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1 Herzlich willkomme zur der Aufgabesammlug Um sich schell ierhalb der ca. 35. Mathematikaufgabe zu orietiere, beutze Sie ubedigt das Lesezeiche Ihres Acrobat Readers: Das Ico fide Sie i der liks stehede Leiste. Bitte beachte Sie: Im Origial köe Sie alle eizele Dateie als WORD, pdf oder Ope Office Dokumet aufrufe. Die aktuelle Preise etehme Sie bitte userer homepage. Weitere Frage beatworte wir Ihe gere uter Michael Lobsie Geschäftsführer

2 Verzisug eimaliger Zahluge 1. Löse die Formel = q ach, q bzw. auf. 2. Bestimme de Zisfaktor für jährliche Verzisug. a) p% = 3% b) p% = 7% c) p% = 4,2% d) p% = 3,6% e) p% = 5,3% f) p% = 5,5% g) p% = 6,75% h) p% = 2,2% 3. Auf welches apital wächst ei apital bei eiem Zissatz vo p% i Jahre? a) b) c) d) e) p% 4% 5% 3% 2,7% 5,3% 7 J. 12 J. 11 J. 6 J. 3 J. 4. Bereche. a) b) c) d) e) p% 5% 3,6% 3,8 % 4,25% 4,7% 7 J. 6 J. 8 J. 5 J. 9 J. 5. Bereche o. a) b) c) d) e) p% 3,5% 4,75% 4,2% 3,2% 2,9% 8 J. 3 J. 5 J. 12 J. 11 J. 6. Auf welches apital wächst ei apital bei eiem Zissatz vo p% i Jahre? a) b) c) d) e) p% 7,6% 7,5% 4,9% 5,1% 2,6% 6 J. 6 Mo. 5 J. 2 Mo. 6 J. 9 Mo 1 J. 4 Mo. 8 J. 3 Mo. 7. Bereche de Zissatz. Aufgabesammlug a) b) c) d) e) J. 1 J. 1 J. 12 J. 9 J

3 8. Bereche de Zissatz. a) b) c) d) e) I wie viele Jahre wächst ei apital bei eiem Zissatz vo p% auf ei apital? a) b) c) d) e) p% 5,3% 6,8% 4,3% 6,4% 6% Ei apital vo 85 wird a) 4 Jahre mit 6% Ziseszis b) 6 Jahre mit 4% Ziseszis verzist. Vergleiche. 11. Bereche mit Hilfe eier Tabellekalkulatio ud stelle grafisch dar. = 1 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 1 J. 2 J. 3 J. 4 J. 5 J. 6 J. 7 J. 8 J. 9 J. 1 J. 12. Ei Uterehme hatte zur Fiazierug eies Abaus 68 aufgeomme. Nach 3 Jahre tilgt die Firma 3, ach weitere 4 Jahre ochmals 5. Wie hoch ist die verbleibede Restschuld, we mit der Bak ei Zissatz vo 5% vereibart wurde? 13. Beim auf eies Hauses wird vereibart: 25 sofort bar, 2 i 5 Jahre ud 1 i 8 Jahre. Bereche de Barwert des Hauses, we ma vo eiem Zissatz vo 5,2% ausgeht. 14. Für de auf eies Betriebes liege 3 Agebote vor: Agebot 1: Agebot 2: Agebot 3: Aufgabesammlug 3 5 Barzahlug 1 Azahlug; 2 8 zahlbar ach 4 Jahre 2 Azahlug; 1 zahlbar ach 3 Jahre, weitere 1 zahlbar ach 5 Jahre. Welches ist das güstigste Agebot, we ma vo eiem Zissatz vo 4,9% ausgeht?

4 Verzisug regelmäßiger Zahluge 1. Bereche das Edkapital bei achschüssige Zahluge, we gegebe ist: a) b) c) d) e) f) R p% 3% 4% 6,8% 5,5% 6,1% 3,75% 5 J. 9 J. 12 J. 8 J. 4 J. 7 J. 2. Bereche die fehlede Größe bei folgede achschüssige Zahluge. a) b) c) d) e) f) R? ? 5 p% 3,5% 5% 4,5% 3,9% 3% 4,2% 9 J.??? 1 J. 4 J ? 3. Auf welches Edkapital wachse die Eizahluge a, die am Afag eies jede Jahres getätigt werde? a) b) c) d) e) f) R p% 3,4% 4,5% 6% 5,3% 5% 2,8% 5 J. 12 J. 7 J. 15 J. 8 J. 9 J. 4. Bereche die fehlede Größe, we vorschüssige Ratezahlug vorliegt. Aufgabesammlug a) b) c) d) e) f) R 55? 12? 58? p% 3% 5,5 % 6% 3,6% 4,2% 2,8%? 1 J.? 8 J.? 5 J Auf welches Edkapital wächst ei vorhadees apital durch die jährliche achschüssige Ratezahluge? a) b) c) d) e) f) R p% 4% 5% 6% 5,6% 3,8% 4,3% 12 J. 1 J. 8 J. 5 J. 11 J. 6 J.

