Winkel Wi Schätzaufgabe: Nummeriere die Winkel der Grösse nach! Der kleinste Winkel trägt die Nummer 1, der grösste die Nummer 8!

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1 Winkel Wi 1 1. Schätzaufgae: Nummeriere die Winkel der Grösse nach! Der kleinste Winkel trägt die Nummer 1, der grösste die Nummer 8! a c d e f g h 2. Nummeriere auch diese Winkel, nach Augenmass, der Grösse nach! Achte auf die Grösse der ausgefüllten Winkelogen! a c d e f h i j g 1/09 cm/ Repetition Winkel.doc _ 1 / 15

2 Winkel Wi 2 Winkel kann man messen. Zum Messen von Winkeln rauchst du das Geo-Dreieck. Wie Winkel gemessen werden, zeigt dir die Aildung unten! S Lege das Geodreieck wie ageildet mit der Kante an einen Winkelschenkel. Fahre mit dem Finger von der Winkelspitze S (ei 0cm) entlang des Schenkels, der an der Geodreieckseite anliegt, nach aussen, is du zu jener Skala kommst, die dort 0 anzeigt. Lies auf dieser Gradskala die Gradzahl a! (Fahre auf der Skala von 10, nach 20, is zum anderen Schenkel!) Schreie die Gradzahl auf! 55 Miss die gezeichneten Winkel! Schreie die Gradzahlen in dein Heft! a c f d e 1/09 cm/ Repetition Winkel.doc _ 2 / 15

3 Winkel Wi 3 Es ist dir estimmt aufgefallen, dass das Geodreieck zwei Skalen hat. Die äussere Skala eginnt auf der rechten Seite mit 0; die innere Skala eginnt auf der linken Seite mit 0. Beim Alesen kommt es darauf an, an welchen Winkelschenkel du das Geodreieck legst. Legst du es an den rechten Schenkel, zeigt dieser auf der äusseren Skala durch 0. Also musst du auf der äusseren Skala alesen. Legst du es an den linken Schenkel, zeigt dieser auf der inneren Skala durch 0. Du musst also auf der inneren Skala alesen. Achte darauf, wie das Geodreieck angelegt ist. Lies richtig a und schreie die Gradzahlen in dein Heft. a Miss auch die folgenden Winkel! c d e g f 1/09 cm/ Repetition Winkel.doc _ 3 / 15

4 Winkel Wi 4 Die Teile eines Winkels a 2 S: Scheitelpunkt oder Scheitel a 1 ; a 2 Schenkel Winkelogen S a 1 Die Einteilung der Winkel ezüglich ihrer Grösse haen die Winkel folgende Namen: a 1 = a 2 Nullwinkel = 0 spitzer Winkel: 0 < < 90. rechter Winkel: 90 stumpfer Winkel: 90 < < 180 gestreckter Winkel: = 180 Miss die folgenden Winkel und schreie zur Winkelgrösse auch den richtigen Namen: a c d 1/09 cm/ Repetition Winkel.doc _ 4 / 15

5 Winkel Wi 5 Miss die Winkel auf dieser Seite. Trage in eine Taelle in deinem Heft die Gradzahlen und den zugehörigen Namen ein. Ürigens: falls die Schenkel einmal zu kurz sein sollten verlängere sie mit einem spitzigen Bleistift auf die gewünschte Länge!!! a c d e f h g i 1/09 cm/ Repetition Winkel.doc _ 5 / 15

