ANALYSIS 1 für Lehramt Ma Regelschullehrer SS 2008

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1 ANALYSIS 1 für Lehramt Ma Regelschullehrer SS 2008 Prof. Dr. Thomas Runst Friedrich Schiller Universität Jena Fakultät für Mathematik und Informatik Mathematisches Institut 1

2 Ziel der Vorlesung: Der Modul behandelt die Grundlagen der Analysis und ist daher für das Mathematikstudium insgesamt von großer Bedeutung. Es werden Vorleistungen für aufbauende Module aus der Stochastik und der angewandten Mathematik erbracht. Es erfolgt eine teilweise Wiederholung sowie eine Vertiefung der Kenntnisse aus dem Mathematikunterricht (reelle Zahlen, komplexe Zahlen, Folgen und Reihen, Funktionen und Differentialrechnung). Es werden mathematische Lehrinhalte aus der Analysis vermittelt, die für die weitere Ausbildung erforderlich sind. Schwerpunkte bilden dabei das Verständnis von mathematischen Denkweisen, grundlegenden Begriffsbildungen und Modellen in der Analysis und die Herausbildung von rechnerischen Fertigkeiten und deren Anwendungen. Literaturvorschläge E. Behrends, Analysis Band 1. Ein Lehrbuch für den sanften Wechsel von der Schule zur Uni. Vieweg Verlag, Wiesbaden, 2. Auflage S. Brehmer, H. Apelt, Analysis I: Folgen, Reihen, Funktionen. Studienbücherei, Mathematik für Lehrer, Dt. Verlag Wiss., Berlin, 5. Auflage S. Brehmer, H. Apelt, Analysis II: Differential- und Integralrechnung. Studienbücherei, Mathematik für Lehrer, Dt. Verlag Wiss., Berlin, 4. Auflage H. Scheid, K. Endl, Mathematik für Lehramtskandidaten. Band IV: Analysis. Studienbuch für Studierende der Mathematik und Physik an Pädagogischen Hochschulen und Universitäten ab 1. Semester. Akad. Verlagsgesellschaft, Wiesbaden, 1977 P. Furlan, Das gelbe Rechenbuch 1 für Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker: Lineare Algebra und Differentialrechnung. Verlag M. Furlan, Dortmund,

3 1 Reelle und komplexe Zahlen 1.1 Die reellen Zahlen In dieser Vorlesung gehen wir davon aus, dass die folgenden Zahlenbereiche und ihre grundlegenden Eigenschaften aus der Schule bzw. aus der Vorlesung Elemente der Mathematik bekannt sind. Weiterhin verwenden wir die üblichen Bezeichnungen: N = {1,2,3,...} : Menge der natürlichen Zahlen. Die Addition und die Multiplikation sind in N uneingeschränkt ausführbar: Es gilt a + b N sowie a b N, falls a N und b N erfüllt sind. N 0 = N {0} : Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen. Z = {0, ±1, ±2, ±3, ±4,...} : Menge der ganzen Zahlen. In Z ist die Addition, Subtraktion (als Umkehroperation zur Addition) und die Multiplikation uneingeschränkt ausführbar: Es gilt also zusätzlich die Aussage, dass a b Z für beliebige a Z und b Z erfüllt ist. Q = { p q : p Z, q N} : Menge der rationalen Zahlen. Diese Menge enthält alle endlichen und unendlichen periodischen Dezimalbrüche (Dezimalzahlen). In Q ist zusätzlich die Division (als Umkehroperation der Multiplikation) außer durch 0 uneingeschränkt ausführbar. Es gilt x Q für beliebige x Q und y Q mit y 0. y Falls a Q, a > 0, so heißt x = a, x 0, (Quadratwurzel von a) genau dann, wenn x x = a gilt. Aus der Schule ist bekannt, dass 2 / Q gilt. Das kann man indirekt beweisen: Wir nehmen an, dass 2 Q gilt, und es sei 2 = p q, wobei p Q und q Q teilerfremd sind. Dann folgt aus p p = 2q q, 3

