TECHNISCHE MECHANIK TEIL 2: ELASTOSTATIK. Prof. Dr.-Ing. Andreas Ettemeyer Prof. Dr.-Ing. Oskar Wallrapp Dr. Bernd Schäfer

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1 TECHNISCHE MECHNIK TEIL : ELSTOSTTIK Prof. Dr.-Ing. ndreas Ettemeyer Prof. Dr.-Ing. Oskar Wallrapp Dr. Bernd Schäfer Fachhochschule München Fachbereich 6 - Feinwerk- und Mikrotechnik Version.

2 Technische Mechanik - Elastostatik, II. Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 Das vorliegende Manuskript wurde als Hilfsmittel für die Vorlesung Technische Mechanik erstellt. Eine auch auszugsweise Wiedergabe oder Veröffentlichung bedarf der Genehmigung der Verfasser. ll copyrights are preserved. München, November 6 Prof. Dr.-Ing. ndreas Ettemeyer, Prof. Dr.-Ing. Oskmar Wallrapp, Dr. Bernd Schäfer Inhaltsübersicht Technische Mechanik Teil I Statik starrer Körper Stereostatik Teil II Statik elastischer Körper Elastostatik Teil III Kinematik und Kinetik starrer Körper Version., November 6

3 Technische Mechanik - Elastostatik, II.3 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 Inhalt Teil II: Statik elastischer Körper Elastostatik Einleitung zur Elastostatik - Festigkeitslehre Grundlegende ufgaben des Elastostatik Modellannahmen Technisch wichtige Beanspruchungen von Bauteilen Spannungen Spannungsvektor Spannung unter beliebigem Schnittwinkel Mohrscher Spannungskreis llgemeine Darstellung der Spannungen: Praktische Bestimmung der Spannung Zugspannung Schubspannung / Scherspannung Verzerrungen Dehnung des Zugstabes Schubverformung Ebener Verzerrungszustand Räumlicher Verzerrungszustand: Materialverhalten - Materialgesetze Der Zugversuch Elastizitätsmodul E und Hooke'sches Gesetz Schubmodul G llgemeine Form des Hooke schen Gesetzes Wärmedehnung und Wärmespannungen Statisch unbestimmter Zug-Druck-Probleme Dehnung des geraden Stabes Federmodell des Zug/Druck-Stabes Statisch unbestimmter Zug/Druck-Stab Berechnung von Schrumpfringen Biegebeanspruchung von Balken Modellannahmen - Bernoulli-Hypothese Dehnung und Biegespannung Flächengeometrie Flächenmomente 1. und. Ordnung Der Satz von Steiner Zusammengesetzte Flächen Beispiele Biegespannungen... 4 Version., November 6

4 Technische Mechanik - Elastostatik, II.4 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 7. Biegung des geraden Balkens Differentialgleichung der Biegelinie Lösung statisch bestimmter Biegefälle Balken mit fester Einspannung und Einzelkraft Balken mit fester Einspannung und Streckenlast Balken auf zwei Stützen mit Einzellast Lösung statisch unbestimmter Biegefälle Kragbalken mit Endlager und Flächenlast Kragbalken mit Endlager und Flächenlast (alternativer Lösungsweg) Lösung von Biegeproblemen mit dem Superpositionsprinzip Prinzip Einige Biegefälle Beispiel: Kragbalken mit Endlager und Flächenlast Superposition von Dehnung und Biegung Torsion von Stäben nhang: Festigkeitsnachweis Belastungsarten und deren Faktoren Zulässige Spannungen Version., November 6

5 Technische Mechanik - Elastostatik, II.5 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 Teil II: Statik elastischer Körper Elastostatik Wir verlassen die Einschränkungen des starren Körpers und erlauben nun elastische Verformungen der Bauteile => Wir kommen zur Statik elastischer Körper, Elastostatik, Festigkeitslehre. Ziel: Berechnung der Verformungen (Dehnungen und Scherungen) und Spannungen (Normal- und Schubspannungen) in Bauteilen und Bewertung dieser hinsichtlich ihrer zulässigen Werte der Festigkeit, Steifigkeit, Stabilität, Dauerfestigkeit, Verformbarkeit. 1. Einleitung zur Elastostatik - Festigkeitslehre Der Körper darf sich nun infolge Belastungen verformen, er ist deformierbar, elastisch, flexibel. Körper mit Kräften (starres Modell, elastisches Modell) Die beiden ersten Eigenformen eines flexiblen Flugzeugmodells. Beachte: Durch die Hinzunahme der elastische Verformungen eines Bauteiles (Körper) erhält der Körper viele Freiheitsgrade. Körper mit statisch unbestimmten Lagerungen (statisch überbestimmt gelagerte Systeme) sind nun damit lösbar. Version., November 6

6 Technische Mechanik - Elastostatik, II.6 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 1.1 Grundlegende ufgaben des Elastostatik In der Stereostatik haben wir Kräfte und Momente behandelt, sowie davon ausgehend innere Kräfte und Momente. In der Elastostatik können wir davon ausgehend auch Werkstoffbeanspruchungen sowie Verformungen ermitteln. Darüber hinaus können wir mit Hilfe der Elastostatik auch statisch überbestimmte Systeme analysieren. Damit ergeben sich folgende ufgaben für die Elastostatik: Thema Gegeben Nachweis Festigkeitsnachweis oder Spannungsnachweis Steifigkeitsnachweis oder Verformungsnachweis Dimensionierung bezüglich Festigkeit Dimensionierung bezüglich Steifigkeit Belastungsbeanspruchung Körper in seiner Geometrie, Material, Belastung Körper in seiner Geometrie, Material, Belastung Körper in seiner Geometrie mit noch freien Parametern, Material, Belastung Körper in seiner Geometrie mit noch freien Parametern, Material, Belastung Körper in seiner Geometrie, Material Spannungen müssen kleiner sein als die für das Material zulässigen Werte. Verformungen des Körpers müssen kleiner sein als zulässige Werte. (Bauwerke, Präzisionsmaschinen) Maße so festlegen, dass die Spannungen kleiner sind als die für das Material zulässigen Werte. Maße so festlegen, dass die Verformungen kleiner sind als die für das Bauteil zulässigen Werte. Maximale Belastungen, damit die Spannungen bzw. Verformungen zulässige Werte nicht überschreiten. Version., November 6

7 Technische Mechanik - Elastostatik, II.7 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 1. Modellannahmen In der Elastostatik werden vielfach folgende nnahmen (Modelleinschränkungen) vereinbart, die es erlauben, mit erträglichem Rechenaufwand Lösungen zu erarbeiten. 1. Die Verformungen sind klein: => Gleichgewicht kann am unverformten System aufgestellt werden (Theorie 1. Ordnung). usnahme: Stabilitätsuntersuchungen; dort wird das Gleichgewicht am verformten System aufgeschrieben. Was bedeuten kleine Verformungen (nur ein nhaltswert). Die Verformungen gehen bei Wegnahme der Belastungen wieder vollständig zurück: => ideal elastisches Materialverhalten (keine plastischen Verformungen) 3. Die Verformungen und Spannungen sind linear voneinander abhängig: => lineares Materialverhalten (lineares Materialgesetz, das Hooke sche Gesetz gilt) 4. Das Material ist homogen : => an jeder Stelle gelten die gleichen Materialeigenschaften und das Material ist isotrop: => Materialeigenschaften sind unabhängig von der Richtung 5. Es werden spezielle nnahmen für bestimmte Körperformen getroffen: => Stab, Balken sind lange schlanke Körper: einachsiger Spannungszustand. Dehnungen nur in einer Richtung. Querschnitte bleiben eben, etc. siehe weiterführende bschnitte. Weiter reichende Verfahren sind der Literatur zu entnehmen, wie zu Theorien. und 3. Ordnung für große Verformungen, nichtlineares und plastisches Materialverhalten; Theorien für Scheiben, Platten und Schalen; Finite Elemente Methode (FEM). Version., November 6

