Grundwissen 9. Klasse 9/1. Grundwissen 9. Klasse 9/2

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1 Grundwissen 9. Klasse 9/. Quadratwurzel Definition: a ist diejenige positive Zahl, deren Quadrat a ergibt: a =a z.b. 5=5 Bezeichnung: Die Zahl a unter der Wurzel heißt Radikand. Radikandenbedingung: a 0 (Quadrate reeller Zahlen sind immer positiv.) Beispiel a =5 a =5 a =5 und a = 5 Allgemein gilt: a = a Wurzelziehen ist keine Äquivalenzumformung. a =5 a=5 Hier geht die zweite Lösung a= 5 verloren!. Reelle Zahlen Grundwissen 9. Klasse 9/ Jede rationale Zahl lässt sich in einen Dezimalbruch verwandeln. Dieser ist entweder eine ganze Zahl, ein endlicher Dezimalbruch oder ein unendlicher periodischer Dezimalbruch. z.b. 6 = =0, =0,7 Jeder unendliche, nicht periodische Dezimalbruch stellt eine irrationale Zahl dar. z.b., Die rationalen und die irrationalen Zahlen bilden zusammen die reellen Zahlen. Zu jeder reellen Zahl gehört ein Punkt auf der Zahlengeraden. Zahlenmengen Natürliche Zahlen: N={ ; ;3; } Ganze Zahlen: Z={ ; ; ;0;; ;... } Rationale Zahlen: Q= {...; ;0 ; ; ; ; 3 ; 3 ; 4 ; 3 ; 3 ; 4 ;... } Menge aller Brüche Reelle Zahlen: R= Menge aller rationalen und irrationalen Zahlen Es gilt N Z Q R

2 Grundwissen 9. Klasse 9/3 3. Rechenregeln für Wurzeln Die Wurzel darf auf die Glieder eines Produkts bzw. eines Quotienten verteilt werden: Produktregel: a b= a b ; a,b 0 z.b. 6= 3 Quotientenregel: a b = a b ; a 0, b 0 z.b 3 = 3 Es gibt keine Summenregel, denn z.b.: 4 3 = 6 9=5, aber 6 9=7 4. Anwendung der Rechenregeln für Wurzeln Grundwissen 9. Klasse 9/4 Produkt von Wurzeln: 8= 8= 36=6 Quotient von Wurzeln: 8 = 8 = 9=3 Teilweises Radizieren: 8= 4 = 4 = Rationalmachen des Nenners: 6 = 6 =6 =3 Summe bzw. Differenzen müssen durch Ausklammern in Produkte verwandelt werden: 5 3 3= 5 3=4 3 9a 9= 9 a =3 a

3 Grundwissen 9. Klasse 9/5 5. Binomische Formeln Plusformel: a b =a a b b Minusformel: a b =a a b b Plusminusformel: a b a b =a b Anwendung der Formeln Ausmultiplizieren: 3 = 3 3 = 6 3=5 6 Faktorisieren: Quadratisch ergänzen: Nenner rational machen: 4 x = x = x x 4 x 4 x=4 x 4 x = x x = x ±,5 x 3 x=x,5 x = x,5 x,5,5 = x,5,5 3 = 3 = =3,5 Radizieren: x x = x = x Betrag! Grundwissen 9. Klasse 9/6 6. Quadratische Funktionen I Normalform: f x =a x b x c Der Graph heißt Parabel, für a= Normalparabel. a 0 heißt Streckungsfaktor. a ist der Abstand zur Parabel, wenn man vom Scheitel S (tiefster / höchster Punkt der Parabel) eins nach rechts geht. Beispiel: Für a 0 ist die Parabel nach oben geöffnet, für a 0 nach unten geöffnet. Je größer a ist, desto steiler ist die Parabel (Sektglas). Für sehr kleine Werte von a sieht die Parabel wie ein flache Schale aus. Alle Parabeln sind achsensymmetrisch zu einer Parallelen der y-achse durch den Scheitel S. c ist der y-achsenabschnitt. Zum Finden von b kann man jeden Punkt auf der Parabel y= 0,5 x b x,5 außer den Schnittpunkt mit der y-achse (z.b. Scheitel) in = 0,5 b,5 b= die Normalform einsetzen. f x = 0,5 x x,5

