Mathematik für Biologen

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1 Vorbskript zur Vorlesung Mthemtik für Biologen Wintersemester 05/ 6 Prof. Dr. Helmut Mier Dr. Hns- Peter Reck Institut für Zhlentheorie und Whrscheinlichkeitstheorie Universität Ulm

2 Inhltsverzeichnis Grundlgen 4. Mengen Die Menge der reellen Zhlen Anordnung der reellen Zhlen Summen und Produkte Vollständige Induktion und Bernoulli-Ungleichung Der Binomische Lehrstz Funktionen Folgen und Reihen 9. Folgen Potenzen reeller Zhlen Exponentilfunktion Reihen Elementre Funktionen Polynome Trigonometrische Funktionen Funktionsgrenzwerte Stetigkeit Differentilrechnung Ableitungen.Ordnung Lokle Extrem Integrlrechnung 4 5. Riemnn-Integrl Berechnung von Integrlen Uneigentliche Integrle

3 6 Linere Algebr Mtrizen Linere Gleichungssysteme Die Inverse Mtrix

4 Kpitel Grundlgen Zu einer einfchen Beschreibung von mthemtischen Zusmmenhängen dient der Begriff der Menge.. Mengen. Definition: Eine Menge ist eine Zusmmenfssung von Objekten. Diese Objekte werden Elemente der Menge gennnt. Schreibweise: x M bedeutet, dss x ein Element der Menge M ist, lso zu M gehört. x M bedeutet, dss x kein Element der Menge M ist, lso nicht zu M gehört. Bemerkung: Dieser nive Mengenbegriff geht uf Georg Cntor ( zurück. In der höheren Mthemtik entstehen mit dieser Definition Probleme, ws zur Russellschen Antinomie führt. Deshlb gibt es eien xiomtische Mengenlehre in der Mthemtik. Bemerkung: Für unsere Zwecke reicht der Mengenbegriff im Sinne der Definition.. Beschereibung von Mengen: ufzählende Beschreibung: M {, b, c,..., x, y, z} M {, 3, 5} M {, } M {S, T } M {r, g}. chrkterisierende Beschreibung: M {x: x ht Eigenchft E}. 4

5 Bemerkung: Mnchml sind uch beide Schreibweisen gleichzeitig möglich: M {B, I, O, L, O, G, I, E} M {B, I, O, L, G, I, E} M 3 {B, I, O, L, G, E} M 4 {x: x ist ein Buchstbe im Wort Biologie }. Die Gleichheit der Mengen M, M und M 3 ergibt sich us der nächsten Definition.. Definition: (Verknüpfungen von Mengen Es seien M und M Mengen. i Mn nennt M Teilmenge von M (Schreibweise: M M, wenn für lle x M uch x M gilt. ii Die Mengen M und M heißen gleich (Schreibweise: M M, wenn M M und M M gilt. iii Die Vereinigung der Mengen M und M ist durch definiert. M M {x: x M oder x M } iv Der Durchschnitt der Mengen M und M ist durch definiert. M M {x: x M und x M } v Die Differenz der Mengen M und M ist durch definiert. M \M {x: x M und x M } vi Die Menge, die kein Element ht, bezeichnet mn ls leere Menge. vii Die Mengen M und M heißen disjunkt (durchschnittsleer, wenn M M gilt. viii Flls lle uftretenden Mengen M Teilmengen einer Grundmenge X sind, so nennt mn X die Grundmenge. Für M X heißt dnn M C X\M ds Komplement von M, lso M C {x X : x M}. ix Für eine Menge M bezeichnet mn mit M (selten uch mit #M die Anzhl ihrer Elemente. So gilt etw für M {,, 3} und M {5, 6, 7, 8,...} einerseits M 3 und M (unendlich. Bemerkung : Gelegentlich ist uch noch folgende Formulierung üblich: Mn nennt M echte Teilmenge von M (Schreibweise: M M, wenn M M und ein x M mit x M existiert. Meist schreibt mn M M und lässt dbei beide Fälle zu. Mit dieser Vereinbrung fhren wir b nun fort. 5

6 .3 Beispiele: Es sei die Grundmenge durch X {0,,,..., 9} gegeben. Weiter gelte A {, 3, 4, 5} und B 4, 5, 6, 7}C. Dnn gelten folgende Aussgen: i A C X\A {0,, 6, 7, 8, 9} ii A B {4, 5} iii A B {, 3, 4, 5, 6, 7} iv A\B {, 3} v B\A {6, 7} vi (A\B (B\A {, 3} {6, 7} vii X #X 0, A #A 4, B #B 4.4 Venn- Digrmme (uch Eulersche Kreise: Mengen und Verknüpfungen von Mengen lssen sich in sogennnten Venn- Digrmmen drstellen. Rechenregeln für Mengen formuliert:.5 Lemm: Es sei Ω eine Grundmenge, und es seien A, B, C Mengen mit A Ω, B Ω und C Ω. Dnn gelten folgende Aussgen: i A A, A, A Ω Ω und A Ω A Diese Aussgen lssen sich llgemeiner formulieren: Für A B gilt A B A und A B B ii Es gelten die de Morgnschen Gesetze : (A B C A C B C und (A B C A C B C Es gilt ds Assozitivgesetz: A (B C (A B C A B C und A (B C (A B C A B C Es gilt ds Distributivgesetz: A (B C (A B (A C und A (B C (A B (A C Beweis: (von (iv, erste Gleichung Wir zeigen zuerst A (B C (A B (A C. Es gilt x A (B C x A oder x B C. Es sei x A. Dnn folgt x A B und x A C. Somit gilt x (A B (A C. Es sei x B C. Dnn folgt x B und x C. Somit gilt uch x A B und x A C, worus wieder x (A B (A C folgt. Also gilt A (B C (A B (A C. Wir zeigen noch (A B (A C A (B C. Es gilt x (A B (A C x A B und x A C. Es sei x A. Dnn folgt x A (B C. Es sei x A. Dnn folgt x B und x C, lso x B C. Somit gilt uch x A (B C. Also gilt uch (A B (A C A (B C und dmit die Behuptung. 6