8 Technische Mechanik - Elastostatik, II.8 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 1.3 Technisch wichtige Beanspruchungen von Bauteilen Beanspruchungsart Ursache Typische Verformung Zug/Druck Längskraft F L Längsdehnung (konst. über die Querschnittsfläche) => Verlängerung/Verkürzung Reine Biegung Biegemoment M by Längsdehnung (linear veränderlich über den Querschnitt) => Biegung der Längsachse (neutrale Faser) Reine Torsion Torsionsmoment M t Gleitung/Scherung in der Querschnittsebene => Verdrehung der Querschnitte um die Längsachse Stabilität (Knicken) Kritische Druckkraft F K usknicken beim Erreichen von F K => Biegung der Längsachse (neutrale Faser) Für F < F K gilt Druckmodell. Version., November 6

9 Technische Mechanik - Elastostatik, II.9 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 Querkraftschub bei Biegung Querkräfte F qz Gleitung /Scherung in der Querschnittsebene => Krümmung der Längsachse wie bei der Biegung. Scherbeanspruchung Dieser Beitrag kann für kurze Balken wichtig sein. Dicht (theoretisch unendlich dicht) nebeneinander liegende entgegengesetzt gerichtete parallele Kräfte (Querkräfte F q ) Hinweis: Eine reine Querkraftschubbeanspruchung kommt praktisch kaum vor. Sie ist in der Regel an eine Biegebeanspruchung gekoppelt. Ihre Verformungsanteile sind in der Regel im Vergleich zu den Biegebeanspruchungen klein. Gleitungen / Scherungen in der Querschnittsebene => Gefahr der Zerstörung durch bscheren Flächenpressung Druckbelastung einer ebenen oder gekrümmten Fläche (z. B. zwischen Niet und Blech, Bolzen und Lasche an der gemeinsamen Kontaktfläche) Eindrückungen / Stauchungen an der Kontaktfläche. => Gefahr der Oberflächenschädigung (insbesondere bei einer Relativbewegung der Kontaktflächen Version., November 6

10 Technische Mechanik - Elastostatik, II.1 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6. Spannungen.1 Spannungsvektor Die äußeren Belastungen auf einen Körper werden über innere Kräfte zu den Lagern geleitet. Schneiden wir einen im Gleichgewicht befindlichen Körper, so muss auch jedes Teilsystem mit seiner Belastung und mit den in den Schnittflächen verteilten inneren Kräften und Momenten im Gleichgewicht sein, vgl. Teil 1, Stereostatik. Schnittfläche und Schnittkräfte am Teilkörper infolge Last F. In der Elastostatik geht es nun darum, aus den inneren Kräften und Momenten die Werkstoffbeanspruchung zu ermitteln. Diese drückt sich in Spannungen und Verformungen aus. Definition des Spannungsvektors an der Schnittfläche d im Punkt P am Ort R zur Zeit t: σ ( R, t) = d F ( R, t), d dabei ist d F die an der Schnittfläche d (Normalenrichtung n ) wirksame Schnittkraft. σ ist ein Vektor. Er steht im llgemeinen nicht normal zur Fläche d. Einheiten: [σ] = Kraft / Fläche; [σ] = 1 N/mm = 1 MPa, 1 Pa = 1 Pascal = 1 N/m. Version., November 6

11 Technische Mechanik - Elastostatik, II.11 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 Zur Erläuterung stelle man sich einen Stab der Querschnittsfläche mit einer Kraft F belastet als Faserbündel vor. Wird er geschnitten, so greift an jedem Flächenelement die innere Kraft F an die wir zerlegen können in einen nteil N senkrecht und einen nteil T parallel zur Oberfläche. Die Spannung ist definiert als: F σ = lim N F Die Spannungskomponente normal zum betrachteten Flächenelement bezeichnet man als Normalspannung: N dn σ = lim = d Die Spannungskomponente parallel zum betrachteten Flächenelement als Tangentialspannung (Schubspannung): T dt τ = lim = d T F. Spannung unter beliebigem Schnittwinkel Der Schnitt durch ein Element (z.b. eines Zugstabes) unter einem Winkel φ und ntragen der Schnittkräfte führt zu: Die Fläche φ bestimmt sich zu Gleichgewichtsbedingungen in x- und y-richtung Version., November 6

12 Technische Mechanik - Elastostatik, II.1 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 Wenn F durch eine gleichmäßig verteilte Zugkraft erzeugt wird, sind auch Normalspannung σ und ϕ Tangentialspannung τ gleichmäßig verteilt. Es ergibt sich ϕ normal zur Oberfläche: Nϕ Fcosϕ F σϕ = = = cos ϕ cosϕ tangential zur Oberfläche: Tϕ Fsinϕ F τϕ = = = sinϕcosϕ ϕ cosϕ F Mit σ 1 = (Hauptspannung) wird σ cos ϕ = σ1 ϕ und τϕ = σ1 sinϕcosϕ mit cos ϕ = cos ϕ sin ϕ ϕ cos ϕ = cos ϕ+ sin ϕ + cos ϕ cos ϕ = cosϕ+ 1 cos ϕ + 1 cos ϕ = Daraus folgt: σ σ 1 ϕ = (1+ cos ϕ) Und mit sin ϕ = sinϕcosϕ folgt σ τ 1 ϕ = sin ϕ,5 σ 1 σ ϕ 1,5 σ 1,5 π 3,14 π 3π 6,8 π -,5 σ ,5 τ ϕ Man erkennt: Die maximale Spannung tritt auf, wenn cos ϕ = 1, d.h. ϕ =. In diesem Fall wird σϕ = σ1 (maximale Hauptspannung). π Die minimale Spannung tritt auf, wenn cos ϕ = 1, d.h. ϕ =. In diesem Fall wird = σ (mininale Hauptspannung). σϕ Version., November 6

13 Technische Mechanik - Elastostatik, II.13 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6.3 Mohrscher Spannungskreis Bei einer anderen uftragung werden die Spannungskomponenten für verschiedene Schnittwinkel aufgetragen und man erhält den Mohr schen Spannungskreis: us dem Mohr schen Spannungskreis entnimmt man: 1. Für jeden beliebigen Schnittwinkel des Elements die zugehörigen Normal- und Schubspannungsanteile σϕ und τ ϕ. Umgekehrt bei gegebenen Schnittspannungen die maximal auftretenden Spannungen, die Hauptspannungen σ1 undσ 3. Die Schnittrichtung, bei der die Hauptspannungen auftreten zeigt keine Schubspannungen. 4. Die maximalen Schubspannungen treten in einer Winkellage von 45 zu der in 3. bezeichneten Schnittrichtung auf. Das hier gezeigte Beispiel mit einer verschwindenden Hauptspannung ( σ = ) nennt man einachsigen Spannungszustand. Version., November 6

14 Technische Mechanik - Elastostatik, II.14 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6.4 llgemeine Darstellung der Spannungen: Wir definieren ein Dreibein in der Fläche d mit der x-chse als Normalenvektor n, so kann der Vektor σ in drei Spannungskomponenten zerlegt werden: Normalspannung σ n = σ x (auch σ xx ) Tangential- oder Schubspannungen τ xy und τ xz Beachte: 1. Bezugsfläche: Spannungen so definiert, dass sie sich auf die unverformte Schnittfläche (Referenzzustand des Körpers) beziehen. Indizierung der Spannungen: Der erste Index gibt an, in welche Richtung die Flächennormale n zeigt und der zweite Index beschreibt die Richtung des Spannungsvektors. (Bei der Normalspannung können der erste Index oder auch beide Indizes wegfallen, da es nur eine Normalspannung für eine Fläche d gibt: σ = σ x. = σ xx 3. Definition Schnittufer: Ein positives Schnittufer liegt vor, wenn der Normalenvektor n aus der Schnittfläche heraus zeigt. m Gegenufer zeigt er dann in die Fläche hinein, ist also negativ. m positiven Schnittufer sind immer die Spannungen positiv anzusehen. Das oben gezeigte Schnittufer ist somit positiv. Wir wählen im llgemeinen in n -Richtung auch die x-chse des Schnittflächen-Dreibeins. Version., November 6