6 Winkel Wi 6 Zeichnen von Winkeln Aufgae: Du sollst einen Winkel von 52 zeichnen. Vorgehen: Zeichne eine Gerade und markiere darauf den Scheitelpunkt S. S 2. Lege das Geo-Dreieck so an die Gerade, dass der Mittelpunkt auf dem Scheitelpunkt liegt. Fahre mit dem Finger von der Winkelspitze S (ei 0cm) entlang des Schenkels, der an der Geodreieckseite anliegt, nach aussen, is du zu jener Skala kommst, die dort 0 anzeigt. Lies auf dieser Gradskala die Gradzahl a! (Fahre auf der Skala von 10, nach 20, is zu 52!). Markiere diese Stelle mit einem dünnen Strich! S 3. Entferne das Geodreieck! 4. Ziehe vom Scheitelpunkt aus den zweiten Winkelschenkel durch die Markierung! S 5. Markiere nun den Winkelogen und schreie die richtige Gradzahl zum Winkel! 52 S Zeichne in dein Heft die folgenden Winkel und zeige die Ergenisse anschliessend deinem Lehrer zur Kontrolle: Zeichne eenso die folgenden Winkel, genau nach dem Schema, wie es oen gezeigt wurde: a ) 34 ) 56 c ) 87 d ) 15 e ) 60 f ) 95 g ) 106 h ) 175 i ) 135 j ) 90 1/09 cm/ Repetition Winkel.doc _ 6 / 15

7 Winkel Wi 7 Selstverständlich git es auch Winkel die mehr als 180 messen. Sie werden üerstumpfe Winkel genannt und messen 180 < < 360 Weitere Winkelarten: üerstumpfe Winkel Vollwinkel = 360 Auch diese Winkel können gemessen werden: 1. Verlängere einen Winkelschenkel üer die Mitte hinaus (kann auch gedanklich geschehen!) 2. Auf diese Weise hast du einen gestreckten Winkel. Er misst Miss jetzt den Rest des üermässigen Winkels mit dem Geodreieck! 4. Zähle die Messung zu 180 dazu! gestreckter Winkel Messung 150 = üermässiger Winkel Miss die eiden üerstumpfen Winkel wie im Beispiel: a 1/09 cm/ Repetition Winkel.doc _ 7 / 15

8 Winkel Wi 8 Zeichnen von üerstumpfen Winkeln: Aufgae: Zeichne einen Winkel von 287. Vorgehen: 1. Markiere auf einer Geraden einen Scheitelpunkt. 2. Du siehst, dass dadurch ein gestreckter Winkel (180 ) entstanden ist. Nun führe folgende Rechnung durch: = Lege nun das Geo-Dreieck wie ageildet an den Winkelschenkel und trage die fehlenden 107 a. 4. Ziehe vom Scheitelpunkt des Winkels den zweiten Winkelschenkel und markiere den Winkel mit einem Bogen. (Üerlege dir gut, welchen Teil des Winkels du markierst!) 287 Zeichne in dein Heft die folgenden Winkel: a ) 272 ) 316 c ) 237 d ) 355 Zeige die Ergenisse deinem Lehrer zur Kontrolle! Die Namen der Winkel Wie du ereits weisst, werden Strecken und Geraden mit lateinischen Kleinuchstaen und Punkte mit Grossuchstaen ezeichnet. Die Winkel werden mit kleinen griechischen Buchstaen ezeichnet: Bezeichnung Aussprache Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Phi 1/09 cm/ Repetition Winkel.doc _ 8 / 15

9 Winkel Wi 9 Bezüglich ihrer Lage haen Winkel ganz spezielle Grössen und Namen: Sie sind entweder gleich gross, oder ergeen zusammen 180. Winkelpaare Schneiden sich zwei Geraden, so entstehen vier Winkel. Je zwei davon ilden: Neenwinkel Scheitelwinkel Winkel die einen Schenkel gemeinsam haen werden Neenwinkel genannt. Neenwinkel ergänzen sich auf 180. (Sie liegen neeneinander) Winkel die sich gegenüer liegen sind gleich gross und werden Scheitelwinkel genannt. Winkel an parallelen Geraden Werden zwei Parallelen von einer Geraden geschnitten, so entstehen acht Winkel. Je zwei Winkel sind entweder gleich gross oder ergänzen sich auf 180. Winkel, die ei einer Parallelverschieung aufeinander ageildet werden, heissen Stufenwinkel. Stufenwinkel sind gleich gross. Winkel, die durch eine Parallelverschieung zu Scheitelwinkeln werden, heissen Wechselwinkel. Wechselwinkel sind gleich gross. Winkel, die ei einer Parallelverschieung zu Neenwinkeln werden, heissen Entgegengesetzte Winkel. Entgegengesetzte Winkel ergänzen sich auf /09 cm/ Repetition Winkel.doc _ 9 / 15