4 dass p gerade und damit auch q eine gerade Zahl sein muss. Das ist jedoch ein Widerspruch zur Annahme, dass p und q teilerfremd sind. 2 ist eine irrationale Zahl. Sie lässt sich nur als unendlicher nichtperiodischer Dezimalbruch (Dezimalzahl) darstellen. { } R = ± a k 10 k : a k {0,1,...,9} : Menge der reellen Zahlen. k= R besteht aus den rationalen und irrationalen Zahlen, d.h. aus den endlichen und unendlichen Dezimalbrüchen. Summe, Differenz, Produkt und Quotient zweier reeller Zahlen ergeben stets eine reelle Zahl. Weiterhin sind bekannt: Die Division durch die Zahl 0 ist nicht erlaubt. (i) N N 0 Z Q R (echte Teilmengen) (ii) Eigenschaften der elementaren Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division (außer durch Null)) (iii) R bildet bezüglich der Addition und Multiplikation einen kommutativen Körper (iv) Ordnungseigenschaften der reellen Zahlen und entsprechende Rechenregeln Wie üblich verwenden wir folgende Bezeichnungen. x R heißt positiv, falls x > 0. x R heißt negativ, falls x < 0. x R heißt nichtnegativ, falls x 0. x R heißt nichtpositiv, falls x 0. Als nächstes führen wir die Potenzen mit ganzzahligen Exponenten für x R \ {0} durch induktiv ein. Weiterhin setzen wir Man beachte x 0 := 1, x n+1 = x x n, n N 0, x n = 1 xn, n N, 0 n := 0, n N. 0 0 ist nicht definiert (unbestimmter Ausdruck). Beispiel 1 (1) 3 4 = 0,75 ist eine rationale Zahl (endlicher Dezimalbruch), (2) 2 3 = 0, 6 = 0, ist eine rationale Zahl (unendlicher periodischer Dezimalbruch) und (3) 2 = 1, ist eine irrationale Zahl (unendlicher nichtperiodischer Dezimalbruch). (4) Weitere wichtige irrationale Zahlen sind die Zahl π und die Eulersche Zahl e. 4

5 Wir identifizieren die Menge der reellen Zahlen R mit der Zahlengerade. Weiterhin ist Q eine dichte Menge auf der Zahlengerade (Q ist dicht in R). Definition 1 (1) (Betrag einer reellen Zahl) Es sei x R. Wir definieren den Betrag von x durch x : falls x 0 x = x : falls x < 0 (2) (Abstand) Es gelte x, y R. Dann bezeichnet d(x,y) = x y den Abstand zwischen x und y. Lemma 1 (Eigenschaften des Betrages) Es seien x, y, a R, wobei a 0 gelte. Dann folgt: (1) x 0, (2) x = 0 x = 0, (3) x a a x a, (4) x y = x y, (5) (Dreiecksungleichung) x + y x + y, (6) x y x + y. Beweis: Die Aussage (1) folgt unmittelbar aus der Definition des Betrages. Wir zeigen (2) Ist x = 0, so ist auch x = 0. Es sei jetzt x = 0. Wir nehmen nun an, es gelte x > 0. Dann folgt x = x > 0. Das ist aber ein Widerspruch zur Annahme x = 0. Analog ergibt sich aus x < 0 der Widerspruch x = x > 0. Wir beweisen (3) = : Es sei x a. Wir führen eine Fallunterscheidung durch 1. Fall: Ist x 0, so gilt x = x a. 2. Fall: Falls x < 0 gilt, so erhalten wir x = x a bzw. a x. Insgesamt folgt also a x a. Wir zeigen (3) = : Aus 0 x a folgt x a. Analog ergibt sich aus 0 > x a ebenfalls 5

6 x a. Wir beweisen (4). Dabei verwenden wir folgende Fallunterscheidung. 1. Fall: x 0, y 0. Damit ist x y 0 sowie x = x und y = y, und wir erhalten x y = x y = x y. 2. Fall: x < 0, y 0. Wegen x = x und y = y gilt x y = xy. Andererseits ist xy ebenfalls xy, da xy Fall: x < 0, y < 0. Es gilt x y = ( x)( y) = xy. Außerdem ist xy = xy, da xy > 0. Wir zeigen (5). Unter Verwendung von (3) gilt x x x und y y y. Daraus folgt ( x + y ) x + y x + y. Unter nochmaliger Anwendung von (3) ergibt sich schließlich x + y x + y. Abschließend betrachten wir (6). Mit Hilfe der Dreiecksungleichung erhalten wir: (a) x = x + y y x + y + y und (b) y = x + y x x + y + x. Also gilt x + y (b) x y (a) x + y, und damit ergibt sich wegen (3) x y x + y. 1.2 Die natürlichen Zahlen und weitere Eigenschaften Es ist bekannt, dass die Menge N der natürlichen Zahlen die kleinste Teilmenge der reellen Zahlen R ist, für die gilt: (A) 1 N, (S) x N = x + 1 N. Es gilt dann das Prinzip der vollständigen Induktion: Für jedes n N sei A(n) eine Aussage über die Zahl n mit folgenden Eigenschaften: 6