15 Technische Mechanik - Elastostatik, II.15 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 Beispiel: Wir betrachten einen Balken und schneiden ein infinitesimal kleines Element aus dem Steg heraus. Die angreifenden Spannungen sind: Das Element ist im Gleichgewicht, wenn das Momentengleichgewicht gilt. Momentengleichgewicht um Punkt ergibt: y x y x σx + σ y + τ yx = σx + σ y + τxy daraus folgt: yt xt xt y yt xt yt x τ yx = τ (siehe auch τ φ+9 = - τ φ am Mohrschen Spannungskreis). xy analog gilt: τ τ yz xz = τ = τ zy zx Schubspannungen an zueinander senkrechten Schnitten sind gleich groß. Sie weisen an den Schnittkanten jeweils aufeinander zu oder voneinander weg. Version., November 6

16 Technische Mechanik - Elastostatik, II.16 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 In der Praxis kann man häufig die angreifenden Spannungen σ x, σ y, τ xy = τ yx ermitteln. Gesucht sind die maximalen Hauptspannungen σ 1. und σ. sowie ihre Richtungen und die größte Schubspannung. Lösung: ntragen von σ x, τ xy und σ y, τ yx liefert: Die Richtung der Hauptspannungen erhält man, wenn man das Element um den Winkel φ zurückdreht. Man nennt einen Spannungszustand mit zwei Hauptspannungen ungleich eine ebenen oder zweiachsigen Spannungszustand. Version., November 6

17 Technische Mechanik - Elastostatik, II.17 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes: Einachsiger Spannungszustand (s.o.): σ = Radius: σ1 σ σ = σ σ Reiner Schub: 1 = σ1 σ Radius: = σ = τ 1 Hydrostatischer Spannungszustand (σ 1 = σ = σ ): es tritt keine Schubspannung auf σ σ Radius: = 1 Im allgemeinen Fall kann man auch einen räumlichen Spannungszustand definieren mit 6 unabhängigen Spannungsgrößen, siehe Literatur. Es ergibt sich ein Spannungstensor: σ xx τxy τ xz τ ij = τxy σ τ yz τ xz τ yz σ zz Version., November 6

18 Technische Mechanik - Elastostatik, II.18 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6.5 Praktische Bestimmung der Spannung.5.1 Zugspannung F F x F F n F σ Zugstab mit Normalkraft F n und Normalspannung σ uf den Stab wirken die Kräfte F. Die Normalkraft F n (x) = N(x) am Ort x kann auf die Fläche im Referenzzustand des Körpers (Fläche im unverformten Zustand) bezogen werden. Wir nehmen an, sie sei gleichmäßig über den Querschnitt verteilt: Normalspannung σ ( x) = N( x) ( x) Vorzeichen: σ > => Zugspannung, σ < => Druckspannung.5. Schubspannung / Scherspannung F q τ Scherung am Bolzen mit Schubspannung F F Der Kranhaken ist mit einem Bolzen an die Lasche befestigt. Wir betrachten keine Biegung, sondern nur die Scherung mit der Querkraft Q = F q als Schnittkraft. Durch diese Belastungen Q(x) quer (tangential) zur Fläche ergeben sich Scherspannungen. Wir nehmen an, sie sei gleichmäßig über den Querschnitt verteilt: Q Schubspannung τ = Version., November 6

19 Technische Mechanik - Elastostatik, II.19 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 3. Verzerrungen Die Änderung der Gestalt und der Größe eines Körpers infolge äußerer Belastungen und Temperatureinwirkungen wird Formänderung oder Deformation oder Verzerrung genannt. 3.1 Dehnung des Zugstabes d F d F uf den Stab wirken die Kräfte F. Der homogene Bereich der Referenzlänge und mit dem Durchmesser d (Querschnittsfläche ) dehnt sich in Längsrichtung auf die neue Länge l und verjüngt sich in Querrichtung auf den neuen Durchmesser d (Querschnittsfläche ). Es stellt sich eine Längs und eine Querdehnung ein: Dehnung in Längsrichtung ε = = Dehnung in Querrichtung ε q d d d d d = = = ν ε mit ν als Querkontraktions- oder Poisson-Zahl, 3. Schubverformung dx ξ τ dy γ τ τ a) b) τ Wir betrachten ein ebenes Rechteck, das mit Schubspannungen τ beansprucht wird, Zustand a. Dadurch wird es verzerrt in den Zustand b. Die Verzerrung besteht nur aus einer Winkeländerung γ, die Kantenlänge ändert sich nicht. Die Winkeländerung γ wird als Scherung bezeichnet. Wir betrachten hier nur kleine Winkeländerungen, so dass gilt: ξ = tan γ γ dy Version., November 6

20 Technische Mechanik - Elastostatik, II. Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 3.3 Ebener Verzerrungszustand Wie oben beschrieben, kann die Verformung eines Körpers durch Änderung von Längenabmessungen (Dehnung) und Änderung von Winkelabmessungen (Scherung) beschrieben werden. Für kleine Verformungen gilt: l << 1; γ << 1 l Die Verformungen können beschrieben werden, indem wir den Verschiebungsvektor ξ ρ = η betrachten, um den der Punkt B ζ gegenüber B verschoben ist. B wird durch den x Ortsvektor r = y bezeichnet, der im llgemeinen vom betrachteten Punkt B abhängig, also eine z Funktion von x, y, z ist. Deshalb gilt für die zu einer kleinen Strecke dr gehörende Verschiebung dξ dρ = dη dζ Für einen unverformten Körper betrachten wir der Einfachheit halber zunächst ein ebenes Rechteck OBC mit den Seiten dx und dy, das in das verzerrte Element O B C übergeht (Da uns nur die Verzerrungen interessieren und die Gesamtverschiebung des Rechtecks durch einfache Koordinatenverschiebung berücksichtigt werden kann halten wir im Bild den Punkt O fest.) Die Komponenten des Verschiebungsvektors ergeben sich somit zu (siehe Bild) Version., November 6

21 Technische Mechanik - Elastostatik, II.1 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 Für die Dehnung ergibt sich daraus: Dehnung in x-richtung Dehnung in y-richtung ξ dx + dx dx x ξ ε x = = dx x η dy + dy dy y η ε y = = dy y η ξ η ξ dx dy x y Scherung in x-y-ebene γ xy = γ1 + γ = + = + dx dy x y Einheiten: [ε] = Länge / Länge = dimensionslos, [γ] = Länge / Länge = dimensionslos. Wie bei Betrachtungen bei Spannungen, kann man auch die Verzerrungen bei gedrehtem Koordinatensystem bestimmen und einen Mohr schen Verzerrungskreis konstruieren, aus dem sich die Hauptdehnungsrichtungen und Hauptdehnungsbeträge ermitteln lassen. Es gilt: ε1 + ε ε1 ε εϕ = + cos ϕ 1 ε1 ε γϕ = sin ϕ Merke: Für Körper aus homogenen und isotropen Werkstoffen fallen Spannungs- und Verzerrungs- Hauptachsen zusammen. 3.4 Räumlicher Verzerrungszustand: Diese Gleichungen lassen sich analog auf ein 3D-Volumenelement erweitern. Man erhält den Green'schen Verzerrungstensor: ε xx εxy ε xz ε xy ε εyz ε xz εyz ε zz mit ε = ε ; ε = ε ; ε = ε ; xx x y zz z ε xy = γ xy ; εyz = γ yz ; εzx = γ zx ; Version., November 6

