2 Mathematische Grundlagen

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1 Mthemtische Grudlge. Mthemtische Grudbegriffe.. Grudgesetze Kommuttivgesetze + b b + b b ssozitivgesetze ( + b) + c + (b + c) ( b) c (b c) Distributivgesetz (b + c) b + c.. Gesetze der ordug < b b > (b ) > 0 us < b folgt: + c < b + c c < b c we c > 0 us < b folgt: > b > b we > 0..3 bsoluter Betrg - Sigum Defiitioe Gesetze Betrg Sigum > 0 sg + b + b 0 0 sg 0 b b < 0 sg Bruchreche Erweiter dditio Multipliktio b b z z Neer stets ugleich Null b + c d + b c d b d b c d c b d Kürze Subtrktio Divisio z b z z : z b z : z b b c d c b d b d b : c d d b c F. J. Gruber, R. Joeckel, Formelsmmlug für ds Vermessugswese, DOI 0.007/ _, Spriger Fchmedie Wiesbde 04

2 x + b y c eideutige Lösug, we : D b b 0. Mthemtische Grudbegriffe 9..5 Liere Gleichugssysteme x + b y c x c b c b b b y c c b b..6 Qudrtische Gleichuge llgemeie Form: x + bx + c 0 x, b b 4c D b 4c Normlform: x + px + q 0 x, p p q D p q D > 0 : Lösuge D 0 : Lösug D < 0 : keie reelle Lösug..7 Poteze - Wurzel Defiitioe Produkt vo gleiche Fktore 0 ( 0) x x Recheregel: m m+ b b m : m : b b ( m ) m ( ) m m m m b ( b) m m m m : b ( : b)

3 0 Mthemtische Grudlge..8 Logrithme Defiitio x log b b x, b > 0 ud b log b b ; log b 0 Rechegesetze log u v log u + log v Soderfälle log 0 x lgx log u v log u log v log e x lx log u log u log x lb x log u log u Umrechug vo Bsis g uf Bsis b log b x log b g log g x log b g log g b lgx lg e lx 0,43494lx lx l0 lgx,30585lgx..9 Folge - Reihe Folge,,, rithmetische Folge Reihe k k s rithmetische Reihe + ( )d s ( + ) d kostt Geometrische Folge Geometrische Reihe q s q q q q q q kostt Uedliche geometrische Reihe s lim s q q <

4 . Mthemtische Grudbegriffe..0 Biomischer Stz llgemeier biomischer Stz ( + b) 0 + b + b + + Biomilkoeffiziete b + b k ( ) ( ) ( k + ) 3 k! k!( k)! k 0 Biomische Formel ( + b) + b + b ( b) b + b ( + b) b + 3b + b 3 ( b) b + 3b b 3 + b icht zerlegbr b ( + b)( b) 3 + b 3 ( + b)( b + b ) 3 b 3 ( b)( + b + b ) b ( b)( + b + 3 b + + b ) b ( b )( + b ).. - Fkultät! 3 Defiitioe 0! ;! chtug! 70! > Verschiedee Mittelwerte M H M G M llgemeies rithmetisches Mittel rithmetisches Mittel Geometrisches Mittel M p + p + + p [p i ] M M G p Gewicht Hrmoisches Mittel M H + + +

5 Mthemtische Grudlge. Differetilrechug.. bleitug Fuktio f(x) : Erste bleitug: f (x) oder bleitugsregel df(x) dx Potezregel Produktregel Quotieteregel Ketteregel f(x) x f(x) u(x) v(x) f(x) u(x) v(x) f(x) u(v(x)) f (x) x f (x) v(x) u (x) +v (x) u(x) f (x) v(x) u (x) + v (x) u(x) (v(x)) f (x) u (v(x)) v (x) Tbelle vo bleituge f(x) f (x) f(x) f (x) c 0 si x cos x x x cos x six x x t x cos x x x cot x si x e x e x rcsi x x x x l rccos x x l x x rct x + x log x x l rccot x + x

6 . Differetilrechug 3.. Potezreiheetwicklug TYLORsche Formel MCLURINsche Form f(x) f(0) + f (0)! x + f (0)! x + x + + f () (0) x! + R (x) Restglied: R (x) wobei 0 < ϑ < ( + )! f ( +) (x) llgemeie Form f (x 0 + h) f (x 0 ) + f (x 0 )! h + f (x 0 )! h + + f () (x 0 ) h! + R (h) Restglied: R (h)! x 0 +h (x 0 + h x) f ( +) (x)dx x 0 ( + x) m + m x + m x + m 3 x3 + + x x + x x x x x 6 5 x3 + e x + x! + x! + x3 3! + x < x < x < für lle x l( + x) x x + x3 3 + lx x x x x + six x! x3 3! + x5 5! x7 7! + cosx x! + x4 4! x6 6! x x + tx x + 3 x3 + 5 x x < x + x > 0 für lle x für lle x für lle x < rcsix x + x x x x rctx x x3 3 + x5 5 x7 7 + x