5 6. Auf welches Edkapital sikt ei vorhadees apital durch die jährliche achschüssige Abhebuge? a) b) c) d) e) f) R p% 4,1% 5,6% 5,1% 4% 4,6% 2,9% 1 J. 7 J. 6 J. 8 J. 9 J. 5 J. 7. Auf welches Edkapital wächst ei vorhadees apital durch die jährliche vorschüssige Ratezahluge? a) b) c) d) e) f) R p% 3,6% 4,7% 5,3% 2,9% 6% 5,8% 12 J. 1 J. 9 J. 6 J. 8 J. 7 J. 8. Auf welches Edkapital sikt ei vorhadees apital durch die jährliche vorschüssige Abhebuge? a) b) c) d) e) f) R p% 4,3% 5,8% 5,2% 6,1% 3,1% 2,8% 15 J. 12 J. 9 J. 7 J. 8 J. 14 J. Aufgabesammlug

6 Uterjährige Verzisug 1. p Wie hoch ist der relative Zissatz % bei eiem omielle Zissatz vo p%? m a) p = 8,5; m = 2 b) p = 7; m = 4 c) p = 9; m = Auf welche Betrag wächst ei apital bei p % m uterjährige Ziseszise i Jahre a? a) = 8 ; p = 6,5; m = 2; = 7 b) = 25 ; p = 7,5; m = 4; = 6 c) = 14 ; p = 1,5; m = 12; = 2 d) = 3 ; p = 7; m = 2; = werde zu 8% Ziseszise für 7 Jahre agelegt. Bereche das apital 7 bei a) halbjährlicher b) vierteljährlicher c) moatlicher Verzisug. 4. Herr Reer legt 1 als moatliches Festgeld zu 9% a ud verlägert 12 Moate lag die Alage eischließlich der jeweils gutgeschriebee moatliche Zise. a) Wie viel werde ach 12 Moate ausbezahlt, we der Zissatz ach Ablauf vo 8 Moate auf 9,5% erhöht wird? b) Wie viel Prozet beträgt der effektive Jahreszissatz? 5. Frau Sparsam will 5 für 1 Jahre auf Ziseszise alege. Sie erhält Aufgabesammlug zwei Agebote: Bak A bietet 7,5% bei jährlicher Verzisug Bak B bietet 7,4% bei vierteljährlicher Verzisug Welches Agebot ist um wie viel güstiger? 6. Welcher jährliche effektive Verzisug etspricht der omielle Jahreszissatz a) 4% b) 6% c) 9% d) 1% bei (1) halbjährlicher (2) vierteljährlicher (3) moatlicher Verzisug? 7. Bereche de Barwert eies i Jahre fällige apitals, das uterjährig mit p % verzist wird. m a) = 18 93, p = 7, m = 2; = 1 b) = ; p = 8; m = 4; = 6 c) = ; p = 9; m = 12; = 3 d) = ; p = 6,5; m = 2; = 15

7 8. Zu welchem omielle Zissatz p% wird ei apital uterjährig verzist, we es i Jahre auf das apital awächst? a) = 16 8 ; m = 4; = 12; = b) = 6 8 ; m = 2; = 15; = c) = 26 5 ; m = 12; = 2; = d) = 4 2 ; m = 2; = 8; = Nach wie viele Jahre wächst ei apital bei p % m uterjährige Ziseszise auf das apital a? a) = 6 8 ; p = 6; m = 2; = b) = 46 ; p = 7,5; m = 4; c) = 11 8 ; p = 1,5; m = 12; = d) = 5 5 ; p = 8,5; m = 2; = Herr Bauer legt 2 als moatliches Festgeld a ud verlägert die Alage eischließlich gutgeschriebeer Zise 1 Moate lag. Am Ede des 1. Moats werde ,72 ausbezahlt. a) Wie hoch ist der omielle Zissatz? b) Wie viel Prozet beträgt die effektive jährliche Verzisug? Aufgabesammlug

8 Der koforme Zissatz 1. Bereche de koforme Zissatz p% für de Jahreszissatz p% ud de uterjährige Zisperiode m = 2. a) p = 4 b) p = 6 c) p = 7,5 d) p = 7,75 e) p = 8 f) p = 9,5 g) p = 1 h) p = 1,5 2. Bereche de koforme Zissatz p% für de Jahreszissatz p% ud de uterjährige Zisperiode m = 4. a) p = 5 b) p = 6,5 c) p = 7,25 d) p = 8,5 e) p = 9,5 f) p = 9,75 g) p = 1,5 h) p = Bereche de koforme Zissatz p% für m = 12 ud p% Jahreszissatz. a) p = 4,5 b) p = 5,5 c) p = 6,75 d) p = 7,25 e) p = 8,5 f) p = 9,25 g) p = 1 h) p = 11,5 4. Wie hoch ist der Jahreszissatz p% für de koforme Zissatz p% ud m uterjährige Zisperiode? a) p = 1,347517; m = 4 b) p =,64492; m = 12 c) p = 4,163333; m = 2 d) p =2,177818; m = 4 e) p =,565415; m = 12 f) p = 3,561576; m = 2 g) p =,71461; m = 12 h) p = 2,46958; m = 4 Aufgabesammlug