22 Technische Mechanik - Elastostatik, II. Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 4 Materialverhalten - Materialgesetze 4.1 Der Zugversuch Mittels eines Zugversuches läßt sich ein Zusammenhang zwischen der Spannung und der Dehnung herstellen. Im Zugversuch (vgl. Werkstofftechnik) wird ein genormter Zugstab mit Kreisquerschnitt d, festgelegter Messlänge und einer bestimmten Oberflächenbeschaffenheit belastet. Zugkraft, Länge und Längenänderung sowie Querschnittsfläche werden bestimmt und daraus Spannung und Dehnung berechnet: Nennspannung σ = F mit Dehnung ε = = Man erhält ein Spannungs-Dehnungs-Diagramm F d (Querschnittsfläche) F l Genormter Zugstab (DIN 5145) zur Bestimmung des Spannungs-Dehnungs-Diagramms σ R m Zugspannung R e σ z σ E σ P α ε P tanα = σ ε Dehnung ε elastischer Bereich plastischer Bereich Spannungs-Dehnungs-Diagramm für Baustahl Hierin bedeuten: σ P : Spannung der Proportionalgrenze mit Proportionaldehnung ε P Hieraus entnimmt man das Hooke'sche Gesetz. σ E : Spannung der Elastizitätsgrenze: Rücknahme der Belastungen ergibt wieder den Referenzzustand des Bauteils (elastischer Bereich) R e : Streckgrenze: Wird zur Beurteilung der Tragfähigkeit einer Konstruktion verwendet. Wenn Wert nicht auffindbar, nehme R P,. - bei.% plastischer Dehnung. R m : Zugfestigkeitswert (Kaltfestigkeit). Sie bezeichnet z.b. die Baustähle (St37 hat R m = 37 N/mm bei R e = 4 N/mm ) σ Z : Bruchnennspannung mit Bruchdehnung ε Z Version., November 6

23 Technische Mechanik - Elastostatik, II.3 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 4. Elastizitätsmodul E und Hooke'sches Gesetz Die Steigung der Gerade im linearen Teil des Spannungs-Dehnungsdiagramms nennt man den Elastizitätsmodul E. Somit gilt für das (lineare) Hooke'sche Gesetz σ = E ε oder ε = σ E Es beschreibt den einachsigen Spannungszustand. Im der englischen Literatur wird E als Young's Modulus bezeichnet. Das verallgemeinerte Hooke'sche Gesetz der 3D Elastizitätstheorie ist der Literatur zu entnehmen. Der Elastizitätsmodul E ist eine wichtige Materialkenngröße. In Tabellenbüchern kann man Werte für E nachlesen. Tabelle.1 zeigt einige Richtwerte, vgl. Vorlesung Werkstofftechnik. Die Querkontraktionszahl ν ist neben E die zweite wichtige Materialgröße. Hierfür gelten die Grenzwerte: ν = bedeutet keine Querdehnung, ν =.5 bedeutet inkompressibles Material. 4.3 Schubmodul G Für die Scherung gilt ein ähnliches Gesetz wie für die Dehnung. Der lineare Zusammenhang von Schubspannung τ und Scherung γ lautet τ τ = G γ oder γ = G Der Zusammenhang zwischen Elastizitätsmodul E, Querkontraktionszahl ν und Schubmodul (oder Gleitmodul) G ist:. E G = (1 + ν ) Herleitung: Wir betrachten ein Flächenelement eines Bauteils, das mit reinem Schub beansprucht wird (siehe Kap.. Sonderfälle des Mohr schen Spannungskreises). τ σ 1 τ τ σ σ σ σ 1 τ τ σ 1 Für diesen Fall gilt: σ1 = σ und σ = σ und somit σ σ (1 + ν) ε1 = + ν = σ E E E σ σ (1 + ν) ε = ν = σ E E E Für die Schubspannung gilt: Version., November 6

24 Technische Mechanik - Elastostatik, II.4 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 1 ε1 ε γ = sin ϕ Wenn wir das Element um 45 zurück drehen (reiner Schub), entsteht: 1 ε1 ε = γ sin ( 45 ) 1 ε1 ε γ 45 = Einsetzen führt zu: 1 σ (1 + ν γ = ) E σ τ γ = (1 + ν) = (1 + ν) E E τ E Mit γ = folgt durch Vergleich: G = G (1 + ν ) Werkstoff Elastizitätsmodul Gleitmodul Querkontraktions- E (N/mm ) G (N/mm ) zahl ν ( ) Stahl / Stahlguss.1 1 5, Grauguss Kupfer Messing luminium Stahlbeton Buchenholz Gummi Glas Materialeigenschaften technisch wichtiger Werkstoffe Man bestimme den Schubmodul G und trage die Werte in die Tabelle ein. Version., November 6

25 Technische Mechanik - Elastostatik, II.5 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 4.4 llgemeine Form des Hooke schen Gesetzes Wie oben schon angeführt, bewirkt eine Spannung in x-richtung neben einer Dehnung in x-richtung gleichzeitig eine Querdehnung in y- (und natürlich auch z-) Richtung: σ x εy = εz = νεx = ν E Daher führt ein einachsiger Spannungszustand zu einem dreiachsigen Verzerrungszustand! Nach dem Superpositionsprinzip für lineares Hooke sches Gesetz können die einzelnen nteile der Dehnungen zusammengefasst werden: 1 εx = σx ν ( σ y σz) E + 1 εy = σ y ν ( σz σx) E + 1 εz = σz ν ( σx + σ y) E (verallgemeinertes Hooke sches Gesetz.) Beispiel: Körper mit allseitigem gleichmäßigen Druck σ = σ = σ = σ x y z Die Volumendehnung ist. 1 εv = εx + εy + εz = [ σ ν σ + σ ν σ + σ ν σ ] E 3σ εv = (1 ν) E Daraus erkennt man: Material mit ν =,5 erfährt keine Volumenänderung; es ist inkompressibel. Beispiel: Gummi Version., November 6

26 Technische Mechanik - Elastostatik, II.6 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 4.5 Wärmedehnung und Wärmespannungen Temperatur t Dehnung eines Stabes durch Erwärmung. Temperatur t Wird ein Stab erwärmt, so dehnt er sich aus. Wir betrachten den eindimensionalen Zustand,: Wärmedehnung ε th = th = α ( t t )= α t Hier sind: α = Längenausdehnungskoeffizient [1/ Kelvin] = [1/K]. Werte für Materialien siehe Tabelle.1. t = Temperaturdifferenz [K] zwischen Referenztemperatur t zur Länge und aktueller Temperatur t. Bei t > t gilt t > und ε th >. Werkstoff Elastizitätsmodul Wärmeausdehnungskoeff. E (N/mm ) α ( Κ 1 ) Stahl / Stahlguss Grauguss Kupfer Messing luminium Invar Hält man die Enden des Stabes fest und erwärmt den Stab, stellt sich eine Wärmespannung (Druckspannung) im Stab ein. Wärmespannung σ th = E ε th = E α t bei th und t > t uch hier gilt das Superpositionsprinzip, d.h. elastische und thermische Dehnungen können addiert werden: l = l + l therm therm ε = ε + ε elast elast Für einen Stab ergibt sich bei einachsiger Belastung in Stablängsrichtung (x-richtung) und gleichzeitiger thermischer Dehnung: σ x In Längsrichtung εx = α t + E σ x In Querrichtung εy = α t ν E Version., November 6

