Lösungen der Übungsaufgaben zum Kompendium der diskreten Mathematik (Bernd Baumgarten, De Gruyter, 2014) Kapitel 5: Zahlen und Anzahlen

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1 04 Berd Baumgarte Lösuge der Übugsaufgabe zum Kompedum der dskrete Mathematk (Berd Baumgarte, De Gruyter, 04) Kaptel 5: Zahle ud Azahle Btte beachte Se: Versuche Se stets, de Aufgabe zuächst selbst zu löse! Das Aschaue eer gelöste Übugsaufgabe ohe vorherge egee ersthafte Bearbetugsversuch ützt Ihe hschtlch des Lererfolgs oft cht mehr als der Geuss eer Tasse Kaffee: Es erzeugt vorübergehed e ageehmes Gefühl Zu jeder Aufgabe ka es verschedee korrekte Lösuge bzw Lösugswege ud für jede Lösug mehrere Schrebwese gebe Daher sd de der Folge vorgestellte Lösuge durchweg ur als Bespele zu verstehe Zusätzlche Erkläruge stehe eckge Klammer [ ] Auch Übugsaufgabe köe Fehler stecke Btte beachte Se de Errata-Date auf 5 Peao-Axome 5 Lösuge zu»zahle ud Azahle«Wr gebe her zu jedem ausgelassee Axom jewels e oder zwe der vorgeschlagee Modelle a, de vo de atürlche Zahle verschede sd aber de verblebede Axome erfülle (das ausgelassee Axom jedoch cht) Solch e Modell gbt de Grudmege (das Uversum) a, darauf ee Nachfolger-Relato ud ee ausgewählte Mege der Objekte mt der Egeschaft atürlche Zahl Dazu kommt jewels ee klee Illustrato des Modells welcher de Zahlemege egerahmt st: Ax () auslasse: (b) Iterpretatoe (b) ud (h) ε (h) ε

2 Ax () auslasse: (c) Iterpretatoe (c) ud (g) ε (g) ε Dabe sd de Axome we folgt modfzert: (') m, IN 0 ( succ ( m, ) 0) (4') m IN [ k IN ( succ ( m, k) succ (, k))] m ), 0 0 ( ( M IN 0 0 M ( m M, IN 0 ( succ ( m, ) M ) ) M IN 0 (5') M ) Atwort auf de Zusatzfrage: I (c) st succ mmer och lkstotal I (g) st succ mmer och rechtsedeutg Dese bede Egeschafte vo succ köte also getret voeader de Peao-Axome postulert werde, ud de Axome wäre da mmer och uabhägg Ax () auslasse: Iterpretato (f) ε Ax (4) auslasse: Iterpretato (e) ε Ax (5) auslasse: Iterpretato (d) ε 5 Addto ud Nachfolger De Aussage glt für 0 : 0 + plus 0() plus0( succ(0)) succ( plus0(0)) succ(0) Es gelte succ ( ) + Da glt auch succ ( succ( )) succ( ) +, de succ ( ) + plus succ() () plussucc( ) ( succ(0)) succ( ) (0)) plus succ( succ( succ( ))

3 5 Ordugsrelatoe auf atürlche Zahle Nach Satz 5 glt m d IN 0 : m + d Für e d IN 0 mt m + d st etweder d 0, also m + d m m + 0, oder d IN, also ach Satz 5 m + d m < Also glt auch d IN : m + d m m < 0 54 Ordugsrelatoe ud Vorgäger auf gaze Zahle a) () a [( 0,0)] < [(,0 )] b [( 0,)] < [(0,0)] () a [(, k)] < [( m, )] [( succ ( ), k)] < [( succ( m), )] b [(, k)] < [( m, )] [(, succ( k))] < [( m, succ( ))] c [(, k)] < [( m, )] [( succ ( ), succ( k))] < [( m, )] d [(, k)] < [( m, )] [(, k)] < [( succ( m), succ( ))] [(, k)] < [( m, )] [( m, )] < [( r, s)] [(, k)] [( r, s)] e ( ) < [ Gesucht wrd m Przp ee duktve Defto der Quadrupel (, k, m, ) mt Kompoete I N 0, für de [(, k)] < [( m, )], dh + < k + m bzw k < m glt (vgl (b) ute) Bldlch gesehe solle der uedlche Matrx (0,0) (,0) (,0) (,0) (0,) (,) (,) (,) (0,) (,) (,) (,) (0,) (,) (,) (,) L L L L M M M M O de Eträge ee solche Relato < gebracht werde, dass (, k) < ( m, ) geau da glt, we de (blau agedeutete) Haupt- oder Nebedagoale vo (, k) rechts oberhalb der vo ( m, ) legt We kommt ma zb vo (,) ach lks ute zu dem größere Paar (,)? I der obge Lösug sorge (b) ud (b) für (0,0) < (0,) ud (0,) < (0,) De Trastvtät (e) lefert (0,0) < (0,) Aalog erhalte wr (0,0) < (,0) durch (a), (a) ud (e) De Trastvtät (e) sorgt u für (0,) < (,0) Vo de bsher verglchee Zahlepaare (0,) ud (,0) aus köe wr us u auf de jewelge Dagoale bewege, ohe dass de Uglechug verlore geht: (c) lefert de Übergag vo (0,) < (,0) zu (,) < (,0) ud (d) de wetere Übergag zu (,) < (,) ] < : Wege (b) [(0,)] < [(0,0)] 0 glt mt (b) [(0,)] [(0, succ ())] < [0, succ(0)] [(0,)] < : Wege (b) [(0,)] < [(0,0)] 0 ud (a) 0 [(0,0)] < [(,0)] glt mt (e) [(0,)] < [(0,)] b) [(, k)] [( m, )] + < k + m (letzteres de atürlche Zahle terpretert!), < : [ da [(, k)] dem gewohte k etspreche soll, ud wege der gewohte Uglechugsrechug k < m + < k + m Dabe st aber streg geomme och zu bewese, dass des wrklch ee Defto (wohldefert) st, also uabhägg vo der Wahl des Repräsetate der Äquvalezklasse, dh