7 . Die Menge der reellen Zhlen Für den Zhlenufbu gelten die folgenden Inklusionen: Dbei gilt: Menge der ntürlichen Zhlen: sowie N N 0 Z Q R. N {,, 3,...} N 0 {0,,, 3,...} N {0}. Die Menge N ist bgeschlossen bzgl. der Addition und der Multipliktion, d.h. n, m N (N 0 gilt n + m N (N 0 und n m N (N 0. Aber: N (N 0 ist nicht bgeschlossen bzgl. der Differenz: 3 5 N (N 0. Menge der gnzen Zhlen: Z {0,,, 3,...} N. Die Menge Z ist bgeschlossen bzgl. der Addition, Subtrktion und der Multipliktion, d.h. n, m Z gilt n + m Z, n m Z und n m Z. Aber: Z ist nicht bgeschlossen bzgl. der Division: 3 Z und 5 Z, ber 3 5 Z. Menge der rtionlen Zhlen: Für q, q Q gilt jetzt Q {x: x m, m Z, n N}. n q ± q Q, q q Q und q q Q, flls q 0. Also ist Q bgeschlossen gegenüber den vier Grundrechenrten. Hinweis: Die Menge der rtionlen Zhlen ist dennoch zu klein! Will mn jedem Punkt uf der Zhlengerden eine Zhl zuordnen, so reichen die obigen Zhlenmengen nicht us..6 Stz: Es gibt kein x Q mit x x x. Beweis: (indirekt, tertium non dtur Hilfsüberlegung: Es sei p N und p eine gerde Zhl, lso p. Dnn ist uch p eine gerde Zhl. 7

8 Beweis: Wir nehmen n, p sei ungerde. Dnn sind p + und p gerde, womit uch (p + (p p gerde ist. Dnn wäre ber p ungerde, ein Widerspruch. Beweis des Stzes: Wir nehmen n, es gelte p q mit p N, q N und p und q seien teilerfremd. Dnn gilt p q p q, womit p gerde ist und nch der Hilfsüberlegung somit uch p. Also gilt p r, worus p 4r q q r folgt. Somit ist q und dmit uch q gerde, d.h. q s. Also könnte mn p q durch kürzen, ein Widerspruch. Dmit ist die Annhme flsch, weswegen die Behuptung gilt. Ergänzung: Anlog gilt: hben keine rtionlen Lösungen. x 3, x 3, x 7 Menge der reellen Zhlen: Die Menge R besteht us den rtionlen un den irrtionlen Zhlen. R : {x: x ist Dezimlbruch x m, 3..., m Z,,, 3... {0,,,..., 9}}. Hinweis: rtionle Zhl: endlicher oder periodischer Dezimlbruch irrtionle Zhl: unendlicher nichtperiodischer Dezimlbruch. Beispiele: , 75 Q (rtionl. 3 0, 333 Q, denn x 0, lso x 3. (0x 3, x 3, 3. 0, 5675 Q, denn lso x x 567, 5... (0000x x 508, 8

9 4. Q (irrtionl 5. π Q (irrtionl 6. e Q (irrtionl Für rtionle Zhlen gilt noch der folgende Stz: Eine rtionle Zhl m n Q ist ls endlicher oder (gemischt- periodischer Dezimlbruch drstellbr. Beispiele:. 3, 57 3, , , Anordnung der reellen Zhlen Identifiziert mn die reellen Zhlen mit der Zhlengerden, so erhält mn eine Ordnung uf R: kleiner ls b : links von b < b. Beispiele: 0 < 3, < 7, 3 <. Nottion: b > : < b b : < b oder b b : b > oder b..7 Rechenregeln: Für ds Rechnen mit Ungleichungen gelten die folgenden Regeln: Für lle, b, c, d R gilt (R0 < b oder b oder > b (R < b und c < d + c < b + d c < b c für c > 0 (R < b c b c für c 0 c > b c für c < 0. (R3 > 0, b > 0, < b 0 < b < (R4 < 0, b < 0, < b b < < 0 (R5 < b, b < c < c (Trnsitivität 9

10 .8 Definition: Der (bsolute Betrg einer reellen Zhl R (Schreibweise: ist { für 0 für < 0. Interprettion: Abstnd der Zhl uf der Zhlengerden vom Nullpunkt. Eigenschften des Betrges: b b 6. b b für b b + b (Dreiecksungleichung Beweis: Wenn + b 0, dnn gilt + b + b + b. Flls + b 0, dnn gilt + b b ( + ( b + b + b. 8. b c c b c Beweis: Offenbr gilt c 0. Flls b 0, dnn folgt b c c 0 b c. Flls b 0, dnn folgt b c b c c b 0 c..4 Summen und Produkte.9 Definition: Für m, n C mit m n und x k R, k N, sei 0

11 n x l x m + x m x n lm Beispiele: 4 ( l l l (l + ( l l l3 ( l ( 3 + ( 4 + ( 5 Es gelten die folgenden Rechenregeln.0 Stz: Für n N gilt. n l x l + n l y l n l (x l + y l, wobei x l, y l R.. n l x l n l x l, wobei R 3. n l0 x l+ n+ l x l (unterschiedliche Drstellung desselben Wertes. Beweis: (nur zu 3. n l0 x l+ x + x x n n+ l x l x + x x n.. Stz: Für n N, n gilt. n i n. n k k n (n+ 3. n k (x k+ x k x n+ x (Teleskopsumme 4. n Beweis:. Trivil k xk xn+ x, x (geometrische Summenformel. Beweisen wir später mit vollständiger Induktion.

12 3. Beweisen wir später mit vollständiger Indutkion. 4. n n n n n ( x x k x k x x k x k x k+ k0 k0 k0 k0 k0 (x 0 + x + x x n (x + x x n + x n+ x 0 x n+ x n+ Definition.: Für m, n N mit m < n sei. n km x k : x m x m+... x n. n! : n k k 3... n (n-fkultät 3. 0! : Beispiel:. 3 k k ! Vollständige Induktion und Bernoulli-Ungleichung Idee: A(n sei eine Aussge, die von einer ntürlichen Zhl n N bhängt. Um zu zeigen, dss A(n für lle ntürlichen Zhlen n N gilt, geht mn in zwei Schritten vor:. Zeige: A( ist gültig;. Zeige: us der Gültigkeit von A(n folgt stets die Gültigkeit von A(n + ; dnn ist die Aussge A(n für lle n N gültig.. Lemm: (Vollständige Induktion. n k k n (n+ Beweis: Für n folgt k k ( +, ws eine whre Aussge ist (Induktionsnfng. Die Behuptung gelte nun für ein n N (Induktionsvorussetzung. Zu zeigen ist, dss die Behuptung uch für n + gilt: n+ n k k + (n + k k n (n + + n +,

