Die Mittelsenkrechte im deduktiven Aufbau

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1 Nr Die Mittelsenkrechte im deduktiven Aufbau Bisher war die Mittelsenkrechte eine Ortslinie Jetzt wird deduktiv geordnet: - Definition der Mittelsenkrechte - Sätze zur Mittelsenkrechten 1

2 Die Mittelsenkrechte im deduktiven Aufbau Definition: Zu einer Strecke AB heißt eine Gerade m Mittelsenkrechte, wenn sie durch die Mitte von AB verläuft und zu AB orthogonal ist. Satz MS-a: Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten m von A und B liegt, dann hat P von A und von B den gleichen Abstand. Satz MS-b: Wenn ein Punkt P von zwei Punkten A und B den gleichen Abstand hat, dann liegt P auf der Mittelsenkrechten m von AB. In der Schule kein Beweis Beweisskizze Folie

3 Die Mittelsenkrechte Definition: Zu einer Strecke AB heißt eine Gerade m Mittelsenkrechte, wenn sie durch die Mitte von AB verläuft und zu AB orthogonal ist. Satz MS-a: Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten m von A und B liegt, dann hat P von A und von B den gleichen Abstand. Beweis: m ist Symmetrieachse von AB. P liegt auf m (Voraussetzung) A und B liegen symmetrisch; AP und BP liegen symmetrisch. Symmetrische Strecken sind gleich lang. P Beweismittel: a) Die MS einer Strecke ist Symmetrieachse der Strecke. b) Symmetrisch liegende Strecken sind gleich lang. A m B 3

4 Die Mittelsenkrechte Satz MS-b: Wenn ein Punkt P von zwei Punkten A und B den gleichen Abstand hat, dann liegt P auf der Mittelsenkrechten m von A und B. Beweis mit Kontraposition: Liegt Q nicht auf m, dann AQ BQ QR + RB > QB (Dreiecksungleichung) und RA = RB Deshalb QR + RA > QB, Deshalb AQ > BQ. P Q Diese Begründung ist nur mit erheblichen formalen Abstrichen in der Schule zu leisten. A m R B C Umsetzungsbeispiele 4

5 Umkreismittelpunkt Satz U-1: Wenn U der Schnittpunkt von zwei Mittelsenkrechten des Dreiecks ABC ist, dann hat U von allen drei Ecken A, B, C denselben Abstand. Beweis: U sei Sch.p. von m c und m b Da U auf m c liegt, ist AU = BU (a) Da U auf m b liegt, ist AU = CU (a) Aus AU = BU und AU = CU folgt AU = BU = CU. Welche Sätze werden verwendet? a) P auf m AP = BP oder / und b) AP = BP P auf m C Umsetzungsbeispiele A mb U ma Begründungs- Kompetenz C B Kommunikations- Kompetenz 5

6 Umkreismittelpunkt Folgerung aus Satz U-1: Zu jedem Dreieck gibt es einen Kreis, der durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks geht. C U A B 6

7 Umkreismittelpunkt Satz U-2: In jedem Dreieck schneiden sich alle drei Mittelsenkrechten in einem gemeinsamen Punkt. C Beweis: U sei Sch.p. von m c und m b Da U auf m c liegt, ist AU = BU (a) Da U auf m b liegt, ist AU = CU (a) Daher BU = CU Daher liegt U auf m a (b) Welche Sätze werden verwendet? a)p auf m AP = BP oder / und b) AP = BP P auf m A U B Begründungskompetenz Kommunikationskompetenz 7

8 Begründungsbasis für Kl. 7-8 Satz v.d. Mittelsenkrechten S.v. Mittelsenkrechten a) S.v. Mittelsenkrechten b) P P s s d d MS MS s P auf MS s = d s = d P auf MS Satz v.d. Winkelhalbierenden S.v. Winkelhalbierenden a) S.v. Winkelhalbierenden b) s d P WH s d P WH P auf WH s = d s = d P auf WH 8

9 Inkreismittelpunkt Satz I-1: Wenn I der Schnittpunkt von zwei Winkelhalbierenden des Dreiecks ABC ist, dann hat I von allen drei Seiten a, b, c denselben Abstand. Folgerung aus Satz I-1: Zu jedem Dreieck gibt es einen Kreis, der durch alle drei Seiten des Dreiecks berührt. Satz I-2: In jedem Dreieck schneiden sich alle drei Winkelhalbierenden in einem gemeinsamen Punkt. 9

10 Begründungsbasis für Kl. 7-8 Scheitelwinkelsatz Wenn zwei Winkel Scheitelwinkel sind, dann sind sie gleich weit. S.v. Nebenwinkel α β α = β Nebenwinkelsatz Wenn zwei Winkel Nebenwinkel sind, dann haben sie zusammen die Winkelweite 180. S.v. Scheitelwinkel α β α + β =

11 Begründungsbasis für Kl. 7-8 Satz vom Stufenwinkel a) Wenn g und h parallel sind, dann sind Stufenwinkel an g und h gleich groß. S.v. Stufenwinkel a) β h α g g h α = β S.v. Stufenwinkel b) Satz vom Stufenwinkel b) Wenn Stufenwinkel an g und h gleich groß sind, dann sind g und h parallel. β h α g α = β g h 11

12 Begründungsbasis für Kl. 7-8 Satz vom Wechselwinkel a) Wenn g und h parallel sind, dann sind Wechselwinkel an g und h gleich groß. S.v. Wechselwinkel a) β h α g g h α = β Satz vom Wechselwinkel b) Wenn Wechselwinkel an g und h gleich groß sind, dann sind g und h parallel. S.v. Wechselwinkel b) β h α g α = β g h 12

13 Winkelsumme im Dreieck Begründungsbasis: Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel Satz: Die Summe der Innenwinkel in jedem Dreieck ist

14 Winkelsumme im Dreieck Wie kommen Schüler auf die Beweisidee? Berechne alle weiteren Winkel?

15 Winkelsumme im Dreieck Beweis, auch in der Schule: g C α* β* γ 1) Zeichne g AB 2) α* = α; WW a) 3) β* = β; WW a) A α β B 4) α*+β*+γ=180 Nebenwinkel 5) α+β+γ=180 ; q.e.d 15

16 Außenwinkel α*, β*, γ* heißen Außenwinkel C γ γ* Es gilt: 1) α* = β+ γ 2) β* = α+ γ 3) γ* = α +β α* α β β* A B 4) α*+ β*+ γ* =

17 Übung Beweise: δ 2 = 2δ 1 δ2 δ1 Winkelhalbierende Winkelhalbierende α β 17

18 Winkelsumme im Vieleck Winkelsumme im Viereck. Begründungsbasis wie beim Dreieck: Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel Oder eine neue Idee? 18