4 [(, k)] < [( m, )] (, k) (, k ) ( m, ) ( m, ) [(, k )] < [( m, )] Aders ausgedrückt: muss ee Kogruezrelato bezüglch < se ] < : I I N0 glt m < succ(m), also < bzw 0 + < + 0 bzw [( 0,)] < [(0,)], dh Kurzform < < : I I N0 glt m < succ(m) ud ach eem Iduktosschrtt auch m < succ( succ( m)) Somt glt 0 < bzw < + bzw [( 0,)] < [(,0 )], dh Kurzform < c) pred ([(, k)] ) : [(, succ( k))] Dabe blebt aber och zu bewese, dass dese Defto vo der Wahl des Repräsetate der Äquvalezklasse uabhägg st Für ee atürlche Zahl > 0 st pred ( ) [(,)] pred [(,0)], wobe das lke pred das der atürlche Zahle ud das rechte das der eu kostruerte gaze Zahle se soll 55 Zahle-Paradoxe mt Kombatork ud Wohlordug a) Se M de Mege der uteressate atürlche Zahle Da hat M e klestes Elemet, de kleste aller uteressate Zahle Des st offebar ee cht trvale Egeschaft, de teressat macht e Wderspruch b) De kleste atürlche Zahl, de sch cht mt eer Folge vo bs zu ehudertfüfudzwazg Zeche beschrebe lässt, hat weger als 5 Zeche ud beschrebt de Zahl schebar edeutg, m Wderspruch dazu, dass es ee der Zahle st, für de 5 Zeche cht ausreche Deses Paradoxo st ählcher Form als Berrys Paradoxo bekat 56 Negatvebldug de gaze Zahle a) Wr habe zu zege, dass für je zwe atürlche Zahle, k e passedes IN 0 exstert, so dass (, k) (,0) oder (, k) (0, ), also + k oder k + Nach dem Wohlordugssatz 54 (oder auch berets Lemma 5) hat {, k} e klestes Elemet Ist deses Elemet, so glt k Nach Satz 5 exstert da e IN 0 derart, dass + k Ist dagege k das kleste Elemet vo {, k}, so folgt aalog k + b) Ist k ud (so) k +, so st [(, k)] [(,0)] [(0, )] [( k, )], ud aalog m Fall k [Alteratv ka ma argumetere, dass [(, k)] + [( k, )] [( + k, k + )] 0 ] c) Ist m [(, k)] ud [( r, s)], so glt ( m) ( [(, k)] ) [( r, s)] per Esetzug [( k, )] [( r, s)] uter Verwedug vo Aufgabetel (b) [( k r + s, k s + r)] gemäß der Defto der Multplkato /Z [( s + k r, r + k s)] wege der Kommutatvtät der Addto I N0 [( r + k s, s + k r)] uter Verwedug vo Aufgabetel (b) ([(, k)] [( r, s)] ) gemäß der Defto der Multplkato /Z ( m ) per Esetzug

5 57 Ratoale Zahle ud Dezmalbrüche Für ee Dezmalzahl z ak ak Ka0, b bkbl c ckcm, mt perodscher Dezmalbruchetwcklug rechet ma ( 0 ) z dk + m dk + m Kd0, e ekel aus mt Dezmalzffer m d, 0, K, k + m ud e,, K, l Herbe st jewels de Dezmaldarstellug gemet Für de atürlche Zahl d d d e e Ke (Dezmaldarstellug) glt da k + m k + m K 0 l m 0 (0 ) z, also z /Q l m 0 (0 ) Der ave Algorthmus der schrftlche Dvso eer gaze Zahl durch ee atürlche Zahl (dh ohe Beachtug eer Perode) läuft so lage, bs ke Rest mehr blebt, was evetuell e passert Im letztere Fall läuft er edlos Edet er, st das Ergebs ee Zahl mt abbrecheder Dezmalbruchetwcklug a akak, ak + ak + Kak + l 0K0 (mt m Nulle am Ede, wobe m 0), wege a akak, ak + ak + Kak + l 0K0 0 a akak, ak + ak + K( ak + l ),9 (problemlos: ggf l 0) also auch ee (edeutge) perodsche Zahl Edet der Dvsosalgorthmus hgege cht, so müsse sch rgedwa de (ur edlch vele möglche uterschedlche) Reste,, oder rgedwa wederhole, weshalb sch de etsprechede Dezmalzffer des Ergebsses zwsche dese Wederholuge ab da auch perodsch wederhole müsse 58 Ordugsrelatoe auf ratoale Zahle l ( l+ m) Wr defere < k m we k > 0 [(, k)] < [( m, )] : ud k m < we k < 0 k m we k > 0 [(, k)] [( m, )] :, k m we k < 0 wobe jewels de lke Uglechug de eue ratoale Zahle ud de rechte de gaze Zahle zu terpretere sd Des atürlch deswege, wel [(, k)] dem schulmäßge Bruch / k etsprcht [ De etgegegesetzte Uglechuge de Alteratve sd dadurch bedgt, dass bespelswese ( ) < 4 be bedsetger Dvso durch de egatve Zahl ( ) 4 de etgege gerchtete Uglechug / 4 > /( ), also /( ) < / 4 übergeht Weder ka ma bewese, dass des wrklch Deftoe (wohldeferte Beschrebuge) sd, vgl Aufgabe 54 ]

