Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 5 1. Semester ARBEITSBLATT 5 RECHNEN MIT BRÜCHEN. 1. Arten von Brüchen und Definition

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1 ARBEITSBLATT 5 RECHNEN MIT BRÜCHEN 1. Arten von Brüchen und Definition Beispiel: 3 5 Zähler Bruchstrich Nenner Definition: Jeder Bruch hat folgendes Aussehen: Zähler. Der Nenner gibt an, Nenner in wie viele gleich große Teile die Gesamtheit zerlegt wird. Der Zähler gibt an, wie viele solcher Teile genommen werden. Betrachten wir folgende Brüche: 1 3 ; ; ; 6 8 Es fällt auf, dass der Wert dieser Brüche derselbe ist. Dennoch sehen die Zahlen anders aus. Wenn wir den Bruch betrachten, so fällt auf, dass Zähler und Nenner durch dividiert, den Bruch 1 ergibt. Dasselbe könnten wir mit 3 6 durchführen. Dividieren wir Zähler und Nenner durch 3 so erhalten wir 1, u.s.w. Bei 1 lassen sich hingegen Zähler und Nenner nicht ganzzahlig dividieren (d.h., dass das Ergebnis der Division eine ganze Zahl ist). Einen derartigen Bruch nennt man einen Stammbruch. Definition: Lassen sich Zähler und Nenner eines Bruches nicht mehr ganzzahlig dividieren, so nennt man den Bruch einen Stammbruch. Vergleichen wir die Brüche ; ; ; ; Es fällt auf, dass manche Brüche 1 sind, manche kleiner als 1. Brüche, die 1 sind bezeichnet man als unechte Brüche, die anderen als echte Brüche. Definition: Wert Vergleich: Zähler - Nenner echte Brüche < 1 Zähler < Nenner unechte Brüche 1 Zähler Nenner Bei unechten Brüchen kann man auch angeben, wie viele Ganze in diesem Bruch sind. 1

2 Beispiel: 13 = 3 1 Derartige Zahlen nennt man gemischte Zahlen. Wichtig ist dabei für das spätere rechnen, dass die Kurzschreibweise 3 1 in Wirklichkeit bedeutet. Wichtig: Vermeiden Sie zum Rechnen gemischte Zahlen!!! Definition: Ist eine Zahl aus einer ganzen Zahl und einem Bruch zusammengesetzt, so nennt man dies eine gemischte Zahl. a) Erweitern eines Bruches. Formänderungen bei Brüchen Wie wir bereits gesehen haben, lässt sich bei Brüchen der Zähler und der Nenner mit derselben Zahl multiplizieren ohne dass sich der Wert des Bruches verändert. Beispiel: Das Multiplizieren von Zähler und Nenner nennt man das Erweitern eines Bruches. Übungen: Übungsblatt 5; Aufgaben 6-66 Auch zum Vergleichen von Zahlen bieten sich richtig erweiterte Brüche an. Beispiel: REICHEL 3; Seite 38;Nr. 15 a) = = < > Übungen: Übungsblatt 5; Aufgaben b) Kürzen eines Bruches Natürlich kann man die zum Erweitern des Bruches entgegengesetzte Rechenoperation genauso durchführen. Dividiert man Zähler und Nenner eines Bruches durch dieselbe Zahl, so bleibt der Wert des Bruches unverändert. Beispiel:

3 : 3 : 6 1 : 3 : 1 Diesen Vorgang nennt man das Kürzen eines Bruches. Beispiel: Kürze folgenden Bruch: : : 3 Übungen: Übungsblatt 5; Aufgaben Bei sehr hohen Zahlen ist es manchmal gar nicht so leicht feststellbar, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist oder nicht, z.b Um die Teilbarkeit festzustellen gibt es für einige Zahlen ganz nützliche Teilbarkeitsregeln: Teilbarkeitsregeln: 1. Eine Zahl ist durch teilbar, wenn Sie gerade ist.. Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 3 teilbar ist. 3. Eine Zahl ist durch teilbar, wenn die Teilzahl, aus Einerund Zehnerstelle bestehend, durch teilbar ist.. Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn an der Einerstelle die Ziffer 0 oder 5 steht. 5. Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch und durch 3 teilbar ist. 6. Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 9 teilbar ist. 7. Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die Ziffer an der Einerstelle eine 0 ist. Beispiele: ad. Ist 531 durch 3 teilbar? Ziffernsumme von 531 = = 9. 9 ist durch 3 teilbar, also ist auch 531 durch 3 teilbar. ad3. Ist 116 durch teilbar? 16 ist durch teilbar, also ist auch 116 durch teilbar. Übungen: Übungsblatt 5; Aufgaben Rechnen mit Brüchen a) Addieren und Subtrahieren 3

4 Beispiel: = 3 Wenn wir dies beiden Brüche addieren wollen, so stehen wir vor einem Problem. Die beiden Brüche haben verschiedene Nenner, weshalb wir sie nicht direkt vergleichen können. Deshalb müssen wir die beiden Brüche so erweitern, dass sie den gleichen Nenner haben ( Man sagt, man sucht den gemeinsamen Nenner). Dieser gemeinsame Nenner muss hier also ein Vielfaches von 3 und sein, also 6. Folglich erweitern wir nun beide Brüche auf den Nenner = Beim Bruch müssen wir den 3 3 Nenner mit 3 multiplizieren, damit wir 6tel bekommen. Damit der Wert des Bruches unverändert bleibt, müssen wir auch den Zähler 3 + = 6 6 mit 3 multiplizieren. Beim Bruch 1 3 müssen wir den Nenner mit multiplizieren, damit wir 6tel bekommen. Damit der Wert des Bruches unverändert bleibt, müssen wir auch den Zähler mit multiplizieren. Nun können wir die Zähler addieren (bzw. subtrahieren), der Nenner bleibt natürlich unverändert. = 5 6 So wie es negative ganze Zahlen gibt, gibt es auch negative Brüche. Die Rechengesetze bleiben natürlich dieselben: Beispiel: REICHEL 3; Seite 1; Nr. 16 c = 3 7 = = = 1 Anmerkung - vor + ergibt -