27 Technische Mechanik - Elastostatik, II.7 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 5. Statisch unbestimmter Zug-Druck-Probleme 5.1 Dehnung des geraden Stabes Für die Dehnung von geraden Stäben oder Balken werden folgende nnahmen getroffen: 1. Der Querschnitt ist symmetrisch. Die Belastung greift im Flächenschwerpunkt der Stabachse an und wirkt nur in x-richtung. Die Normalspannung ist für die gesamte Fläche gleich. 3. Der Belastungszustand ist von allen anderen Belastungen entkoppelt und liefert nur eine Normalkraft F n = N. D.h. es treten weder ein Biegemoment noch Querkräfte auf. 4. Die Querschnitte bleiben eben und parallel zu einander. Sie verschieben sich nur in x-richtung. Für ein Element der Referenzlänge dx und der aktuellen Länge dx+du(x) (u sei die Verlängerung des Stabes an der Stelle x), findet man für kleine Dehnungen: Dehnung ( dx + du) dx u( x) ε x = = = u ( x) dx x Dehnungsgleichung u (x) = σ E = F n(x) = N(x) E E Längsverschiebung am Ort x: x u(x) = u + N(ξ) E dξ u = u(x=) ist die Randauslenkung in x-richtung an der Stelle x =. Version., November 6

28 Technische Mechanik - Elastostatik, II.8 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 5. Federmodell des Zug/Druck-Stabes Der Zug-/Druckstab stellt eine lineare Zug-/Druck-Feder dar: Federmodell k F Modell homogener Stab F Federmodell Kraft: F = k l mit Längenänderung [mm] und linearer Federsteifigkeit k [N/mm]. Stabmodell l Kraft F = σ, σ = ε E, ε = l F = E = k k mit Längenänderung [mm] E [N/mm ] Elastizitätsmodul [mm ] Referenz-Querschnittsfläche [mm] Referenz-Länge Folgt: Ersatzsteifigkeit: k = E [N/mm] 5.3 Statisch unbestimmter Zug/Druck-Stab us der Stereostatik sind die Gleichgewichtsbedingungen bekannt. Zusätzlich können mit Hilfe des Hooke schen Gesetzes die Verformungsbedingungen berücksichtigt werden. Damit ist die Lösung statisch unbestimmter Probleme möglich. Für die Lösung statisch unbestimmter Probleme sind folgende Schritte erforderlich: 1. Freischneiden und statische Gleichgewichtsbedingungen aufstellen. Bewegungsmöglichkeiten berücksichtigen (kinematische oder geometrische Bedingungen) 3. Stoffgesetz einsetzen (Zusammenhang zwischen den statischen und kinematischen Größen) Version., November 6

29 Technische Mechanik - Elastostatik, II.9 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 Beispiel: Der gezeichnete starre Balken wird von 3 parallelen Stäben (Querschnitte, E-Modul E) gehalten und mit der Kraft F belastet. Bestimme die Stabkräfte in bhängigkeit von der Belastungsstelle x. a a 1 3 Lösungsweg: f = + = Freiheitsgrad: 43 (5 3) 1 K statisch überbestimmt, nur mit Elastostatik lösbar x F 1. Freischneiden und Gleichgewichtsbedingungen F = F + F + F (1) 1 3 Fa + F3 a Fx = (). kinematische Bedingungen aufstellen l1 l l l = 3 a a l = l l 1 3 ε = ε ε (3) 1 3 l 1 F 1 l F l 3 F 3 3. Stoffgesetz anwenden x F1 = σ11 = ε1e11 = ε1e (4) F = σ = εe = εe (5) F3 = σ 33 = ε3e33 = ε3e (6) Damit hat man 6 Gleichungen, um die 6 Unbekannten 1,, 3, 1,, 3 aus (1) F = E( ε1+ ε + ε3) wird mit (3) F F = E3ε ε = 3E eingesetzt in (5) ergibt F = Damit folgt aus () Fa + F3a Fx = F 1 ( ) und somit x F3 = F a 6 und 5 x F1 = F a ( ) 6 F F F ε ε ε zu ermitteln. F Version., November 6

30 Technische Mechanik - Elastostatik, II.3 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 5.4 Berechnung von Schrumpfringen d s d i σ p σ l F Ring F W elle F Ring uf eine Welle soll ein Ring im erwärmten Zustand aufgeschoben werden, der nach dem bkühlen fest auf der Welle sitzt. Gegeben: Stahlring Innendurchmesser d i = 1 mm Länge l= 3mm Wanddicke s = 1mm µ =, Gesucht: a) erforderlicher Wellendurchmesser d, wenn im Ring nach dem Erkalten eine Spannung von 1N/mm² herrschen soll. b) Welche Temperaturerhöhung ist beim ufziehen mindestens notwendig c) Welche Kraft ist erforderlich, um den Ring im kalten Zustand wieder abzuziehen? Voraussetzungen und nnahmen für die Berechnung von Schrumpfringen: 1. Die Spannung ist gleichmäßig über die Wanddicke s verteilt; d.h. die Wanddicke s muß klein im s Vergleich zum Wellendurchmesser sein (,1..., d ). Es werden nur Umfangsspannungen betrachtet. Kleine Spannungen in axialer Richtung werden nicht berücksichtigt. 3. Die Welle wird als starr betrachtet (d.h. E-Modul der Welle wird E->, bzw. Querschnitt der Welle ist groß gegenüber dem Ringquerschnitt). Die Welle wird nicht verformt, nur der Ring wird verformt. Version., November 6

31 Technische Mechanik - Elastostatik, II.31 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 Lösungsweg: a) erforderlicher Wellendurchmesser σ l εelast. = = E l d σ l = π di l = π d εelast. = = di E σ d = di + d = di(1 + ) = 1,57mm E b) erforderliche Temperaturerhöhung d εtherm. = = α T di d T = = 47,5K α d i c) erforderliche Kraft zum bziehen: Kräftegleichgewicht: F Ring = F Welle p σ Ring = Welle σ ls= pld i σ ls p = ld i bziehkraft: σ ls Fbzieh = µ FN = µ p= µ diπ l = µ σ sπl ld i Version., November 6

32 Technische Mechanik - Elastostatik, II.3 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 6. Biegebeanspruchung von Balken 6.1 Modellannahmen - Bernoulli-Hypothese Für die Biegung von geraden Balken in einer Ebene werden folgende nnahmen getroffen: (Darüber hinausgehende Modelle siehe Literatur) 1. Der Querschnitt ist symmetrisch bezüglich der z-chse.. Die Belastungen greifen im Flächenschwerpunkt S der Stabachse an, in Form von Lasten in z- Richtung und Momente um die y-chse. 3. Der Belastungszustand ist von allen anderen Belastungen entkoppelt und liefert nur die Schnittgrößen: Biegemoment M b = M und Querkraft F q = Q. => keine Dehnung, keine Torsion. 4. Die Querschnitte des Balkens sind sehr dünn im Vergleich zu der Balkenlänge. => Die Scherung infolge der Querkräfte wird vernachlässigt => schubstarrer Balken. 6. Die Querschnitte bleiben eben und verformen sich nicht ( = ). Sie stehen immer senkrecht zur Balkenachse. Jedes Scheibe der Länge x des Balkens wird nur in der x-z-ebene verschoben und verdreht. (Bernoulli-Hypothese um 17). 6. Die Balkenachse erfährt infolge der Biegung keine Dehnung => neutrale Faser! Balken F C dx B z x c x dx B M max M(x) M z Der Biegebalken und seine Modellannahmen. Version., November 6