13 wobei die letzte Gleichheit nch Induktionsvorussetzung gilt. Weiter folgt n (n + + n + n (n + + (n + (n + (n + und dmit die Behuptung.. n k (x k+ x k x n+ x Beweis: Für n folgt (x k+ x k x x x + x, k ws eine whre Aussge ist. (Induktionsnfng. Die Behuptung gelte nun für ein n N (Induktionsvorussetzung. Zu zeigen ist, dss die Behuptung uch für n + gilt: n+ (x k+ x k k n (x k+ x k + (x n+ x n+ x n+ x + x n+ x n+ x n+ x, k wobei die vorletzte Gleichheit nch Induktionsvorussetzung gilt. 3. Bernoulli-Ungleichung Sei x >, x R; dnn gilt für lle n N: ( + x n + n x Beweis: Für n folgt ( + x + x, ws eine whre Aussge ist. (Induktionsnfng. Die Behuptung gelte nun für ein n N (Induktionsvorussetzung. Zu zeigen ist, dss die Behuptung uch für n + gilt: ( + x n+ ( + x n ( + x ( + n x ( + x, wobei die Ungleichung us der Induktionsvorussetzung folgt. Weiter gilt: ( + n x ( + x + n x + x + n x + (n + x + n x + (n + x, weil n x > 0. Dmit folgt die Behuptung. 4. Die Zhl 9 n ist für jedes n N durch 8 teilbr (ohne Rest, d.h. 9 n 8 N 3

14 Beweis: Für n folgt 9 8 N, 8 ws eine whre Aussge ist. (Induktionsnfng. Die Behuptung gelte nun für ein n N (Induktionsvorussetzung. Zu zeigen ist, dss die Behuptung uch für n + gilt: 9 n 8 k N 9 n 8k +. Weiter gilt: 9 n 8 9 9n 8 9 (8k + 8 7k + 8 9k +, 8 worus die Behuptung folgt, weil 9k + N. 7k Bei vollständiger Induktion sind beide Schritte wichtig; dies zeigen die beiden folgenden Beispiele: Nch Leonhrd Euler liefert p n n + 4 für n,, 3,..., 40 die Primzhlen p 4, 43, 47,..., 60 ; die Vermutung, dss dies für lle n N gilt ist flsch: n 4 liefert p 4 (keine Primzhl. unvollständige Induktion Behuptung: n k k n (n + ws nch. flsch ist. Es gibt keine Induktionsvernkerung ber der Induktionsschluss lässt sich durchführen: + 3, n+ n k k + (n + k k nch Induktionsvorussetzung. Weiter gilt n (n n +, n (n n + n (n (n + (n + (n unvollständige Induktion.6 Der Binomische Lehrstz Motivtion. In ein Bücherregl sollen 0 Bücher eingeordnet werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese einzuordnen?.buch: 0 Möglichkeiten.Buch: 9 Möglichkeiten 4

15 3.Buch: 8 Möglichkeiten... 0.Buch: Möglichkeit Anzhl der Möglichkeiten: !. Wie viele Möglichkeiten gibt es, us diesen 0 Büchern 3 Exemplre zu entnehmen? ! 7! 3. Legt mn in. keinen Wert uf die Reihenfolge, so reduziert sich die Anzhl von 0! 7! uf 0! 7! 3! Hinweis: Die Anzhl der Anordnung von n Zhlen ist gegeben durch 3... n n! Beispiel: X {,, 3}, 3! 6; Dies gibt Anlss zu folgender Definition: (,, 3; (, 3, ; (3,, ; (, 3, ; (,, 3; (3,, Definition. (Binomilkoeffizient Für k N 0, n N 0 mit 0 k n sei ( n : k n! k! (n k! ( n k heißt Binomilkoeffizient; speziell: ( n 0 Sprechweise: n über k Beispiele:. ( 5 3. ( 4 4 5! 3! (5 3! 5! 3!! ! 4! (4 4! 0! 3. ( 6 6! 3 3! 3! Stz.4(Eigenschften des Binomilkoeffizienten 5

16 . für n N gilt n! (n! n. für k, n N mit k n gilt ( ( n k n n k 3. für k, n N mit k > n setzen wir ( n k 0 4. für k, n N mit k n gilt ( ( n k + n ( k+ n+ k+ Beweis. trivil. ( n k n! k! (n k! und ( n n k 3. nichts zu zeigen n! (n k! (n (n k! n! (n k! k! 4. sei k < n. Dnn ( ( n n + k k + n! (n k! k! + (n +! (n k! (k +! n! (k + (n +! (n k + (n k! k! (k + (n k! (k +! und ( n + k + Es gilt die Binomische Formel für, b R n!(k + + n k (k +!(n k! Diese Formel knn mn verllgemeinern durch Stz.5 Für, b R, n N gilt. ( + b n n ( n k0 k k b n k. ( b n n ( n k0 k k ( b n k Beweis: Wir gehen induktiv vor Induktionsschritt: Behuptung gilt für n (n +! (k +!(n k! (n +! (k +! (n + k! (n +! (k +!(n k!. ( + b + b + b Linke Seite: ( + b + b Rechte Seite: k0 ( k k b k b + Induktionsschritt:Die Behuptung gelte für ein n (Induktionsvorussetzung, wir zeigen, dss sie dnn uch für n + gilt. 6

17 ( n 0 ( n + 0 ( + b n+ ( + b n ( + b b n+ + ( n 0 ( n + 0 [( n 0 [( n 0 b n+ + n k0 b n + b n ( n k+ b n k + k ( n ( n ( n ( n b n + b n + ] b n + ] b n + k0 ( n ( n [( n [( n n k0 n k0 ( n k ( b n k ( + b k ( n k b n k+ k 3 b n b n ( n ( n n ( n + k b n+ k. k ( n n+ + n ( n n b n ] b n ] b n ( n n+ n ( n + n+ n + Beispiele:. ( + x 5? Binomischer Stz für, b x, n 5 : ( + x 5 5 k0 ( 5 ( k k (x 5 k Frge: Welcher Fktor steht bei x 4? Antwort: Für k 3 gilt ( 5 ( 3 3 5! 3!! ( ( n k ist die Anzhl der Möglichkeiten, us eienr n-elementigen Menge M eine k-elementige Teilmenge uszuwählen: M {, b, c,...x, y, z}, Alphbet; M 6 Frge: Wieviele 3-elementige Teilmengen gibt es? Antwort: ( 6 3 6! 3!3! M {,, 3,...49}, Lottozhlen ; M 49 Frge: Wieviele 6-elementige Teilmengen gibt es? Antwort: (

18 .7 Funktionen Definition.6: Seien X, Y R; eine Vorschrift, die jedem x X genu ein y Y zuordnet, heißt Funktion (oder Abbildung von X nch Y. Nottion: f : X Y, f(x y X: Definitionsbereich von f Y : Bildbereich von f (nicht jedes y Y muss ein Funktionswert sein! für A X ist f(a {y y f(x, x A} f(a heißt ds Bild von A unter f f(x heißt Wertbereich von f Definition.7: Für X, Y R und eine Funktion f : X Y ist der Grph von f definiert über grph(f : {( x f(x }, x X Definition.8: (Ergänzung zum Grphen einer Funktion Für X, Y R und eine Funktion f : X Y heißt {( } x epi(f :, x R, α R, f(x α α Epigrph von f. 8