7 (A) (Induktionsanfang) A(1) ist richtig. (S) (Induktionsschluss) Aus der Gültigkeit von A(n) (Induktionsannahme) folgt die Richtigkeit von A(n + 1) (Induktionsschritt). Dann ist A(n) für alle n N richtig. Als Beispiele sind aus der Vorlesung Elemente der Analysis wichtige Summationsformeln, z.b. (Gauß) n i := n = i=1 n(n + 1), n N, 2 sowie der Binomische Satz bekannt. Dazu führen wir noch einmal zwei wichtige Begriffe ein. Fakultät: Es sei n N 0. Dann definieren wir induktiv 0! := 1, (n + 1)! := n!(n + 1) = n+1 j=1 j = n (n + 1). Bemerkung 1 Es sei A eine Menge mit n Elementen. Dann gibt es genau n! verschiedene bijektive Abbildungen (Permutationen) A A. Wie üblich heißt eine Abbildung f : M N bijektiv, wenn sie injektiv (verschiedene Elemente von M haben verschiedene Bilder) und surjektiv ist (jedes Element von N lässt sich als f(m) für ein geeignetes m M darstellen). Binomialkoeffizient: Es seien n, k N 0 mit k n. Dann definieren wir den Binomialkoeffizient n über k durch ( ) n := 1 0 ( ) n n! n(n 1) (n k + 1) := =. k k!(n k)! k ( ) n Bemerkung 2 (1) Jede n-elementige Menge besitzt genau verschiedene k-elementige Teilmengen. k (2) Man verwendet folgendes Bildungsgesetz im Pascalschen Dreieck: ( ) ( ) ( ) n n n =. k 1 k k 7

8 (3) Weiterhin gilt folgende Symmetrieeigenschaft: ( ) ( ) n n =. k n k Satz 1 (Binomischer Lehrsatz) Es seien x, y R und n N. Dann gilt (mit x 0 = y 0 := 1) n ( ) n n ( ) n (x + y) n = x n k y k = x k y n k. k k k=0 Bemerkung 3 Die Binomialkoeffizienten von k=0 (x + y) n, n N 0, kann man mittels des Pascalschen Dreiecks darstellen, wobei (x + y) 0 := 1 gesetzt wird: (x + y) 0 1 (x + y) (x + y) (x + y) (x + y) (x + y) Folgerung 1 Durch spezielle Wahl von x und y erhalten wir für n N n ( ) n 2 n = (1 + 1) n = k und 0 = (1 1) n = k=0 k=0 n ( ) n ( 1) k. k Eine weitere wichtige Aussage, die man ebenfalls mit dem Induktionsprinzip beweisen kann, folgt aus dem Binomischen Satz. Satz 2 (Bernoullische Ungleichung) Es sei x 1 und n N. Dann ist 1 + nx (1 + x) n. Hierbei gilt das Gleichheitszeichen genau dann, wenn entweder x = 0 oder n = 1 ist. Beweis: Für n = 1 erhalten wir 1 + 1x = (1 + x) 1 (1 + x) 1. Wir nehmen jetzt an, dass die Aussage für n gilt. Dann folgt wegen 1 + x 0 und x 2 0 (1 + x) n+1 = (1 + x) n (1 + x) (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx (n + 1)x. 8

9 Bemerkung 4 Es gilt (1 + x) n = 1 + nx, genau dann, wenn entweder x = 0 oder n = 1 erfüllt ist, und (1 + x) n > 1 + nx sonst. Eine weitere Anwendung, die man leicht beweisen kann, ist die verallgemeinerte Dreiecksungleichung, d.h. es gilt für beliebiges n N n x i i=1 n x i. i=1 1.3 Vollständigkeitsaxiom, Supremum und Infimum Wir beschäftigen uns jetzt mit dem Vollständigkeitsaxiom (V) der reellen Zahlen. Definition 2 (beschränkte Menge) Eine Teilmenge M der reellen Zahlen heißt (1) nach oben beschränkt, wenn es eine reelle Zahl S gibt, so dass x S für alle x M gilt, (2) nach unten beschränkt, wenn es eine reelle Zahl s gibt, so dass x s für alle x M gilt und (3) beschränkt, wenn es eine reelle Zahl c gibt, so dass x c für alle x M gilt. Bemerkung 5 (1) M ist genau dann beschränkt, wenn M nach unten und oben beschränkt ist. s nennt man untere Schranke und S nennt man obere Schranke von M. (2) Die Zahlen s, S und c sind nicht eindeutig bestimmt, falls sie existieren, z.b. ist jede Zahl S > S ebenfalls eine obere Schranke von M. (3) Jede endliche Menge M von reellen Zahlen ist beschränkt. Definition 3 (Infimum, Supremum). Es sei M R. (1) Eine reelle Zahl G heißt Supremum (obere Grenze, kleinste obere Schranke) von M, falls 1. x G für alle x M erfüllt ist und 2. für jede obere Schranke S von M gilt G S. Schreibweise: G = sup{x : x M} = supm. (2) Eine reelle Zahl g heißt Infimum (untere Grenze, größte untere Schranke) von M, falls 1. x g für alle x M erfüllt ist und 2. für jede untere Schranke s von M gilt g s. Schreibweise: g = inf{x : x M} = inf M. 9