33 Technische Mechanik - Elastostatik, II.33 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 6. Dehnung und Biegespannung Ein Element der Referenzlänge dx wird durch ein Biegemoment M(x) nur verbogen und liefert die Krümmung des Balkens ρ(x). Für die Faserlänge an der Stelle x gilt Faserlänge dx = ρ(x) dα, dx + du = ( ρ(x) + z)dα Wegen der nnahme, dass die Balkenachse durch die Biegung keine Dehnung erfährt werden die Fasern innerhalb der neutralen Faser gestaucht (-> Stauchung = Dehnung -> Druckspannung) und die Fasern außerhalb der neutralen Faser gedehnt (-> + Dehnung -> Zugspannung). Wir nehmen eine lineare Funktion der Dehnung im Querschnitt bezüglich der Koordinate z an, siehe Bild. Mit dem Materialgesetz der Dehnung folgt: (E ist Elastizitätsmodul) dx + du Dehnung in x: ε x (x,z) = ε(x,z) = ( ) dx dx Spannung in x: σ(x,z) = E ε(x,z) = E ρ(x) z = (ρ(x) + z) dα ρ(x) dα = 1 ρ(x) dα ρ(x) z M(x) Stauchung M(x) Druckspannung y z z x ε(x,z) Dehnung y z S e e 1 z x σ(x,z) Zugspannung Dehnungsverlauf (links) und Spannungsverlauf (rechts) bei der Biegung. Wegen nnahme 3 darf am Element dx an der Stelle x keine Längskraft F n wirken. ußerdem soll das Biegemoment um die z-chse null sein (keine Biegung in Querrichtung). Daraus folgt: E!! Fn = σ ( x, z) dy dz = z dy dz = S y = z dy dz = ρ( x) E!! M bz = yσ ( x, z) dydz = y zdydz= Iyz = y zdydz= ρ( x) S y (m 3 ) ist ein Flächenmoment 1. Ordnung (dies ist die aus der Stereostatik bekannte Schwerpunktdefinition) und J yz (m 4 ) ist ein Flächenmoment. Ordnung. S y und J yz sind, wenn 1. die y-chse genau durch den Flächenschwerpunkt S geht und. auch die z-chse genau durch S geht. Somit liegt die neutrale Faser genau im Flächenschwerpunkt S und die chsen y und z sind Hauptachsen des Flächenquerschnitts. Version., November 6

34 Technische Mechanik - Elastostatik, II.34 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 Es verbleibt nur ein Biegemoment um die y-chse am Ort x: Wir definieren das Biegemoment E EI ( ) x M y ( x) = M( x) = zσ ( x, z) d= z d M( x) ρ( x) = ρ( x) I Flächenträgheitsmoment (Flächenmoment. Ordnung) um y-chse I z d =, auch mit I, I y (auch J, J y ) bezeichnet Somit folgt aus (.3) mit (.1) für ein gegebenes Biegemoment M(x) am Ort x EI Krümmung des Balkens ρ ( x) =, M ( x) 1 M ( x) Biegedehnungen im Querschnitt ε ( x, z) = z = z ρ( x) EI 1 M ( x) = ρ( x) EI Biegespannungen im Querschnitt M ( x) σ ( x, z) = I z Version., November 6

35 Technische Mechanik - Elastostatik, II.35 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 6.3 Flächengeometrie Flächenmomente 1. und. Ordnung In der Technischen Mechanik werden vielfach Integrale über die Fläche benötigt. Die erste Größe ist die Fläche eines Querschnittes selbst. Weiter finden der Flächenschwerpunkt S und die Flächenmomente. Ordnung J in der Biegetheorie nwendung. Im Bild ist eine Querschnittsfläche mit dem Bereich B im y-z- Koordinatensystem gegeben. Ein Flächenelement d = dy dz weist die Koordinaten y und z auf. Der Flächenschwerpunkt sei S am Ort y S und z S. y Fläche mit Bereich B dz y y S S d z S z dy z Wir definieren folgende Integrale Querschnittsfläche Fläche des Querschnitts = d = dy dz (Länge ) B B Flächenmomente 1. Ordnung S y = yd= ydydz B B S z = zd= zdydz B B (Länge 3 ) Das Flächenmoment 1. Ordnung dient zum uffinden des Schwerpunkts einer Fläche. Wir haben diese Größe bereits im Kapitel Stereostatik behandelt: Flächenschwerpunkt S y S = S y und z S = S z (Länge) Wie im vorigen Kapitel gesehen, benötigen wir das Flächenmoment. Ordnung, um die Biegespannung im Balken ermitteln zu können. Flächenmomente. Ordnung I = z d = z dy dz B B I zz = y d = y dy dz B B (Länge 4 ) Neben den Flächenmomenten J und J zz kann auch ein gemischtes Flächenmoment. Ordnung berechnet werden. Dieses wird auch Flächen-Deviationsmoment bezeichnet. Flächen-Deviationsmoment I = y z d = y z dy dz yz (Länge 4 ) In manchen Literaturstellen werden Deviationsmomente auch negativ definiert! B B Version., November 6

36 Technische Mechanik - Elastostatik, II.36 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 Liegt eine Flächensymmetrie zur z-chse vor und liegt das Koordinatensystem im Flächenschwerpunkt, ist I yz =! Polares Flächenmoment ( ) I = y + z d= r d= I + I = I p zz xx B B (Das polare Flächenmoment wird für die Berechnung der Torsion benötigt.) Beispiel: Flächenmoment. Ordnung für Rechteckquerschnitt Gegeben Rechteckquerschnitt mit h und b Gesucht: c I y + h / + h / z³ b h h bh I y = z d = z² bdz = b = = h/ h / nalog: bestimme I z 3 hb I z = 1 Flächenmoment. Ordnung für quadratischen Querschnitt Gegeben: Quadrat der Kantenlänge a, zwei Koordinatensysteme y, z und y*,z* Für h = a und b= a ergibt sich für y* und x*: ußerdem gilt: I P = Iy + Iz und I y = I z (Symmetrie) Daraus folgt Flächenmoment. Ordnung für Kreisquerschnitt uch hier gilt wieder: I y = I z Und somit: I = y I P Wir definieren das Flächenelement d = π rdr Und somit das polare Flächenträgheitsmoment: Und es ergibt sich für I y : Version., November 6

37 Technische Mechanik - Elastostatik, II.37 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB Der Satz von Steiner Gegeben seien die Flächenmomente. Ordnung I* und I* zz bez. den Koordinatenachsen y* und z* durch den Schwerpunkt der Fläche sowie die Verschiebung des Schwerpunktes gegenüber dem Bezugspunkt um r S. Wie kann man die Flächenmomente auf das neue Koordinatensystem y, z umrechnen? y = y* + y z = z* + z S S ( ) I = z* d= zs + z* d= zs d+ z* d+ zs z* d z I * S z* d ist das statische Moment um die Schwerachse und somit = Somit gilt für Umrechnungen zum oder vom Flächenschwerpunkt der Satz von Steiner: Hierin sind I *, I = I + z * S * I zz = Izz + ys * I = I + y z yz yz S S I = I + r * P P S * I zz * yz Flächenschwerpunkt S. Beachte: I und * I P die Flächenmomente. Ordnung der Fläche bezüglich den chsen im Die Flächenmomente bezüglich den chsen im Flächenschwerpunkt weisen die kleinsten Werte auf. Sie dürfen aber nie negativ werden!!! Version., November 6

38 Technische Mechanik - Elastostatik, II.38 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB Zusammengesetzte Flächen Mit Hilfe der Flächenintegrale für bekannte Grundformen und dem Übergang der Integraldarstellung in auf eine Summendarstellung lassen sich geschickt die Flächenintegrale beliebige Querschnitte ermitteln. Dabei werden positive Querschnitte für vorhandene Materialien und negative Querschnitte für ussparungen angewandt. Es gelten in nalogie zu Kap folgende Gleichungen: Für ein Flächensystem mit n Teilflächen der Fläche i, den Flächenmomenten J i, J zzi, J yzi bezüglich Teilflächenschwerpunkt S i und deren Koordinaten y i und z i der lokalen Teilflächenkoodinatensysteme O i = S i gilt: Fläche des Querschnitts = i Flächenmomente 1. Ordg. (Schwerpunktbestimmung) n ( ) n (Länge ) i=1 S y = y i i, S z = z i i (Länge 3 ) i =1 n i =1 ( ) n Flächenmomente. Ordg. ( * n I ), ( * = zi i + Ii Izz = yi i + Izzi ) (Länge 4 ) i= 1 i= 1 n * Flächen-Deviationsmoment I yz = ( yi zi i + Iyzi ) (Länge 4 ) i= 1 Version., November 6