19 Kpitel Folgen und Reihen. Folgen Definition.: Für, b R sind Intervlle definiert:. offenes Intervll. geschlossenes Intervll 3. hlboffene Intervlle (, b : {x R, < x < b} < b [, b] : {x R, x b} b (, b] : {x R, < x b} < b [, b : {x R, x < b} < b Im Zusmmenhng mit Funktionen und Folgen wird noch eine Erweiterung der reellen Zhlen benötigt. Definition.: und seien zwei Objekte, die keine reellen Zhlen sind, und für die gilt:. < < R. +, + ( R 3. ± 0, R 4. nicht definiert sind und + ( Beispiel: Für f : R R mit f(x x gilt f(r [0, Für g : R R mit g(x x gilt g(r (, 0] 9

20 Definition.3: Eine Folge ist eine Vorschrift, die jeder Zhl n N 0 eine reelle Zhl s n zuordnet. Eine Folge ist demnch eine Abbildung von N 0 nch R. Der Definitionsbereich einer Folge knn uch eine echte Teilmenge von N 0 sein. Beispiele:. ( n n,, 3,.... (( n n0,,,, ( n+ n n, 3, 4 3, 5 4, ( n n5 5, 6, 7,... Oft ist dnch gefrgt wie sich eine Folge lngfristig entwickelt. Definition.4: Eine Folge (s n nk, k N heißt konvergent genu dnn, wenn es ein s R gibt mit der Eigenschft: s heißt Grenzwert(Limes von (s n nk, k N; ε > 0 n 0 n 0 (ε : n > n 0 (ε : s n s < ε; Schreibweise: lim n s n s oder s n s (n Beispiel. lim n n 0 denn: für ε > 0 wähle n 0 (ε ε ; für n > n 0(ε gilt dnn n < ε und lso gilt lim n n 0. lim n ( n+ n lim n ( + n 3. lim n q n 0 für q <, d.h. < q < n 0 n n < ε; Beweis: q n < ε q n < ε n q n < n ε q < n ε q < ε ln(ε n ln(q < ln(ε n > n ln q mit 0 < ε <, d.h. ln(ε < 0, gilt n 0 ln(ε ln q ; 0

21 dnn gilt n > ln(ε ln q n ln q < ln(ε ln q n < ln(ε q n < ε q n < ε Stz.5: Seien ( n n0 und (b n n0 Folgen mit n, b n b (n ; dnn gilt. lim n ( n + b n + b, lim n ( n b n b. lim n ( n b n b, b n, b 0 3. lim n n Beispiel: n 4n3 + n 5n n3 (4 + n 3 n 3 ( n (n 5 n 3 n 3 Stz.6: Seien ( n n0 und (b n n0 Folgen mit n, b n (n und (c n n0 eine Folge mit n c n b n n N 0, dnn gilt lim n c n. Spezilfll: Sei c n 0, n N 0, c n b n, n N 0, dnn gilt b n 0 (n c n 0 (n Beispiele:. 0 (n k N, denn n k 0 und n k n k n 0.. n 0 (n, denn n + Definition.7:(Bezeichnung n n + n n n +. Eine Folge, die nicht konvergiert, heißt divergent;. ( n n0 heißt Nullfolge, flls n 0 für n. n + n + n 0.

22 Hinweis:. Ist ( n n0 eine Folge mit n 0 für n, so ist ( n n0 eine Nullfolge; es gilt n n 0 (n. Der Grenzwert einer Folge ( n n0 ist eindeutig: n, n â â Idee: â n + n â n + n â lso â 0, d.h. â. Definition.8: Eine Folge ( n n0 nennt mn. beschränkt genu dnn, wenn K > 0 : n K n N 0.. monoton whchsend genu dnn, wenn gilt n+ n n N monoton fllend genu dnn, wenn gilt n+ n n N 0 4. streng monoton wchsend (fllend genu dnn, wenn gilt n+ > n ( n+ < n N 0 Beispiel (. ( n n0 n+ ist streng monoton fllend und beschränkt, denn n0 n + < n + und. ( n n0 (( n n0 n + : K n N 0. ist beschränkt, ber nicht monoton, sondern lternierend! Stz.9

23 . Jede konvergente Folge ist beschränkt Idee: Für ε > 0 und n n(ε gilt n < ε ε < n < ε ε + < n < ε + ; lso sind die Folgeglieder b n n(ε beschränkt; die ersten n(ε (endlich viele Elemente der Folge sind uch beschränkt, lso sind lle Elemente der Folge beschränkt.. jede monoton wchsende (oder fllende beschränkte Folge ist konvergent Beispiel: Sei q > 0 und n : qn n! ; Monotonie: n+ n q n+ (n+! q n n! qn+ n! q n (n +! weiter gilt q n + n q +, lso ist n monoton fllend für n q +. q (n + ; Beschränktheit: Die ersten (endlich vielen Elemente der Folge stören nicht. Wegen der Monotonie und n > 0 ist die Folge beschränkt. D n beschränkt ist und. Potenzen reeller Zhlen q n+ eine Nullfolge ist, folgt insgesmt, dss n gegen 0 konvergiert: q n+ (n +! q n + qn n! Bisher ist beknnt: für x R und n N gilt: x n n i x x 0 Definition.0:. Für n N, x 0, ist x n : x n. 0 (n.. Für n N x 0 existiert eine eindeutige Lösung der Gleichung x y n ; diese Lösung wird mit bezeichnet. y n x x n 3

24 3. Für q Q mit q m n, m Z, n N und x 0 schreibt mn x q x m n (x n m 4. Für q R und eine Folge (q n n0 mit q n Q, n N und lim n q n q setzt mn für x > 0 x q lim n xqn Hinweis: Für n N, x < 0 existiert eine eindeutige Lösung y der Gleichung x y n mit y n x / R; y heißt dnn komplexe Zhl. Beispiel: Für x > 0 gilt es gilt Monotonie: für x < y gilt 5 y > 5 x 4 x 0.8 x x ( 5 x 4 ; ( ( ( y 5 > x 5 y 4 ( 5 > x 4 5 y 4 5 < x 4 5 y 0.8 < x 0.8 Stz.:. Sei > 0 und b, c R; dnn gilt b c b+c ; b c b c. Seien, b > 0, c R; dnn gilt c b c (b c ; c ( c b c b 3. Sei > 0, b, c R; dnn gilt ( b c bc Beispiele:. 3 4 ( (