6 59 Irratoale Zahle Aahme: 6 q / r mt q,r /Z Wr kürze de Bruch so, dass 6 a / b, wobe a ud b kee Teler gemesam habe Da glt 6 a / b, a 6 b, telt a ud daher auch a, so dass mt eer atürlche Zahl c glt: a c Also glt 4 c 6 b, c b Somt sd b ud auch b gerade Zahle Isgesamt habe a ud b de Teler gemesam, m Wderspruch zu hrer Wahl Somt muss de Aahme falsch ud 6 rratoal se Aahme: q / r mt q /Z, r IN Wr kürze de Bruch, so dass a / b, wobe a ud b kee Teler gemesam habe Da glt a + b a + b + b b a,, ud damt, also ratoal, m b b b Wderspruch zu Satz 56 Somt muss de Aahme falsch ud rratoal se 50 Dvso Dedekd sche Schtte Wr defere für ee Schtt S 0* das multplkatve Iverse S mt S S * ud setze da S / S S S, ud zwar we folgt: : Für S < 0* se Ŝ : {/ x x < 0 x S}, für S > 0* se Ŝ : {/ x x S} { x x 0}, ud bede Fälle se da S : Sˆ \{ sup S ˆ } [ Wr prüfe am Bespel S (, / ) ach: ˆ S {/ x / x < 0} (, ] ud S (, ) ud am Bespel T (,) : ˆ T {/ x x} (,0] (0,/] (,0] (,/] ud T (,/) ] Da st zb für S > 0* (ud, we ma lecht seht, damt auch S > 0* ) S S { x y x S x 0 y S } { x / y x S x 0 y S y 0} (,0] [ De x komme vo ute ud de y vo obe belebg dcht aeader hera, so dass x / y belebg dcht vo ute a herakommt, so dass S S { z Q/ z < } * ]

7 5 Reche m Komplexe a) ( + ) + ( + 4) 4 + ( ) + ( 4) 6 ( (( ) 4) + ( 4 ) + 0 v 4 ( ) ( 4 ) (4 ) ( ( ) ( 4)) + ( ( 4) + ( ) ) b) ( x + y ) x + x y + xy + y x xy + (x y y ) ( r (cosϕ + sϕ )) r (cos(ϕ ) + s(ϕ ) ) r (cos(ϕ + π ) + s(ϕ + π ) ) r (cos(ϕ ) + s(ϕ ) ) π π bzw (cos( ) + s( ) ) 4π 4π bzw (cos( ) + s( ) ) [ Der Radus der komplexe Wurzel 8 Polardarstellug st Passeder Wkel der komplexe Wurzel 8 st jeder Wkel [ 0,π ), desse Drefaches e Velfaches vo π st ] 5 Glechmächtgket a) Reflexvtät: d M bldet M bjektv auf M ab b) Symmetre: Ist f : M N bjektv, da auch f : N M c) Trastvtät: Sd f : M N ud g : N O bjektv, da auch go f : M O

8 5 Glechmächtgket ud Abblduge [ Natürlch folgt de Behauptug aus dem Edlchketskrterum Satz 5, aber her soll de Aussage zu Fuß, ohe 5, gezegt werde ] Wr bezeche de Mächtgket eer Mege S als S Her, be edlche Mege, st des jewels ee atürlche Zahl Iduktosafag: De Aussage stmmt für Mege M ud N der Mächtgket vo 0 bs 0, dh der Mächtgket 0, dh für M N, de da st de ezge Abbldug vo M ach N de leere (dh de Relato zwsche M ud N mt ull Paare), ud de st sowohl jektv als auch surjektv Iduktosschrtt: De Aussage stmme für je zwe Mege der Mächtgket (Iduktosaahme ), ud de Mächtgket M bzw N zweer Mege M ud N se jewels + Wege + > 0 ethält M mdestes e Elemet m 0 Se M : M \ { m0} Se f : M N ee jektve Abbldug Mt N : N \{ f ( m0 )} glt für jedes m M, dass f ( m) N, de sost wäre m m ud f ( m) f ( m ), also f cht jektv Also gbt es de Abbldug f : M N defert durch f ( m) : f ( m) ud mt M N Se st ebefalls jektv, da aus f ( m ) f ( m) folgt, dass f ( m ) f ( m), also m m glt Wege ( ) st se surjektv Damt st f aber auch surjektv, de jedes Elemet y N st etweder N ud hat e f -Urbld M, oder es st y f m ), so dass es bede Fälle e f -Urbld M hat ( 0 Se u f : M N ee surjektve Abbldug ud f : M N de Eschräkug vo f auf M { m } f M ) f ( ) ka höchstes so vele Elemete we M \ 0 {}( {} M { m, K, m ethalte, ämlch für M } de Elemete f ( m ), K, f ( m ), ud das sd, we se alle voeader verschede sd, Stück, asoste weger [ Dese aschaulche Begrüdug wäre streg geomme auch duktv zu bewese ] f M ) f ( ) umfasst etweder gaz N, falls ämlch f m ) och e aderes {}( {} M f -Urbld M hat, oder hm fehlt geau f ( m0 ) Im erste Fall wäre f surjektv, ud es gälte + M > M f{} ( M ) N +, was, da ma daraus auf + > + schleße ka, umöglch st Im ezg möglche zwete Fall st mt N N \{ f ( m )} durch : 0 M N M \ { m0} N \{ f ( m0 ) f :, dh glechbedeuted f :, m a f ( m) m a f ( m) ee surjektve Abbldug defert, ud de st wege M N ud ( ) auch jektv Da es sch um de Fall hadelt, dass f ( m0 ) ke weteres f -Urbld M hat, st damt auch f jektv ( 0