39 Technische Mechanik - Elastostatik, II.39 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB Beispiele Zusammengesetzte Querschnitte Berechne für das gezeichnete T - Profil das Flächenträgheitsmoment I Das Flächenträgheitsmoment kann durch ddition der einzelnen Teilmomente bestimmt werden. Dazu geht man wie folgt vor: 1. Bestimmung Flächenschwerpunkt aus dem Schwerpunktsatz: h1 h s ( bh + b h ) = bh + ( h + ) b h Daraus ergeben sich bstände der Einzelschwerpunkte vom Gesamtschwerpunkt der Fläche:. Bestimmung der Flächenträgheitsmomente mit dem Steinerschen Satz: und daraus, Version., November 6

40 Technische Mechanik - Elastostatik, II.4 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 Flächenintegrale eines Flächensystems Berechne für die gezeigte Fläche alle Flächenintegrale. lle ngaben in cm. Die Bohrung z.5 (Fläche ) ist abzuziehen. Der lokale Koordinatenursprung der Teilflächen ist jeweils der Schwerpunkt der Teilflächen. (ggf. mit Hilfe "Satz von Steiner" umrechnen) 5 4 S 1 S 3 Fläche3: Quadrat.5 S Fläche: Vollkreis Fläche1: Rechteck O 3 y Lösungsmöglichkeit mit Tabelle: Teil Fläche i Einzel- Schwerpunkt y i z i Flächenmomente 1. Ordnung y i i i i Verschiebung nach dem Satz von Steiner z y i i z i i i i i Flächenmomente. Ordnung yz I ( S ) I ( S ) i i zzi i Version., November 6

41 Technische Mechanik - Elastostatik, II.41 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 Flächenträgheitsmoment (Flächenmomente. Ordnung), Einheit Länge 4. (aus K. Kabus, Mechanik und Festigkeitslehre, Tabellen, Hanser Verlag, 3. Version., November 6

42 Technische Mechanik - Elastostatik, II.4 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 6.4 Biegespannungen Mit Kenntnis der Flächenmomente. Ordnung M(x) Druckspannung können wir nun die Spannung bei reiner Biegung bestimmen. M ( x) σ ( x, z) = z I y z S e e 1 z x σ(x,z) Zugspannung Die maximalen Spannungen treten an den äußersten Fasern des Balkens an der Stelle M max auf: max. Zugspannung am unteren Rand z = e 1 : σ = Zug M I max e 1 max. Druckspannung am oberen Rand z = e : σ = Druck M I max e Man definiert für ein Querschnittsprofil die Biege-Widerstandsmomente I I I W = W = W = e e e,, 1 max Biege-Widerstandsmomente y1 y y min und daraus die Mmax Mmax maximale Biegespannung σ max = emax = I W min Mit der max. Biegespannung σ bmax aus bschnitt.5. die umgedrehte Frage: erforderliches Widerstandsmoment W erf = M max σ bzul Zur Bestimmung des Flächenträgheitsmoments I und der Widerstandsmomente W siehe auch Tabellenwerke. Beispiel: Ein Kragbalken aus Holz der Breite b = cm, soll bei Länge l = 3 m mit F = 5 kn belastet werden. Balken F B Gesucht ist die Balkenhöhe h so, dass die zulässige Spannung σ zul = 8 N/cm nicht überschritten wird. z chte auf die anderen Koordinaten-chsen!!! Version., November 6

43 Technische Mechanik - Elastostatik, II.43 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 7. Biegung des geraden Balkens 7.1 Differentialgleichung der Biegelinie Wir gehen von den nnahmen des geraden Balkens aus (Bernoulli-Hypothese) Es gilt für die Krümmung (siehe Kap. 6.): 1 M( x) = = κ ( x) ρ( x) E I ( x) z x Referenzlinie w(x) ψ(x) ρ ( x ) Für eine positive uslenkung w(x) der Biegelinie in z- Richtung stellt sich eine negative Krümmung durch die bleitung von w w w w ( x) = = tan ψ, w ( x) = x x Die Krümmung des Balkens wie folgt dar: (siehe Lehrbuch) Krümmung κ(x) = 1 ρ(x) = w (x) 1+ w (x) ( ) 3 Herleitung: Wir betrachten einen bschnitt dx des gebogenen Balkens mit dem Krümmungsradius ρ. us der Geometrie ergibt sich: dx ds cosψ = ρdαcosψ Weiter gilt für dα = ψ( x) ψ( x+ dx) = dψ x ds dx ϕ dα x+ dx ρ ψ dα = ψ + dψ Und somit dx = ρ dψ cosψ dψ 1 = dx ρ cosψ 1 ψ 'cosψ = ρ Nebenrechnung: : ψ = arctan w d(arctan w ) w ψ = = dx 1+ w 1 1 cosψ = = 1+ tan ψ 1+ w (Mathematik Formelsammlung) (Mathematik Formelsammlung) Eingesetzt ergibt: Version., November 6

44 Technische Mechanik - Elastostatik, II.44 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 w 1 w ψ cosψ = = 1+ w 1+ w 1 w 1 w ( x) = ρ( x) 1 w ( x) ( ) 3 + ( + ) 3 Diese Gleichung gilt allgemein, auch für große Durchbiegungen. Sie ist aber nicht ohne weiteres lösbar. Dagegen kann man für kleine Biegewinkel ϕ << 1 annehmen: w ψ für w << 1 und folglich 1 κ( x) = w ( x) ρ( x). Somit folgen die linearen Bewegungsgleichungen des geraden Balkens Dgl. der Biegelinie M ( x) w ( x) = EI ( x) ufgabe: das Vorzeichen von w ist negativ, wenn das Moment positiv ist. Warum? Mit dm ( x) dx = M '( x) = Q( x) und dq( x) = Q'( x) = q( x) = M ''( x) und I = konstant dx ergibt sich: IV M ''( x) = w ( x) EI = q( x) IV E I w ( x) = q( x) E I ist die Biegesteifigkeit des Balkens. IV EI w ( x) = q( x) = Q'( x) EI w'''( x) = q( x) dx+ C = Q( x) 1 E I w''( x) = q( x) dxdx + C x + C = M ( x) 1 1 E I w'( x) = q( x) dxdxdx + C1x + Cx + C3 = E I ψ ( x) E I w( x) = q( x) dxdxdxdx + C1x + Cx + C3x + C4 6 b Version., November 6

45 Technische Mechanik - Elastostatik, II.45 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 Für q(x)= konst. = q vereinfacht sich die Gleichungen zu: ( ) IV EI w ( x) = q EI w'''( x) = ( q x+ C) = Q( x) 1 1 EI w''( x) = ( qx + Cx 1 + C) = Mb( x) EI w'( x) = ( qx + Cx 1 + Cx+ C3) = ψ ( x) EI EI wx ( ) = ( qx + Cx 1 + Cx + Cx 3 + C4) = wx ( ) EI 4 6 Die Integrationskonstanten werden aus den Randbedingungen bestimmt. Dabei bedeuten Querkraft Q = Q C = Q 1 Biegemoment M = M C = M b b b Neigung ψ = ψ C = EI ψ 3 Durchbiegung w = w C = EI w 4 Damit werden die Biegegleichungen zu (für konstante Streckenlast): IV Q '( x) = w ( x) = q Streckenlast Qx ( ) = EI w'''( x) = Q qx Querkraft 1 M b( x) = E I w''( x) = qx + Qx + M b Biegemoment q Q M ψ ( ) '( ) 3 b x = w x = x x x + ψ Neigung 6EI EI EI q Q M = + + rchbiegung 4 3 b wx ( ) x x x ψ x w Du 4EI 6EI EI Version., November 6

