Exkurs Zahlbereichserweiterungen zu den Komplexen Zahlen
|
|
- Herta Schneider
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 MT1 Einführung in die Höhere Mathematik 1 THM Friedberg IEM/MND Medieninformatik Thomas Eckert MT1 Einführung in die Höhere Mathematik WS 2014/2015 Exkurs Zahlbereichserweiterungen zu den Komplexen Zahlen Wozu neue Zahlen C? :: Zahlbereichserweiterungen Was sind Zahlen? Nun, zunächst wird mit ihnen gezählt: Begonnen wird also mit den natürlichen Zahlen N = {0,1,2,3,...}. Sie lassen sich zusammen-zählen addieren. Dann auch multiplizieren für mehrfaches Addieren gleicher Summanden und schließlich potenzieren. Umkehrung dieser Operationen führt allerdings zu Schwierigkeiten. So gelangt man über mehrere Zahlbereichserweiterungen zu vollständigeren Zahlkörpern : Hier sind N Z Q R C Z = { 0, ±1, ±2,... } = N N / mit negativen Zahlen ganze Zahlen { / } Q = p q p,q Z, q = 0 Brüche oder periodische Kommazahlen rationale Zahlen R = { a 0,b 1 b 2 b 3... a 0 Z, b i {0,...,9} } beliebige Kommazahlen, reelle Zahlen auch irrationale wie 2 oder π Mit jedem Schritt wird ein weiteres Umkehrproblem behoben: Subtrahieren, Dividieren, Wurzeln. Allerdings sind die Wurzeln nicht der wahre Gehalt für die Erweiterung zu R, da ja Wurzeln aus negativen Zahlen (in R) immer noch nicht gezogen werden können. Hier handelt es sich nicht um einen algebraischen Abschluss, sondern um einen eher geometrischen ( topologischen ), nämlich den bezüglich der Limes-Bildung bei dem die Wurzeln aus positiven Zahlen gleich mit abfallen. Jede immer näher zusammen rückende Folge in R besitzt dort auch einen Grenzwert. (Nicht so in Q, denn lim(1 + 1/n) n = e.) Die komplexen Zahlen C beheben nun dieses letzte Problem und man erhält einen in jeder Hinsicht abgeschlossenen Zahlkörper.
2 MT1 Einführung in die Höhere Mathematik 2 Exkurs :: Räume von Äquivalenzklassen Mit einer Äquivalenzrelation auf einer Menge X, die verschiedene Elemente von X als äquivalent ( gleichwertig ) erachtet, erhält man Äquivalenzklassen [x] = { y X y x }, welche sich zum Quotientenraum X / = { [x] x X } aller Klassen zusammensetzen. Die Klassen bilden eine Zerlegung der Menge X und der Quotientenraum enthält diese als Elemente. Klassenbildungen gibt es zuhauf und jede Abstraktion ist der Übergang zu einem Quotientenraum von Klassen äquivlanter Objekte bei denen eben von irrelevanten Eigenschaften abgesehen ( abstrahiert ) wird. Die ganzen Zahlen Z lassen sich als Quotientenraum konstruieren: Um die negativen ganzen Zahlen einzuführen, bildet man Paare (m, n) von natürlichen Zahlen nach dem Muster (Haben, Soll) bei Konten. Zwei solche Paare werden als äquivalent betrachtet, wenn sie gleiche Differenz haben was im Fall einer größeren zweiten Komponente noch zu vermeiden ist umgeformt also: (m,n) (k,l) m + l = k + n Das ist dasselbe wie erweitert : [m,n] = [m + d,n + d]. Dann finden sich die alten natürlichen Zahlen n eingebettet in den Quotientenraum Z := N N / als [n,0] und umgekehrt entsprechen Klassen [0,n] =: n gerade den negativen Zahlen. Auch die rationalen Zahlen Q lassen sich über eine völlig analoge Klassenbildung gewinnen nur alle Rechenoperationen eine Ebene hoch verschoben (also mal statt plus etc.). Hier sind die Klassen sogar in der Notation der Brüche p / q = [p,q] deutlich sichtbar. Hingegen gewinnt man die reellen Zahlen nicht aus 2-Tupeln von rationalen Zahlen, sondern aus unendlich langen Tupeln, also Folgen. Zwei rationale Folgen heißen dabei äquivalent, wenn ihre Differenzfolge eine Nullfolge ist. R = Q Q Q / Cauchy Jeder Rassismus tut das und der Geschlechter-Rassismus sortiert Leute gleich nur noch in die beiden Klassen Frau und Mann. Genauer: Cauchy-Folgen, was uns aber nicht interessieren soll. Was ist C? :: Gauß reife Leistung Für Wurzeln aus beliebigen, auch negativen Zahlen, hatte Carl Friedrich Gauß die Idee, den Zahlenraum zu erweitern schlicht durch Hinzunahme eines neuen Elementes i = 1, das also i 2 = 1 erfüllt (und damit Lösung der bisher unlösbaren Gleichung x 2 = 1 ist). Diese Hinzunahme musste unabhängig genug sein und sie landet schließlich in einer zweiten, völlig unanhängigen Komponente:
3 MT1 Einführung in die Höhere Mathematik 3 Definition. Die komplexen Zahlen C := R R = R 2 sind Tupel z = (x, y) =: x + iy, bestehend aus Realteil x = Re(Z) und Imaginärteil y = Im(z) beide reell! Hierbei ist die imaginäre Einheit i = (0,1) und man unterschlägt die 1 C = (1,0). Die reellen Zahlen R sind also eingebettet in die komplexen als erste (oder i-freie) Komponente oder Realteil und man spricht bei iy von rein imaginären Zahlen ir. Bemerkung. Dieser Name imaginär ist natürlich eine Naivität: die reellen seien real, während diese neu hinzugenommen nur vorgestellt, imaginär, seien. Aber alle Erweiterungen, angefangen bei den negativen Zahlen, sind höchst konstruiert und wenig echt/real. Sie existieren nicht, sondern sind gewachsene und höchst konstruierte Kulturleistungen. Und das gilt selbst beim Ausgangspunkt, den sogenannten natürlichen Zahlen so, als seien diese Natur-gegeben: Auch sie sind höchst abstrakte Objekte, nämlich eigentlich Abstraktionen aus Zählzeichen- Kalkülen, bei denen egal ist, ob man Strichlisten IIII, römisch verbesserte Strichlisten IV oder arabisch in geschicktem Stellenwert-oder Ziffernsystem 4 schreibt oder ähnliches. Komplexe Zahlen werden üblicherweise als z = x + iy und w = u + iv bezeichnet oder auch mit a + ib. Man spricht von kartesischen Koordinaten nach René Descartes, der solche rechtwinkligen Koordinatensysteme zuerst eingesetzt hat. Komplexe Zahlen als Tupel sind ja fast wie Vektoren im R 2. Man fasst sie aber eher als Punkte in der Ebene R 2 auf (oder gar geometrisch neutral) und spricht von der komplexen Zahlenebene im Kontrast zur reellen Zahlengeraden. In diesem Fall ist also gar keine Äquivalenzklassenbildung fällig, sondern die Zahlbereichserweiterung geschieht pur durch Tupel und wieder mit den neuen Bestandteilen in der zweiten Komponente. Eigentlich (x,y) = x 1 C + y i. Von dem Mahematiker Leopold Kronecker stammt der Ausspruch: Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott gemacht; alles andere ist Menschenwerk. Was nur im zweiten Teil stimmt! Bevor wir diese durch Rechenoperationen zu einem Zahlkörper machen, betrachten wir auch als Hilfsmittel zunächst ihre geometrischen Eigenschaften. Definition. Der Betrag z der komplexen Zahl z = x + iy ist wie der Vektorbetrag definiert als z := x 2 + y 2. Die zu z = x + iy C (komplex) Konjugierte z := x iy entsteht durch Umkehren des Vorzeichens des Imaginärteiles y. Bemerkung. Der Betrag ist nach Pythagoras der natürliche Abstand vom Ursprung 0 C = 0 = (0,0), so dass die Punkte mit Betrag 1 einen echten Kreis mit Radius 1 um dieses Zentrum bilden: S 1 := { z C z = 1}. Die Konjugierte z zu z entsteht geometrisch als deren Spiegelpunkt durch (vertikales) Spiegeln an der x-achse.
4 MT1 Einführung in die Höhere Mathematik 4 Nun können wir die komplexe Zahlenebene C tatsächlich zu einem Zahlkörper machen durch Rechenoperationen darauf, welche diejenigen der reellen Zahlen erweitern und alle üblichen Rechenregeln erfüllen. Wie bei Vektoren: z + w = (x + iy) + (u + iv) := x + u +i(y + v) komponentenweise Addieren z w = (x + iy) (u + iv) = x u +i(y v) analog Subtrahieren Für die Multiplikation ist eine Beobachtung nötig: Da alle Rechenregeln gelten sollen, können wir ausmultiplizieren: z w = (x + iy) (u + iv) = xu + xiv + iyu + i 2 yv. Wegen i 2 = 1 erhalten wir nach Sortieren in Real- und Imaginärteil z w = (x + iy) (u + iv) := xu yv +i(xv + yu) ausmultiplizieren Multiplizieren Damit ergibt sich insbesondere z z = xx ( yy) + i 0 = x 2 + y 2 = z 2 R C, also als rein reell. Dies erlaubt für die Division einen Trick: z w = z w (x + iy)(u iv) = w w u 2 + v 2 = Nenner reell machen Dividieren Beispiel. Mit z = 3 + 4i und w = 5 2i erhalten wir z (3 + 4i)(5 + 2i) i(6 + 20) = w = 29 Die anderen Operationen sind einfacher: = i C. z w = (3 + 4i) (5 2i) = ( )i = i z + w = (3 + 4i) + (5 2i) = (4 2)i = 8 + 2i z w = (3 + 4i) (5 2i) = (4 + 2)i = 2 + 6i Bisher haben wir aber noch keine gute Möglichkeit, Potenzen auszurechnen oder Wurzeln. Dazu benötigen wir ein weiteres Hilfsmittel. C anders aufgefasst :: Polarkoordinaten Definition. Zunächst ohne Bezug auf eigentlich schon bekannte Potenzausdrücke e x definieren wir für relle x: e ix := cos(x) + i sin(x) Diese Bezeichnung für solche Ausdrücke mit cos und sin wird später gerechtfertigt werden.