25 ( ( 3 4 ( 4 ( ( ( ( 3 4 Stz. (Reltionen:. Für, b R mit b > gilt: für x > und für x (0,. x b > x x x b < x x. Für, b R mit 0 < < b gilt: für x > und für x (0,. x x b > x x x b < x Beispiele:., b 3, x 4, dnn gilt 4 6 < , b 3, x, dnn gilt ( 3 8 < 3. 3, b, x 4, dnn gilt 4. 3, b, x, dnn gilt Hinweis: Anloge Resultte erhält mn für, b < 0 mit ( > 3 4, , 7 < 0, 79 x α x α Beispiel: (s n n ( n α n, α R; ws gilt für lim n s n? 5

26 . α 0; s n. α > 0; s n 0 3. α < 0; s n n α n α wegen α > 0 Definition.3:. Sei α > 0; dnn heißt die Funktion f : R (0, mit Exponentilfunktion zur Bsis. f(x : x. Sei > 0; dnn ht die Gleichung x y eine eindeutige Lösung y log (x; die Funktion f : (0, R mit f(x log (x wird Logrithmusfunktion zur Bsis gennnt..3 Exponentilfunktion Bisher f(x x g(x log (x y x y. Beispiel: Beobchtung einer Zellteilung über eine Stunde (h. Anfngsbestnd: s 0 Bestnd nch h.: s Modellnnhme: Die Zhl der Zellen, die sich teilen, ist proportionl zur Zeit:.Modell: Alle Zellen teilen sich in h. s s 0.Modell: Die Hälfte der Zellen teilen sich in h. s ( + ( + ( + 6

27 3.Modell: Ein Drittel der Zellen teilen sich in 3 h. s ( + 3 ( + 3 ( + 3 ( n.modell: Der Anteil n der Zellen teilen sich in n h. s ( + n n Lemm.3: Die Folge ist konvergent. (( (s n n + n n n Um dieses Lemm zu beweisen, ist zu zeigen, dss s n sowohl beschränkt ls uch monoton wchsend ist. Der Beweis folgt später. Bezeichnung(Definition: lim n ( + n n e nennt mn die Eulersche Zhl. e ist eine irrtionle Zhl und es gilt e, Lemm.5:. Es gilt ( e x lim n ( + n n x ( lim + x n n n. Trotz Gleichheit der Grenzwerte gilt i.a. ( + n nx ( + x n n Beweis: Für x und n gilt ( + n nx 4 ( + x n n 3 3 Zum Beweis von.3:. Wir zeigen, dss für n gilt wir berechnen s n s n s n s n, d.h. s n ist monoton wchsend. ( + ( + n n n n (n + n (n n n n n n 7

28 ( n n ( n (n n n n n n Abschätzung mit der Bernoullischen Ungleichung (( + x n + nx liefert lso gilt s n s n, für n. ( + n ( n ( n ( ( n n. Wir zeigen, dss für lle n N gilt ( + n n 3, d.h. sn ist beschränkt. nch. ist s n monoton wchsend, lso gilt für lle n N wir berechnen eine obere Schrnke für s n : nch dem Binomischen Lehrstz gilt ( + n n + s s s 3... s n... n k0 ( ( n k n k k n ( n n + ( n n k0 n ( ( n k k n ( n n n n ; für k gilt die Abschätzung ( n k n k n! n(n (n... (n k + k!(n k! k!n k n(n (n... (n k + k! n k k! n n n n n n... n k + n k! k... k. Also gilt ( + n n + ( n n + ( n n ( n n n n n ( k n +, k0 ws nch. gleich + ( n 8

29 ist. Weiter berechnen wir + ( n + n < lso folgt s n 3 für lle n N. Definition.6: Die Logrithmusfunktion zur Bsis e heißt ntürlich Logrithmus. Schreibweise f(x ln(x log e (x, x > 0; es gilt y ln(x x e y. Hinweis: ln(x ist die Umkehrfunktion zu e x, es gilt deshlb ln(e x x ln(e x. Hinweis: Die Log-Funktion lässt sich uch für eine Bsis b > definieren: f(x log b (x; diese Funktion ist die Umkehrfunktion zu b x ; wichtig sind nur b e und b 0; Merkregel: log b ( c b c Spezilfll: log e ( : ln(e c e c neben der Bsis e ist die Bsis 0 eine Stndrdbsis log 0 ( : lg(e c 0 c Umrechnung zwischen verschiedenen Bsen, hier z.b. zwischen Bsis e und Bsis 0: lg( lg(e ln( ln( lg(e 9

30 Die verschiedenen Umrechnungen ergeben sich us den Rechenregeln für die log-funktion: Stz.7 Es seien x, y > 0; Dnn gelten. log (xy log (x + log (y log ( x y log (x log (y. log ( 0 log ( log ( y log (y 3. log (y y log ( x x 4. log (y x x log (y 5. log (x log (b log b (x,, b > 6. für > ist log (x streng monoton wchsend uf (0,. Speziell gilt y x e ln(yx e x ln(y.4 Reihen Beispiele sind bereits beknnt:. Für x gilt s n n k0 (vergleiche..4.: geometrische Summenformel. Für x < gilt x k xn+ x lim n xn lim n xn+ 0 (vergleiche Beispiel nch Definition.4; dnn gilt 3. Schreibweise k0 xk s n xn+ x x ( xn+ x Definition.8: Gegeben sei eine Folge ( n n0 ; mit s n n k0 k heißt die Folge (s n n0 (unendliche Reihe; sie wird mit k0 k bezeichnet. Hinweis: Eine Reihe ist lso eine Folge von Prtilsummen; 30

31 Definition.9: Eine Reihe heißt konvergent genu dnn, wenn die Folge der Prtilsummen konvergiert. Schrebweise: s k0 k mit s lim n n k0 k Stz.0 (notwendige Bedingung für Konvergenz. Wenn k0 k konvergiert, dnn ist die Folge ( k k0 eine Nullfolge. Beweis: Sei k0 k konvergent, d.h. R : lim n k0 n k bzw. mit s n k0 k; es gilt dnn R : lim n s n n n k0 n k k s n s n k0 und deshlb lim n lim s n lim s n 0 n n n. Die Umkehrung von. ist flsch. Lemm.(Konvergenzbedingung Sei ( n n0 eine Folge.. flls lim k k+ k. flls lim k k+ k 3. flls lim k k+ k <, so ist n0 n konvergent (Quotientenkriterium >, so ist n0 n divergent. >, so ist Konvergenz und Divergenz möglich. Beispiel:. k k ; Es gilt k0 k. k k ; Hinweis: Es gilt k0 k ist divergent. lim k+ k k lim k+ k k ist konvergent. k+ k k lim lim k (k+ k lim k k. k + lim k. k (k + 3

