrachte Höchstkraft P 0 ist nach DIN auf den folgenden Wert zu begrenzen: hierin sind: P 0 = A p σ 0,max (2) A p Querschnittsfläche des Spannstahls σ 0,max maximal auf das Spannglied aufgebrachte Spannung = 0,80 f pk oder = 0,90 f p0.1k (der kleinere Wert ist maßgebend) Eine Überschreitung ist nur zulässig, wenn z. B. während des Spannvorgangs eine unerwartet hohe Reibung eintritt (d. h. nicht planmäßig). Unter der Voraussetzung, dass die Spannpresse eine Genauigkeit der aufgebrachten Spannkraft von ± 5%, bezogen auf den Endwert der Vorspannkraft sicherstellt, darf die höchste Pressenkraft auf 0,95 f p0,1k A p gesteigert werden. Neben der maximalen Pressenkraft P 0 ist auch die Vorspannkraft P m0 nach DIN zu begrenzen. P m0 bezeichnet die Vorspannkraft, die zum Zeitpunkt t = t 0 unmittelbar nach dem Absetzen der Pressenkraft auf den Anker (Spannen mit nachträglichem Verbund) oder nach dem Lösen der Verankerung (Spannen mit sofortigem Verbund) auf den Beton aufgebracht wird. 22

23 hierin sind: P m0 = A p σ pm0 (3) σ pm0 Spannung im Spannglied unmittelbar nach dem Spannen oder der Krafteinleitung = 0,75 f pk oder = 0,85 f p0,1k (der kleinere Wert ist maßgebend) Charakteristische Werte der Vorspannkraft Bei gewissen Nachweisen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit und bei dem Ermüdungsnachweis sind mögliche Streuungen der Vorspannkraft zu berücksichtigen. Dazu werden in DIN zwei charakteristische Werte der Vorspannkraft festgelegt: hierin sind P k,sup = r sup P mt (4) P k,inf = r inf P mt (5) P k,sup P k,inf P mt r sup r inf = oberer charakteristischer Wert (superior) = unterer charakteristischer Wert (inferior) = Mittelwert der Vorspannkraft zum Zeitpunkt t = 1,05 (sofortiger / ohne Verbund) = 1,10 (nachträglicher Verbund) = 0,95 (sofortiger / ohne Verbund) = 0,90 (nachträglicher Verbund) Der Ansatz der Streuungen der Vorspannkraft erhöht zwar den Rechenaufwand, ist aber für bestimmte Nachweise, die sehr empfindlich auf kleine Änderungen der Eingangswerte reagieren, sinnvoll (z. B. Nachweis der Dekompression, Rissbreitenbeschränkung, Öffnung von Fugen, Ermüdungsnachweis). Für alle anderen Nachweise reicht i. d. R. ein Nachweis auf Grundlage des Mittelwertes der Vorspannkraft aus. Die Bestimmungsgleichungen der Spannkraftverluste infolge zeitabhängigen Materialverhaltens und Reibung sind lediglich Abschätzungen und mit Fehlern behaftet. Man kann an den Streuungsbeiwerten r sup und r inf erkennen, dass bei Verfahren mit nachträglichem Verbund, bei denen sowohl zeitabhängige als auch Verluste aus Reibung auftreten, die größten Werte angesetzt werden müssen. Bei Vorspannung mit sofortigem oder ohne Verbund können hingegen niedrigere Werte verwendet werden, da Reibungsverluste nahezu oder ganz wegfallen. Die Beiwerte r sup und r inf beziehen sich immer auf die gesamte Vorspannwirkung und nicht etwa auf einzelne Spannglieder. Bemessungswert der Vorspannung Für den Nachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit wird der Bemessungswert der Vorspannung P d benötigt: P d = γ p P mt (6) 23

24 wobei der Teilsicherheitsbeiwert γ p nach DIN generell zu 1,0 gesetzt werden darf. Folglich braucht eine mögliche Streuung der Vorspannkraft im Grenzzustand der Tragfähigkeit (Ausnahme Ermüdungsnachweis) nicht berücksichtigt zu werden. Spannkraftverluste infolge Reibung Beim Vorspannen mit nachträglichem oder ohne Verbund geht vor allem bei gekrümmten Spanngliedern ein Teil der Vorspannkraft durch Reibung verloren. Die Vorspannkraft ist deshalb über die Spanngliedlänge nicht konstant. Mathematisch wird dieser Reibungsverlust durch die Differentialgleichung der Seilreibung beschrieben: P(x) = P 0 e -µ φ(x) bzw. nach Schreibweise der DIN P(x) = P 0 (1 - e -µ (Θ+k x) ) (7) Spannkraftverluste infolge Kriechen und Schwinden Da die Vorspannung im allgemeinen zur Sicherstellung angemessener Dauerhaftigkeit (Korrosionsschutz der Bewehrung durch Begrenzung der Rissbildung) oder zur Einhaltung von Durchbiegungsbegrenzungen eingesetzt wird, ist es wichtig zu wissen, wie sich durch Kriechen und Schwinden des Betons sowie durch die Relaxation des Spannstahls die Vorspannkraft mit der Zeit ändert. Der Einfluss von Kriechen und Schwinden auf die Verformungen kann in guter Näherung durch das Berechnungsverfahren von Trost berücksichtigt werden, welches in folgender Form in die DIN aufgenommen wurde: σ hierin sind: Δ p, c + ε cs ( t, t0 ) Es + Δσ pr + α p ϕ( t, t0 ) ( σ cg + σ cp0 ) + s r = (8) Ap Ac α p 1 zcp [ 1+ 0,8 ϕ( t, t0 )] A + c I c Δσ p,c+s+r Spannungsänderung im Spannstahl infolge Kriechen, Schwinden und Relaxation ε cs (t,t 0 ) Schwindmaß nach DIN α p Verhältnis (E p /E cm ) der Elastizitätsmoduln des Spannstahls und des Betons 24

25 Δσ pr Spannkraftänderung in den Spanngliedern an der Stelle x infolge Relaxation (Δσ pr < 0) φ(t,t 0 ) Kriechzahl des betons nach DIN σ cg σ cp0 Betonspannung in Höhe der Spannglieder unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination Anfangswert der Betonspannung in Höhe der Spannglieder infolge der Vorspannung Der Relaxationsverlust Δσ pr im Spannstahl an der Stelle x darf für ein Verhältnis Ausgangsspannung / charakteristische Zugfestigkeit (σ p0 / f pk ) bestimmt werden mit einer Ausgangsspannung von σ p0 = σ pg0 0,3 Δσ p,c+s+r, wobei σ pg0 die anfängliche Spannstahlspannung aus Vorspannung und ständigen Einwirkungen ist. Zur Vereinfachung und auf der sicheren Seite liegend darf darin der zweite Ausdruck vernachlässigt werden. Für Tragwerke des üblichen Hochbaus darf σ p0 zu 0,95 σ pg0 angenommen werden. Ansonsten ist Δσ pr iterativ zu ermitteln. Spannkraftverluste infolge elastischer Bauteilverkürzung Bei der Vorspannung mit nachträglichem Verbund und ohne Verbund werden die einzelnen Spannglieder nacheinander vorgespannt, da natürlich nicht für jedes Spannglied eine Presse vorgehalten werden kann. Durch die Bauteilverkürzung beim Spannen eines Spannglieds verlieren die bereits vorher gespannten Spannglieder einen Teil ihrer Vorspannung. Wird ein Spannglied mit der Kraft P 0 angespannt, dann berechnet sich die Bauteilverkürzung ΔL unter Vernachlässigung der Momentenwirkung zu: ΔL = E P cm 0 L A cn Die Gesamtverkürzung des ersten Spannglieds durch das Spannen von (n-1) weiteren Spanngliedern beträgt dann: 0 P L ΔL = (n 1) Ecm A cn Hiermit ergibt sich der Spannkraftverlust im ersten Spannglied zu: ΔP 0 E = (n 1) P o E p cm A p A cn 25