5 MT1 Einführung in die Höhere Mathematik 5 Proposition. Diese Ausdrücke haben folgende grundlegende Eigenschaften: e ix = e ix wegen sin( x) = sin(x). e ix = 1, nämlich = cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1. Insbesondere liegen also alle diese komplexen Zahlen z = e ix S 1 auf dem Einheitskreis. e ix e iy = e i(x+y) Beweis. Mit den Additionstheoremen von Sinus und Kosinus ergibt sich: e ix e iy = ( cos(x) + i sin(x) ) (cos(y) + i sin(y) ) = cos(x)cos(y) sin(x)sin(y) + i (cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y) ) = cos(x + y) + i sin(x + y) = e i(x+y) Solche Ausdrücke verhalten sich also wie Potenzen, was eine erste Rechtfertigung für den Namen e ix ist. Später wird man sehen, dass die Reihenentwicklung der e-funktion, welche das Einsetzen von ix natürlicherweise erlaubt, sich genau entsprechend der Definitionsgleichung auflöst in die Reihenentwicklungen von Sinus und Kosinus, so dass es sich dann gar nicht mehr um eine Definition handelt. Korollar. e z = e x+iy = e x eiy = e x (cos(y) + i sin(y) ) erklärt also Potenzausdrücke mit beliebigen komplexen Exponenten. Satz. Jede komplexe Zahl z = x + iy lässt sich schreiben als z = r e iϕ mit einem Radius (oder Betrag) r > 0 und einem Argument (oder der Phase) ϕ. Dabei geschieht die Umrechnung von den kartesischen Koordinaten x, y in Gelesen phi, was unserem f die sogenannten Polarkoordinaten r, ϕ und zurück durch: entspricht. r = z = x 2 + y 2 ϕ = arg(z) = tan 1( y / x) x = r cos(ϕ) y = r sin(ϕ) Beweis. Punkt z in komplexer Zahlenebene zeichnen und ein achsenparalles Dreieck zwischen 0 und z. Daran lässt sich alles ablesen. Bemerkung. Für die Phase oder das Argument ϕ akzeptiert man Angaben in Winkelmaß und Bogenmaß, je nach Kontext. Beispiel. Zu z = 2 3i ergibt sich r = = 13. = 3,61 und ϕ = tan 1( 3 / 2 ). = 56,31. Rückwärts erhält man x = r cos ϕ. = 13 cos( 56,31 ) = 2 und analog y = 3.
6 MT1 Einführung in die Höhere Mathematik 6 Dafür C :: Potenzen und Wurzeln Einerseits lassen sich nun Potenzen über diese Polarzerlegung oft leichter ausrechnen als direkt: z 9 = (2 3i) 9 = ( (z 2 ) 2) 2 z =... versus z 9 = ( re iϕ) 9 = r9 e 9iϕ =... Andererseits kommt so überhaupt erst an Wurzeln aus komplexen Zahlen. Analog ist nämlich oder auch mit 360 statt 2π. n z = n r e i(ϕ+2πk)/n, k = 0,...,n 1,
A Die Menge C der komplexen Zahlen
A Die Menge C der komplexen Zahlen (Vgl. auch Abschnitt C) A.1 Definition Wir erweitern R um eine Zahl i / R (genannt imaginäre Einheit) mit der Eigenschaft i 2 i i = 1. (653) Unter einer komplexen Zahl
Mehrerfanden zu den reellen Zahlen eine neue Zahl
Vorlesung 9 Komplexe Zahlen Die Gleichung x 2 = 1 ist in R nicht lösbar, weil es keine Zahl gibt, deren Quadrat eine negative Zahl ist. Die Mathematiker erfanden zu den reellen Zahlen eine neue Zahl i,
MehrKörper der komplexen Zahlen (1)
Die komplexen Zahlen Körper der komplexen Zahlen (1) Da in angeordneten Körpern stets x 2 0 gilt, kann die Gleichung x 2 = 1 in R keine Lösung haben. Wir werden nun einen Körper konstruieren, der die reellen
MehrLineare Algebra 1. 4 Ringe und Körper (Fortsetzung) Der erweiterte Euklidische Algorithmus. Heinrich Heine-Universität Düsseldorf Sommersemester 2014
Fakultät für Mathematik PD Dr. Markus Perling Heinrich Heine-Universität Düsseldorf Sommersemester 2014 Lineare Algebra 1 Siebte Woche, 21.5.2014 4 Ringe und Körper (Fortsetzung) Satz: Es sei R ein Ring
MehrDie komplexen Zahlen
Die komplexen Zahlen Wir haben gesehen, dass die Menge R der reellen Zahlen einen angeordneten Körper bildet und dass für die Menge Q der rationalen Zahlen entsprechendes gilt. In beiden Körpern sind Gleichungen
MehrAbbildung 14: Winkel im Bogenmaß
Mathematik für Naturwissenschaftler I. (7) Trigonometrische Funktionen (in R): Trigonometrische Funktionen wie sin x und cos x stehen üblicherweise in Zusammenhang mit Winkeln. Während im Alltag Winkel
MehrKomplexe Zahlen. Allgemeines. Definition. Darstellungsformen. Umrechnungen
Komplexe Zahlen Allgemeines Definition Eine komplexe Zahl z x + y i besteht aus einem Realteil Re(z) x und einem Imaginärteil Im(z) y. Der Imaginärteil wird mit der Imaginären-Einheit i multipliziert.