32 . Allgemein gilt k k α ist konvergent für α > und divergent für α.. k. k Konvergenz wegen 3. k k! k k ist konvergent. Zur Unbeschränktheit von k k k+ k k+ k k k+ <.. Behuptung: n k k > n, n,, 3 Wir beweisen diese Behuptung induktiv: n : k k + > ist eine whre Aussge. n n + : Die Behuptung gelte für n, wir zeigen, dss sie uch für n + gilt: n+ k n k k n+ k + k n + k > n n+ + k n + die zweite Summe ht n+ ( n + + n Summnden; der kleinste Wer ist ; deshlb n+ gilt und deshlb für die Gesmtsumme n+ k n + n+ k. Behuptung: lim n n k k k k. Wir zeigen k n n+ k > n + n +. K > 0 N(K N : N(K k Beweis: Zu K > 0 wähle N(K K ; dnn gilt nch. N(K k K k k k > K k > K K. k. 3

33 Kpitel 3 Elementre Funktionen Wir berchten Funktionen f : R R mit x f(x oder f : (0, R; bisher beknnt Exponentilfunktion Logrithmusfunktion f(x x f(x e x f(x log (x f(x log 0 (x lg(x f(x log e (x ln(x f(x x n 3. Polynome Definition 3.: Eine Funktion f : R R heißt Polynom genu dnn, wenn Konstnten 0,,..., n R existieren mit n f(x k x k k0 0 + x + x n x n für lle x R. Die Konstnten 0,,..., n heißen Koeffizienten von f; für n 0 heißt f ein Polynom vom Grd n: grd(f n. Beispiele:. f(x x + x + ht Grd 33

34 . f(x 5 5x 0 ht Grd 0 Definition 3. Seien f : R R und g : R R Polynome; für lle x R mit g(x 0 heißt die Funktion rtionle Funktion. h(x : f(x g(x Beispiel: f(x x 3 +, g(x x (g(x 0 für x h(x x3 + x, x Definition 3.3 Sei f : R R ein Polynom;. R heißt Nullstelle des Polynoms f genu dnn, wenn gilt f( 0.. R heißt eine r-fche Nullstelle des Polynoms f genu dnn, wenn gilt f(x g(x (x r und g( 0 Beispiele:. f(x x + ht keine Nullstelle.. f(x x ht die einzige Nullstelle. 3. f(x x x + ht die zweifche Nullstelle, denn f(x (x (x (x und g(x. 4. f(x x 4 x 3 + x x + ht die zweifche Nullstelle, denn f(x (x + (x x + (x + (x : g(x (x Hinweis:. Ein Polynom f ht höchstens grd(f Nullstellen in R.. Ein Polynom f ht genu grd(f Nullstellen in C (Menge der komplexen Zhlen. 34

35 3. Trigonometrische Funktionen Definition 3.4: Für x R sei. sin(x : ( n x n+ n0 (n+!. cos(x : ( n x n n0 (n! für diese Funktionen ist die Zhl π 3, (irrtionl interessnt: sin(π 0 cos(π. Hinweis: Im Einheitskreis (Kreis um den Nullpunkt mit Rdius r gilt für den Kreisumfng U(r rπ U( π. Dmit lässt sich ein Winkel, gemessen in Grd, umrechnen in ds sogennnte Bogenmß: Der Winkel α entsprich dem Bogenmß x α π 80 (π ist die Länge des oberen Hlbkreises des Einheitskreises; α entspricht der Bogenlänge π Hinweis: Die Trigonometrischen Funktionen sin(x und cos(x lssen sich m Einheitskreis drstellen. 80. Stz 3.5: Für die Funktionen sin(x und cos(x gelten für lle k Z die folgenden Eigenschften:. sin(x + π k sin(x cos(x + π k cos(x. exkte Werte: sin(kπ 0 cos( π + kπ 0 sin( π + kπ ( k cos(kπ ( k 3. sin( π 4 cos( π 4 4. (sin(x + (cos(x 5. Additionstheoreme sin(x ± y sin(x cos(y ± cos(x sin(y cos(x ± y cos(x cos(y sin(x sin(y 35

36 Ergänzung: tn(x : sin(x cos(x x, cos(x 0 x π + kπ cot(x : cos(x x, sin(x 0 x kπ sin(x 3.3 Funktionsgrenzwerte Bisher beknnt: Grenzwert von Folgen n ε > 0 n(ε : n > n(ε : n < ε Definition 3.6. Sei f eine Funktion f : [0, R, R; f ht für x den Grenzwert d genu dnn, wenn gilt ε > 0 x 0 : x > x 0 : f(x d < ε; Schreibweise: lim x f(x d oder f(x d(x.. Sei f eine Funktion f : (, R, R; f ht für x den Grenzwert d genu dnn, wenn gilt ε > 0 x 0 : x < x 0 : f(x d < ε; Schreibweise: lim x f(x d oder f(x d(x. 3. Sei f eine Funktion f : (, R, R; f ht für x x 0 den Grenzwert d genu dnn, wenn gilt ε > 0 δ > 0 x x 0 < δ, x x 0 : f(x d < ε; Schreibweise: lim x x0 f(x d oder f(x d(x x 0. Chrkterisierung über Folgen Flls lim x x0 f(x d, dnn gilt für lle Folgen (x n n mit x n x 0 (n und x n x 0, dss lim n f(x n d. Flls lim x f(x d, dnn gilt für lle Folgen (x n n mit x n (n, dss. lim f(x n d n 36

37 Flls lim x f(x d, dnn gilt für lle Folgen (x n n mit x n (n, dss. lim f(x n d n Hinweis: (Grenzwert-Regeln Aus lim x x0 f(x d, lim x x0 g(x c, d, c R folgt. lim x x0 (f(x ± g(x d ± c. lim x x0 (f(x g(x d c 3. lim x x0 f(x g(x d c für c 0 und g(x 0. Die Regeln gelten uch für x 0 ±, ber weiterhin endlichen c, d. Beispiele: x. lim x x +3 lim x x lim x (+ 3 x x + 3 x. lim x x; gelte x n, x n ; dnn folgt Beobchtung: f(. f(x n x n 3.4 Stetigkeit Idee: Für eine Funktion f : (, R oder f : [, b] R gilt für jedes x 0 (, oder x 0 [, b]: lim x x 0 f(x f(x 0 Definition 3.7: Eine Funktion wie oben heißt stetig in x 0 genu dnn, wenn gilt Beispiele: ε > 0 δ > 0 : x x 0 < δ f(x f(x 0 < ε. f(x x ist stetig in x 0 x 0 R { x, x 0. f(x, x 0 ist in x 0 0 nicht stetig. 3. f(x e x ist stetig (in jedem Punkt, f(x x ist stetig (in jedem Punkt. 37