4 Grundwissen 9. Klasse 9/7 7. Quadratische Funktion II Faktorisierte Form: f x =a x x x x Beispiel: x und x sind die Nullstellen der Parabel. Der Scheitel S x S y S liegt in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen auf der Symmetrieachse der Parabel: x S = x x und y S = f x S Liegt der Scheitel auf der x-achse, so gilt: Nullstellen: x = und x =3 x =x (doppelte Nullstelle) f x = 0,5 x x 3 Scheitel S, da: x S = 3 = und y S = Scheitelform: f x =a x x S y S f x = 0,5 x 8. Quadratische Gleichung Die Gleichung a x b x c=0 heißt quadratischen Gleichung. Grundwissen 9. Klasse 9/8 Ihre Lösungen x und x sind die Nullstellen der quadratischen Funktion f x =a x b x c. Lösungsformel der quadratischen Gleichung ( Mitternachsformel ) Die Diskriminante ist der Ausdruck Für für für Beispiel x, = b± b 4ac a D=b 4ac (Radikand der Lösungsformel). D 0 hat die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen, D=0 hat sie eine reelle Lösung und D 0 keine reelle Lösung. 3 x 5 x =0, also a=3, b= 5, c= x, = b± b 4 a c a = 5± x =, x = 3 = 5± 5 4 = 5±7 6 6

5 9. Sonderfälle der quadratischen Gleichung a) b=0 : a x c=0 Isolieren von x 5 x 0=0 0 5 x =0 :5 x = x = x =, x = Grundwissen 9. Klasse 9/9 b) c=0 : a x b x=0 Ausklammern von x x 3 x=0 x x 3 =0 x =0, x 3=0 x =0, x =,5 c) a= : x b x c=0 Satz von Vieta: b= x x und c=x x x 3x 4=0, also 3= x x und 4= x x Es kommen die Werte 4,,,,,4 in Frage. Ausprobieren ergibt x =, x =4. 0. Satzgruppe des Pythagoras Grundwissen 9. Klasse 9/0 In einem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten a,b Hypotenuse c Hypotenusenabschnitte p, q gilt: Hypotenusenhöhe h c Satz des Pythagoras: a b =c Auch die Umkehrung ist richtig: Gilt in einem Dreieck a b =c Höhensatz: h c = p q, so ist es rechtwinklig und a, b sind seine Katheten. Kathetensatz: a =c q und b =c p

6 . Die n-te Wurzel Grundwissen 9. Klasse 9/ Definition: Für die positive Zahl a ist n a diejenige positive Zahl, deren n-te Potenz a ergibt. z.b. 3 8=, da 3 =8 Potenzgleichungen Die Gleichung x n =a hat a) bei geradem Exponent n n a n =a 4= 4=, da =4 zwei Lösungen, wenn a 0 z.b. x 4 = x = 4, x = 4 eine Lösung, wenn a=0, z.b. x 4 =0 x =0 keine Lösungen, wenn a 0. z.b. x 4 = b) bei ungeradem Exponent n immer genau eine Lösung. z.b. x 3 = x = 3 oder x 3 = x = 3. Potenzen mit rationalen Exponenten Wurzelschreibweise: a n = n a, a m Grundwissen 9. Klasse 9/ n = n a m = n a m Merke: Rechne mit dem Exponenten auf einer Stufe tiefer als mit den Potenzen: Multiplizieren Exponenten addieren: a m a n =a m n z.b. Dividieren Exponent subtrahieren: a m a n =am n z.b. 4 3 : =4 Potenz potenzieren Exponent multiplizieren: a m n =a m n = a n m z.b. 8 3 =8 3 =8 3 = Summe potenzieren Es muss ausmultipliziert werden. 3 6 =4 6 =4 3 6 =4 = 4 z.b. 3 3 = = =3 3 =5 3 Addition und Subtraktion ist nur bei gleichartigen Termen möglich: z.b. 5a 3 a 3 = 5 a 3 =4a 3 = 4= = 4 =

7 3. Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck G Gegenkathete, H Hypotenuse, A Ankathete Grundwissen 9. Klasse 9/3 Tangens= G A Sinus= G H Kosinus= A H Zusammenhänge cos 90 =sin sin cos = trigonometrischer Pythagoras sin tan = cos für cos 0 Beispiel =30,c=, =90 Hypotenuse c, Gegenkathete a, Ankathete b sin 30 = a a= cos 30 =b b= 3 =60 4. Mehrstufige Zufallsexperimente Grundwissen 9. Klasse 9/4 In einem Baumdiagramm entspricht jedes Ergebnis einem Pfad des Baumes. Pfadregeln:. Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm.. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse (Pfade), die zu diesem Ereignis gehören. Beispiel Eine Urne enthält 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Die Chance als zweites eine blaue Kugel zu ziehen ist also P. Kugel blau =P BB P RB = =70% B R B R B R

8 Grundwissen 9. Klasse 9/5 5. Körper Prisma Zylinder Pyramide O Prisma = G M V Prisma =G h O Zylinder = r r h V Zylinder =r h O Pyramide =G M V Pyramide = 3 G h Kegel O Kegel =r r m=r b m V Kegel = 3 r h