10 Bemerkung 6 (1) Man kann leicht zeigen, dass folgende Aussagen gelten: (i) G = sup M genau dann, wenn 1. x G für alle x M erfüllt ist und 2. zu jedem ε > 0 existiert ein x ε M mit G ε < x ε. (ii) g = inf M genau dann, wenn 1. x g für alle x M erfüllt ist und 2. zu jedem ε > 0 existiert ein x ε M mit x ε < g + ε. (2) Aus der Definition folgt, dass g und G eindeutig bestimmt sind, falls sie existieren. (3) G und g müssen nicht zu M gehören. Beispiel: Für M = (0,1) = {x R : 0 < x < 1} erhalten wir G = 1 und g = 0. (4) Falls G M gilt, so setzen wir G = maxm (Maximum von M) bzw. falls g M gilt, so setzen wir g = min M (Minimum von M). Axiom von der oberen Schranke, Vollständigkeitsaxiom (V) Jede nach oben beschränkte nichtleere Menge reeller Zahlen besitzt genau ein Supremum im Bereich der reellen Zahlen. Bemerkung 7 (1) In der Schule wird die Zahl 2 mittels Intervallschachtelung gewonnen, d.h. man findet x = 2 approximativ durch 1 < x < 2 1,4 < x < 1,5 1,41 < x < 1,42 usw. Wir definieren jetzt 2 := supm = sup{x Q : x > 0, x 2 2}. Da M R nichtleer und nach oben beschränkt ist, existiert nach dem Vollständigkeitsaxiom das Supremum von M in R. (2) Für die rationalen Zahlen gilt das Axiom (V) nicht, da nach 1.1. supm / Q ist, d.h. das Vollständigkeitsaxiom beschreibt den Unterschied zwischen Q und R. Folgerung 2 (1) Jede nach unten beschränkte nichtleere Menge reeller Zahlen besitzt genau ein Infimum in den reellen Zahlen. (2) Gilt für eine reelle Zahl a die Ungleichung 0 a < 1 n, n N, so ist a = 0. 10

11 Beweis: (1) Die Idee besteht darin, dass man auf M := {x : x M} das Vollständigkeitsaxiom anwenden kann. Es existiert also G = sup( M) und g = G ist dann das gesuchte Infimum von M. (2) Wir nehmen an, dass a > 0 gilt. Dann existiert auch die reelle Zahl 1. Nach dem Satz von a Archimedes, siehe auch 1.2., ist die Menge N nach oben nicht beschränkt. Also findet man eine natürliche Zahl n 0 mit n 0 > 1 a, d.h. es gilt a > 1 n 0, ein Widerspruch zur Ungleichung in (2). Beispiel 2 Wir betrachten die Menge M = {1 1 n : n N}. Dann gilt (selbst nachweisen) 1. S = 1 oder S = 2, 2. s = 0 oder s = 1, 3. G = supm = 1 mit G / M 4. g = inf M = 0 mit g M. 1.4 Potenzen reeller Zahlen Wir erinnern daran, dass in 1.1. die natürlichen Potenzen reeller Zahlen x n für x R und n N eingeführt wurden. Definition 4 (n-te Wurzel) Es sei a > 0 eine reelle Zahl und n N. Dann bezeichnet die eindeutig bestimmte reelle Zahl x 0 > 0 mit x n 0 Schreibweise: x 0 = n a = a 1 n. = a die n-te Wurzel aus a. Bemerkung 8 Die Existenz und Eindeutigkeit der positiven reellen Zahl folgt analog zu Bemerkung 7 aus x 0 := supm = sup{x Q : x > 0, x n a}. Da M R nichtleer und nach oben beschränkt ist, existiert nach dem Vollständigkeitsaxiom (V) das Supremum von M in R. 11

12 Definition 5 (ganzzahlige und rationale Potenzen) Es sei a R. (1) Wir definieren a }... {{ a} : k N, k a k = 1 : k = 0, a 0 ( 1 a )... (1 a ) : k N, a 0 }{{} k (2) Es sei a > 0 und r = k n mit k Z und n N eine rationale Zahl. Dann setzen wir a r = n a k. ( ) 1 k Bemerkung 9 (1) Wir schreiben a k = für a 0, k N. Die Definition von a r ist a unabhängig von der Darstellung der rationalen Zahl r: Es gelte Dann folgt r = k n = l, d.h. km = ln. m a r = a k n = n a k = mn a km = mn a ln = m a l = a l m. (2) Weiterhin gelten für a > 0 und b > 0 und beliebige rationale Zahlen x, y Q a x+y = a x a y, a x b x = (a b) x, (a x ) y = a x y. Definition 6 (reelle Potenzen) Es seien a, b R mit a > 0. Dann ist sup{a r, r Q, r b} : falls a > 1 a b = 1 : falls a = 1 inf{a r, r Q, r b} : falls a < 1 Bemerkung 10 (1) Man kann zeigen, dass das angegebene Supremum und Infimum existiert. Fall a > 1: Es sei ε > 0 eine rationale Zahl. Dann folgt a ε > 1 und damit a r < a ε a r = a r+ε. Also ist die Menge {a r, r Q, r b} nach oben beschränkt ist, z.b. durch a s, s Q mit s > b. Jetzt wendet man das Vollständikeitsaxiom an. Fall 0 < a < 1: Analog kann man zeigen, dass die Menge {a r, r Q, r b} 12