9 Vermischte Aufgabe zur Ziseszisrechug1 1. Auf welche Betrag wachse 12, die zu 6,5% 15 Jahre festgelegt werde? 2. Beim auf eies Autos ka ma zwische 2 Zahlugsarte wähle: a) eimalig ud sofort 6 25 b) sofort 2, ach zwei Jahre 1 ud ach weitere 2 Jahre Welche Zahlugsart ist güstiger, we mit 5% Ziseszis gerechet wird? 3. Eie Spede vo 6 wird festgelegt ud wächst auf ach 12 Jahre a. a) Mit welchem Zissatz wurde das Geld verzist? b) Wie lage muss ma warte, bis sich 6 bei 7,5% verdreifacht habe? hatte ei Oldtimer Auto 2 7 DM gekostet werde vo eiem Liebhaber 45 DM gebote. Mit welchem Zis hat sich der Wertzuwachs etwickelt? 5. Ei Auto kostet 7 45 ud wird mit 2% pro Jahr degressiv abgeschriebe. Wie groß ist der Wert des Autos ach 5 Jahre? 6. Auf welche Summe wäre 1 agewachse, we er bei Christi Geburt bis zum Ede des Jahres 2 zu 2% auf Ziseszise agelegt worde wäre? 7. Ei Ma leiht eiem adere 3 6 auf 1 Jahre ud verlagt dafür eie Schuldschei über Bereche de Zissatz. Aufgabesammlug 8. Ei apital vo steht zu 3,5% auf Ziseszise ud ist so auf ,4 agewachse. Wie lage wurde das apital verzist? 9. Ei ofirmad legt seie erhaltee Geldgescheke i Höhe vo 1 5 so a, dass er da über sei Geld verfüge ka, we es sich etwa verdoppelt hat. Die Bak gewährt ihm dafür jährlich 6,5 Prozet Zise. a) Wie lage muss der ofirmad warte? b) Welche Zissatz müsste er da mit der Bak aushadel, damit er ach weitere drei Jahre über 2 7 verfüge ka? 1. Ei aufma legt 3 43 zu 6,5 Prozet Ziseszis a. a) Welches Guthabe besitzt er ach füf Jahre, we zu Begi des dritte Jahres eie Soderzahlug vo 1 2 hizukommt? b) Welche Soderzahlug hätte der aufma ach zwei Jahre leiste müsse, um ach füf Jahre 7 zu erhalte? c) Wie viel volle Jahre müsste der Edbetrag vo b) och liege, bis 9 erreicht wäre?

10 11. Eie Frau brigt eie Lottogewi zur Bak. Sie erhält für ihre 1 52 jährlich 5,5% Zise. a) Auf welche Betrag ist ihr Gewi ach sechs Jahre agewachse? b) Wie lage muss sie vom Zeitpukt des Lottogewis warte, bis ihr Guthabe auf 2 agewachse ist? c) Sie versucht scheller Gewi zu mache ud setzt ihre Lottogewi a der Börse ei. Doch ihre Aktie falle. Ihr apital vermidert sich i zwei Jahre um 2 5. Wie viel Prozet betrug die jährliche Wertmiderug? 12. Wie lage müsse 5 bei eiem Zissatz vo 4% ausgeliehe werde, we sie auf 8 5 awachse solle? 13. I wie viele Jahre verdoppelt (verdreifacht) sich ei apital, das zu 3% (4%, 5%, 6%) ausgeliehe ist? 14. Ei Lottospieler gewa 16 38, die er auf ei Sparkoto eizahlte ud für acht Jahre festlegte. Währed dieser Zeit wuchs sei Gewi durch Ziseszis um 13 2 a. a) Welcher jährliche Zissatz wurde vo der Bak gewährt? b) Welche Betrag hätte der Lottospieler ach vier Jahre zusätzlich eizahle müsse, damit er ach acht Jahre über 35 verfüge kote? c) I welcher Zeit wäre sei Lottogewi bei 5 Prozet Ziseszis um 5 Prozet gewachse? 15. Ei Sparer legt 15 für drei Jahre auf 5,5 Prozet Ziseszis fest. Nach Aufgabesammlug Ablauf der drei Jahre bietet ihm die Bak eie Zissatz vo 6,25% für weitere drei Jahre. Der Sparer immt das Agebot a ud stockt gleichzeitig sei agespartes Guthabe um 7 386,38 auf. a) Welches Edkapital steht dem Sparer ach de sechs Jahre zur Verfügug? b) Wie viele Zise hat er i de sechs Jahre isgesamt bekomme? c) Welcher Verzisug etspräche es, we er vor sechs Jahre beide Beträge eigezahlt hätte ud dafür zusamme 5 a Ziseszis erhalte hätte?