9 54 Kombatork: Abblduge, Ikluso-Exkluso a) Se M de Mege der durch x telbare Zahle mt x 0000 Ma seht lecht: M M m M ggt(,m), ud M st de größte atürlche Zahl x mt x 0000 bzw de kleste atürlche Zahl y mt y 0000 / Wr möchte M 4 M 5 M 6 ermttel Würde wr dafür M 4 + M 5 + M 6 asetze, so hätte wr de Zahle, de Elemete geau zweer deser Mege sd, doppelt gezählt, ud de Zahle M 4 M 5 M 6 M 0 hätte wr sogar dremal gezählt Subtrahere wr zum Ausglech de Azahle der Elemete vo M 4 M 5 ( M 0 ), M 4 M 6 ( M 4 ) ud M 5 M 6 ( M 0 ), so habe wr de alle dre Schttmege ethaltee durch 4, 5 ud 6 telbare Zahle, also M 0, auch dremal abgezoge, müsse se also am Ede och emal hzureche Isgesamt folgt (we us auch de Sebformel verrate hätte): M 4 M 5 M 6 M 4 + M 5 + M 6 M 0 M 4 M 0 + M b) Der Efachhet halber beschräke wr us auf M {, K, m} ud N {, K, } Wr köe us ja de Elemete vo M ud N jewels als a bs a m bzw b bs b durchummerert deke; da etspreche de Abblduge zwsche de Mege eader eedeutg: De Abbldug g mt g ( a ) bk etsprcht der Abbldug g ~ mt g ~ ( ) k De gesuchte Zahl ee wr Sur ( m, ) Se f : M N Ist m <, so umfasst f (M ) höchstes m Bldpukte, geauer gesagt m be jektvem f, sost echt weger Also ka f cht surjektv se, da m Elemete vo N ke Urbld habe m < Sur ( m, ) 0 Ist m, da st e surjektves f bjektv ud etsprcht geau eer Permutato auf {,, } Also gbt es da! surjektve Abblduge m Sur ( m, )! Aber das erhalte wr auch als Spezalfall vo Lösugsweg M I der Mege N aller f : M N, de ja N (also jedes K,, de Telmege : { f : M N f ( M )} F m, was wr u voraussetze M m ) Elemete hat, gbt es für der Abblduge, be dee cht Bldpukt st Jede Abbldug F etsprcht per Verkleerug des Werteberechs geau eer Abbldug f : M N \{ } ud umgekehrt Vo dese gbt es ( N \{ }, dh ( ) verschedee Sd,, K, uterschedlche Zahle aus {,, }, so st F F K F de k Mege der Abblduge f : M N, be dee kee der Zahle,, K, k Bldpukt st Aalog zum Obge st dere Azahl detsch mt der Azahl der Abblduge vo M N {,, K, }, wovo es wederum m ( k) verschedee gbt \ k Ee cht surjektve Abbldug vo M ach N st ee, be der mdestes e K,, cht Bldpukt st, also e Elemet vo F F K F, ud umgekehrt Wr bestmme de Mächtgket deser Mege über de Sebformel (Satz 8): ) M m k