13 nach unten beschränkt ist. (2) Man erhält also a b im Fall a > 1 durch sukzessive Approximation von unten bzw. im Fall a < 1 durch sukzessive Approximation von oben. 1.5 Komplexe Zahlen Aus der Schule ist bekannt, dass man nicht jede quadratische Gleichung im Bereich der reellen Zahlen lösen kann. Die einfachste derartige quadratische Gleichung ist x = 0. Unser Ziel besteht jetzt darin, die reellen Zahlen so zu erweitern, dass jede beliebige quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten lösbar ist. Dieser Ansatz, der uns zunächst als innermathematisch erscheint, führt uns zur Menge C der komplexen Zahlen. Es existieren jedoch vielfältige Anwendungen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften, für die man komplexe Zahlen verwendet, z.b. bei der Beschreibung von Schwingungsvorgängen in der Mechanik und der Elektrodynamik bzw. von Strömungsvorgängen in der Hydrodynamik. Definition 7 (komplexe Zahl) Es seien x und y zwei reelle Zahlen. (1) Das geordnete Zahlenpaar z = (x,y) heißt komplexe Zahl. Mit C bezeichnet man die Menge aller komplexen Zahlen. Die komplexe Zahl 0 := (0,0) bezeichnet das Nullelement in C. (2) Es seine z 1 = (x 1,y 1 ) und z 2 = (x 2,y 2 ) zwei komplexe Zahlen. Dann wird die Addition, bezeichnet mit +, und die Multiplikation, bezeichnet mit, in C folgendermaßen eingeführt: z 1 + z 2 = (x 1 + x 2,y 1 + y 2 ) z 1 z 2 = z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2,x 1 y 2 + x 2 y 1 ). Bemerkung 11 (1) Zwei geordnete Zahlenpaare (x 1,y 1 ) und (x 2,y 2 ) reeller Zahlen sind gleich genau dann, wenn x 1 = x 2, y 1 = y 2 gilt (koordinatenweise gleich). (2) Entsprechend der Definition gehören die Summe und das Produkt zweier komplexer Zahlen wieder zu C. (3) Vereinbarung: Eine reelle Zahl x wird in C mit dem geordneten Paar (x, 0) identifiziert, d.h. es gilt R C. Wir haben damit insgesamt folgende (echten) Zahlenbereichserweiterungen N N 0 Z Q R C. Aus den obigen Definitionen folgen damit insbesondere die bekannten Rechenregeln für reelle Zahlen, da (x 1,0) + (x 2,0) = (x 1 + x 2,0) 13

14 sowie (x 1,0) (x 2,0) = (x 1 x 2,0) gilt. Falls z = (x,y) eine komplexe und λ = (λ,0) eine reelle Zahl ist, so gilt entsprechend unserer Vereinbarung λz = (λ,0)(x,y) = (λx,λy) sowie z = (x,y) = (x,0) + (0,y) = x(1,0) + y(0,1). (4) Es sei z = (x,y) eine komplexe Zahl. Dann gilt z + (0,0) = (x + 0,y + 0) = z z (1,0) = (x 1,y 1) = z. Somit ist (0,0) bzw. (1,0) das neutrale Element der Addition bzw. der Multiplikation in C. Außerdem haben wir für z = (0,1) (0,1) (0,1) = ( , ) = ( 1,0), d.h. z z = 1 bzw. z z + 1 = 0 entsprechend unserer Vereinbarung. Satz 3 Für z 1, z 2 und z 3 C gilt (1) das Kommutativgesetz der Addition und der Multiplikation z 1 + z 2 = z 2 + z 1, z 1 z 2 = z 2 z 1 (2) das Assoziativgesetz der Addition und der Multiplikation (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ), (z 1 z 2 )z 3 = z 1 (z 2 z 3 ) (3) sowie das Distributivgesetz (z 1 + z 2 )z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3. Beweis: Zum Nachweis verwendet man die Definition der Addition und der Multiplikation von komplexen Zahlen sowie die entsprechenden Gesetze für die reellen Zahlen. Stellvertretend zeigen 14