11 Vermischte Aufgabe Ziseszisrechug 2 1. Ei apital vo 6 1 verzist sich jährlich zu 6% ud soll so viele Jahre liege bleibe, bis erstmals 1 überschritte sid. a) Nach wie viele Jahre ist dies der Fall, ud wie hoch ist da das tatsächliche Guthabe? b) Mit wie viel Prozet muss das apital vo 6 1 verzist werde, um i eu Jahre auf 12 azuwachse? 2. Herr üh schekt seiem Patekid zur Geburt ei Sparbuch über 6. Das Geld wird mit 6,25% Ziseszis agelegt. Zur Volledug des 11. Lebesjahres erhöht er das agesparte apital auf 15. a) Welche Betrag muss Herr üh zum 11. Geburtstag seies Patekides zuzahle? b) Zu welchem Zissatz ist das Geld (15 ) ach dem 11. Geburtstag agelegt, we das Patekid am 21. Geburtstag zur Verfügug hat? c) I welchem Jahr überschreitet das apital 2, we es ach dem 11. Geburtstag zu 6,75% Ziseszis agelegt wird? 3. Herr Carstese will sich ei Häusche kaufe. Er hat dafür etweder drei Rate zu je 4 zu zahle, ud zwar die erste Rate sofort, die zweite ach zwei Jahre ud die dritte ach vier Jahre, oder aber er hat ach drei Jahre eie eimalige Zahlug i Höhe vo zu leiste. Welche Zahlugsart (bezoge auf de heutige Tag) wird er wähle, we das Geld mit 5,5% jährlich verzist wird? 4. Herr Bartelse möchte sich seit lagem ei Haus kaufe. Jetzt ist er fiaziell Aufgabesammlug dazu i der Lage. Vor siebe Jahre hat er 4 geerbt. Diese Betrag hat er so güstig für de geplate Hauskauf agelegt, dass er sich mit Ziseszise bis jetzt verdoppelt hat. a) Wie hoch war der Zissatz? b) Da das geerbte Geld (trotz Verdoppelug) icht zum auf des Hauses ausreicht, immt Herr Bartelse. eie Hypothek vo 15 auf. Wie viel Prozet des aufpreises beträgt die Hypothek? c) Der Zissatz für die Hypothek beträgt 8,5%. Auf welche Betrag steigt die Hypothekeschuld mit Ziseszis, we Herr Bartelse erst ach vier Jahre mit der Rückzahlug begit? d) Nach wie viele (gaze) Jahre hätte seie Hypothekeschuld (ohe Tilgug ud ohe Ziszahlug) 25. überschritte? 5. Ei Sparguthabe i Höhe vo 12 6 wird vier Jahre mit 9,75% verzist. Da wird die Hälfte des apitals abgehobe ud der Restbetrag zu jährlich 8 Prozet ereut festgelegt. a) Nach wie viele Jahre ist der Restbetrag wieder auf 12 6 agewachse? b) Zu welchem Zissatz müsste das ursprügliche Sparguthabe agelegt werde, damit es sich i füfzeh Jahre verdreifacht?

12 6. Ei Vater möchte die spätere Ausbildug seies Sohes fiaziell absicher. a) Welche Betrag muss er alege, damit seiem Soh bei eiem jährliche Zissatz vo 8,5% ach achtzeh Jahre 2 zur Verfügug stehe? b) Ei aderes Geldistitut bietet dem Vater a, bei eier Eizahlug vo 4 45 ach achtzeh Jahre 2 auszuzahle. Mit welchem Zissatz (Ziseszis) rechet dieses Istitut? c) Welcher Betrag würde dem Soh ach achtzeh Jahre zur Verfügug stehe, we der Vater bei eiem Zissatz vo 8,5% Ziseszis folgede Eizahluge vorehme würde: heute: 2 i 4 Jahre: 2 i 8 Jahre: 2 i 12 Jahre: 2 7. Bei der Geburt seier Tochter richtet ei Vater ei Sparbuch mit 5 ei. Bis zur Volljährigkeit steht das Geld auf Ziseszis ud wächst auf 2 a. a) Mit welchem Zissatz wurde das Geld verzist? b) Die Tochter lässt die Summe och ei ¾ Jahr auf dem Sparbuch ud erhält 5% Zise. Vo de afallede Zise ka sie die Hälfte ihres Führerscheis bezahle. Wie teuer ist er? c) Daach erwirbt sie vo dem apital (2 ) ei raftfahrzeug. Später verkauft sie de Wage mit eiem jährliche Wertverlust vo 2 Prozet für Wie lage hat sie das Auto gefahre? 8. Jemad hat sich vor füf Jahre ei Auto für gekauft. Heute bietet ihm ei Hädler beim auf eies Neuwages zum Preis vo och 5 1 für de Gebrauchtwage. Aufgabesammlug a) Wie groß ist der jährliche prozetuale Wertverlust des Gebrauchtwages? b) Der äufer hebt de für de Neuwage och ausstehede Rechugsbetrag vo eiem Sparkoto ab, auf dem vor drei Jahre 1 4 eigezahlt worde ware. Wie viel verbleibt auf dem oto, we mit 5,5% Ziseszis gerechet wird? c) We er de Gebrauchtwage privat für de gleiche Preis verkauft hätte, wäre ihm vom Hädler 3% Rabatt auf de Neuwagepreis eigeräumt worde. Wie viel hätte er gespart? 9. Ei Vermieter verlagt vo seiem Mieter beim Eizug eie autio vo drei Moatsmiete, die bis zum Auszug jährlich mit 3,5% verzist wird. a) Wie viel Geld erhält ei Mieter beim Auszug aus der Wohug ach siebe Jahre, we die afägliche Moatsmiete 73 betrug? b) Da beim Auszug für Reparaturarbeite oste i Höhe vo 4 etstehe, verrigert sich der Auszahlugsbetrag. Wie hoch ist dadurch die tatsächliche Verzisug seier autio? c) Ei aderer Mieter hat ursprüglich eie autio gleicher Höhe gezahlt. Wie lage hat er i der Wohug gewoht, we ihm keie oste für Reovierugsarbeite i Rechug gestellt werde ud er 2.513,8 erhält?