26 Spanngliedführung: Die parabelförmige Spanngliedführung wurde so gewählt, dass die maximalen Stiche ausgenutzt wurden und die Stellen des maximalen Momentes aus den äußeren Einwirkungen und der Vorspannung in etwa gleich sind. Parabel 1: Bedingung: für x = 0: f(x) = 0 für x = 7,20 f(x) = 0,529 für x = 7,20 f (x) = 0 Parabelgleichung: f(x) = a x² + b x + c = 0 a = 0,01020 b = + 0,14694 c = 0 Parabel 2: Bedingung: für x = 18,00 f(x) = 0,195 für x = 18,00 f (x) = 0 für x = 14,40 f (x) = 0,14682 für x = 14,40 f(x) = 0 Parabelgleichung: f(x) = a x³ + b x² + c x + d = 0 a = 0, b = + 0, c = 3,0433 d = + 18,

27 Spanngliedlage -0,40 x [m] -0,30-0,20-0,10 0,00 0,00 0,72 1,44 2,16 2,88 3,60 4,32 5,04 5,76 6,48 7,20 7,92 8,64 9,36 10,08 10,80 11,52 12,24 12,96 13,68 14,40 15,12 15,84 16,56 17,28 18,00 0,10 z [m] 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 5. Schnittgrößen 5.1 Schnittgrößen aus ständigen Einwirkungen Konstruktionseigengewicht: M 1 = 1,110 MNm M B = - 1,986 MNm V A = 0,331 MN = - 0,552 MN Ausbaulast: M 1 = 0,353 MNm M B = - 0,631 MNm V A = 0,105 MN = - 0,176 MN V B V B 27

28 5.2 Schnittgrößen aus Verkehr Vertikale Verkehrslast Einflusslinie M B Einflusslinie M Feld 1 Fahrstreifen 1 aus UDL: M 1 = 0,502 MNm M B = - 0,660 MNm V A = 0,128 MN V B = - 0,183 MN T A = 0,110 MNm = - 0,110 MNm T B aus TS: M 1 = 1,097 MNm M B = - 0,510 MNm V A = 0,286 MN V B = - 0,286 MN T A = 0,131 MNm = - 0,131 MNm T B 28

29 Fahrstreifen 2 aus UDL: M 1 = 0,095 MNm M B = - 0,126 MNm V A = 0,024 MN V B = - 0,035 MN T A = - 0,031 MNm = 0,031 MNm T B aus TS: M 1 = 0,482 MNm M B = - 0,224 MNm V A = 0,126 MN V B = - 0,126 MN T A = - 0,087 MNm = - 0,087 MNm Verkehrslast auf den Kappen: Kappe 1: M 1 = 0,172 MNm M B = - 0,227 MNm V A = 0,044 MN V B = - 0,063 MN T A = 0,077 MNm = - 0,077 MNm Horizontale Verkehrslast T B T B Kappe 2: M 1 = 0,061 MNm M B = - 0,081 MNm V A = 0,016 MN V B = - 0,023 MN T A = - 0,077 MNm = 0,077 MNm aus Anfahren und Bremsen: N Qlk = ± 0,385 MN M Qlk = 0,155 MNm 5.3 Schnittgrößen infolge Wind (bezogen auf den Gesamtquerschnitt) aus Windbeanspruchung ohne Verkehrsband bzw. Lärmschutzwand T B M 1,z M B,z V A,y V B,y T A T B = 0,093 MNm = - 0,166 MNm = 0,028 MN = - 0,046 MN = 0,016 MNm = - 0,016 MNm aus Windbeanspruchung mit Verkehrsband bzw. Lärmschutzwand M 1,z M B,z V A,y V B,y T A T B = 0,136 MNm = - 0,243 MNm = 0,041 MN = - 0,068 MN = 0,047 MNm = - 0,047 MNm 29

30 5.4 Schnittgrößen infolge Temperatur hier nur aus linearem Temperaturunterschied: Biegesteifigkeit eines Steges E I y = ,154 = 5128 MNm² Konstruktionshöhe h = 1,00 m Wärmedehnkoeffizient α t = Oberseite wärmer: Stütze B M ΔT,M,pos = 1,5 13, / 1,00 = 1,015 MNm Feld 1 M ΔT,M,pos = 0,4 1,015 = 0,406 MNm Oberseite kälter: Stütze B M ΔT,M,neg = 1,5 8, / 1,00 = 0,616 MNm Feld 1 M ΔT,M,neg = 0,4 0,616 = 0,246 MNm 5.5 Schnittgrößen infolge Baugrundbewegungen Schnittgrößen infolge möglicher Baugrundbewegung Δs m = 2 cm Biegesteifigkeit eines Steges E I y = ,154 = 5128 MNm² Stütze B M Δs,m = 3,0 0, / 18,0² = 0,950 MNm Feld 1 M Δs,m = 0,4 0,950 = 0,380 MNm Schnittgrößen infolge wahrscheinlicher Baugrundbewegung Δs w = 1 cm Stütze B M Δs,m = 3,0 0, / 18,0² = 0,475 MNm Feld 1 M Δs,m = 0,4 0,475 = 0,190 MNm 5.5 Schnittgrößen infolge Vorspannung Vorspannkraft nach dem Absetzen der Pressenkraft: P m0 σ pm0 = A p σ pm0 Spannung im Spannglied unmittelbar nach dem Spannen oder der Krafteinleitung = 0,75 f pk oder = 0, = 1328 N/mm² = 0,85 f p0,1k = 0, = 1275 N/mm² (der kleinere Wert ist maßgebend) P m0 = 4 12, = 6,426 MN zulässige Vorspannkraft während des Anspannvorgangs: P 0 = A p σ 0,max (2) A p Querschnittsfläche des Spannstahls σ 0,max maximal auf das Spannglied aufgebrachte Spannung = 0,80 f pk oder = 0, = 1416 N/mm² = 0,90 f p0.1k = 0, = 1350 N/mm² (der kleinere Wert ist maßgebend) möglicher Anspannfaktor =1350/ 1275 = 1,0588 (Überspannung 5,88 %) 30

31 Momente Verkehrslast q einseitig inf. UDL Verkehrslast q beidseitig inf UDL Eigengewicht -3,400-2,900-2,400-1,900-1,400-0,900 0,000 0,900 1,800 2,700 3,600 4,500 5,400 6,300 7,200 8,100 9,000 9,900 10,80011,70012,60013,50014,40015,30016,20017,10018,000-0,400 0,100 0,600 1,100 1,600 2,100 Mp,dir Momente inf. Vorspannung Mp,ind. Mp,ges. -4,0000-3,0000-2,0000-1,0000 0,000 0,900 1,800 2,700 3,600 4,500 5,400 6,300 7,200 8,100 9,000 9,900 10,800 11,700 12,600 13,500 14,400 15,300 16,200 17,100 18,000 0,0000 1,0000 2,0000 3,0000 4,