15 wir hier das Assoziativgesetz der Multiplikation und das Distributivgesetz. Es seien z i = (x i,y i ), i = 1,2,3, gegeben. Dann erhalten wir sukzessiv (z 1 z 2 )z 3 = (x 1 x 2 y 1 y 2,x 1 y 2 + x 2 y 1 )(x 3,y 3 ) ) = ((x 1 x 2 y 1 y 2 )x 3 (x 1 y 2 + x 2 y 1 )y 3,(x 1 x 2 y 1 y 2 )y 3 + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )x 3 ( ) = x 1 (x 2 x 3 y 2 y 3 ) y 1 (x 2 y 3 + x 3 y 2 ),x 1 (x 2 y 3 + x 3 y 2 ) + y 1 (x 2 x 3 y 2 y 3 ) = (x 1,y 1 )(x 2 x 3 y 2 y 3,x 2 y 3 + x 3 y 2 ) = z 1 (z 2 z 3 ) sowie (z 1 + z 2 )z 3 = (x 1 + x 2,y 1 + y 2 )(x 3,y 3 ) ) = ((x 1 + x 2 )x 3 (y 1 + y 2 )y 3,(x 1 + x 2 )y 3 + (y 1 + y 2 )x 3 ( ) = (x 1 x 3 y 1 y 3 ) + (x 2 x 3 y 2 y 3 ),(x 1 y 3 + x 3 y 1 ) + (x 2 y 3 + x 3 y 2 ) = z 1 z 3 + z 2 z 3. Unter Verwendung der Definition 7(2) kann man jetzt die natürliche Potenzen komplexer Zahlen sukzessiv definieren. Es sei j N und z C. Dann setzen wir z j+1 := z z j sowie z 0 := (1,0) = 1, z 0. Es gilt insbesondere z j+k = z j z k für j, k N. Definition 8 Es sei z = (x,y) eine komplexe Zahl. Dann ist z = ( x, y). Die Zahl heißt die zu z konjugierte komplexe Zahl. z = (x, y) Bemerkung 12 (1) Für z = (x,y) gilt z + z = (2x,0) = 2x, z z = (0,2y) 15

16 sowie zz = x 2 + y 2. Entsprechend unserer Vereinbarung ist also zz eine reelle Zahl, die positiv ist, falls z 0 gilt. (2) Wir führen in Analogie zu den reellen Zahlen folgende Schreibweise für z 1, z 2 C ein: z 1 z 2 := z 1 + ( z 2 ). Satz 4 (1) Es seien z 1, z 2 C. Dann existiert genau ein w C mit z 1 + w = z 2, und es gilt w = z 2 z 1. (2) Es sei z = (x,y) 0. Dann existiert genau ein w C mit zw = (1,0) = 1. Es gilt w = 1 ( x zz z = x 2 + y 2, y x 2 + y 2 ). Wir schreiben w = 1 z. (3) Falls z 1 = (x 1,y 1 ) 0 und z 2 = (x 2,y 2 ), so existiert genau eine komplexe Zahl w mit z 1 w = z 2. Es gilt Wir schreiben w = z 2 z 1. w = 1 z 1 z 1 z 1 z 2. Beweis: (1) Es seien z 1 = (x 1,y 1 ) und z 2 = (x 2,y 2 ) zwei komplexe Zahlen und w = (x,y) sei eine Lösung von z 1 + w = z 2. Daraus folgt aber sofort, dass x 1 + x = x 2, y 1 + y = y 2 bzw. x = x 2 x 1, y = y 2 y 1 gelten muss. Folglich ist w = z 2 z 1. (2) Es existiere ein w mit z w = (1,0). Daraus folgt durch Multiplikation mit z zzw = (1,0)z = z 16

17 nach Bemerkung 11(3). Da zz nach Bemerkung 12(1) eine reelle positive Zahl ist, folgt schließlich, dass gelten muss. w = 1 ( x zz z = x 2 + y 2, (3) ergibt sich unter Verwendung von (2) und w = 1 z 1 z 2. y x 2 + y 2 ). In Analogie zu den reellen Zahlen können wir jetzt auch die negativen Potenzen für komplexe Zahlen z 0 einführen. Wir setzen z 1 = 1 z, z j := ( ) 1 j, j N. z Also gilt für alle j, k Z die Beziehung z j+k = z j z k für z 0 sowie z n = 0 für z = 0 und n N. Bemerkung 13 (1) Um z 2 z 1 zu berechnen, erweitert man also den Quotienten mit z 1, d.h. mit der zum Nenner konjugiert komplexen Zahl. (2) Durch einfaches Nachrechnen zeigt man z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 + z 2 = z 1 + z 2 für alle z 1, z 2 C sowie für alle z 0. ( ) 1 = 1 z z Definition 9 (Betrag, Abstand) Es seien z, z 1 und z 2 C. (1) Der Betrag von z = (x, y) wird durch z = x 2 + y 2 definiert. (2) Der Abstand zwischen z 1 und z 2 ist durch ρ(z 1,z 2 ) = z 1 z 2 gegeben. Satz 5 Es seien z, z 1 und z 2 C. Dann gilt (1) z = (z z) 1/2, z = z = z, 17