38 Kpitel 4 Differentilrechnung 4. Ableitungen.Ordnung Motivtion: Sei I R ein Intervll, f :( I R, x 0 ( I, n N; x0 x0 + h Seknte durch die Punkte, f(x 0 f(x 0 + h. Anstieg der Seknte: Anstieg der Tngente: d(x 0, h : f(x 0 + h f(x 0 h lim d(x 0, h? h 0 Nottion: d(x 0, h heißt Differenzenquotient. Definition 4.. f : I R heißt differenzierbr n der Stelle x 0 I genu dnn, wenn gilt existiert. f (x 0 lim h 0 d(x 0, h. f (x 0 heißt dnn Ableitung (.Ordnung der Funktion f n der Stelle x f heißt differenzierbr im Intervll I genu dnn, wenn f differenzierbr ist für lle x 0 I. Lemm 4. Ist f n der Stelle x 0 I differenzierbr, so ist f n der Stelle x 0 stetig. (Umkehrung gilt nicht! Beispiele: 38

39 . f(x c für eine Konstnte c. Dnn ist lso f (x 0. d(x 0, h : f(x 0 + h f(x 0 h c c h 0,. f(x x dnn gilt lso f (x. 3. f(x x 3, f (x 3x. d(x 0, h x 0 + h x 0 h h h, 4. f(x x, f (x x, denn Stz 4.4 (Kettenregel x d(x 0, h 0 +h x 0 h ( h h x 0 + x 0 h ( h x0 x 0 h (x 0 + h x 0 x 0 + x 0 h x (h 0 Sind zwei Funktionen hintereinnder geschltet, d.h. h(x (f g(x : f(g(x, dnn gilt bei Differenzierbrkeit h (x (f g (x f (g(x g (x. Beispiel: f(x x, g(x x + h(x f(g(x (x + h (x (x + Stz 4.5: (Ableitung der Umkehrfunktion Ist g die mkehrfunktion von f, d.h. es gilt f(g(x x, dnn gilt nch der Kettenregel (f(g(x f (g(x g (x (x ; deshlb gilt (g(x f (g(x Beispiele von Ableitungen:. f(x e x, f (x e x 39

40 . f(x x, f (x log( x, denn f(x x ln(f(x ln( x x ln( x e ln(f(x e x ln( f(x e x ln( f (x e x ln( ln( ln( e ln(x ln( x 3. f(x ln(x, f (x x, denn g(x ln(x, f(x e x und f(x log (x f (x ln( x, denn 4. f(x x r, f (x r x r 5. f(x sin(x, f (x cos(x 6. f(x cos(x, f (x sin(x Stz 4.6 (l Hospitlsche Regeln f(g(x e g(x e ln(x x g (x (ln(x e g(x e ln(x x log (x x ( log (x (x ln( log (x (log (x ln( x (log (x (log (x x ln( Seien f, g : [, b] R stetig und diffbr; gilt für x 0 [, b] g(x 0 f(x 0 0 und g(x 0 x x 0, so folgt f(x lim x x 0 g(x lim f (x x x 0 g (x Beispiele:. lim x 0 e x x lim x 0 e x. lim x 0 sin(x x 3. lim x 0 cos(x x lim x 0 cos(x lim x 0 sin(x x lim x 0 cos(x 4. lim x 0 ( + x x lim x 0 e ln((+x x lim x 0 e x ln(+x lim x 0 e ln(+x x lim x 0 e +x lim x 0 e +x e e Hinweis: Unter Ableitungen höherer Ordnung versteht mn Ableitungen von Ableitungen, z.b. f (f, f (f usw. 40

41 4. Lokle Extrem Stz 4.7 Sei f : I R diffbr;. Gilt f (x 0 x I, dnn ist f monoton wchsend, d.h. x x f(x f(x. Gilt f (x 0 x I, dnn ist f monoton fllend, d.h. Definition 4.8: Sei f : I R gegeben; x x f(x f(x. x 0 I heißt globles Minimum von f uf I genu dnn, wenn gilt f(x f(x 0 x I. x 0 I heißt lokles Minimu von f uf I genu dnn, wenn gilt ε > 0 : f(x f(x 0 x I : x x 0 < ε Stz 4.9: (notwendige Bedingung Sei f : I R, I [, b]; ist x 0 (, b eine Minimumstelle von f uf I, so gilt f (x 0 0. Stz 4.0: Sei f : I R zweiml diffbr und f stetig; ist f (x 0 0 und f (x 0 0, so ht f n der Stelle x 0 ein (lokles Extremum (Minimum oder Mximum; es gilt f (x 0 0 bei Mxim und bei Minim. f (x 0 0 Beispiele. f(x x 3 3x 9x 5 f (x 3x 6x 9 0 x 3, x f (x 6x 6 f (3 > 0 Minimum, f ( < 0 Mximum.. f(x x e x f (x e x + xe x ( e x ( x f (x ( e x ( x + e x ( e x ( x f ( 0, f ( < 0 Mximum. 4

42 Kpitel 5 Integrlrechnung 5. Riemnn-Integrl Gegeben: Sei f : [, b] [0, (lso f (x 0 x [, b] Ziel: Berechnung des Fl cheninhlts der Fl che zwischen dem Grphen von f und der x-achse uf dem Intervll [, b]: Idee : Mn schchtelt die Fl che durch eine Obersumme und eine Untersumme ein: Idee : Mcht mn die Unterteilung des Intervlls (Definition immer feiner und hben Obersumme und Untersumme den gleichen Grenzwert, so heißt dieser Grenzwert ds Riemnn-Integrl von f u ber [, b]. Rb Bezeichnung: f (x dx. Die Funktion f heißt dnn integrierbr. Hinweis: 4

43 [ Teilintervlle I kn : + k n (b, + k ] (b, n N, k,..., n n Beispiel n : I [, b] Länge: (b [ n : I, + b ] (b Länge: [ ] + b I, b n 3 : I 3 [, + 3 ] ( b (b Länge: 3 I 3 [ + 3 ( b, + 3 ] ( b I 33 [ + 3 ] ( b, b. Hinweis: n Obersumme: O n (f mx {f(x x I kn } b n k n Untersumme: O n (f min {f(x x I kn } b n Beispiel: k Sei f : [0, ] (0,, f(x x, b und I kn [ k n, k n]. Dnn gilt O n n k k n n n k k n n(n + n + n ( n n (k U n n n n k n ( n(n + n k k ( n n + n n ( + n n lso gilt: 0 x dx n 43