MehrAddition, Subtraktion und Multiplikation von komplexen Zahlen z 1 = (a 1, b 1 ) und z 2 = (a 2, b 2 ):
Komplexe Zahlen Definition 1. Eine komplexe Zahl z ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen (a, b). Wir nennen a den Realteil von z und b den Imaginärteil von z, geschrieben a = Re z, b = Im z. Komplexe
MehrStefan Ruzika. 24. April 2016
Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 24. April 2016 Stefan Ruzika 2: Körper 24. April 2016 1 / 21 Gliederung 1 1 Schulstoff 2 Körper Definition eines Körpers
MehrHöhere Mathematik 3 Vorlesung im Wintersemester 2006/2007 im Wissenschaftszentrum Weihenstephan. Prof. Dr. Johann Hartl
Höhere Mathematik 3 Vorlesung im Wintersemester 2006/2007 im Wissenschaftszentrum Weihenstephan Prof. Dr. Johann Hartl Kapitel 1 Komplexe Zahlen Wozu brauchen wir komplexe Zahlen? 1 Für das Rechnen in
MehrKomplexe Funktionen. Freitag Vorlesung 1. Kai Rothe. Sommersemester Technische Universität Hamburg-Harburg
Komplexe Funktionen Freitag 13.04.018 Vorlesung 1 Kai Rothe Sommersemester 018 Technische Universität Hamburg-Harburg K.Rothe, komplexe Funktionen, Vorlesung 1 Nullstellen quadratischer Gleichungen Beispiel
Mehr2.9 Die komplexen Zahlen
LinAlg II Version 1 3. April 2006 c Rudolf Scharlau 121 2.9 Die komplexen Zahlen Die komplexen Zahlen sind unverzichtbar für nahezu jede Art von höherer Mathematik. Systematisch gehören sie zum einen in
MehrKomplexe Zahlen. Rainer Hauser. Januar 2015
Komplexe Zahlen Rainer Hauser Januar 015 1 Einleitung 1.1 Zahlen und Operationen auf Zahlen Addiert man mit Eins als erster gegebener Zahl beginnend sukzessive Eins zu einer bereits gefundenen Zahl, so
MehrBrückenkurs Mathematik. Freitag Freitag
Brückenkurs Mathematik Freitag 9.09. - Freitag 13.10.017 Vorlesung 10 Komplexe Zahlen Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Freitag 13.10.017 0 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 10
MehrLINEARE ALGEBRA UND ANALYSIS FÜR FUNKTIONEN EINER VARIABLEN
Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik LINEARE ALGEBRA UND ANALYSIS FÜR FUNKTIONEN EINER VARIABLEN 6. Komplexe Zahlen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2017/18 G. Matthies Lineare
MehrMathematik 2 für Wirtschaftsinformatik
für Wirtschaftsinformatik Sommersemester 2012 Hochschule Augsburg Konvergenzkriterien für Reihen Gegeben: a i Folge, s n = Divergenzkriterium n a i i=1 Ist s n konvergent a i ist Nullfolge Also äquivalent
MehrKapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen Die komplexen Zahlen Folgen und Reihen in C
Kapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen 5.1. Die komplexen Zahlen 5.. Folgen und Reihen in C 5.10. Definition. Eine Folge (c n n N komplexer Zahlen heißt konvergent gegen c C, falls zu jedem ε > 0
MehrEinführung Seite 28. Zahlenebene C. Vorlesung bzw. 24. Oktober 2013
Einführung Seite 8 Vorlesung 1 3. bzw. 4. Oktober 013 Komplexe Zahlen Seite 9 Lösung von x + 1 = 0, pq-formel liefert x 1/ = ± 1 ; }{{} verboten Definition Imaginäre Einheit i := 1 Dann x 1/ = ±i; i =
Mehr(a) Motivation zur Definition komplexer Zahlen
1 Anhang B (a) Motivation zur Definition komplexer Zahlen Neue Zahlen wurden stets dann definiert, wenn die Anwendung von Rechenoperationen auf bekannte Zahlen innerhalb der Menge letzterer keine Lösung
MehrKAPITEL 1. Komplexe Zahlen
KAPITEL Komplexe Zahlen. Lernziele im Abschnitt: Komplexe Zahlen............... Was sind komplexe Zahlen?......................3 Komplexe Zahlenebene....................... 3.4 Grundrechenarten in C.......................
MehrKörper sind nullteilerfrei
Mathematik I für Informatiker Komplexe Zahlen p. 1 Körper sind nullteilerfrei Für Elemente a, b eines Körpers gilt stets: Aus a b = 0 folgt a = 0 oder b = 0. Beweis: Aus a b = 0 und a 0 folgt also b =
MehrDie komplexen Zahlen werden definiert als die geordneten Paare z = (x, y) reeller Zahlen x, y R, zusammen mit den Rechenoperationen
A Komplexe Zahlen A.1 Definition Die komplexen Zahlen werden definiert als die geordneten Paare z = (x, y) reeller Zahlen x, y R, zusammen mit den Rechenoperationen z 1 +z 2 (x 1,y 1 )+(x 2,y 2 ) := (x
MehrINHALTSVERZEICHNIS: DEFINITION UND EIGENSCHAFTEN VON KOMPLEXEN ZAHLEN 2 GESCHICHTE DER KOMPLEXEN ZAHLEN 4 DARSTELLUNG DER KOMPLEXEN ZAHLEN 5
INHALTSVERZEICHNIS: ZAHLENBEREICHSERWEITERUNG 1 DEFINITION UND EIGENSCHAFTEN VON KOMPLEXEN ZAHLEN 2 GESCHICHTE DER KOMPLEXEN ZAHLEN 4 DARSTELLUNG DER KOMPLEXEN ZAHLEN 5 RECHNEN MIT KOMPLEXEN ZAHLEN 7 DIE
MehrKomplexe Zahlen. Darstellung
Komplexe Zahlen Die Zahlenmengen, mit denen wir bis jetzt gearbeitet haben lassen sich zusammenfassen als N Z Q R Die natürlichen Zahlen sind abgeschlossen bezüglich der Operation des Addierens. Das heisst
Mehr3.2. Polarkoordinaten
3.2. Polarkoordinaten Die geometrische Bedeutung der komplexen Multiplikation versteht man besser durch die Einführung von Polarkoordinaten. Der Betrag einer komplexen Zahl z x + i y ist r: z x 2 + y 2.