10 F F K F { + F } { F F k F l { F F k, k, k}, k, l, {, k, l} } K De Durchschtte aus r Mege sd herbe utereader glechmächtg, ud hre Azahl etsprcht der der r-elemetge Telmege vo {, K, } Also: m m m F F K F ( ) ( ) + + ( ) ( ) L Dese Zahl st vo der Azahl aller Abblduge zu subtrahere, damt wr als Edergebs für de Azahl der surjektve Abblduge erhalte: k m m Sur( m, ) ( ) ( k) k 0 k ( ) 0 [ Wege des Falls m habe wr ebebe gezegt:! ( ) ] Lösugsweg Jede surjektve Abbldug f : M N lefert mt M k : f ({ k}) für k e - Tupel M, K, M derart, dass { M, K, M } ee Partto vo M st Da wr de dese mtsamt eer Rehefolge darauf erhalte, ma sprcht vo eer geordete Partto, ud umgekehrt jede solche geordete Partto M, K, M vermttels x M f ( x) : ee surjektve Abbldug defert, gbt es geauso vele surjektve f : M N we geordete Parttoe M, K, M vo M Da sch jede Partto { M, K, M }! uterschedlche Rehefolge brge lässt, st Sur ( m, ) das -fache der Azahl S m, möglcher -elemetger Parttoe M, K, M } vo M {, K, m} { Sur ( m, )! S m, S m, et ma Sterlg-Zahle zweter Art We lasse sch de S m, rekursv bereche? Nur de leere Mege lässt sch durch ee leere Partto überdecke, ud de leere Mege lässt sch ausschleßlch durch ee leere Partto überdecke (De Elemete eer Partto solle chtleere Telmege vo M se, vgl Korrekturelste zum Buch) I Formel: S ud k S S 0 0,0 Mt der Rekursosglechug S > 0, k k, 0 m+, Sm, + Sm, lasse sch da belebge S, ud Sur ( m, ) bereche We begrüdet ma dese? m De Mege der -elemetge Parttoe vo {, K, m + } zerfällt zwe dsjukte Telmege, de Parttoe mt Elemet { m +} (Telmege Mt) ud dejege ohe (Telmege Ohe) Jede Parttoe P aus Mt etsprcht eedeutg eer ( )- elemetge Partto P \{{ m + }} auf {, K, m} Vo de letztere gbt es S m, Stück We vele Elemete hat Ohe? Wr deke us jedes Partto Ohe eedeutg zwe Schrtte aufgebaut: Wr blde ee -elemetge Partto auf {, K, m}, was auf S m, Wese geht, ud stecke m + zu eer der Mege der Partto dazu, was auf Wese geht Also hat Ohe S m, Elemete was de Bewes abschleßt

11 55 Kombatork: Bewesbespele a) Addtvtät be dsjukte Vereguge: De Formel st trval für : A A Glt se für, dh streg paarwese geklammert: ( K ( A A ) L A ) ( K( A + A ) + K + A ), so komme be der Veregug mt der zum Bsherge dsjukte Mege A + de A + eue Elemete vo A + hzu: (( K( A A ) L A ) A ) ( K( A + A ) + K + A ) A ) Wer mag, ka dese Bewes mathematsch streger führe, ämlch über de Exstez eer formal deferte bjektve Abbldug f : U A A!! b) Wr zege: We + k k! ( k)! ( k )! ( k + )!!! + + (per Defto bzw Iduktosaahme) k k k! ( k)! ( k )! ( k + )!! ( k + ) k! + (Brüche erwetert) k! ( k)! ( k + ) k ( k )! ( k + )! ( k + + k)! (I jedem Neer zwe Faktore zusammegefasst ud da glechamge Brüche addert) k! ( k + )! ( + )! (Zähler ausgerechet) k! (( + ) k)! + (per Defto) k c) Wr bewese de Aussage A [ A k IN 0 { B B A B k} ] k mttels vollstädger Idukto für alle IN Iduktosafag, : Aus A folgt A {a} für e a, ud B A B k glt ur für B ud k 0 bzw {a} ud Sowohl für k 0 als auch für k st A { B B A B k} k Iduktosschrtt: De Aussage gelte für e IN Wr wolle se für + bewese: Ist A a, K, a } ee Mege mt + Elemete, so habe wr zu zege dass { + + für alle k vo 0 bs + glt: { B B A B k} Ee k-elemetge k Telmege B vo A st u etweder ee Telmege vo a, K, a } oder cht Im { erste Fall gbt es laut Voraussetzug uterschedlche Möglchkete Im k zwete Fall setzt B sch zusamme aus a + ud eer ( k ) -elemetge Telmege vo { a, K, a }, wofür es laut Voraussetzug uterschedlche Möglchkete k gbt De Mege der B gemäß de bede Fälle sd dsjukt, da de letztere a +

12 ethalte ud de erstere cht, so dass sch gemäß (a) hre Azahle addere Also st de Gesamtzahl der Möglchkete + +, dh ach (b): k k k d) Schaue Se zb ach be oder sowe Wkpeda uter Fboacc ud Catala Bespelswese st de Summe der Zahle der -te Zele des Pascal sche Dreecks de -te Zweerpotez, dh formal geschrebe k 0, ud des leuchtet lecht e: k 0 0 Wege glt es für de 0-te Zele (de Sptze) des Dreecks 0 Da jede Zahl der + -te Zele des Dreecks de Summe der lke ud rechte obere Nachbar st, gehe de Zahle der darüberlegede -te Zele alle zwemal de Summe der + -te Zele e, so dass de Summe über de + -te Zele das Doppelte der Summe über de -te Zele ergbt am Rad: (0) e: (Uter Verwedug der Bomalexpaso, agewedet auf sogar och kürzer) 56 Kombatork: Kugel Ure a) [ Vergleche Überscht Tab 5! ] + k k + k k ( + ), geht das Gaze Geordet, mt Zurücklege: [ Mt Kugel bs 7:,,, usw bs 7777, de Zechefolge der Läge 4 über {,, 7} etspreched ] Geordet, ohe Zurücklege:!/( k)! 7!/(7 4)! [ Mt Kugel bs 7: 4, 4, 4, usw bs 7654, de Permutatoe vo 4 aus {,, 7} etspreched ] 7 7! Ugeordet, ohe Zurücklege: C (, k) 5 4 4!! 4 [ Mt Kugel bs 7: {,,,4}, {,,,5}, {,,,6}, usw bs {4,5,6,7}, de 4-elemetge Telmege vo bs 7 etspreched ] + k 0 0! Ugeordet, mt Zurücklege: 5 k 4 4! 6! 4 [ Mt Kugel bs 7: {,,,} µ, {,,,} µ, {,,,} µ, usw bs {7,7,7,7} µ, de 4-elemetge Multmege über bs 7 etspreched ] +