44 5. Stz (i Fu r f : [, b] R integrierbr gilt mit c [, b] : b Z c Z f (x dx Z f (x dx + b f (x dx; c (ii Ist f stetig, so ist f uf [, b] integrierbr; (iii die Umkehrung von (b gilt i.a. nicht 5. Definition: (Stmmfunktion Sei f : [, b] R; F heißt Stmmfunktion von f genu dnn, wenn gilt: F0 d F (x f (x x [, b] dx {z } u bliche Schreibweise Beispiel: (i f (x x, (ii f (x 4x3, (iii f (x sin(x, F (x x F (x x4 F (x cos(x 5.3 Stz: (Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung (i Ist F eine Stmmfunktion der uf [, b] integrierbren Funktion f, so gilt: Z b f (x dx F (b F ( : F (x (ii ist f stetig uf [, b], so ist: Z F (x x f (zdz, eine Stmmfunktion von f. D.h.: F 0 (x f (x. 44 x [, b] b

45 5. Berechnung von Integrlen Beispiele für Stmmfunktionen: (i f(x x c, c R, c ; F (x c+ xc+ ; (ii f(x x ; F (x e log(x ln(x (iii f(x e x ; F (x ex, 0 (iv f(x sin(x; (v f(x cos(x; F (x cos(x F (x sin(x konkret: (vi π 4 0 (vii π 4 sin(x dx cos(x cos(π 0 4 (b ( cos(0 }{{}}{{} F ( F x dx e log(x e log( e log( e log( ln( }{{} Stz: (Rechenregeln für Integrle Seien f, g : [, b] R integrierbr und c R; dnn gilt: (i f(x g(x x [, b] (ii b b [f(x + g(x] dx c f(x dx x b b 5.5 Stz: (prtielle Integrtion b f(x dx b f(x dx (Monotonie f(x dx + int b g(x dx (Linerität f(x dx Seien f, g : [, b] stetig und differenzierbr; dnn gilt: Idee: b f (x g(x dx f(x g(x b b f(x g (x dx (f(x g(x f (xg(x + f(xg (x (Produktregel b (f(x g(x dx f(x g(x b... Beispiel: b f (xg(x dx + b f(xg (x dx 45

46 (i (ii b b x e x dx e x x b b e x dx ln(x dx e b b e e x b e b b e e b + e ; b ln(x dx x ln(x b b x x dx b ln(b ln( b + (x ln(x x b Beispiel: schlechte prtielle Integrtion b x e x dx x e x b b x e x dx }{{} uch nicht einfcher ls xe x dx 5.6 Stz: (Substitution Seien f, g : [, b] R, g differenzierbr und g, f seien stetig, dnn gilt: b f (g(x g (x dx g(b g( f(tdt. Beispiele (i x 0 + x dx x dx 0 + x lso: } g(x x f(t +t und: x + x dx 0 f (g(x +x 0 + t dt ln( + t ln( ln( ln(; 0 (ii 0 x sin ( x 3 dx 3 0 3x sin ( x 3 dx lso: g(x x 3, g (x 3x f(t sin(t und } f (g(x sin ( x 3 46

47 0 x sin ( x 3 dx x sin ( x 3 dx sin(t dt cos(t cos( cos(8 + cos(0 5.3 Uneigentliche Integrle 5.7 Definition: (uneigentliches Integrl (i Sei f : [, n R und sei f für lle T [, b uf [, T ] integrierbr, dnn versteht mn ls uneigentliches Integrl b f(x dx den Ausdruck flls der Grenzwert existiert. b T f(x dx lim f(x dx, T b (ii Die Definition gilt sinngemäß für T. Beispiele: (i (ii 0 dx lim x T lim T T ( dx lim x T x ( T + ( dx lim dx lim x T 0 T x T 0 ( lim T. T 0 T x T 47

48 Kpitel 6 Linere Algebr 6. Mtrizen Idee: Einfche Beschreibung von Gleichungen der Form x + b y c x + b y c Koeffizienten bilden Mtrix Definition 6. ( b A b Ein Zhlenschem... n... n A.. ( ij m i,j. m m... mn heißt Mtrix mit m Zeilen und n Splten Schreibweise: (m n-mtrix Die Menge ller (m n-mtrizen wird mit R m n bezeichnet. Bemerkung. Eine (m Mtrix heißt Spltenvektor. eine ( n Mtrix heißt Zeilenvektor 48

49 heißt Nullmtrix (jeder Eintrg ist I n.. heißt Einheitsmtrix (uf der Digonlen, sonst 0, qudrtische Mtrix Definition 6. (Rechenopertionen für Mtrizen. A, B R m n, A ( ij, B (b ij A ± B ( ij ± b ij. A R m n, A ( ij, c R c A (c ij 3. A R m n, A ( ij,b R n p, B (b ij A B n ik b kj k 4. A T ( ji j,...,n;i,...,m heißt die zu A trnsponierte Mtrix Beispiele ( A, B 3 4 A + B ( ( T ( ( ( ( Bemerkung Flls A B existiert so muss B A nicht existieren; die Mtrizen müssen zueinnder pssen! I.A. gilt A B B A. Beispiel 49

50 . A (, B 3 4 ber B A existiert nicht! ( 5, dnn gilt 6 A B ( 3 4 ( 5 6 ( ( 7, 39. die Mtrizen A ( ij, B (b ij heißen gleich genu dnn, wenn ( ij (b ij für lle i, j. Seien ( ( 3 5 A, B, dnn gilt Stz 6.3(Rechenregeln. A(BC (ABC A B ( (A + BC AC + BC, A(B + C AB + AC 3. A R m n I m A A AI n 4. (AB T B T A T ( 4 6 B A Linere Gleichungssysteme Definition 6.4 Ein System der Form x + x n x n b x + x n x n b... m x + m x mn x n b m. heißt lineres Gleichungssystem (LGS. Mit A ( ij, x.., b x n Mtrixgleichung Ax b schreiben. x b... b m lässt sich ein LGS ls Definition 6.5 x. Die Menge der Spltenvektoren x.. : Ax b heißt Lösungsmenge des LGS Ax b. x n 50

51 Zur Lösung eines LGS Folgende Umformungen eines LGS sind möglich, ohne dss sich ihre Lösungsmenge verändert.. Vertuschen zweier Zeilen. Multipliktion einer Zeile mit einer reellen Zhl c 0 3. Addition eines Vielfchen einer Zeile u einer nderen Zeile Ziel der Umformungen ist es, ds LGS in Stufenform zu überführen (Guß-Algorithmus: Es gilt Ax b Ãx b. 0 x b x n bm }{{}}{{} b à 6.3 Die Inverse Mtrix Ziel: Löse LGS Ax b nch x uf. Definition 6.6 A R n n heißt invertierbr genu dnn, wenn es B R n n gibt mit der Eigenschft AB I n. B A heißt Inverse von A. Bemerkung. Nicht jede Mtrix ist invertierbr. existiert A, so ist A eindeutig und es gilt AA A A I n. Stz 6.7 Seien A, B R n n invertierbr, dnn gilt. A T ist invertierbr und es gilt (A T (A T. AB ist invertierbr und es gilt (AB B A 5