Mehr10 Komplexe Zahlen. 2. Februar Komplexe Multiplikation: Für zwei Vektoren. z 1 =
2. Februar 2009 66 0 Komplexe Zahlen 0. Komplexe Multiplikation: Für zwei Vektoren [ [ a a2 z =, z 2 = in R 2 wird neben der üblichen Addition die komplexe Multiplikation [ a a z z 2 := 2 b b 2 a b 2 +
MehrGRUNDLAGEN MATHEMATIK
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 6. Komplexe Zahlen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16 G. Matthies Grundlagen
MehrAnalysis 1, Woche 3. Komplexe Zahlen I. 3.1 Etwas Imaginäres
Analysis, Woche 3 Komplexe Zahlen I A 3. Etwas Imaginäres Zusätzlich zu den reellen Zahlen führen wir das Symbol i ein und wir vereinbaren: i. Wir möchten die reellen Zahlen erweitern mit i. Das heißt,
MehrGrundlagen. Mathematik I für Chemiker. Daniel Gerth
Grundlagen Mathematik I für Chemiker Daniel Gerth Überblick Komplexe Zahlen Dieses Kapitel erklärt: Was komplexe Zahlen sind Wie man mit ihnen rechnet Daniel Gerth (JKU) Grundlagen 2 / 30 Inhaltsverzeichnis
MehrKomplexe Zahlen. Bemerkungen. (i) Man zeigt leicht, dass C mit diesen beiden Operationen
Komplexe Zahlen Da für jede reelle Zahl x R gilt dass x 0, besitzt die Gleichung x + 1 = 0 keine Lösung in R bzw. das Polynom P (x) = x + 1 besitzt in R (!) keine Nullstelle. Dies führt zur Frage, ob es
MehrErgänzungen in Mathematik Studierende Nanowissenschaften
Hans Walser Ergänzungen in Mathematik Studierende Nanowissenschaften Komplexe Zahlen Hans Walser: Komplexe Zahlen ii Inhalt 1 Die imaginäre Einheit... 1 2 Rechenregeln... 1 3 Quadratische Gleichungen...
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen
Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen Komplexe Zahlen Koordinatenwechsel Aufgabe. Zeichnen Sie die folgende Zahlen zunächst in ein (kartesisches) Koordinatensystem. Bestimmen Sie dann die Polarkoordinaten
MehrKomplexe Zahlen und konforme Abbildungen
Kapitel 1 Komplexe Zahlen und konforme Abbildungen 1.0 Geometrie der komplexen Zahlen Die Menge C der komplexen Zahlen, lässt sich mithilfe der bijektiven Abbildung C := {x + iy : x,y R}, C z = x + iy
MehrDie komplexen Zahlen. 1. Einführung. A) Erweiterung des Zahlenkörpers. Def. 1 (imaginäre Einheit)
Die komplexen Zahlen 1. Einführung A) Erweiterung des Zahlenkörpers Def. 1 (imaginäre Einheit) Die Gl. x 2 + 1 = 0 hat zwei Lösungen, nämlich i und - i. Es soll also gelten: i 2 = -1 und ( - i ) 2 = -1.
MehrVorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (A)
1 Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (A) Wintersemester 2016/17 Kapitel 1: Zahlen Prof. Dr. Gerald Warnecke Nach Folienvorlage von Prof. Dr. Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg http://fma2.math.uni-magdeburg.de:8001
Mehr2D-Visualisierung komplexer Funktionen
2D-Visualisierung komplexer Funktionen 1 Komplexe Zahlen Die komplexen Zahlen C stellen eine Erweiterung der reellen Zahlen dar, in der das Polynom z 2 + 1 eine Nullstelle besitzt. Man kann sie als Paare
MehrKomplexe Funktionen. Michael Hinze (zusammen mit Peywand Kiani) Department Mathematik Schwerpunkt Optimierung und Approximation, Universität Hamburg
Komplexe Funktionen Michael Hinze (zusammen mit Peywand Kiani) Department Mathematik Schwerpunkt Optimierung und Approximation, Universität Hamburg 15. April 2009 Beachtenswertes Die Veranstaltung ist
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) Kapitel 1: Zahlen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 5. Oktober 2007) Gliederung 2 Mengen Grundlegende Zahlbereiche
Mehr$Id: reell.tex,v /11/18 10:54:24 hk Exp $ $Id: komplex.tex,v /11/19 15:35:32 hk Exp hk $
$Id: reell.tex,v.0 200//8 0:54:24 hk Exp $ $Id: komplex.tex,v.4 200//9 5:35:32 hk Exp hk $ 4 Die reellen Zahlen 4.4 Potenzen mit rationalen Exponenten In der letzten Sitzung hatten wir reelle Potenzen
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure 1 (Wintersemester 2008/09)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure 1 (Wintersemester 2008/09) Kapitel 1: Zahlen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 12. Oktober 2008) Beispiele für Mengen A = {1, 2, 3}
Mehr1. VORLESUNG,