13 Ziseszisrechug eimalige Zahluge Bei der Ziseszisrechug werde die Zise icht am Ede eies Jahres ausbezahlt, soder dem apital zugeschlage. Das eue erhöhte apital bildet die Grudlage für die Berechug der Zise im folgede Jahr. Da die Zise des erste Jahres mitverzist werde, spricht ma vo Ziseszisrechug. Aufgabe 1: Auf welche Betrag wächst ei apital = 12 bei 5% Ziseszis i 1 Jahre a? Merke: Für de Edwert eier eimalige Zahlug gilt: = q Folgede Bezeichuge gelte bei der Ziseszisrechug: : Afagskapital : Edkapital p%: Zissatz p q: Zisfaktor - dabei ist q= 1+ 1 Lösug der Aufgabe: Aufgabesammlug Auf welche Betrag wächst ei apital = 12 bei 5% Ziseszis i 1 Jahre a? Gegebe: = 12 ; p% = 5% Gesucht: p 5 q= 1+ = 1+ = 1,5 1 1 = q = 12 1,5 = 19546,72 1

14 Die Gleichug = q ka ach, ach q ud ach aufgelöst werde: = q q = lg lg = lgq Mit diese Formel ka das Afagskapital, der Zissatz p% (aus q) bzw. die Azahl der Jahre berechet werde. Aufgabe 2: Welches apital wächst bei eiem Zissatz vo 5% Ziseszis i 7 Jahre auf eie Betrag vo 4 221,3? Lösug: = q 4221,3 = = 3 7 1, 5 Aufgabe 3: Aufgabesammlug Ei apital vo 5 wächst i 8 Jahre auf 6 842,85 a. Bereche de Zissatz. Lösug: q = 6842,85 = = = 4% 5 q 8 1,4 p%

15 Aufgabe 4: I wie viele Jahre wächst ei apital vo 2 bei eiem Zissatz vo 6% auf 4 243,93 a? Lösug: lg = lg lgq lg4243,93 lg2 = = 12 lg1,6 Aufgabesammlug

16 Ziseszisrechug regelmäßige Zahluge Aufgabe 1: Herr Hase zahlt 7 Jahre lag am Ede des Jahres 5 auf ei oto ei. Die Bak bietet eie Zissatz vo 4%. Wie hoch ist das Edkapital ach 1 Jahre? Merke: Regelmäßige Zahluge, die am Afag eies jede Jahres erfolge, sid vorschüssige Zahluge; regelmäßige Zahluge, die am Ede eies jede Jahres erfolge, sid achschüssige Zahluge. Folgede Bezeichuge gelte bei der Verzisug regelmäßiger Zahluge: : Afagskapital : Edkapital p%: Zissatz q: p Zisfaktor - dabei ist q= 1+ 1 R: Rate Für de Edwert regelmäßiger achschüssiger Zahluge gilt: Lösug: = R(q 1) q 1 Aufgabesammlug R(q 1) q 1 1 = 5(1,4 1) = 1, 4 1 = 63,54

17 Aufgabe 2: Das Guthabe bei eier Bak beträgt 15. Es werde 8 Jahre lag am Ede des Jahres 4 eigezahlt. Die Bak gewährt 5% Ziseszis. Auf welche Betrag ist das Afagskapital ach 8 Jahre agewachse? Merke: Wird ei vorhadees apital durch achschüssige Rate vermehrt oder vermidert, so gilt: R(q 1) = q ± q 1 Lösug: = q + R(q 1) q ,5 = 6358,27 ACHTUNG! Wird am Ede eies Jahres eie feste Rate abgehobe, so reche wir mit: 8 8 4(1,5 1) = + R(q 1) 1, 5 1 = q q 1 Aufgabe 3: Herr Hase zahlt 7 Jahre lag am Afag des Jahres 5 auf ei oto ei. Die Bak bietet eie Zissatz vo 4%. Wie hoch ist das Edkapital ach 1 Jahre? Merke: Aufgabesammlug Für de Edwert regelmäßiger vorschüssige Zahluge gilt: = Rq(q 1) q 1 Lösug: = Rq(q 1) q ,4 (1,4 1) = 1, 4 1 = 62431,76

18 Aufgabe 4: Das Guthabe bei eier Bak beträgt 15. Es werde 8 Jahre lag am Afag des Jahres 4 eigezahlt. Die Bak gewährt 5% Ziseszis. Auf welche Betrag ist das Afagskapital ach 8 Jahre agewachse? Merke: Wird ei vorhadees apital durch vorschüssige Rate vermehrt oder vermidert, so gilt: = ± q Rq(q 1) q 1 Lösug der Aufgabe: = q + Rq(q 1) q ,5 = 62268,9 ACHTUNG! Wird am Afag eies Jahres eie feste Rate abgehobe, so rechet ma mit: ,5 (1,5 1) = + 1, 5 1 Rq(q 1) = q q 1 Aufgabe zu: ewige Rete Welches apital brigt bei eier jährliche Verzisug vo 7,5% eie ewige Rete vo 3 a) bei achschüssiger, b) bei vorschüssiger Auszahlug? Merke: Aufgabesammlug Bei eier ewige Rete ist die jährliche Retezahlug gleich de Jahreszise vo eiem apital. Die Höhe des apitals bleibt uverädert. Lösug: R(q 1) q = (q 1) q = (q 1) = R(q 1) (q 1) R(q 1) (q 1) R = q 1 3 = (1,75 1) = 4 Rq(q 1) = q (q 1) q = (q 1) = Rq(q 1) (q 1) Rq(q 1) (q 1) Rq = q 1 3 1,75 = (1,75 1) = 43