13 k b) Geordet, mt Zurücklege: 4 6, da ur Ergebsse r oder s möglch Mt Kugelvorrat {r,r,r,r,s,s,s} µ : rrrr, rrrs, rrsr, rrss, usw bs sssr, ssss Geordet, ohe Zurücklege: we vorher, aber ohe ssss, also 5 Mt Kugelvorrat {r,r,r,r,s,s,s} µ : rrrr, rrrs, rrsr, rrss, usw bs sssr Ugeordet, ohe Zurücklege: 4 Mt Kugelvorrat {r,r,r,r,s,s,s} µ : {r,r,r,r} µ, {r,r,r,s} µ, {r,r,s,s} µ, {r,s,s,s} µ Ugeordet, mt Zurücklege: 5 Nämlch we ohe Zurücklege plus de Möglchket {s,s,s,s} µ [ Dämpfer: Ree Zähluge we (b) habe mest gerge Bedeutug, da der Wahrschelchketsrechug de ezele Stchprobe daach zu gewchte sd, auf wevele uterschedlche Arte (mt uterschedlche Kugel) se zustade komme köe ] 57 Kombatork: Wege ud Wörter a) Bewegugsrchtuge A(bwärts) ud R(echts) Wegbeschrebuge: Folge aus R s ud m A s, m Bespel also RRARA ud AARRR Alle dese sd Permutatoe eer als Folge oterte Multmege (sog Permutatoe eer Multmege), wovo es ( m + )!/( m!!) verschedee gbt [ Schaut ma auf de Postoe der m A s als Telmege vo {,, K, m + }, so erwest sch des (atürlch) glechzetg als Azahl der m-elemetge (aber auch der m + m + -elemetge) Telmege eer ( m + ) -elemetge Mege: ] m b) Auch des st e Fall vo Permutatoe eer Multmege, her also ( )!/(4! 4!!!) ( !) /(4! (4 ) ( )) c) Für das erste A gbt es dre Möglchkete, da für das erste N zwe, für das zwete N ee ud für das zwete A och zwe, zusamme geomme [ ud des uter glechberechtgte möglche Stchprobe We am Ede der Lösug vo 54 agedeutet, st ee solche Fragestellug e Schrtt h zur Wahrschelchketsberechug: De Chace, ANNA zu zehe, st /840 ] 58 Kombatork: Multmege ud Folge Ma schrebt alle 04 zehgledrge Folge aus Ese ud Nulle auf systematsch, ohe ee zu vergesse oder mehrfach aufzuschrebe Bespelswese ka ma alle Bärzahle vo 04 bs 047 wachseder Größe schrebe ud überall de führede Es weglasse Da zählt ma uter de aufgeschrebee Folge dejege mt geau 6 Ese Ma ka sch aber auch das Aufschrebe der upassede Zahle erspare, dem ma glech systematsch ur alle Folge aus 6 Ese ud 4 Nulle geerert (ud se da zählt), etwa mt der Deklarato: DoIt(,k,strg): BEGIN IF 0 AND k0 THEN BEGIN PRINT(" "); PRINT(strg) END; IF >0 THEN DoIt(-,k,attach(strg, )); IF k>0 THEN DoIt(,k,attach(strg, 0 ));

14 END ud dere Aufruf mt DoIt(6,4, ) Ma defert ud berechet umttelbar de Fukto Az(,k) der Azahl aller Folge aus Ese ud k Nulle (, k 0 ) rekursv, dem ma (abgesehe vo de Radfälle) zwsche de mt begede ud de mt 0 begede uterschedet: Az(,k) : IF (0 OR k0) THEN ELSE Az(-,k)+ Az(,k-) Damt ruft ma auf: Az(6,4) Ma ka de Folge eedeutg codere durch de Agabe der ver Postoe der Nulle der Folge De gesuchte Azahl st also auch de Azahl der ver-elemetge Telmege der zeh-elemetge Mege {,, 0}, ud das sd alle 0 ugeordete 4-aus-0-Stchprobe ohe Zurücklege, also C (0,4) 0 4 Aalog köte ma de 6 Ese hre Postoe zuorde ud gelagt so zu C (0,6), was de gleche Wert ergbt We ma de Ese als Trestrche zwsche de Nulle auffasst, so dass sch de Nulle auf de 7 Bereche vor, zwsche ud hter de Trestrche vertele, ka ma de gesuchte 0--Folge auch als Vertelugsergebsse sehe Ma stellt sch vor, dass ma ver uuterschedbare Kugel auf sebe uterschedbare Ure bs 7 vertelt (Modell A) Nu etsprcht das Lege eer Kugel Ure Modell A dem Zehe der Kugel aus eer Ure mt Kugel bs 7 ud aschleßedem Zurücklege (Modell B) Das Zurücklege rührt daher, dass Modell A de Ure auch für wetere Kugel zur Verfügug steht Dass Modell A de Kugel uuterschedbar sd, bedeutet Modell B, dass cht de geaue Folge der gezogee Kugelummer als Ergebs zählt soder we oft jede vorkommt, also dere Multmege De Vertelugsergebsse etspreche also Zehugsergebsse, ämlch de ugeordete 4-aus-7-Stchprobe mt Zurücklege, mt der Azahl C (0,4) Aalog köte ma ver de Nulle als Trezeche vo füf Bereche betrachte ud ach der obge Überlegug frage: We oft hat ma jede vo füf uterschedbare Kugel bs 5 gezoge, we ma sechsmal zeht ud zurücklegt? Das führt aalog zu 6 0 6