1. VORLESUNG, 18.04.2017 1 1. KOMPLEXE ZAHLEN UND FUNKTIONEN 1.1. Der Körper der komplexen Zahlen. Die komplexe Ebene und die Riemannsche Zahlenkugel bilden den Grundbereich der Funktionentheorie; dort
MehrMathematik 1 für Wirtschaftsinformatik
für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Argumentationstechniken Direkter Beweis einer Implikation A B (analog Äquivalenz A B): A C 1 C 2... B Beweis von A B durch Gegenbeispiel
Mehr7. KOMPLEXE ZAHLEN. und die. KOMPLEXE e-funktion
7. KOMPLEXE ZAHLEN und die KOMPLEXE e-funktion 1 Wir gehen aus von der Ebene, versehen mit einem Koordinatensystem und x, y-koordinaten. Dann entsprechen Punkte z in der Ebene Zahlenpaaren: z = (x, y)
MehrKOMPLEXE ZAHLEN UND FUNKTIONEN
Übungen zu Theoretische Physik L2 KOMPLEXE ZAHLEN UND FUNKTIONEN E I N R E F E R A T M I T A N N E T T E Z L A T A R I T S U N D F L O R I A N G R A B N E R. 2 1. 1 0. 2 0 1 3 INHALT Geschichte Definition
MehrBrückenkurs Mathematik für Studierende der Chemie
Brückenkurs Mathematik für Studierende der Chemie PD Dr Dirk Andrae (nach Vorlagen von Dr Werner Gans vom WS 2015/2016) Institut für Chemie und Biochemie Freie Universität Berlin 20 September 2016 1 Teil:
MehrCrash-Kurs Komplexe Zahlen
1 Definitionen: j, C, z Im Körper R der reellen Zahlen besitzt die lineare Gleichung ax + b = 0 (a, bεr; a 0) stets eine Lösung. Die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 führt zu der Lösungsformel
MehrSerie 6: Komplexe Zahlen
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 15 Dr. Ana Cannas Serie 6: Komplexe Zahlen Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom 26. und 28. Oktober. Es gibt zwei Darstellungsformen
MehrKomplexe Zahlen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden
Komplexe Zahlen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Körper sind nullteilerfrei Für Elemente a, b eines Körpers gilt stets: Aus a b = 0 folgt a
MehrMathematischer Vorkurs NAT-ING1
Mathematischer Vorkurs NAT-ING1 (02.09. 20.09.2013) Dr. Robert Strehl WS 2013-2014 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 40 Kapitel 12 Komplexe Zahlen Kapitel 12 Komplexe Zahlen Mathematischer Vorkurs
Mehr4 Komplexe Zahlen. 4.1 Notwendigkeit und Darstellung Einführung
Komplexe Zahlen 4 4 Komplexe Zahlen Die komplexen Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen. Die Konstruktion erfolgt durchc=r R. 4.1 Notwendigkeit und Darstellung 4.1.1 Einführung Hat die Gleichung
Mehrax 2 + bx + c = 0, (4.1)
Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die
MehrEinführung Im Bereich der komplexen Zahlen ist es möglich die Wurzel aus negativen Zahlen zu ziehen.
Komplexe Zahlen Einführung Im Bereich der komplexen Zahlen ist es möglich die Wurzel aus negativen Zahlen zu ziehen. Komplexe Zahl Unter dem Zahlenkörper der komplexe Zahlen C versteht man die Elemente
MehrKomplexe Zahlen und Allgemeines zu Gruppen
Komplexe Zahlen und Allgemeines zu Gruppen Die komplexen Zahlen sind von der Form z = x + iy mit x, y R, wobei i = 1 als imaginäre Einheit bezeichnet wird. Wir nennen hierbei Re(z = x den Realteil von
Mehr2.7. TEILMENGEN VON R 51
2.7. TEILMENGEN VON R 51 für M. Denn zu x M, x > K, gibt es ein b Q mit b (K, x), insbesondere b > K. Dann ist aber K nicht die reelle Zahl, die dem Dedekindschen Schnitt der Mengen A, B entspricht. Ist
MehrVorlesung. Komplexe Zahlen
Vorlesung Komplexe Zahlen Motivation In den reellen Zahlen haben nicht alle Polynome Nullstellen. Der einfachste Fall einer solchen Nullstellen-Gleichung ist x 2 + 1 = 0. Die komplexen Zahlen ("C") sind
Mehr1. Definition der komplexen Zahlen Ziel: neuerliche Zahlbereichserweiterung, so dass auch Quadratwurzeln aus negativen Zahlen
Komplexe Zahlen Mathe I / 12.11.08 1. Definition der komplexen Zahlen Ziel: neuerliche Zahlbereichserweiterung, so dass auch Quadratwurzeln aus negativen Zahlen gezogen werden können (in nicht möglich!).
MehrFunktionen einer Variablen
Funktionen einer Variablen 1 Zahlen 1.1 Zahlmengen Im täglichen Gebrauch trifft man vor allem auf die natürlichen Zahlen N = {1,2,3,...}. Gelegentlich wird auch die Bezeichnung N 0 = {0,1,2,...} benutzt.
MehrKomplexe Zahlen. Wir beginnen mit Beispielen.