19 Aufgabesammlug

20 Uterjährige Verzisug Aufgabe: 12 werde zu 7,5% für 5 Jahre agelegt. Bereche das apital 5 bei a) jährlicher Verzisug b) halbjährlicher Verzisug c) moatlicher Verzisug Merke: Der Ziszuschlag zum apital ka i eiem kürzere Zeitabstad als 1 Jahr erfolge. Am häufigste sid halbjährliche, vierteljährliche ud moatliche Zisperiode. Uterteilt ma das Jahr i m gleich lage Zeitabstäde, so wird der Jahreszissatz p% zum uterjährige Zissatz p %. De Jahreszissatz p% bezeichet ma i m diesem Zusammehag als omielle Zissatz, de uterjährige Zissatz p % m als relative Zissatz. Falle i eiem Jahr m Zisperiode, so ergebe sich i Jahre m Zisperiode. Für das Edkapital erhält ma somit bei uterjähriger Verzisug mit m Zisperiode die achstehed abgewadelte Ziseszisformel: Lösug: a) = 12 p = 7,5 = 5 = q 5 = 12 1,75 = 17227, m p = 1+ m1 Aufgabesammlug b) = 12 p = 7,5 m= 2 = 5 = 1+ m1 = 1734,53 m 5 = p 7,5 25 c) = 12 p = 7,5 m= 12 = 5 1 m1 = + = 17439,53 m = + p 7,5 12 5

21 Der koforme Zissatz Aufgabe: Die Verzisug eies apitals zum Jahreszissatz 8% soll auf vierteljährliche Verzisug umgestellt werde. Welcher Zissatz p% ist zu wähle, damit die Höhe der Jahreszise uverädert bleibt? a) Bereche allgemei p bei m jährliche Zisperiode. b) Bestimme p für die Werte der Beispielsaufgabe. c) Mache die Probe für = 1. Merke: Bei der uterjährige Verzisug zum relative Zissatz p % wird der Prozetsatz m der effektive jährliche Verzisug größer als der omielle Jahreszissatz. Soll die uterjährige Verzisug de gleiche Zisbetrag (das gleiche Edkapital) ergebe wie die Jahresverzisug, so muss ei etsprecheder Zissatz, der koforme Zissatz p% (gelese: p quer) agewadt werde. Lösug: a) Allgemeie Berechug vo p : b) Eisetze der Größe i die Aufgabe: m p p 1+ = 1+ Aufgabesammlug 1 1 p p = m m 1 p p 1+ = p p + = m 1 p = + 1 p m m = 4; p = p = ( ) p = 1,8 1 1 p = 1, p% = 1,942655% c) 8 1 bei 8% Jahreszise : 1 = 1 1+ = 18, 1 1, bei 1,942655% Vierteljahreszise : 1 = 1 1+ = 18, 1 4

22 Verzisug eimaliger Zahluge Lösuge 1. Löse die Formel = q ach, q bzw. auf. q = q lg( ) lgq = 2. Bestimme de Zisfaktor für jährliche Verzisug. = = lg lg lgq a) p% = 3% b) p% = 7% c) p% = 4,2% d) p% = 3,6% q = 1,3 q = 1,7 q = 1,42 q = 1,36 e) p% = 5,3% f) p% = 5,5% g) p% = 6,75% h) p% = 2,2% q = 1,53 q = 1,55 q = 1,675 q = 1,22 3. Auf welches apital wächst ei apital bei eiem Zissatz vo p% i Jahre? a) b) c) d) e) p% 4% 5% 3% 2,7% 5,3% 7 J. 12 J. 11 J. 6 J. 3 J , , , , ,94 4. Bereche. a) b) c) d) e) p% 5% 3,6% 3,8 % 4,25% 4,7% 7 J. 6 J. 8 J. 5 J. 9 J , , , , ,46 5. Bereche. Aufgabesammlug a) b) c) d) e) p% 3,5% 4,75% 4,2% 3,2% 2,9% 8 J. 3 J. 5 J. 12 J. 11 J , , , , ,2

23 6. Auf welches apital wächst ei apital bei eiem Zissatz vo p% i Jahre? a) b) c) d) e) p% 7,6% 7,5% 4,9% 5,1% 2,6% 6 J. 6 Mo. 5 J. 2 Mo. 6 J. 9 Mo 1 J. 4 8 J. 3 Mo. Mo , ,3 2 32, ,95 Verzisug erfolgt durch Ziseszis ud eifache Verzisug. 7. Bereche de Zissatz. a) b) c) d) e) J. 1 J. 1 J. 12 J. 9 J q 1,37 1,55 1,45 1,1 1,8 p% 3,7% 5,5% 4,5% 1% 8% 8. Bereche de Zissatz. a) b) c) d) e) q 1,6 1,52 1,49 1,43 1,26 p% 6% 5,2% 4,9% 4,3% 2,6% 9. I wie viele Jahre wächst ei apital bei eiem Zissatz vo p% auf ei apital? a) b) c) d) e) p% 5,3% 6,8% 4,3% 6,4% 6% J. 6 J. 1 J. 4 J. 4 J. 1. Ei apital vo 85 wird a) 4 Jahre mit 6% Ziseszis b) 6 Jahre mit 4% Ziseszis verzist. Vergleiche. 4 6 = 85 1,6 = 85 1,4 = 1731,54 = 17552,12 Aufgabesammlug