32 x Spanngliedlage z p [m] Θ = arctan (Δz/Δx) Vorspannkraft Reibungsverluste Kraft Kraft ΔΘ ΣΔΘ k. x e μ ( Θ+k x ) Anspannfaktor +μ ( Θ+k x ) e Nachlass-faktor evtl. 2. Anspannen je Spannglied (Anspannen) je Spannglied (Nachlassen) beidseitiges Anspannen P µ (x) [MN] P µ,links (x) [MN] wechselseitiges Anspannen P µ,rechts (x) [MN] 0 0,0000 0,0000 0,1369 0,0000 0,0000 0,0000 1,0000 1,0588 1,0000 0,9444 1,0000 1,7010 1,5173 6,0690 6,0690 5,5038 5, ,9000 0,1240 0,1188 0,0181 0,0181 0,0047 0,9952 1,0538 1,0048 0,9490 0,9952 1,6929 1,5245 6,0981 6,0981 5,5302 5, ,8000 0,2314 0,1007 0,0181 0,0362 0,0094 0,9905 1,0487 1,0096 0,9535 0,9905 1,6848 1,5319 6,1274 6,1274 5,5568 5, ,7000 0,3224 0,0825 0,0182 0,0544 0,0141 0,9857 1,0437 1,0145 0,9581 0,9857 1,6767 1,5393 6,1570 6,1570 5,5836 5, ,6000 0,3967 0,0642 0,0183 0,0727 0,0188 0,9810 1,0387 1,0194 0,9628 0,9810 1,6686 1,5467 6,1868 6,1868 5,6106 5, ,5000 0,4546 0,0459 0,0183 0,0910 0,0236 0,9762 1,0337 1,0244 0,9674 0,9762 1,6606 1,5542 6,2168 6,2168 5,6378 5, ,4000 0,4959 0,0275 0,0183 0,1094 0,0283 0,9715 1,0287 1,0293 0,9721 0,9715 1,6525 1,5617 6,2470 6,2470 5,6652 5, ,3000 0,5207 0,0092 0,0184 0,1277 0,0330 0,9668 1,0237 1,0343 0,9769 0,9668 1,6446 1,5693 6,2773 6,2773 5,6927 5, ,2000 0,5290-0,0092 0,0184 0,1461 0,0377 0,9621 1,0187 1,0393 0,9816 0,9621 1,6366 1,5770 6,3078 6,3078 5,7203 6, ,1000 0,5207-0,0275 0,0184 0,1644 0,0424 0,9575 1,0138 1,0444 0,9864 0,9575 1,6287 1,5846 6,3384 6,3384 5,7481 6, ,0000 0,4959-0,0459 0,0183 0,1828 0,0471 0,9529 1,0089 1,0495 0,9912 0,9529 1,6208 1,5923 6,3692 6,3692 5,7760 6, ,9000 0,4546-0,0642 0,0183 0,2011 0,0518 0,9483 1,0041 1,0546 0,9960 0,9483 1,6130 1,6000 6,4001 6,4001 5,8040 6, ,8000 0,3967-0,0825 0,0183 0,2194 0,0565 0,9437 0,9992 1,0597 1,0008 0,9437 1,6052 1,6078 6,4210 6,4210 5,8321 6, ,7000 0,3224-0,1007 0,0182 0,2376 0,0613 0,9392 0,9944 1,0648 1,0056 0,9392 1,5975 1,6155 6,3901 6,3901 5,8602 6, ,6000 0,2314-0,1188 0,0181 0,2557 0,0660 0,9347 0,9897 1,0699 1,0105 0,9347 1,5899 1,6233 6,3595 6,3595 5,8884 6, ,5000 0,1240-0,1369 0,0181 0,2738 0,0707 0,9302 0,9849 1,0750 1,0153 0,9302 1,5823 1,6311 6,3292 6,3292 5,9167 6, ,4000 0,0000-0,1158 0,0211 0,2949 0,0754 0,9252 0,9796 1,0809 1,0208 0,9252 1,5737 1,6399 6,2950 6,2950 5,9488 6, ,3000-0,1047-0,0652 0,0506 0,3455 0,0801 0,9145 0,9683 1,0935 1,0327 0,9145 1,5556 1,6591 6,2223 6,2223 6,0183 6, ,2000-0,1635-0,0286 0,0366 0,3821 0,0848 0,9066 0,9599 1,1030 1,0417 0,9066 1,5421 1,6736 6,1685 6,1685 6,0708 6, ,1000-0,1892-0,0063 0,0223 0,4044 0,0895 0,9015 0,9545 1,1093 1,0477 0,9015 1,5334 1,6831 6,1336 6,1336 6,1053 6, ,0000-0,1949 0,0000 0,0063 0,4107 0,0942 0,8994 0,9523 1,1119 1,0501 0,8994 1,5299 1,6870 6,1194 6,1194 6,1194 6,1194 P µ,ges. (x) [MN] 32

33 Fertigteilträger wechselseitig vorgespannt Fertigteilträger während des Spannvorgangs 33

34 "1"-Zustand Spanngliedlage Vorspannung p x [m] M 1 [-] z p [m] M p,dir. [MNm] Faktor Simpson M p,ind. [MNm] M p [MNm] P µ,ges. (x) [MN] 0 0,000 0,000 0,0000 0, ,0000 0,0000 0, , ,900 0,050 0,1240-0, ,1442 0,0784-0, , ,800 0,100 0,2314-1, ,2704 0,1569-1, , ,700 0,150 0,3224-1, ,1354 0,2353-1, , ,600 0,200 0,3967-2, ,9361 0,3138-2, , ,500 0,250 0,4546-2, ,6946 0,3922-2, , ,400 0,300 0,4959-2, ,7723 0,4707-2, , ,300 0,350 0,5207-3, ,3632 0,5491-2, , ,200 0,400 0,5290-3, ,5451 0,6276-2, , ,100 0,450 0,5207-3, ,6644 0,7060-2, , ,000 0,500 0,4959-3, ,0116 0,7845-2, , ,900 0,550 0,4546-2, ,1028 0,8629-1, , ,800 0,600 0,3967-2, ,9168 0,9414-1, , ,700 0,650 0,3224-1, ,1336 1,0198-0, , ,600 0,700 0,2314-1, ,9842 1,0983-0, , ,500 0,750 0,1240-0, ,2772 1,1767 0, , ,400 0,800 0,0000 0, ,0001 1,2552 1, , ,300 0,850-0,1047 0, ,1791 1,3336 1, , ,200 0,900-0,1635 1, ,8008 1,4121 2, , ,100 0,950-0,1892 1, ,3999 1,4905 2, , ,000 1,000-0,1949 1, ,1926 1,5690 2, ,1194 Σ = -31,37951 h = 0,900 Simpson-Regel: EI δ 11 = 12,0000 Integral Simpson EI δ 1p = -18,82771 b h y dx ( y0 + 4y 1+ 2y 2 + 4y y n 2 + 4y n 1 + yn ) a 3 z X 1 = 1,5690 mit h = (b-a) / n 34

35 Kriechen und Schwinden Eingangswerte (Werte pro Steg): A c = 1,9625 m u 2 4, , ,750 m = 10,25 m h 0 = 2 2,9625 / 10,25 = 0,383 = 38,3 cm 35