18 (2) z 0, z = 0 z = 0, (3) z 1 z 2 = z 1 z 2, (4) z 1 + z 2 z 1 + z 2 (Dreiecksungleichung) (5) z 1 z 2 z 1 + z 2. Beweis: Die Aussage (1) folgt aus Bemerkung 12(1). Wir zeigen (2). z 0 folgt aus der Definition 9(1). Ist z = 0, so ist x 2 + y 2 = 0 und somit z = 0. Aus z = 0 folgt unmittelbar z = 0. Die Eigenschaft (3) ergibt sich aus z 1 z 2 2 (1) = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 1 z 2 z 2 (1) = z 1 2 z 2 2. Wir zeigen (4). Es gelte z 1 = (x 1,y 1 ) und z 2 = (x 2,y 2 ). Dann folgt unter Verwendung von Bemerkung 13(2) z 1 + z 2 2 = (z 1 + z 2 )(z 1 + z 2 ) = (z 1 + z 2 )(z 1 + z 2 ) = z 1 z 1 + z 1 z 2 + z 2 z 1 + z 2 z 2 = z z z 1 z 2 + z 2 z 1. Nach Bemerkung 12(1) gilt z 1 z 2 +z 2 z 1 = 2(x 1 x 2 +y 1 y 2 ). Weiterhin folgt mit 0 (y 1 x 2 y 2 x 1 ) 2, dass z 1 z 2 + z 2 z 1 2 (x 1 x 2 + y 1 y 2 ) 2 = 2 (x 1 x 2 + y 1 y 2 ) 2 + (y 1 x 2 y 2 x 1 ) 2 = x 2 1 x2 2 + y2 1 y2 2 + y2 1 x2 2 + y2 2 x2 1 = 2 (x y2 1 )(x2 2 + y2 2 ) = 2 x y2 1 x y2 2 = 2 z 1 z 2 gilt. Daraus folgt aber insgesamt z 1 + z 2 2 z z z 1 z 2 = ( z 1 + z 2 ) 2. Die Ungleichung (5) ergibt sich analog zu Lemma 1(6) von Abschnitt

19 Definition 10 (1) (Real- und Imaginärteil) Für z = (x,y) C bezeichnet x = Rez den Realteil und y = Im z den Imaginärteil von z. (2) i = (0, 1) heißt imaginäre Einheit. Bemerkung 14 (1) In Analogie zur Anschauungsebene können wir damit die komplexen Zahlen C in der sogenannten Gaußschen Zahlenebene mit der Einheit 1 auf der reellen Achse und der Einheit i auf der imaginären Achse darstellen. Dabei bedeutet graphisch z z eine Spiegelung an der Abzissenachse Re z, z z eine Spiegelung am Koordinatenursprung 0 = (0, 0). Die Addition von zwei komplexen Zahlen entspricht dann der Addition der entsprechenden Ortsvektoren. (2) Es sei z 0 eine komplexe Zahl und r > 0 eine reelle Zahl. Durch die Menge {z C : z z 0 < r} wird ein Kreis vom Radius r mit Mittelpunkt z 0 dargestellt. (3) Wir können die Multiplikation jetzt auch geometrisch deuten. Es seien z 1 und z 2 zwei komplexe Zahlen mit Abstand r i = z i = x 2 i + y2 i vom Ursprung und den Winkeln ϕ i, 0 ϕ i < 2π, i = 1,2 mit der Abzissenachse. Dann gilt z 1 = (x 1,y 1 ) = (r 1 cos ϕ 1,r 1 sin ϕ 1 ) z 2 = (x 2,y 2 ) = (r 2 cos ϕ 2,r 2 sin ϕ 2 ) und damit unter Verwendung der Additionstheoreme für die Sinus- und die Kosinus-Funktion z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 1 sinϕ 2,sin ϕ 1 cos ϕ 2 + cos ϕ 1 sin ϕ 2 ) ( ) = z 1 z 2 cos(ϕ 1 + ϕ 2 ),sin(ϕ 1 + ϕ 2 ). 19