7 4 Mthemtische Grudlge.3 Mtrizerechug.3. Defiitioe Mtrix : System vo Elemete ik mit i m ud k i m Zeile ud Splte geordet (m,) 3 3 m m m3 m Rechteckige Mtrix: m Qudrtische Mtrix: m Sklr: m Vektor: eizeilige Mtrix Zeilevektor eispltige Mtrix Spltevektor m Nullmtrix: lle Elemete ik 0 Digolmtrix: Eiheitsmtrix: qudrtische Mtrix bei der lle Elemete ußerhlb der Huptdigole 0 ik 0 für lle i k Digolmtrix mit ii für lle i Symmetrische Mtrix: qudrtische Mtrix mit ik ki für lle Gleichheit vo Mtrize: B we ik b ik für lle i, k i, k.3. Reche mit Mtrize dditio ud Subtrktio B C ik b ik c ik i m ; k Die dditio vo Mtrize ist - kommuttiv: + B B + C - ssozitiv: + (B + C) ( + B) + C Zwische dditio ud Subtrktio besteht i der Gesetzmäßigkeit kei Uterschied

8 .3 Mtrizerechug 5 Trspoiere eier Mtrix Eie Mtrix wird trspoiert, idem m ihre Zeile ud Splte vertuscht T : ik ki i m ; k Für symmetrische Mtrize gilt: T Regel: ( T ) T ( B) T B T T ( B C) T C T B T T Mtrizemultipliktio (m,) B (,p) C (m,p) B (,p) c ik j ij b jk b b k b p b b k b p i m ; k p (m,) i i m m c c k c p c i c ik c i p c m c mk c m p C (m,p) Für die Multipliktio müsse die Mtrize ud B verkettbr sei. Dies ist ur möglich, we die Spltezhl vo mit der Zeilezhl vo B übereistimmt. Die Mtrizemultipliktio ist i der Regel icht kommuttiv: B B ber distributiv: ud ssozitiv: (B + C) B + C B C (B C) ( B) C Mtrizeiversio Existiert eie Mtrix B mit B B E (Eiheitsmtrix), d ist B die zu iverse Mtrix ud wird mit bezeichet, lso E ( qudrtisch) KRMERsche Regel für symmetrische Mtrize D mit D D b b b 3 b b b 3 b 3 b 3 b 33 mit D b b + 3 b 3 b 33 3 b b 33 3 b b 33 b 3 3 3

9 6 Mthemtische Grudlge.4 Ebee Geometrie.4. rte vo Wikel Nebewikel betrge zusmme 00 go + 00 go Scheitelwikel sid gleich groß Stufewikel geschittee Prllele sid gleich groß Wechselwikel geschittee Prllele sid gleich groß Wikel ußewikel Wikelsumme dere Schekel prweise ufeider sekrecht stehe, sid etweder gleich groß oder ergäze eider zu 00 go Im Dreieck ist ei ußewikel gleich der Summe der beide icht liegede Iewikel + Im Dreieck ist die Summe der Iewikel 00 go Im Viereck ist die Summe der Iewikel 400 go Im -Eck ist die Summe der Iewikel ( - ) 00 go '.4. Kogruezsätze Dreiecke sid kogruet (deckugsgleich), we sie übereistimme i: ) drei Seite SSS b) zwei Seite ud dem vo diese eigeschlossee Wikel SWS c) zwei Seite ud dem Gegewikel der lägere Seite SSW d) eier Seite ud de beide liegede Wikel WSW eier Seite ud zwei gleichliegede Wikel WWS.4.3 Ählichkeitssätze Zwei Dreiecke sid ählich, we: ) drei Pre etsprecheder Seite dsselbe Verhältis hbe b) zwei Pre etsprecheder Seite dsselbe Verhältis hbe ud die vo diese Seite eigeschlossee Wikel übereistimme c) zwei Pre etsprecheder Seite dsselbe Verhältis hbe ud die Gegewikel der lägere Seite übereistimme d) zwei Wikel übereistimme

10 .4 Ebee Geometrie Strhlesätze. Strhlestz ' S : S SB : SB (B). Strhlestz B : B S : S () S B B'.4.5 Teilug eier Strecke Teilugsverhältis Ti B b b T Iere Teilug Äußere Teilug T i : T i B : b T : T B : b T i ierer Teilpukt T äußerer Teilpukt Hrmoische Teilug Eie hrmoische Teilug liegt vor, we eie Strecke uße ud ie im gleiche Verhältis geteilt wird T i : T i B T : T B : b Stetige Teilug (Goldeer Schitt) : x x : ( x) B x / x ( 5 ) x TS -x B