15 59 Kombatork: Abblduge We ka ma m Falle M a, a, K, a m, a } ud N ee jektve Abbldug { m ( a ( a N \{ f ( a), f ( a f : M N bestmme? Zuerst ka ma f ) uter de Elemete vo N fre wähle, da um de Ijektvtät zu wahre f ) uter de Elemete vo N { a }, f a ) uter de Elemete vo )}, usw Nach dem Przp der Verkettug vo (her acheader m) Auswahlmöglchkete gbt es daher! ( 0) ( ) ( ) K ( ( m )) ( m)! jektve Abblduge f : M N Des glt atürlch ur, we m, de sost gbt es dabe mttedr ke ezges Elemet mehr zum Auswähle, also auch kee ezge jektve Abbldug, so dass dere Azahl da 0 beträgt [ Wer mag, ka sch deses och recht formlos erlagte Ergebs etwas formaler bewese, etwa ach folgedem Schema: Ma letet zum ee aus f : M N jektv M m N m > ee Wderspruch ab, was da de obe abschleßed erwähte Azahl 0 bewest Da bewest ma für belebges k 0 de Aussage ( m + k)! ( M m N m + k ) { f : M N f jektv} k! duktv für alle m 0, de: o Se glt für m 0 (wege der leere als ezger jektver Abbldug) o We se für m glt (#), so glt se auch für m + astelle vo m, de es gbt da e a M ud be jektvem f : M N daher m + k + Möglchkete für f (a) ud wege (#) m + k / k! Möglchkete für de da auch wohldeferte ud jektve Abbldug g : M \{ a} N \{ f ( a)} mt g ( x) : f ( x) Wem das och cht recht, der ka auch de Multplkatoseffekt be verkettete Wahlmöglchkete über ee Betrachtug der Mächtgket geegeter kartesscher Produkte formal bewese ] 50 Uedlche Azahle ud Hlberts Hotel Alle bsherge Gäste (außer dem Zmmer ) zehe glechzetg um, ud zwar aus Zmmer Nummer das Zmmer Nummer Jeder eue Gast G bekommt das fre werdede Zmmer Nummer [ Oder auch umgekehrt, alle alte Gäste ach, de eue ach ] 5 Ege abzählbare Mege a) f : a bldet NI bjektv auf NI 0 ud g : a NI 0 bjektv auf de Mege der gerade Zahle ab Damt st go f ee Bjekto vo de atürlche auf de gerade Zahle, de Mege sd glechmächtg, ud de letztere st abzählbar b) go f (a) bldet NI bjektv auf de Mege der gerade Zahle ab, ud h mt + h ( ) : / für gerade ud h ( ) für ugerade bldet de gerade Zahle bjektv auf de gaze Zahle ab Damt st ho go f ee Bjekto vo de atürlche auf de gaze Zahle, de Mege sd glechmächtg, ud de letztere st abzählbar \ (

16 c) Ist A abzählbar uedlch (wege der Verkettug vo Bjektoe geügt her der Fall A NI ) ud M A uedlch, da betrachte wr de Abbldug f : NI A, de we folgt duktv defert st: f ( ) : m M, f ( + ) : m( M{ f (), K, f ( )}) Se st jektv st, sost wäre mt f ( ) f ( m), > m, f () das Mmum ud damt Elemet eer Mege, de gar cht f () ethält Wäre se cht surjektv, so gäbe es e a A, das mt keem der erste a Mma überestmmt Also wäre a < f (a), ud damt hätte wege der Mmumbldug f (a) als Mmum eer Mege, de a ethält, a se müsse, e Wderspruch Also st f auch surjektv ud sgesamt ee Bjekto vo NI auf A, ud somt A abzählbar d) De Abbldug f : NI NI NI mt f ( ) : (,) st ee jektve Abbldug, woraus ach Satz 57 über de Egeschafte der Mächtgketsrelatoe NI p NI NI folgt Nach Satz 5, dem Fudametalsatz der Arthmetk st g : NI NI NI mt m g( m, ) : jektv, woraus ach Satz 57 NI NI p NI folgt Satz 5 vo Schröder, Berste ud Cator lefert mt NI ~ NI NI de gewüschte Abzählbarket e) De Folgemege bezeche wr mt F, de -te Prmzahl als p Der Bewes der Abzählbarket vo F etsprcht dem Bewes (d), wobe aaloge Rolle de Fuktoe NI F F NI f : ud g : x x x a ( ) ( x x K x a,,, ) K p verwedet werde De Techk mt de Prmzahlpoteze be g et ma Gödel- Nummererug oder Gödelserug f) Dese abzählbar vele Mege see aufgezählt als M,, K M, mt jewels der Mächtgket m, m, K IN, ud wr setze M U M De edlch vele Elemete jedes ezele M see durchgezählt als, x, K x Da es sch um x,,,, m ee uedlche Mege vo Mege hadelt, müsse de M sgesamt uedlch vele verschedee Elemete ethalte, sost köte es ur edlch vele uterschedlche M gebe Für jedes x M exstert e klestes, für das x M st ee wr es r (x) [ee legere Fuktosdefto] De edeutge laufede Nummer vo x M r(x) ee wr s (x) [och ee legere Fuktosdefto], so dass x x r ( x), s( x) De Abbldug f : x a ( r( x), s( x)) st jektv vo M NI NI, so dass M p NI NI We wr de Werteberech auf f (M ) eschräke zur Abbldug f, erhalte wr ee Bjekto zwsche M ud f (M ) Letzteres st ach (c) obe abzählbar, dh Bldmege eer Bjekto g vo NI aus Isgesamt st abzählbar o f g bjektv vo NI auf M, also M