10 Winkel Wi 10 Wenn du die vorherige Seite gut studiert hast, kannst du die Grösse der folgenden Winkel durch Üerlegung herausfinden. Schreie Nummer, Grösse in Grad und Name des Winkels (ezüglich den gegeenen Winkeln) in dein Heft. Amessen nützt nichts, die Grössen der Winkel sind nur so hingeschrieen und stimmen nicht mit der Wirklichen Grösse üerein. a) ) Achte gut darauf welche der Geraden parallel sind!!! Winkelmasse: Jedes Grad ist unterteilt in Winkelminuten (Geschrieen als ) 1 Grad = 60 Winkelminuten / 1 Winkelminute = 60 Winkelsekunden Anstelle von Winkelminuten und Winkelsekunden darf man auch einfach von Minuten und Sekunden sprechen. 1 Grad = 60 Minuten = 3600 Sekunden 1 = 60 = 3600 Aufgaen (rechne ohne Taschenrechner!) 1. Ein Winkel hat die Grösse = Wie gross ist sein Neenwinkel? ( Tipp: Wenn du 180 umwandelst in kannst du schriftlich sutrahieren) 2. Ein Winkel ist dreimal grösser als sein Neenwinkel. Wie gross sind die eiden Winkel? 3. Im Parallelogramm (verschoenes Rechteck: je zwei gegenüerliegende Seiten sind parallel) ist AB = 7,4 cm; BC = 4,6 cm und der Winkel ABC = 52. Zeichne das Parallelogramm und erechne die Grössen der Innenwinkel. 4. Addiere die eiden folgenden Winkel und ergänze sie auf 90 a ) = , = ) = , = /09 cm/ Repetition Winkel.doc _ 10 / 15

11 Winkel Wi 11 Umrechnungen Dezimalzahl in Grad, Minuten und Sekunden umrechnen Winkel werden nicht nur in Grad, sondern auch in Minuten ( ) und Sekunden ( ) eingeteilt. Daei gilt: 1 = 60 (1 Grad = 60 Minuten) 1 = 60 (1 Minute = 60 Sekunden) 1 = 60 = 3600 Mit dem Taschenrechner ist das kein Prolem: Aufgae: Wandle 82,28 um in Grad, Minuten und Sekunden Vorgehen: Tippe 82,28 ein und drücke die Taste. Wähle mit dem Cursor aus und drücke Enter du hast jetzt 82,28 eingegeen. Um diese Eingae in Grad, Minuten und Sekunden umzuwandeln musst du erneut die Taste drücken, jetzt jedoch mit dem Cursor DMS auswählen (liegt ganz rechts verorgen; oder mit dem Cursor um 1 Schritt nach links) und Enter drücken. du erhältst jetzt das Ergenis: [DMS: in Grad (Degree), Minuten und Sekunden umwandeln) Wandle die folgenden Dezimalrüche um in Grad, Minuten und Sekunden 1) 44,8 2) 128,4 3) 281,2 4) 62,55 5) 98,15 6) 213,95 7) 28,61 8) 109,82 9) 173,26 Grad, Minuten und Sekunden in eine Dezimalzahl umrechnen Aufgae: Wandle in eine Dezimalzahl um. Vorgehen: Tippe 18 ein und drücke die Taste. Wähle mit dem Cursor aus und drücke Enter in der Anzeige erscheint jetzt 18. Tippe nun 22 ein und wähle etc. In der Anzeige hast du jetzt Um diese Eingae in eine Dezimalzahl umzuwandeln musst du erneut Enter drücken und schon erscheint die entsprechende Dezimalzahl: 18,37 Rechne in Dezimalzahlen um: 10) ) ) ) ) ) ) ) ) /09 cm/ Repetition Winkel.doc _ 11 / 15