5 Satz: Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem man sie auf einen gemeinsamen Nenner erweitert und dann die Zähler addiert bzw. subtrahiert. Der Nenner bleibt dabei unverändert. a c a d c b a d b c + = + + abcd,,, Zbd ;, 0 b d b d b d b d Übungen: Übungsblatt 5; Aufgaben 7-75 Natürlich können auch gemischte Zahlen in der Angabe auftreten. Wandeln sie diese sofort in einen Bruch um. Beispiel: = + = + = Beispiel: = = = 0 1 = = Zunächst beseitigen wir die gemischten Zahlen. Nun bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Dieser ist 1. Nun führen wir die Addition, bzw. Subtraktion durch. Nun müssen wir noch überlegen, ob wir das Ergebnis noch kürzen können, was hier aber nicht der Fall ist. Übungen: Übungsblatt 5; Aufgaben b) Multiplikation Wie gesagt, müssen in der Mathematik einmal definierte Rechengesetze allgemein gültig sein. Wie wir alle wissen ergibt 3 = 6. Nun schauen wir einfach, wie wir mit Brüchen auf dasselbe Ergebnis kommen. Dazu schreiben wir, 3 und das Ergebnis 6 als Brüche: Es ist sehr leicht ersichtlich, dass wir lediglich die beiden Zähler und die beiden Nenner miteinander multiplizieren müssen, um zum richtigen Ergebnis zu kommen. 5

6 Satz: Brüche werden multipliziert, indem man die Zähler und die Nenner jeweils miteinander multipliziert. a c a c bd, 0 b d b d Beispiel: Natürlich bleiben alle Vorzeichenregeln, so wie Sie sie von den ganzen Zahlen kennen, erhalten. Beispiel: 7 + = = = 8 15 Zunächst einmal regeln wir das Vorzeichen: - mal + ergibt -. Nun können wir die Multiplikation ausführen. 6

7 Natürlich können wir Brüche kürzen, bevor wir sie ausmultiplizieren: Beispiel: = 1 1 Bevor wir ausmultiplizieren, untersuchen wir die Brüche zunächst einmal, ob wir sie nicht kürzen können. In unserem Beispiel sehen wir im Zähler 15 und im Nenner 5. Beide Zahlen lassen sich durch 5 dividieren. Dass die Zahl 15 bei einem anderen Bruch steht, stört nicht, denn: Wir würden ja Zähler mit Zähler multiplizieren, und Wir können also die Zähler bei einer Multiplikation beliebig vertauschen. Nun kürzen wir und 6, indem wir durch dividieren. Nun kürzen wir noch die beiden 3er, indem wir durch 3 dividieren und multiplizieren anschließend. Merke: Bevor man Brüche multipliziert, sollte man sie zunächst immer nach Möglichkeit kürzen. Auch bei der Multiplikation gilt natürlich, dass gemischte Zahlen sofort in Brüche umgewandelt werden müssen. Beispiel: = = Umwandeln der gemischten Zahlen in Brüche. Kürze 3 und 6 durch 3. Zähler mal Zähler, und Nenner mal Nenner.

8 = 13 Übungen: Übungsblatt 5; Aufgabe 78 c) Division Überlegen wir uns die Division an einem konkretem Beispiel: Beispiel: In einer Klasse gibt es 10 Mädchen, das sind 5 aller Schüler. Wie viele Schüler hat die Klasse? Eigentlich müssten wir die Schüleranzahl berechnen, indem wir 10 durch 5 dividieren. Schüler = 10 : 5 Nun umgehen wir aber zunächst einmal diese Division, um uns einen allgemeinen Weg zurechtzulegen. Wir überlegen uns: Wenn 5 der Klasse 10 Schüler sind, müssen Schüler sein. Nachdem aber die ganze Klasse 5 5 sind, müssen dies also 5 Schüler sein. Wenn wir nun unsere Berechnungen betrachten, so erkennen wir, dass wir 10 durch dividiert und dann mit 5 multipliziert haben. Dasselbe Ergebnis erhalten wir aber auch, wenn wir 10 mit 5 multiplizieren und dann durch dividieren. Wir rechnen also: 10 5:. Wie bereits erklärt, ist das Divisionszeichen aber mit dem Bruchstrich gleichbedeutend. Wir können also auch schreiben: 10 5 Wenn wir nun die ursprüngliche Division mit unserer jetzigen vergleichen, sehen wir folgendes: 10: = Wir erkennen also, dass die Zahlen des zweiten Bruches lediglich vertauscht wurden - man nennt dies den Kehrwert - und aus dem Divisionszeichen ein Multiplikationszeichen wurde. Wir folgern also, dass sich derart jede Division auf eine Multiplikation zurückführen lässt. 8

9 Satz: Zwei Brüche werden dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert. a c a d : = abcd,,, Z bcd.. 0 b d b c Beispiel: 5 10 : = : = = 3 Wir führen die Division in eine Multiplikation um. Nun kürzen wir. Ausmultiplizieren Merke: Die Brüche werden erst gekürzt, wenn aus der Division eine Multiplikation wurde. Sobald man die Division auf eine Multiplikation zurückgeführt hat, gelten natürlich die besprochenen Regeln der Multiplikation. Übungen: Übungsblatt 5; Aufgabe 79 9