36 Weitere Werte für die Berechnung: E p = N/mm² E c = N/mm² α p = / = 5,86 σ p0 = σ pm0 (1-0,3 Δσ pcsr ) = 1275 (1 0,3 0,17) = 1210 N/mm² σp = fpk 1275 = 0,68 Endergebnis für Kriechen und Schwinden zu 17 % vorgeschätzt Δσ σ pr p0 = 0,023 Δσ pr = 3 0,023 = 0, = - 84 MN/m² 36

37 Beispiel für x = 7,20 m: z cp l = 2,554 6,014 = 0,425 m (Exzentrizität des Gesamtmoments inf. P) z cp = = 0,529 m (betrachtete Betonfaser in Höhe des Spannglieds) Δ σp,c + s+ r = ε cs (t,t α ) E p s A A p c + Δσ pr A 1 + Ic + α c z p 2 cp ϕ(t,t 0 ) ( σ cg + σ [ 1+ 0,8 ϕ(t,t )] 0 cp0 ) Δσ p,c + s+ r 0, = 50, ,86 1, ( 84) + 5,86 2,0 (5,06 11,86) 1, ,425 0,529 0,1535 [ 1+ 0,8 2,0 ] Δ σp,c + 248,5 + s r = = -215,8 N/mm² 1, ,8 / 1275 = 16,9 % Schätzung für den Eingangswert von σ p0 37

38 x [m] N pm0 M pm0 z p [m] = M p / N p σ cpg σ cp0 Verlust aus K+S+R Δσ p,csr Vorspannung p Δσ p,csr / σ pm0 nach Abschluss KS Differenz aus K+S Verlust aus K+S+R [%] P mt,ks [MN] M p,k+s [MNm] 0 0,000-5,786 0,000 0,000 0,00-2,95-195,7 15,3 4,898 0,000 0,000 0,888 0, ,900-5,814-0,642 0,110 0,30-3,48-197,1 15,5 4,915-0,543-0,610 0,066 0,899 0, ,800-5,842-1,195 0,205 1,03-4,78-200,2 15,7 4,925-1,008-1,141 0,133 0,917 0, ,700-5,870-1,657 0,282 1,98-6,47-204,1 16,0 4,930-1,392-1,592 0,200 0,940 0, ,600-5,899-2,027 0,344 2,98-8,24-208,1 16,3 4,936-1,696-1,963 0,267 0,963 0, ,500-5,927-2,302 0,388 3,88-9,84-211,7 16,6 4,943-1,920-2,255 0,335 0,984 0, ,400-5,956-2,483 0,417 4,57-11,06-214,3 16,8 4,955-2,066-2,469 0,403 1,001 0, ,300-5,985-2,567 0,429 4,98-11,76-215,7 16,9 4,972-2,133-2,604 0,471 1,013 0, ,200-6,014-2,554 0,425 5,06-11,87-215,9 16,9 4,996-2,121-2,661 0,539 1,018 0, ,100-6,043-2,441 0,404 4,80-11,36-214,7 16,8 5,026-2,030-2,638 0,608 1,018 0, ,000-6,073-2,227 0,367 4,23-10,29-212,2 16,6 5,062-1,856-2,533 0,677 1,011 0, ,900-6,102-1,911 0,313 3,41-8,77-208,5 16,4 5,104-1,598-2,344 0,746 0,998 0, ,800-6,127-1,489 0,243 2,44-6,97-204,1 16,0 5,146-1,251-2,066 0,815 0,981 0, ,700-6,125-0,955 0,156 1,43-5,13-199,3 15,6 5,168-0,805-1,684 0,878 0,957 0, ,600-6,124-0,319 0,052 0,55-3,60-195,7 15,3 5,184-0,270-1,211 0,941 0,940 0, ,500-6,123 0,418-0,068 0,00-2,78-194,6 15,3 5,188 0,354-0,647 1,001 0,935-0, ,400-6,122 1,255-0,205 0,00-3,12-197,6 15,5 5,173 1,061 0,000 1,061 0,949-0, ,300-6,120 1,975-0,323 0,61-4,47-202,7 15,9 5,147 1,661 0,466 1,195 0,973-0, ,200-6,120 2,413-0,394 1,51-5,69-203,3 15,9 5,144 2,028 0,784 1,244 0,976-0, ,100-6,119 2,648-0,433 2,45-6,38-198,9 15,6 5,165 2,235 0,957 1,278 0,955-0, ,000-6,119 2,762-0,4513 3,33-6,62-191,5 15,0 5,200 2,347 1,015 1,331 0,919-0,415 Δσ p,csr = ε cs 1+ α p Ep + Δσpr + αp ϕ(,t 0) ( σ Ap Ac 1 zcp z + cp A I c c cg + σ cp0 ) [ 1+ 0,8 ϕ(,t )] 0 M p,k+s,dir [MNm] M p,k+s,ind [MNm] ΔP mt,ks [MN] ΔM p,k+s [MNm] 38

39 5.6 Zusammenstellung der Schnittgrößen Normalkräfte N x, Momente M y (linker Steg) Lastfall x = 7,20 m x = 18,00 m Eigengewicht g 1 [MNm] +1,110-1,986 Ausbaulast g 2 [MNm] +0,353-0,631 Verkehr Fahrstreifen 1 UDL [MNm] +0,502-0,660 Verkehr Fahrstreifen 1 TS [MNm] +1,097-0,510 Verkehr Fahrstreifen 2 UDL [MNm] +0,095-0,126 Verkehr Fahrstreifen 2 TS [MNm] +0,482-0,224 Verkehr Kappe links [MNm] +0,172-0,227 Verkehr Kappe links [MNm] +0,061-0,081 Anfahren + Bremsen, N x [MN] ±0,039 ±0,096 Anfahren + Bremsen, M y [MNm] ±0,016 ±0,039 Temperatur 1 [MNm] +0,406 +1,015 Temperatur 2 [MNm] -0,246-0,616 wahrscheinliche Baugrundbewegung [MNm] ±0,190 ±0,475 mögl. Baugrundbewegung [MNm] ±0,380 ±0,950 Vorspannung, N x [MN] -6,014-6,119 Vorspannung, M y,dir [MNm] -3,181 +1,193 Vorspannung, M y,indir [MNm] +0,628 +1,569 Kriechen und Schwinden, N x [MN] +1,018 +0,919 Kriechen und Schwinden, M y,dir [MNm] +0,538-0,179 Kriechen und Schwinden, M y,indir [MNm] -0,106-0,235 Momente M z (Gesamtquerschnitt) Lastfall x = 7,20 m x = 18,00 m Wind ohne Verkehrsband [MNm] ±0,093 ±0,166 Wind mit Verkehrsband [MNm] ±0,136 ±0,243 39