24 11. Bereche mit Hilfe eier Tabellekalkulatio ud stelle grafisch dar. 1. 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 1 J. 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 2 J. 1.2,1 1.4,4 1.6,9 1.81,6 1.12, , ,9 3 J. 1.3,3 1.61, , , , , ,4 4 J. 1.4,6 1.82, , , , , ,8 5 J. 1.51,1 1.14, , , , , ,55 6 J. 1.61, , , , , ,52 1.5,73 7 J. 1.72, , , , ,1 1.53, ,78 8 J. 1.82, , , , , , ,19 9 J. 1.93, ,9 1.34, , , , ,46 1.8, 1.6, 1.4, 1.2, 1., 8, 6, 4, 2,, 1 J. 2 J. 3 J. 4 J. 5 J. 6 J. 7 J. 8 J. 9 J. 1 J. Aufgabesammlug 1% 2% 3% 4% 5% 6% 12. Ei Uterehme hatte zur Fiazierug eies Abaus 68 aufgeomme. Nach 3 Jahre tilgt die Firma 3, ach weitere 4 Jahre ochmals 5. Wie hoch ist die verbleibede Restschuld, we mit der Bak ei Zissatz vo 5% vereibart wurde? 3 = 68 1, = Nach Tilgug vo 3 verbleibe = als Restschuld. = , = ,41 Nach Tilgug vo weitere 5 bleibe ,41 als Restschuld.

25 13. Beim auf eies Hauses wird vereibart: 25 sofort bar, 2 i 5 Jahre ud 1 i 8 Jahre. Bereche de Barwert des Hauses, we ma vo eiem Zissatz vo 5,2% ausgeht. Berechug der Barwerte vo 2 ud 1 : 2 1 = = ,29 5 1, = = 66661,35 8 1, 52 Gesamtbarwert = , ,35 Gesamtbarwert = , Für de auf eies Betriebes liege 3 Agebote vor: Agebot 1: 3 5 Barzahlug Agebot 2: 1 Azahlug; 2 8 zahlbar ach 4 Jahre Agebot 3: 2 Azahlug; 1 zahlbar ach 3 Jahre, weitere 1 zahlbar ach 5 Jahre. Welches ist das güstigste Agebot, we ma vo eiem Zissatz vo 4,9% ausgeht? a) 1 = b) 2 = 1 + = , c) 2 = ,49 1,49 = Das 3. Agebot ist das güstigste. Aufgabesammlug

26 Verzisug regelmäßiger Zahluge Lösuge 1. Bereche das Edkapital bei achschüssige Zahluge, we gegebe ist: a) b) c) d) e) f) R p% 3% 4% 6,8% 5,5% 6,1% 3,75% 5 J. 9 J. 12 J. 8 J. 4 J. 7 J , , , , , ,76 2. Bereche die fehlede Größe bei folgede achschüssige Zahluge. a) b) c) d) e) f) R p% 3,5% 5% 4,5% 3,9% 3% 4,2% 9 J. 12 J. 15 J. 8 J. 1 J. 4 J ,65 3. Auf welches Edkapital wachse die Eizahluge a, die am Afag eies jede Jahres getätigt werde? a) b) c) d) e) f) R p% 3,4% 4,5% 6% 5,3% 5% 2,8% 5 J. 12 J. 7 J. 15 J. 8 J. 9 J , , , , , ,22 Aufgabesammlug 4. Bereche die fehlede Größe, we vorschüssige Ratezahlug vorliegt. a) b) c) d) e) f) R p% 3% 5,5 % 6% 3,6% 4,2% 2,8% 7 J. 1 J. 6 J. 8 J. 12 J. 5 J Auf welches Edkapital wächst ei vorhadees apital durch die jährliche achschüssige Ratezahluge? a) b) c) d) e) f) R p% 4% 5% 6% 5,6% 3,8% 4,3% 12 J. 1 J. 8 J. 5 J. 11 J. 6 J , , , , , ,3

27 6. Auf welches Edkapital sikt ei vorhadees apital durch die jährliche achschüssige Abhebuge? a) b) c) d) e) f) R p% 4,1% 5,6% 5,1% 4% 4,6% 2,9% 1 J. 7 J. 6 J. 8 J. 9 J. 5 J , , , , , ,76 7. Auf welches Edkapital wächst ei vorhadees apital durch die jährliche vorschüssige Ratezahluge? a) b) c) d) e) f) R p% 3,6% 4,7% 5,3% 2,9% 6% 5,8% 12 J. 1 J. 9 J. 6 J. 8 J. 7 J , , , , , ,29 8. Auf welches Edkapital sikt ei vorhadees apital durch die jährliche vorschüssige Abhebuge? a) b) c) d) e) f) R p% 4,3% 5,8% 5,2% 6,1% 3,1% 2,8% 15 J. 12 J. 9 J. 7 J. 8 J. 14 J , , , , , ,78 Aufgabesammlug