Komplexe Zahlen Wir beginnen mit Beispielen. Wenn man nur ganze Zahlen kennen würde, dann hätte die Gleichung 2x = 5 keine Lösung. Wenn die Grundmenge G = R (= reelle Zahlen) ist, dann hat auch die Gleichung
MehrKomplexe Funktionen. für Studierende der Ingenieurwissenschaften Technische Universität Hamburg-Harburg. Reiner Lauterbach. Universität Hamburg
Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften Technische Universität Hamburg-Harburg Reiner Lauterbach Universität Hamburg SS 2006 Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen
MehrMathematik I Herbstsemester 2018 Kapitel 7: Komplexe Zahlen
Mathematik I Herbstsemester 2018 Kapitel 7: Komplexe Zahlen Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas 1/62 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I 7. Komplexe Zahlen Definition einer
MehrKomplexe Zahlen (Seite 1)
(Seite 1) (i) Motivation: + 5 = 3 hat in N keine Lösung Erweiterung zu Z = 2 3 = 2 hat in Z keine Lösung Erweiterung zu Q = 2 / 3 ² = 2 hat in Q keine Lösung Erweiterung zu R = ± 2 ² + 1 = 0 hat in R keine
MehrSpezialthema Komplexe Zahlen Fragen
Spezialthema Komplexe Zahlen Fragen Lukas Prokop 31. Mai 2009 Dank an Prof. Egger Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles weitere ist Menschenwerk (Leopold Kronecker 1 ) 1 frei zitiert nach
MehrKomplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften Prof. Dr. Armin Iske Department Mathematik, Universität Hamburg Technische Universität Hamburg-Harburg Sommersemester 2008 Komplexe Funktionen
MehrMathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie
Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Dominik Schillo Universität des Saarlandes 8. Vorlesung, 08..07 (Stand: 08..07, 4:0 Uhr) Mathematik für Studierende der Biologie und des
MehrMathematik für Wirtschaftsingenieure
Mathematik für Wirtschaftsingenieure Lehr- und Übungsbuch Bearbeitet von Christopher Dietmaier 1. Auflage 005. Buch. 600 S. Hardcover ISBN 978 3 446 337 0 Format (B L): 17,6 4,6 cm Gewicht: 1196 g Weitere
MehrKOMPETENZHEFT ZU KOMPLEXEN ZAHLEN N Z Q R C
KOMPETENZHEFT ZU KOMPLEXEN ZAHLEN 1. Aufgabenstellungen Aufgabe 1.1. Kreuze alle Zahlenbereiche an, in denen die gegebene Zahl bestimmt enthalten ist. 42 5 8,2 2, 5 4 i 5 + 2 i 21/4 9/3 2 16 5,014 = 5,014
MehrErster Zirkelbrief: Komplexe Zahlen
Matheschülerzirkel Universität Augsburg Schuljahr 04/05 Erster Zirkelbrief: Komplexe Zahlen Inhaltsverzeichnis Zahlenbereiche. Natürliche Zahlen................................. Ganze Zahlen...................................3
Mehr02. Komplexe Zahlen. a = Re z ist der Realteil von z, b = Im z der Imaginärteil von z.
0. Komplexe Zahlen Da für alle x R gilt dass x 0, hat die Gleichung x +1 = 0 offenbar keine reellen Lösungen. Rein formal würden wir x = ± 1 erhalten, aber dies sind keine reellen Zahlen. Um das Problem
MehrModul 205 Schnecken und Spiralen!
Modul 205 Schnecken und Spiralen! Radiales Netz 2 Radiales Netz Diagonalen 3 Radiales Netz 4 Radiales Netz 5 Radiales Netz 6 Radiales Netz 7 Radiales Netz 8 Archimedische Spirale 9 Archimedische Spirale
MehrKapitel 10 Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen Kapitel 10 Komplexe Zahlen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 94 / 112 Komplexe Zahlen Die komplexen Zahlen entstehen aus den reellen Zahlen, indem eine neues Element i (in der Elektrotechnik
MehrÜBUNGSBLATT 3 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 2010 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS
ÜBUNGSBLATT 3 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 2010 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS Aufgabe 1. a) Beweisen Sie aus den Axiomen für komplexe Zahlen, dass für alle z, w C gilt: zw = z w; b) Schreiben
MehrVII Komplexe Zahlen. Propädeutikum Holger Wuschke. 24. September 2018
Propädeutikum 2018 24. September 2018 Darstellung Rechengesetze Erweiterung der reellen Zahlen um eine imaginäre Einheit. Ursprung: Lösung der Gleichung x 2 + 1 = 0 Komplexe Zahlen C := {a + i b a, b R}
Mehr29 Komplexe Zahlen und Polynome
29 Komplexe Zahlen und Polynome 30 Komplexe Zahlen und Polynome 147 Lernziele: Konzepte: Komplexe Zahlen Resultate: Fundamentalsatz der Algebra Methoden: Polarkoordinaten Kompetenzen: Lösung kubischer
Mehra(b + c) = ab + ac und (a, b) (c, d) a + d = b + c definiert. Der Quotientenraum Z := N 2 / ist versehen mit der Addition
4.1 N und Z (8.12.2011) Definition 4.1 (Ring) Eine Menge R, versehen mit zwei Abbildungen + : R R R und R R R heißt Ring, falls folgende Eigenschaften erfüllt sind: 1) (i) Existenz eines neutralen Elementes
MehrZusatzmaterial zur Mathematik I für E-Techniker Übung 2
Mathematik I für E-Techniker C. Erdmann WS 011/1, Universität Rostock,. Vorlesungswoche Zusatzmaterial zur Mathematik I für E-Techniker Übung Wiederholung - Theorie: Komplexe Zahlen (a Wir definieren mit
MehrKomplexe Zahlen. Lernziele dieses Abschnitts sind:
KAPITEL 1 Komplexe Zahlen Lernziele dieses Abschnitts sind: (1) Analytische und geometrische Darstellung komplexer Zahlen, () Grundrechenarten fur komplexe Zahlen, (3) Konjugation und Betrag komplexer
MehrDie natürlichen Zahlen
Die natürlichen Zahlen Damit kann man, beginnend mit der leeren Menge, eine unendliche Folge von Mengen bilden: Mathematik I für Informatiker Zahlen p.1/12 Kürzt man ab so erhält man,,,..., allgemeiner