46 Technische Mechanik - Elastostatik, II.46 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 7. Lösung statisch bestimmter Biegefälle 7..1 Balken mit fester Einspannung und Einzelkraft l a x ξ Beim Balken mit fester Einspannung (siehe Kap Stereostatik) Momentenverlauf und Kräfteverlauf wurde in Kap bestimmt. Gesucht: Biegelinie w(x); Bestimme die uslenkung am Punkt der Krafteinleitung und am Endpunkt Merke: Wenn die Biegemomentenlinie Knicke aufweist, kann man M(x) nur bereichsweise angeben. In diesem Fall empfiehlt es sich, die einzelnen Bereiche separat auszuwerten und anschließend zum Gesamtergebnis zusammenzusetzen. 1. Bestimmung der Lagerreaktionen ufstellen der Gleichgewichtsbedingungen liefert uflagerreaktionen F M F F M = F = F l Version., November 6

47 Technische Mechanik - Elastostatik, II.47 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 Betrachtung von Feld I Schneiden liefert die Schnittkräfte und momente: M Q F M b FQ = F Mb + M Fx= M = Fx M = Fx ( l) b ufstellen der Differentialgleichung: Mb( x) F w''( x) = = ( l x) EI EI F x w'( x) = ( lx ) + ψ EI 3 F x x wx ( ) = ( l ) + ψ x+ w EI 6 Betrachten der Randbedingungen: Bei x=: Neigung = => ψ = Durchbiegung = w = Daraus folgt: 3 F x x wx ( ) = ( l ) EI Fl x 1 x wx ( ) = EI l 3 l F x Fl x x ψ ( x) = ( lx ) = ; EI EI l l Für die Krafteinleitungsstelle x = l folgt: 3 3 F l l Fl wl () = ( l ) = EI 6 3EI Version., November 6

48 Technische Mechanik - Elastostatik, II.48 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 Betrachtung von Feld II M F Q F M b Schneiden liefert die Schnittkräfte und momente: M + M + Fξ F ( l+ ξ ) = b M + Fl+ Fξ F( l+ ξ) = M b b = ufstellen der Differentialgleichung: w''( ξ ) = w'( ξ) = ψ w( ξ) = ψ ξ + w l l Randbedingung 1. Neigung w an der Stelle ξ = ist gleich mit Neigung im Feld I an der Stelle x = l F l w'( x= l) = ( l ) = ψ l EI => Fl ψ l = EI. Durchbiegung w an der Stelle ξ = ist gleich Durchbiegung im Feld I an der Stelle x = l 3 Fl wx ( = l) = = wl EI => 3 3 Fl wl = 3EI Ergebnis: Biegelinie im Feld II: Q Mb ψ ( ξ) = ξ ξ + ψl = ψl; EI EI 3 3 b ξ = ξ ξ + ψlξ + wl = ξ + 6EI EI EI 3EI w( ) Fl ξ l w( ξ ) = + EI 3 Q M Fl Fl (dies ist eine Gerade. Ihre Steigung entspricht der Endsteigung am Krafteinleitungspunkt.) Maximale Durchbiegung f Fl a l f = w( ξ = a) = + EI 3 Version., November 6

49 Technische Mechanik - Elastostatik, II.49 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 Version., November 6

50 Technische Mechanik - Elastostatik, II.5 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 7.. Balken mit fester Einspannung und Streckenlast l EI uflagerreaktionen des Balkens 1 q q M F F + q l = ; => F = q l l l M q = ; => M = q Gleichgewicht am geschnittenen Balkenelement M F x Q M b Kräfte qx F + Q= ; 1 Q= F q x; Q= q ( l x); Moment x M + Mb q Fx= x Mb = q + Fx M x l Mb = q + qlx q M b q ql ql w = = x + x EI EI EI EI q 3 ql ql w = x + x x+ ψ 6EI EI EI = q 4 ql 3 ql w= x + x x + w 4EI 6EI 4EI = ql 1 x 1 x 3 1 x wx ( ) = x + EI 1 l 3 l l Und die maximale Durchbiegung wird: 4 ql wl () = EI 8 Version., November 6

51 Technische Mechanik - Elastostatik, II.51 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB Balken auf zwei Stützen mit Einzellast l a EI F b 1. Bestimmung der uflagerkräfte F b F a F = ; FB = ; l l. Berechnung des Momentenverlaufs Linker bschnitt: x a Q Rechter bschnitt Für den rechten bschnitt wählen wir zweckmäßig ein neues Koordinatensystem von rechts nach links x b Q M b F x M b x F B Biegemoment Fb M b = x l Biegelinie linker bschnitt Fb w''( x) = x EI l Fb x w'( x) = + ψ EI l 3 Fb x wx ( ) = + ψ x+ w EI l 6 Biegemoment Fa M b = x l Biegelinie linker bschnitt Fb w''( x) = x EI l Fb x w'( x) = + ψ EI l 3 Fb x wx ( ) = + ψ x+ w EI l 6 Bestimmen der Randbedingungen w = Bei x = a : Fb a ψ a = + ψ EI l w a 3 Fb a = + ψ a EI 6l w = Bei x = b : Fa b ψ b = + ψ EI l 3 Fa b wb = + ψ b EI 6l Version., November 6

52 Technische Mechanik - Elastostatik, II.5 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 n der Stelle x = a, bzw. x = b gilt: = (wegen der umgekehrten Koordinatenrichtung) ψ a ψ b und w a = w b Fb a Fa b + ψ = ψ (1) EI l EI l 3 3 Fb a Fa b + ψa= + ψ b () EI 6l EI 6l us (): (1)-( ) 3 F a a Fa b + ψ = + ψ (') EI 6l b EI 6l 3 a F ba a Fab 1 ψ 1+ + = b EIl 6l EIl 3 F ab b a a ψ = + + EI l 3 6 Und somit die Biegelinie im linken Feld 3 Fb x wx ( ) = + ψ x, eingesetzt ergibt EI l 6 3 Fab a Fb wx ( ) = ( + ab+ b²) x lei 3 3 6lE I Fbx a³ + 3 a² b + ab² wx ( ) = ( x²) 6lEI l Fbx a³ + 3 a² b + 3 ab² + b³ ab² + b³ wx ( ) = ( x²) 6lEI l l Fbx ( a + b)³ b²( a + b) wx ( ) = ( x²) 6lEI l l 3 Fbx wx ( ) = ( l² b² x²) lei 6 nalog für den rechten bschnitt ergibt sich das analoge Ergebnis: Fax wx ( ) = ( l² a² x²) lei 6 Die Durchbiegung an der Stelle x = a bzw. x = b : Version., November 6

53 Technische Mechanik - Elastostatik, II.53 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FB6 Fba wa ( ) = ( l² b² a²) 6lEI Fba wa ( ) = (( a+ b)² b² a²) 6lEI Fba wa ( ) = ( ab) 6lEI Fa² b² Fl³ a b wa ( ) = = 3lEI 3EI l l ufgabe: Diese Berechnung ist relativ aufwändig. Einfacher wird die Lösung, wenn man beide Balkenabschnitte separat betrachtet als am Krafteinleitungspunkt fest eingespannt unter dem (kleinen) Biegewinkel ψ. Löse das System unter dieser nnahme unter Verwendung der bereits berechneten Balkenbiegung bei fester Einspannung. Version., November 6