12 Winkel Wi 12 Die Winkel im Dreieck Miss die angeschrieenen Winkel im gezeichneten Dreieck! Schreie deine Messungen entsprechend der Vorlage ins Areitsheft und addiere die drei Winkel. Was stellst du fest? = = Ergänze den folgenden Satz und schreie ihn in dein Heft. = Die Summe aller Winkel im Dreieck eträgt! Miss die Winkel in den folgenden Dreiecken und kontrolliere, o die Aussage, dass die Winkelsumme im Dreieck 180 eträgt, immer stimmt. = = = = = = = = = = = = = = = 1/09 cm/ Repetition Winkel.doc _ 12 / 15

13 Winkel Wi 13 Die Winkel im Viereck Jede Figur mit mehr als drei Ecken lässt sich in Dreiecke zerlegen: Ein Viereck lässt sich also in zwei Dreiecke zerlegen. Jedes Dreieck hat eine Winkelsumme von 180. Somit hat ein Viereck eine Winkelsumme von: = 360 Die Winkelsumme im Viereck eträgt 360 Miss die Winkel in allen gezeichneten Vierecken! Üertrage deine Messungen in dein Heft und üerprüfe durch Addition der entsprechenden Winkel die oige Aussage: Winkelüertragung Aufgae: Üertrage einen gegeenen Winkel (45 ) mit Zirkel und Lineal (ohne zu messen!) auf eine gegeene Strecke. Führe die Konstruktion durch und erkläre die vier Bilder. Zeichne zunächst mit dem Geo-Dreieck die Winkel = 40 und = 70 in dein Heft. Konstruiere dann ohne Geodreieck, indem du gemäss oigem Verfahren die Winkel üerträgst: a) 2 ) + 2 c) 2 d) 3 Zeige die Ergenisse deinem Lehrer. 1/09 cm/ Repetition Winkel.doc _ 13 / 15

14 Winkel Wi 14 Die Winkel im Fünfeck und Sechseck Genau wie das Viereck lassen sich alle Vielecke in Dreiecke zerlegen. Mit dieser Methode lässt sich die Winkelsumme in allen Vielecken erechnen: Da das Fünfeck in drei Dreiecke zerlegt werden kann, eträgt die Winkelsumme: = 540 Genauso lässt sich ein Sechseck in Dreiecke zerlegen. Winkelsumme: = 720 Miss die Winkel in allen gezeichneten Vielecken! Üertrage die Messungen in dein Heft und üerprüfe durch Addition der entsprechenden Winkel die oigen Aussagen: 1/09 cm/ Repetition Winkel.doc _ 14 / 15

15 Winkel Wi 15 Besondere Winkel Der Tiefenwinkel: Waagrechte Der Tiefenwinkel wird von der Waagrechten nach unten gemessen! sieht das Flussufer unter einem Tiefenwinkel von Der Höhenwinkel: Der Höhenwinkel wird von der Waagrechten nach oen gemessen! Waagrechte sieht die Spitze eines Hochhauses unter einem Höhenwinkel von Der Sehwinkel: Der Sehwinkel ist der Winkel zwischen zwei gegeenen Punkten (von einem Standort aus etrachtet). Löse die folgenden Üungen in dein Heft: sieht vom Balkon aus einen Turm unter einem Sehwinkel von 1) Bestimme mit Hilfe einer massstälichen Zeichnung die Höhe eines Turmes, wenn der Betrachter 50 m vom Fuss des Turms entfernt ist und den oeren Rand des Turms unter einem Höhenwinkel von 48 erkennt. 2) Max steht auf dem Balkon seines Hauses in einer Höhe von 8 m üer dem Boden. Er erkennt den 80 m entfernten Kirchturm unter einem Sehwinkel von 35. Bestimme mit Hilfe einer massstälichen Zeichnung die Höhe des Kirchturms. 3) Veronika, auf der Dachterrasse eines 70 m hohen Hauses stehend, erkennt das Ufer eines Flusses unter einem Tiefenwinkel von 41. a) Bestimme mit Hilfe einer massstälichen Zeichnung die Entfernung des Flusses vom Haus. ) Veronika erkennt das andere Ufer des Flusses unter einem Tiefenwinkel von 32. Bestimme die Breite des Flusses. 1/09 cm/ Repetition Winkel.doc _ 15 / 15

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