40 Querkräfte V z (linker Steg) Lastfall Auflager A, V A Auflager B, V B,links m Eigengewicht g 1 [MN] +0,331-0,552 Ausbaulast g 2 [MN] +0,105-0,176 Verkehr Fahrstreifen 1 UDL [MN] +0,128-0,183 Verkehr Fahrstreifen 1 TS [MN] +0,286-0,286 Verkehr Fahrstreifen 2 UDL [MN] +0,024-0,035 Verkehr Fahrstreifen 2 TS [MN] +0,126-0,126 Verkehr Kappe links [MN] +0,044-0,063 Verkehr Kappe rechts [MN] +0,016-0,023 Anfahren + Bremsen, [MN] ±0,002 ±0,002 Temperatur 1 [MN] +0,056 +0,056 Temperatur 2 [MN] -0,034-0,034 wahrscheinl. Baugrundbewegung [MN] ±0,026 ±0,026 mögl. Baugrundbewegung [MN] ±0,053 ±0,053 Vorspannung, V z,dir [MN] -0,850 +0,000 Vorspannung, V z,indir [MN] +0,087 +0,087 Kriechen und Schwinden, V z,dir [MN] +0,130-0,000 Kriechen und Schwinden, V z,indir [MN] -0,013-0,013 Querkräfte V y (Gesamtquerschnitt) Lastfall Auflager A, V A Auflager B, V B,links m Wind ohne Verkehrsband [MNm] ±0,028 ±0,046 Wind mit Verkehrsband [MNm] ±0,041 ±0,068 Torsionsmomente T z (linker Steg) [Laststellung TS in Feldmitte (x = 9,00 m)] Lastfall Auflager A, T A Auflager B, T B,links m Verkehr Fahrstreifen 1 UDL [MNm] +0,110-0,110 Verkehr Fahrstreifen 1 TS [MNm] +0,131-0,131 Verkehr Fahrstreifen 2 UDL [MNm] -0,031 +0,031 Verkehr Fahrstreifen 2 TS [MNm] -0,087 +0,087 Verkehr Kappe links [MNm] +0,077-0,077 Verkehr Kappe rechts [MNm] -0,077 +0,077 Wind ohne Verkehrsband 1) [MNm] ±0,008 ±0,008 Wind mit Verkehrsband 1) [MNm] ±0,022 ±0,022 1) Aufteilung der Gesamt-Torsionsmomente aus Wind anteilig auf die Stege entsprechend den Torionssteifigkeiten 40

41 6. Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit Verkehrslastgruppen nach DIN Fb 101, Kap. IV, 4.5.1, Tab. 4.4 Kombinationsbeiwerte ψ nach DIN Fb 101, Anhang C, Tab. C 2 41

42 Teilsicherheitsbeiwerte für Einwirkungen nach DIN Fb 101, Anhang C, Tab. C 1 42

43 6.1 Nachweis Biegung mit Längskraft 43

44 44

45 Beispiel für x = 7,20 m, Betrachtung nur für den Zeitpunkt t = : Leiteinwirkung: Verkehr mit Lastgruppe 1 M Q1 = 1,0 (0, , , , ,5 0, ,5 0,061) M Q1 = 2,293 MNm = 0,000 MN N Q1 Lastfall M y [MNm] N [MN] γ ψ 0 M Ed [MNm] N Ed [MN] Sonstige Fakt. G 1 1, ,35 1,499 0 G 2 0, ,35 0,477 0 Q 1 (Verkehr) 2, ,50 1,00 3,440 0 Q 2 (Wind) 0 0 1,50 0, Q 3 (Temperatur) 0, ,50 0, Q 4 (Setzung) 0, ,00 1,00 0, ,4 1) P (Vorspannung) 0, ,00 0,628 0 P (Kriechen+Schw.) -0, ,00-0,089 0 Summe 6, ) siehe DIN Fb 102, Kap. II, (3) 45

46 Leiteinwirkung: Verkehr mit Lastgruppe 2 (maßgebend innerhalb der Lastgruppe sind die ψ 1 -Werte) M Q1 = 0,40 (0, ,095) + 0,75 (1, ,482) + 1,0 0,016 M Q1 = 1,439 MNm = 1,0 0,039 MN N Q1 Lastfall M y [MNm] N [MN] γ ψ 0 M Ed [MNm] N Ed [MN] Sonstige Fakt. G 1 1, ,35 1,499 0 G 2 0, ,35 0,477 0 Q 1 (Verkehr) 1,439 0,039 1,50 1,00 2,159 0,059 Q 2 (Wind) 0 0 1,50 0, Q 3 (Temperatur) 0, ,50 0, Q 4 (Setzung) 0, ,00 1,00 0, ,4 1) P (Vorspannung) 0, ,00 0,628 0 P (Kriechen+Schw.) -0, ,00-0,089 0 Summe 4,826 0,059 1) siehe DIN Fb 102, Kap. II, (3) Leiteinwirkung: Verkehr mit Lastgruppe 3 M Q1 = 1,0 (0, ,061) M Q1 = 0,233 MNm =0 MN N Q1 Lastfall M y [MNm] N [MN] γ ψ 0 M Ed [MNm] N Ed [MN] Sonstige Fakt. G 1 1, ,35 1,499 0 G 2 0, ,35 0,477 0 Q 1 (Verkehr) 0, ,50 1,00 0,350 0 Q 2 (Wind) 0 0 1,50 0, Q 3 (Temperatur) 0, ,50 0, Q 4 (Setzung) 0, ,00 1,00 0, ,4 1) P (Vorspannung) 0, ,00 0,628 0 P (Kriechen+Schw.) -0, ,00-0,089 0 Summe 3, ) siehe DIN Fb 102, Kap. II, (3) Leiteinwirkung: Temperatur und als weitere veränderl. Einwirkung u. a. Verkehr m. Lastgruppe 1 (maßgebend ψ 0 -Werte) M Q2 = 0,40 (0, ,095) + 0,75 (1, ,482) M Q2 = 1,423 MNm = 0,000 MN N Q2 Lastfall M y [MNm] N [MN] γ ψ 0 M Ed [MNm] N Ed [MN] Sonstige Fakt. G 1 1, ,35 1,499 0 G 2 0, ,35 0,477 0 Q 1 (Verkehr) 1, ,50 s.o. 2,135 0 Q 2 (Wind) 0 0 1,50 0, Q 3 (Temperatur) 0, ,50 1,00 0,609 0 Q 4 (Setzung) 0, ,00 1,00 0, ,4 1) P (Vorspannung) 0, ,00 0,628 0 P (Kriechen+Schw.) -0, ,00-0,089 0 Summe 5, ) siehe DIN Fb 102, Kap. II, (3) maßgebend Verkehr mit Lastgruppe 1! 46

47 Nachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit für Biegung mit Längskraft: Berücksichtigung des statisch bestimmten Teils der Vorspannung über die Vordehnung des Spannstahls σpm,t σ (0) cpt Vordehnung: ε pm,t = Ep Ecm σ pm,t = 4,996 / 50, = 991,3 MN/m² γ G Mg1 γ p ( Pm,t ) γ p Mpm,t σ cpt = + + Wcp A c Wcp 1,35 1,110 1,0 ( 4,996) 1,0 ( 2,121) = 0, , 529 0,1535 1,9625 0,1535 = 5,16-2,55-7,31 = - 4,70 MN/m² σpm,t σ (0) cpt 991,3 ( 4,70) Vordehnung: ε pm,t = = Ep Ecm = 5,08 0 / ,14 0 / 00 = 5,22 0 / 00 Bemessungswert für maximales Biegemoment im Feld infolge äußerer Einwirkung und statisch unbestimmtem Anteil der Vorspannung: M Ed = 6,107 MNm (Leiteinwirkung Verkehr Lastgruppe 1) N Ed = 0 MN (keine äußere Normalkraft) M Eds μ Eds = 6,107 MNm MEds 6,107 = = = 0, bd f 4,25 0,862 19,83 aus allgemeinem Bemessungsdiagramm p cd Δε p = 23,6 0 / 00 ξ = x/d = 0,129 x = 0,129 0,862 = 0,111 m < 0,25 m Nulllinie im Gurt ζ = z/d = 0,946 z = 0,946 0,862 = 0,815 m ε p = (0) ε pm,t + Δε p = 5, ,60 = 28,82 0 / 00 σ pd = E p ε p = , = 5620 MN/m² A p,erf = 1 σ pd M z Eds p + N Ed = f pd = 51,15 cm² A p,vorh = 50,4 cm² z s = 0,920 (0,862 0,815) = 0,873 m A s,erf = ,815 (51,15-50,4) 435 0, , ,862 = 1385 MN/m² = 2,21 cm² A s,min (vgl. Mindestbew.) 47