MehrMathematischer Vorkurs NAT-ING II
Mathematischer Vorkurs NAT-ING II (02.09.2013 20.09.2013) Dr. Jörg Horst WS 2013-2014 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 252 Kapitel 15 Komplexe Zahlen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite
Mehr12 3 Komplexe Zahlen. P(x y) z = x + jy
2 3 Komplexe Zahlen 3 Komplexe Zahlen 3. Grundrechenoperationen Definition Die Menge C = {z = a + jb a, b IR; j 2 = } heißt Menge der komplexen Zahlen; j heißt imaginäre Einheit. (andere Bezeichnung: i)
Mehr3 Der Körper der komplexen Zahlen
3 Der Körper der kompleen Zahlen Nicht jede quadratische Gleichung hat eine reelle Lösung + p + q = (p, q R) Beispiel: Für alle R ist und daher + 1 Abhilfe: Man erweitert R zu einem größerem Körper C,
MehrMathematik I für das MW und VIW. Karsten Eppler Technische Universität Dresden Institut für Numerische Mathematik
Mathematik I für das MW und VIW Karsten Eppler Technische Universität Dresden Institut für Numerische Mathematik karsten.eppler@tu-dresden.de http://www.math.tu-dresden.de/ eppler Vorlesungsassistent:
MehrLogische Grundlagen der Mathematik, WS 2014/15
Logische Grundlagen der Mathematik, WS 2014/15 Thomas Timmermann 26. November 2014 Was kommt nach den natürlichen Zahlen? Mehr als die natürlichen Zahlen braucht man nicht, um einige der schwierigsten
MehrBrückenkurs Mathematik für Studierende der Chemie
Brückenkurs Mathematik für Studierende der Chemie PD Dr Dirk Andrae (nach Vorlagen von Dr Werner Gans vom WS 015/016) Institut für Chemie und Biochemie Freie Universität Berlin 14 Februar 019 1 Teil: Zahlenmengen,
Mehr11 Komplexe Zahlen. Themen: Der Körper der komplexen Zahlen Die Mandelbrot-Menge Der Fundamentalsatz der Algebra
11 Komplexe Zahlen Themen: Der Körper der komplexen Zahlen Die Mandelbrot-Menge Der Fundamentalsatz der Algebra Addition ebener Vektoren Sei Ê 2 = {(x, y) : x, y Ê}. Ê 2 können wir als Punkte in der Ebene
MehrHöhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen
Höhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen Komplexe Zahlen Lösungshinweise. Sei z = + i und z = i. Berechnen Sie z + z, z z, z z, z z, z /z, z + z, z z, z z, z
Mehr(a, 0) (c, 0) = (ac, 0) (0, 1) =: i. Re(z) := a der Realteil und Im(z) := b der Imaginärteil
14 DIE EXPONENTIALFUNKTION IM KOMPLEXEN 73 Wegen (a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) (a, 0) (c, 0) = (ac, 0) kann man die Teilmenge {(a, 0) a R} mit den darauf eingeschränkten Verknüpfungen identifizieren mit
MehrDie natürlichen Zahlen
Mathematik I für Informatiker Zahlen p. 1 Die natürlichen Zahlen Für eine beliebige Menge S definiert man den Nachfolger S + durch S + := S {S}. Damit kann man, beginnend mit der leeren Menge Ø, eine unendliche
MehrAufgabe 5.1 Geben Sie zu folgenden komplexen Zahlen die Polarkoordinatendarstellung an, w z w z.
Kapitel 5 Aufgaben Verständnisfragen Aufgabe 5. Geben Sie zu folgenden komplexen Zahlen die Polarkoordinatendarstellung an z i z + i z 3 + 3i). Zu den komplexen Zahlen mit Polarkoordinaten r 4 ϕ 4 π r
MehrGrundlagen komplexe Zahlen. natürliche Zahlen
Grundlagen komplexe Zahlen Die Zahlenbereichserweiterungen von den natürlichen Zahlen hin zu den reellen Zahlen waren dadurch motiviert, bestimmte Rechenoperationen uneingeschränkt ausführen zu können.
Mehr4.4 Die Potentialgleichung
Beispiel 29. f(z) = exp( 1 ) H(C {}) z 1 w : z n = log w + 2πin, n N lim z n = n f(z n ) = exp(log w + 2πin) = w + exp(2πin) }{{} =1 In jeder Umgebung von Null nimmt f jeden Wert w (unendlich oft) an wesentliche
MehrEiniges über komplexe Zahlen
Lineare Algebra und Analytische Geometrie I für LB WS 2001/2002 Dr. Bruno Riedmüller Einiges über komplexe Zahlen Es muss davon ausgegangen werden, dass der Leser mit komplexen Zahlen wenig oder nicht
MehrMathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 7: Komplexe Zahlen
Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 7: Komplexe Zahlen www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2014/other/mathematik1 BIOL Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas 1/60
MehrAufgaben zu Kapitel 5
Aufgaben zu Kapitel 5 Aufgaben zu Kapitel 5 Verständnisfragen Aufgabe 5. Geben Sie zu folgenden komplexen Zahlen die Polarkoordinatendarstellung an z i z + i z 3 + 3i). r 5 ϕ 5 4 3 π bzw. r 6 3 ϕ 6 4 5
MehrKomplexe Zahlen. elektret.github.io 16. Mai 2014
Komplexe Zahlen elektret.github.io 16. Mai 2014 1 Definition i Der Körper R,, ist ein Unterkörper von C. ii Es gibt ein Element, sodass i 2 1 ist. iii C ist der kleinste Körper der den Eigenschaften i
MehrKomplexe Zahlen. Inhaltsverzeichnis Version: 1.1. Tobias Brinkert Homepage: <
Tobias Brinkert email: Homepage: 2.05.2005 Version:. Inhaltsverzeichnis . Die imaginäre Einheit i Da eine Zahl, mit sich selbst multipliziert, niemals ( ) ergeben
MehrSerie 3 - Komplexe Zahlen II
Analysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 2015 Serie - Komplexe Zahlen II 1. Wir betrachten die komplexe Gleichung z 6 = 4 4i. a) Bestimmen Sie alle en z C dieser Gleichung. b) Zeichnen Sie die en in die komplexe
Mehr6.1 Komplexe Funktionen
118 6 Funktionentheorie 6.1 Komplexe Funktionen Wir kennen die komplexen Zahlen als Erweiterung des Körpers der reellen Zahlen. Man postuliert die Existenz einer imaginären Größe i mit der Eigenschaft
Mehr