20 Das heißt, bei der Multiplikation komplexer Zahlen wird das Produkt der Beträge gebildet, und die entsprechenden Winkel mit der reellen Achse werden addiert. (4) Analog kann man iterativ zeigen, dass z n = r n (cos nϕ,sin nϕ) gilt, falls z = r(cos ϕ, sin ϕ). (5) Zwei komplexe Zahlen z 1 = r 1 (cos ϕ 1,sin ϕ 1 ) und z 2 = r 2 (cos ϕ 2,sin ϕ 2 ) sind genau dann gleich, wenn r 1 = r 2, ϕ 1 ϕ 2 = 2kπ, k Z, gilt. Wir beschäftigen uns jetzt mit dem Radizieren von komplexen Zahlen. Dazu seien die komplexe Zahl z = r(cos ϕ,sin ϕ) 0 sowie n N gegeben. Gesucht ist also eine komplexe Zahl z 0 = r 0 (cos ϕ 0,sin ϕ 0 ), so dass z n 0 = z, d.h. z 0 = n z gilt. Daraus folgt aber z n 0 = rn 0 (cos nϕ 0,sin nϕ 0 ) = r(cos ϕ,sin ϕ) und somit Wegen r > 0 erhalten wir schließlich Damit sind alle Werte durch gegeben. z n 0 = z rn 0 = r, nϕ 0 = ϕ + 2kπ, k Z. z 0 = n r(cos ϕ + 2kπ n r 0 = n r, ϕ 0 = ϕ + 2kπ, k Z. n,sin ϕ + 2kπ ), k = 0,1,...,n 1, n Satz 6 Sei n N. Die n-ten Wurzeln aus einer komplexen Zahl z = r(cos ϕ,sin ϕ) 0 sind durch die n verschiedenen komplexen Zahlen gegeben. z k = n r(cos ϕ + 2kπ n,sin ϕ + 2kπ ), k = 0,1,...,n 1, n Beispiel 3 Es sei z = 3 i. Dann gilt wegen i = 1(cos π 2,sin π 2 ) ( 3 i )k π/2 + 2kπ = 1 (cos,sin 3 20 π/2 + 2kπ ), k = 0,1,2. 3

21 Bemerkung 15 Es seien z, z 1, z 2 C \ {0} und m, n N. Dann gelten folgende Rechenregeln für das Radizieren: n z1 n z 2 = n z 1 z 2, n z1 n z2 = n z1 z 2, m n z = m n z. Beispiel 4 Sei n N. Wir bestimmen alle komplexen Lösungen (Einheitswurzeln) von z n = 1. Für die Zahl 1 erhalten wir r = 1 und ϕ = 0. Somit ergibt sich ( ) n 1 k = 1 ( cos 2kπ n 2kπ ) (,sin = n cos 2kπ n 2kπ ),sin, k = 0,1,...,n 1. n Somit bilden die Einheitswurzeln ein regelmäßiges n-eck auf dem Rand des Einheitskreises, beginnend mit 1 (k = 0). Für n = 4 erhalten wir für z 4 = 1 die Lösungsmenge {1, 1,i, i}, für n = 3 gilt ( ) 3 1 k = ( cos 2kπ 3 2kπ ),sin, k = 0,1,2. 3 Satz 7 Es sei z C. Dann gilt: (1) z = Re z + iim z, (2) Rez = z + z 2, Im z = z z, 2i (3) i 2 1 = 1, i = 1 i = i, (4) z Re z + Im z, Re z z und Im z z. Beweis: (1) ergibt sich aus der Vereinbarung in Bemerkung 11(3) sowie Definition 10(1). (2) folgt analog aus Bemerkung 12(1). Wir zeigen (3). Nach Definition der Zahl i folgt i = 1 und aus der Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen erhalten wir i 2 = i i = (0,1) (0,1) = ( , ) = ( 1,0) = 1. 21

22 Zur Berechnung von i 1 verwenden wir die Formel und erhalten 1 z = 1 zz z 1 i = 1 ( i) = i. 1 (4) Es gilt z.b. x = x 2 x 2 + y 2 = z. Aus der Dreiecksungleichung folgt z = x + iy x + iy = x + y = Rez + Im z. Beispiel 5 Wir bestimmen den Real- und Imaginärteil der Zahl z = x + iy = (1 + 2i) (3i) i Wir erhalten (1 + 2i) (3i) 3 + 5i = (3i + 6i2 )( 3 5i) ( 3 + 5i)( 3 5i) ( 6 + 3i)(3 + 5i) = i =, 34 = ( i 30i) 34 d.h x = Re z = 33 21, y = Im z = Folgen 2.1 Grundbegriffe Als nächstes führen wir den Begriff einer reellen Zahlenfolge ein. Definition 1 (1) (Folge reeller Zahlen) Es sei M eine Menge reeller Zahlen. Ordnet man jeder natürlichen Zahl n N ein Element x n M zu, so erhält man eine Folge reeller Zahlen x 1,x 2,.... Man verwendet dafür auch die Bezeichnungen {x n } n=1 oder {x 1,x 2,...} oder kurz {x n }. 22