48 6.2 Querkraft und Torsion Nachweisform Der Bemessungswert der einwirkenden Querkraft darf den Bemessungswert des Widerstands nicht überschreiten: V Ed V Rd Dem Nachweis der Querkrafttragfähigkeit liegen zwei Modelle zu Grunde: Bauteile ohne Querkraftbewehrung (DIN Fb 102, Kap II ) Hierbei bildet sich ein kammartiges Lastabtragungssystem aus. Nach diesem Modell verbleiben die zwischen zwei Biegerissen liegenden Bereiche der Zugzone (sogenannte Betonzähne) im ungerissenen Zustand. Die Querkraftabtragung erfolgt über die Rissverzahnung, über die Einspannung der Betonzähne in die Betondruckzone und aus der Dübelwirkung der Biegezugbewehrung. Dieses Tragmodell ist nach DIN nur für plattenförmige Bauteile zulässig. Bei Balken und Plattenbalken ist immer eine Mindestschubbewehrung erforderlich. Der Nachweis gilt als erbracht, wenn folgende Bedingung eingehalten ist: V Ed V Rd,ct Aufnehmbare Bemessungsquerkraft eines Bauteils ohne Ansatz der Schubbewehrung (infolge Rissreibung): V Rd,ct = [0,10 κ η 1 (100ρ 1 f ck ) 1/3 0,12σ cd ] b w d [MN] κ = d[mm] 2,0 Maßstabsfaktor zur Berücksichtigung der Bauteildicke η 1 Tragfähigkeitsbeiwert Normalbeton:η 1 = 1,0; Leichtbeton:η 1 s. DIN , Tab. 10 b w kleinste Querschnittsbreite [m] d statische Höhe (Betonstahlbewehrung) [m] A sl ρ 1 = mit A sl als Fläche der wirksam verankerten Zugbewehrung, bei b w d Vorspannung mit sofortigem Verbund inkl. Spannstahl σ cd Betonlängsspannung in Höhe des Schwerpunkt des Querschnitts σ cd = N Ed / A c in [MN/m²] charakteristische Betondruckfestigkeit in [MN/m²] f ck 48

49 Alternativ: Wenn nachgewiesen wird, dass die Randzugspannungen unter den Schnittgrößen im Grenzzustand der Tragfähigkeit folgenden Wert einhalten σ f ctk,0,05 γ c mit γ c für unbewehrte Bauteile für ständige und vorübergehende Bemessungssituationen γ c = 1,8 für außergewöhnliche Bemessungssituationen γ c = 1,55 darf die Querkrafttragfähigkeit in den auflagernahen Bereichen von Stahlbeton und Spannbetonbauteilen unter vorwiegend ruhender Belastung folgendermaßen berechnet werden [DIN , Abs (2)]: V Rd,ct = I b S w f ctk,0,05 γ c 2 α l σ cd f ctk,0,05 γ c I Flächenmoment 2.Grades S Flächenmoment 1.Grades f ctk;0,05 5%-Quantilwert der charakteristischen Betonzugfestigkeit (DIN Tab. 9 oder 10), jedoch f ctk;0,05 2,7 N/mm 2 γ c : Teilsicherheitsbeiwert für unbewehrten Beton nach DIN , Tab.2 (für außergewöhnliche Bemessungssituation γ c = 1,55, sonst γ c = 1,8) α l : Vorspannung mit sofortigem Verbund: α l = l x / l bpd 1,0 sonstige Fälle: α l = 1,0 l x : Abstand des betrachteten Querschnitts vom Beginn des Spanngliedes l bpd : oberer Bemessungswert der Übertragungslänge des Spanngliedes 49

50 Bauteile mit Querkraftbewehrung (DIN Fb 102, Kap. II, ) Die Lastabtragung erfolgt über ein Fachwerksystem aus geneigten Betondruckstreben und vertikal oder ebenfalls geneigten Zugstreben, die durch Querkraftbewehrung abzudecken sind. Die zugehörigen Gurte werden von der Biegedruck- und der Biegezugkraft des Bauteils mit dem inneren Hebelarm z gebildet. Maßgebenden Einfluss auf den mit Hilfe des Fachwerkmodells bestimmten Bauteilwiderstand hat der angenommene Druckstrebenwinkel θ. In der klassischen Fachwerkanalogie nach Mörsch wurde der Winkel konstant zu 45 angenommen. Bauteilversuche zeigten jedoch, dass sich in der Realität wesentlich flachere Druckstrebenwinkel einstellen können. Der Druckstrebenwinkel ist abhängig vom Beanspruchungsgrad des Bauteils. Ein Winkel von θ < 45 führt dabei zu einer deutlichen Reduzierung der erforderlichen Querkraftbewehrung, wobei die Beanspruchung der Druckstrebe aber gleichzeitig erhöht wird. Mit diesem Winkel muss auch die Druckstrebentragfähigkeit gewährleistet werden. Der Druckstrebenwinkel kann innerhalb vorgegebener Grenzen frei gewählt werden. Aus wirtschaftlichen Gründen empfiehlt sich ein möglichst flacher Winkel. In dem Ansatz der DIN wird der Druckstrebenwinkel in Abhängigkeit von der Beanspruchung bestimmt. Mit dem so ermittelten Winkel sind dann Druck- und Zugstrebe nachzuweisen. Der Nachweis einer ausreichenden Tragfähigkeit ist gewährleistet, wenn der Bemessungswert der einwirkenden Querkraft den Bemessungwert des Widerstandes nicht überschreitet. (Nachweis sowohl für die Druckstrebe als auch für die Zugstrebe) Prinzipiell ergeben sich keine Unterschiede bei der Schubbemessung von Spannbetonbauteilen und Stahlbetonbauteilen. Versuche zeigen jedoch, dass die Schubrisse bei Bauteilen mit Längsdruck in der Regel flacher verlaufen als in Bauteilen ohne Längsdruck, da die schiefen Hauptzugspannungen unmittelbar vor der Schrägrissbildung steiler als 45 gerichtet sind. Nach der Fachwerkanalogie treten bei flacherer Druckfeldneigung θ kleinere Zugräfte in der Schubbewehrung, dafür aber größere Beanspruchungen in den Druckstreben auf. Daher führt eine Längsvorspannung stets zu einer Reduzierung der erforderlichen Schubbewehrung und zu einer Erhöhung der Druckstrebenbeanspruchung. Dieser Sachverhalt wird in der DIN berücksichtigt und ist im DIN Fb 102 übernommen. Neben diesem Einfluss der Druckkraft in Längsrichtung ist vor allem die die Wirkung von zur Schwerachse des Bauteils geneigt geführten Spanngliedern zu berücksichtigen. Die lotrechten Komponenten der Spanngliedkräfte V pd übernehmen hierbei Anteile der einwirkenden Querkraft. 50