28 Uterjährige Verzisug Lösuge 1. p Wie hoch ist der relative Zissatz % bei eiem omielle Zissatz vo p%? m a) p = 8,5; m = 2 b) p = 7; m = 4 c) p = 9; m = 12 8,5 7 9 % = 4,25% % = 1,75% % =,75% Auf welche Betrag wächst ei apital bei p % m uterjährige Ziseszise i Jahre a? a) = 8 ; p = 6,5; m = 2; = = 8 1,325 = ,46 b) = 25 ; p = 7,5; m = 4; = = 25 1,1875 = 39 44,78 c) = 14 ; p = 1,5; m = 12; = = 14 1,875 = ,72 d) = 3 ; p = 7; m = 2; = 15 3 = 3 1,35 = 84 23, werde zu 8% Ziseszise für 7 Jahre agelegt. Bereche das apital 7 bei a) halbjährlicher b) vierteljährlicher c) moatlicher Verzisug = 18 1,4 7 = 18 1,2 7 = 18 1,66667 = 31 17,18 = 31338,44 = 31453,68 Aufgabesammlug Herr Reer legt 1 als moatliches Festgeld zu 9% a ud verlägert 12 Moate lag die Alage eischließlich der jeweils gutgeschriebee moatliche Zise. a) Wie viel werde ach 12 Moate ausbezahlt, we der Zissatz ach Ablauf vo 8 Moate auf 9,5% erhöht wird? b) Wie viel Prozet beträgt der effektive Jahreszissatz? 14 8 = 1 1,75 = 1 615,99 a) 4 12 = 1 615,99 1,7967 = 1 956,18 b) Agelegtes apital: 1 = 1%; Zise: 956,18 = 9,56% 5. Frau Sparsam will 5 für 1 Jahre auf Ziseszise alege. Sie erhält zwei Agebote: Bak A bietet 7,5% bei jährlicher Verzisug Bak B bietet 7,4% bei vierteljährlicher Verzisug Welches Agebot ist um wie viel güstiger? 1 A : 1 = 5 1,75 = 1 35, = = B : 5 1, ,6 Agebot B ist um 13,9 güstiger.

29 6. Welcher jährliche effektive Verzisug etspricht der omielle Jahreszissatz a) 4% b) 6% c) 9% d) 1% bei (1) halbjährlicher (2) vierteljährlicher (3) moatlicher Verzisug? 2 4 a) (1) 1+ = 1,44; 4,4% a) (2) 1+ = 1,46; 4,6% a) (3) 1+ = 1,474; 4,74% b) (1) 1+ = 1,69; 6,9% b) (2) 1+ = 1,6136; 6,136% b) (3) 1+ = 1,6168; 6,168% c) (1) 1+ = 1,923; 9,23% c) (2) 1+ = 1,938; 9,38% Aufgabesammlug c) (3) 1+ = 1,9381; 9,381% ,5 d) (1) 1+ = 1,1776; 1,776% 2 4 1,5 d) (2) 1+ = 1,1921; 1,921% ,5 d) (3) 1+ = 1,112; 11,2% 12

30 7. Bereche de Barwert eies i Jahre fällige apitals, das uterjährig mit p % m verzist wird. m p = 1+ m m1 = p 1+ m1 a) = 18 93, p = 7, m = 2; = 1 b) = ; p = 8; m = 4; = = = = = ,35 1, 2 c) = ; p = 9; m = 12; = 3 d) = ; p = 6,5; m = 2; = = = = = ,75 1, Zu welchem omielle Zissatz p% wird ei apital uterjährig verzist, we es i Jahre auf das apital awächst? m m p p = = m1 m1 p 1 m p m 1 m 1 m1 + = = a) = 16 8 ; m = 4; = 12; = p 3498 = = b) = 6 8 ; m = 2; = 15; = p 1979 = = 7,25 68 c) = 26 5 ; m = 12; = 2; = p = = d) = 4 2 ; m = 2; = 8; = p 8825 = = 9,5 42 Aufgabesammlug

31 9. Nach wie viele Jahre wächst ei apital bei p % m uterjährige Ziseszise auf das apital a? m p p lg 1+ m lg 1+ m1 m1 m p p = 1+ 1 m1 + m1 = lg lg lg lg m = = a) = 6 8 ; p = 6; m = 2; = lg1 912 lg6 8 4,379 3,83251 = = = 7,99 8 Jahre 2 lg1,3 2,1284 b) = 46 ; p = 7,5; m = 4; = lg lg4 6 = = 6,99 7 Jahre 4 lg1,1875 c) = 11 8 ; p = 1,5; m = 12; = lg19 92 lg11 8 = = 5 Jahre 12 lg1,875 d) = 5 5 ; p = 8,5; m = 2; = lg lg5 5 = = 1 Jahre 2lg1, Herr Bauer legt 2 als moatliches Festgeld a ud verlägert die Alage eischließlich gutgeschriebeer Zise 1 Moate lag. Am Ede des Aufgabesammlug 1. Moats werde ,72 ausbezahlt. a) Wie hoch ist der omielle Zissatz? b) Wie viel Prozet beträgt die effektive jährliche Verzisug? a) p = ;m= 12; = 1+ p = 1 m ,72 p = = 9,75 2 b) = 2 ; z = 1 685,72; t = 3 z , p = = = 1,11 t 2 3

a) p% = 3% b) p% = 7% c) p% = 4,2% d) p% = 3,6% e) p% = 5,3% f) p% = 5,5% g) p% = 6,75% h) p% = 2,2%

a) p% = 3% b) p% = 7% c) p% = 4,2% d) p% = 3,6% e) p% = 5,3% f) p% = 5,5% g) p% = 6,75% h) p% = 2,2% Berufskolleg aufmäische Schule des reises Düre Mathematik-Übugsaufgabe Thema: Ziseszisrechug Schulform: Höhere Hadelsschule Ziseszisrechug eimalige Zahluge 1. Löse die Formel = 0 q ach 0, q bzw. auf. 2.

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