51 Die auf den Betonquerschnitt wirkende Querkraft V Ed ergibt sich für einen allgemeinen Fall mit veränderlicher Querschnittshöhe und geneigten Spanngliedern zu: V Ed = V Ed,0 - V ccd - V td - V pd Dabei bedeutet : V Ed,0 Bemessungswert der einwirkenden Querkraft (inkl. statisch unbestimmter Anteil der Vorspannwirkung) V ccd Bemessungswert der Querkraftkomponente in der Biegedruckzone V td Querkraftkomponente von F sd V pd = -F pd sin θ mit θ als Winkel der Neigung des Spannglieds gegen die Bauteilachse (nicht zu verwechseln mit der zuvor erwähnten Druckstrebenneigung) Widerstand (Bemessungswert der Querkrafttragfähigkeit V Rd,sy ): Neigungswinkel der Druckstrebe: σcd 1,2 1,4 f 0,58 obere Grenze (60 ) cd cot θ 3,0 (für Normalbeton) untere Grenze (18,5 ) VRd,c 1 2,0 (für Leichtbeton) untere Grenze (26,5 ) VEd V Ed Bemessungswert der einwirkenden Querkraft in der Auflagerachse V Rd,c Querkrafttraganteil des querkraftbewehrten Betonquerschnitts infolge Rissreibung V Rd,c = β ct 0,10 η 1 f ck 1/3 (1 + 1,2 σ cd / f cd ) b w z η 1 β ct σ cd b w z Tragfähigkeitsbeiwert Normalbeton:η 1 = 1,0; Leichtbeton:η 1 s. DIN , Tab. 10 Parameter für die Schubkraftübertragung bei monolithischer Bauweise: β ct = 2,4 Betonlängsspannung in Höhe des Schwerpunkt des Querschnitts σ cd = N Ed / A c kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzonenhöhe Hebelarm der inneren Kräfte, für diesen Nachweis näherungsweise z = 0,9 d 51

52 Nachweis der Betondruckstrebe Der Nachweis der Druckstrebe gilt als erbracht, wenn folgende Bedingung eingehalten ist: V Ed V Rd,max Bemessungswert der maximalen Querkrafttragfähigkeit V Rd,max infolge Erreichens der Betondruckstrebenfestigkeit bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung unter dem Winkel α zur Bauteillängsachse: cot θ + cot α V Rd,max = b w z αc fcd 2 1+ cot θ α c Abminderungsbeiwert für die Druckstrebenfestigkeit infolge Querzugbeanspruchung α c = 0,75 η 1 Bei Querschnitten mit nebeneinanderliegenden verpressten Spanngliedern ist bei der Bestimmung des Bemessungswertes der Querkrafttragfähigkeit V Rd,max die Querschnittsbreite b w durch den Nennwert der Querschnittsbreite b w,nom für die ungünstigste Spanngliedlage zu ersetzen (DIN ,10.3.4(8)), wenn die Durchmessersumme d h > b w / 8 ist: b w,nom = b w - 0,5 d h bis C 50/60 / LC 50/55 b w,nom = b w - 1,0 d h ab C 55/67 / LC 55/60 d h äußerer Hüllrohrdurchmesser Für nebeneinanderliegende nicht verpresste Spannglieder oder Spannglieder ohne Verbund gilt: b w,nom = b w - 1,2 d h Bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung senkrecht zur Bauteillängsachse (α = 90 ) vereinfacht sich die Gleichung für den Bemessungswert der maximalen Querkrafttragfähigkeit V Rd,max zu: V Rd,max = b w z α c f cd cot θ + tanθ 52

53 Nachweis der Zugstrebe Der Nachweis der Zugstrebe gilt als erbracht, wenn folgende Bedingung eingehalten ist: V Ed,red V Rd,sy Der Ermittlung der Schubbewehrung darf bei gleichmäßig verteilter Belastung und direkter Auflagerung die Querkraft im Abstand d vom Auflagerrand zu Grunde gelegt werden V Ed,red. [DIN , Abs (1)] Maximal von der Schubbewehrung aufnehmbare Querkraft: A sw V Rd,sy = f yd z (cot θ + cot α) sin α s w A sw Querschnitt der Bügelbewehrung s w Abstand der geneigten Querkraftbewehrung in Bauteillängsrichtung f yd Bemessungswert der Streckgrenze des Betonstahls f yd = f yk / γ s z Hebelarm der inneren Kräfte α Winkel zwischen Querkraftbewehrung und Bauteilachse θ Winkel zwischen den Betondruckstreben und der Bauteilachse Mit V Rd,sy = V Ed und erf a sw = A sw / s w ergibt sich die erforderliche Bewehrung zu: erf a sw = f yd V Ed z (cot θ + cot α) sinα Bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung senkrecht zur Bauteillängsachse (α = 90 ) vereinfacht sich die Gleichung für die erforderliche Bewehrung zu: erf a sw = f yd V Ed z cot θ vereinfachend darf auch gesetzt werden: cot θ = 1,2 bei reiner Biegung oder Biegung mit Längsdruck cot θ = 1,0 bei Biegung mit Längszug 53

54 Torsion (DIN Fb 102, Kap II, 4.3.3) Nachweisform Der Bemessungswert des einwirkenden Torsionsmoments darf den Bemessungswert des Widerstands nicht überschreiten: T Ed T Rd Die Torsionstragfähigkeit eines Querschnitts kann unter Annahme eines dünnwandigen, geschlossenen Querschitts nachgewiesen werden. Dabei wird ein geschlossener Schubfluss vorausgesetzt. Vollquerschiittte werden durch gleichwertige dünnwandige Hohlquerschnitte nach dem folgenden Modell ersetzt: nach DIN Fb 102, Kap II, 4.3.3, Abb t eff Ersatzwanddicke des Hohlkastens: zweifacher Schwerpunktabstand der Längsbewehrung vom Bauteilrand, jedoch nicht größer als die vorhandene Wanddicke A k Die durch die Mittellinie u k (3) der Wand eingeschlossenen Fläche (Kernquerschitt) θ Druckstrebenneigung: für Torsion allein vereinfachend θ = 45 Die Schubkraft V Ed,T in einer Wand des Nachweisquerschnitts infolge eines Torsionsmomentes T Ed wird berechnet aus: V Ed,T = TEd z 2 A k i mit z i = Höhe der Ersatzwand (siehe obiges Bild) 54

55 Bügelbewehrung: A T Rd,syw = 2 A k s sw w f yd cot θ mit a sw = Längsbewehrung: A sl A T Rd,syl = 2 A k sl fyd cot θ mit a sl = uk uk A sw Querschnitt der Torsionsbügelbewehrung s w Abstand der geneigten Torsionsbügelbewehrung in Bauteillängsrichtung A sl Querschnitt der Torsionslängsbewehrung u k Umfang des Kernquerschnitts f yd Bemessungswert der Streckgrenze des Betonstahls f yd = f yk / γ s Die erforderliche Bewehrung ergibt sich demnach zu: erf. a sw = 2 A k T f Ed yd cot θ A s sw w erf. a sl = 2 A k T f Ed yd tanθ Die Torsionsbügel müssen geschlossen sein (Übergreifungslängen beachten). Die Längsstäbe sollten gleichmäßig über den Umfang u k verteilt sein. Druckstrebennachweis: T Rd,max = α c,red f cd 2A k t cot θ + tanθ eff T Ed < T Rd,max α c,red = 0,7 α c allgemein mit α c nach DIN , Abs (6) (vgl. Querkraft) α c,red = α c bei Kastenquerschnitten mit Bewehrung an den Innen- und Außenwänden Zugstrebennachweis: T Ed < T Rd,syl T Ed < T Rd,syw Asw T Rd,syw = fyd 2Ak cot θ = asw fyd 2Ak cot θ sw Asl T Rd,syl = fyd 2Ak tanθ u k Dabei ist A sw Querschnittsfläche der Torsionsbügelbewehrung s w Abstand der Torsionsbügel in Richtung Bauteilachse A sl Querschnittsfläche der Torsionslängsbewehrung u k Umfang der Fläcke A k 55

56 Kombinierte Beanspruchung Querkraft + Torsion Die Druckstrebentragfähigkeit unter der kombinierten Beanspruchung aus Querkraft V Ed und Torsion T Ed wird nachgewiesen über: T T Ed Rd,max 2 V + V Ed Rd,max 2 1 für Kompaktquerschnitte T T Ed Rd,max V + V Ed Rd,max 1 für Kastenquerschnitte Die günstigere Interaktionsregel für Kompaktquerschnitte resultiert daher, dass die Schubspannungen aus Querkraft und Torsion nicht am gleichen inneren Tragsystem ermittelt werden. Für Querkraft steht die gesamte Stegbreite, für Torsion nur der Randbereich zur Verfügung. Bei den Kastenquerschnitten addieren sich die Beanspruchungen aus Querkraft und Torsion im stärker beanspruchten Steg. Bei kombinierter Beanspruchung aus Querkraft und Torsion ist der Druckstrebenwinkel nach den Regelungen für die Querkraft zu bestimmen, wobei als einwirkende Schubkraft V Ed,T+V gesetzt wird. VEd t eff V Ed,T+V = V Ed,T + b w Für die Berechnung von V Rd,c muss dabei für b w die effektive Dicke der Wand t eff eingesetzt werden. Vereinfachend darf die Bewehrung für Torsion allein unter der Annahme von θ=45 ermittelt und zu der aus Querkraft ermittelten addiert werden. 56

57 Nachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit für Querkraft und Torsion am Auflager A (x = 0) a) max. Querkraft + zug. Torsion Leiteinwirkung: Verkehr mit Lastgruppe 1 V AQ1 = 1,0 (0, , , , ,5 0, ,5 0,016) + 1,0 0 0,002 = 0,584 MN V AQ1 T AQ1 = 1,0 (0, ,131-0,031-0, ,5 0,077-0,5 0,077) T AQ1 = 0,123 MNm Lastfall V Ay [MN] T A [MNm] γ ψ 0 V A,Ed [MN] T A,Ed [MN] Sonstige Fakt. G 1 0, ,35 0,447 0 G 2 0, ,35 0,142 0 Q 1 (Verkehr) 0,584 0,123 1,50 1,00 0,876 0,185 Q 2 (Wind) 0 0,022 1,50 0,30 0 0,010 Q 3 (Temperatur) 0, ,50 0,00 0,084 0 Q 4 (Setzung) 0, ,00 1,00 0, ,4 1) P (Vorspannung) 0, ,00 0,087 0 P (Kriechen+Schw.) -0, ,00-0,013 0 Summe 1,644 0,195 1) siehe DIN Fb 102, Kap. II, (3) maßgebende Bemessungswerte für die Druckstrebe: V A,Ed0 = 1,644 MN P mt = -4,898 MN Spanngliedfunktion: f(x) = 0,01020 x² + 0,14694 x f (x) = 0,02040 x + 0,14694 f (x = 0) = + 0,14694 V A,p,dir = 4,898 0,14694 = 0,720 MN (Kontrolle: V A,p,dir = 0, ,130 = 0,720 MN) V A,Ed T A,Ed = 1,644 0,720 = 0,924 MN = 0,195 MNm maßgebende Bemessungswerte für die Zugstrebe: normalerweise bei direkter Lagerung im Abstand d von der Auflagerkante vereinfacht werden hier die Werte für x = 0 (Auflagerachse) angesetzt. Nachweis für Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung: V Rd,ct = [0,10 κ η 1 (100 ρ 1 f ck ) 1/3 0,12σ cd ] b w d [MN] κ = 1 + η = 1,466 2,0 920 Maßstabsfaktor zur Berücksichtigung der Bauteildicke Tragfähigkeitsbeiwert Normalbeton:η 1 = 1,0; Leichtbeton:η 1 s. DIN , Tab. 10 b w = 1,00 m kleinste Querschnittsbreite [m] d = 1,00 0,08 = 0,92 m statische Höhe (Betonstahlbewehrung) 57

58 A sl 18,25 ρ 1 = = = 0,20 % b w d 1,00 0,92 σ cd = N Ed / A c = -4,898 / 1,9625 = 2,50 MN/m² Betonlängsspannung in Höhe des Schwerpunkt des Querschnitts = 35 MN/m² charakteristische Betondruckfestigkeit f ck V Rd,ct = [0,10 1,466 1,0 (0,20 35) 1/3 0,12 ( 2,50)] 1,00 0,93 = 0,540 MN 0,924 MN Nebenrechnung: gewählt: Alternativberechnung: Robustheitsbewehrung: f ctm = 3,21 MN/m² I c = 0,1535 m 4 z cu = 1,000 0,333 = 0,667 m W cu = 0,2301 m³ Rissmoment: M cr = 3,21 0,2301 = 0,739 MNm d 1,00 0,08 = 0,92 m z 0,92 0,25 / 2 = 0,80 m A s,min Mcr 0,739 = = z fyk 0, = 18,5 cm² A s,vorh = 6 Ø 20 = 18,8 cm² 18,5 cm² (Mindestfeldbewehrung wird von Auflager bis Auflager durchgeführt!) Da der vorliegende Überbau auch durch Torsion beansprucht wird, ist die daraus resultierende Schubspannung τ T = T Sd / W T zu berücksichtigen: V Rd,ct = I b S y w f γ ctk,0,05 c 2 α l σ cd f γ ctk,0,05 c T W I = 0,1535 m 4 Flächenmoment 2.Grades S = 0,2224 m³ Flächenmoment 1.Grades f ctk;0,05 = 2,2 MN/m² Sd T 5%-Quantilwert der charakteristischen Betonzugfestigkeit (DIN Tab. 9 oder 10), jedoch f ctk;0,05 2,7 N/mm 2 γ c : = 1,8 Teilsicherheitsbeiwert für Beton nach DIN , Tab.2 (für außergewöhnliche Bemessungssituation γ c = 1,55, sonst γ c = 1,8) α l : = 1,0 Vorspannung mit sofortigem Verbund: α l = l x / l bpd 1,0 sonstige Fälle: α l = 1,0 l x : = Abstand des betrachteten Querschnitts vom Beginn des Spanngliedes l bpd : = oberer Bemessungswert der Übertragungslänge des Spanngliedes T Sd = 0,195 MNm zugehöriges Torsionsmoment W T = 0,208 1,0 1,0² = 0,208 m³ 0,1535 1,00 V Rd,ct = 0,2224 = 0,825 MN 2 2,2 1,8 1,0 ( 2,50) 2,2 1,8 0,195 0,208 Querkraftbewehrung und Torsionsbewehrung erforderlich! 58