17 5 Cator sches Dagoalverfahre f st surjektv, de jede Folge x x x x K st detsch mt f ({ NI x } ) f st jektv, de mmer we f ( M ) f ( N) x x x K glt, glt für alle atürlche Zahle : M x M, sgesamt also M N Wäre de Telmege abzählbar uedlch vele, M, M, K, köte wr hre zugehörge 0--Folge f ( M ) weder à la Cator utereader schrebe ud per Dagoalverfahre ee och cht aufgezählte Folge bzw zugehörge Telmege we folgt kostruere: 0 we f ( M ) m, we f ( M ) 0 m m mk st ämlch ee Folge, de cht der Lste f ( M ), ( M ), Ksteht, da se sch vom -te Lsteelemet a der -te Stelle uterschedet Das f -Urbld deser Folge wäre da cht uter de M, M, K m Wderspruch zur Aahme, de daher cht gelte ka 5 Bjekto zwsche (0,) ud I R Ee Möglchket: Der durchgezogee Hyperbeltel, also das Bld vo f ( x) / x, 0 < x, wrd um ach ute verschobe ( f ( x) / x ) ud um de Hälfte Rchtug y-achse zusammegedrückt (also x verdoppelt): f ( x) (fetter Kurvetel rechts) Schleßlch x wrd ee Kope des Zweges um 80" um de Pukt (/,0) rotert ud agehägt (gestrchelter Kurvetel rechts) De Rotato etsprcht eer Spegelug a der Gerade x / (x durch x ersetze) mt aschleßeder Spegelug a der x-achse (Vorzecheumkehr des Fuktoswertes) Isgesamt lestet daher de folgede Fukto das Gewüschte:, we 0 < x g ( x) x, we x < ( x)

18 54 Glechhet modulo als Kogruez Glt ~ l ud ~ m so exstere gaze Zahle a ud b mt l l a ud m m b Also glt bezüglch der Addto: ( l + m ) ( l + m) ( l l) + ( m m) ( a + b) dh ( l + m ) ~ ( l + m) ; bezüglch der Multplkato: l m l m l m l m + l m l m m ( l l) + l ( m m) ( m a + l b) dh l m ) ~ ( l ) 55 Neuerprobe ( m Ma köte halbformal argumetere: So we , st allgeme k k (#) Daraus folgt für de Dfferez : (-stellge Zahl ak ak Ka a0 ) (dere Quersumme): k a 0 k k 0 a k ( 0 ) k k 0 a k k 9 ( k 0 k 0 0 k 0 k 0 k a a ), k dass dese also durch 9 telbar st Damt sd Zahl ud Quersumme mmer bede durch 9 telbar oder bede cht Nu st (#) zwar plausbel, aber we köte ma formaler argumetere? Wege der Kogruezegeschaft vo ~ 9 bezüglch der Multplkato, sehe Satz 57, folgt (mt vollstädger Idukto), dass auch de gleche Poteze äquvaleter Zahle äquvalet sd, so dass aus 0 ~ 9 für belebge k > folgt: 0 ~ 9 Ud ebefalls mt Satz 57 folgt, dass (# ) k k 0 a 0 k 0 ~ 9 k ak, ud damt -stellge Zahl ~ 9 Quersumme [ Weter führede Aregug: Ee Sebeerprobe glt cht, de zb st 4 durch 7 telbar, cht aber de Quersumme 5 vo 4 Wo glt de Sebeerprobe deoch? Tpp: am eheste doch dort, wo glt! ] 56 Recheregel Restklasserge Wr verzchte her auf de verefachte Notato der Restklasse Alle Egeschafte folge sofort aus der Defto der Recheoperatoe /Z ud de etsprechede Egeschafte /Z (zelewese zu lese): [ k ] ~ + [ l] ~ [ k l ~ [ l k ~ [ l ] ~ + [ k] ~, [ k ] ~ + [ k] ~ [ k + ( k)] ~ [0] ~, [ k ] ~ + [ k] ~ [( k k ~ [0] ~, [ k ] ~ + ([ l] ~ + [ m] ~ ) [ k ] ~ + [ l + m] ~ [ k + ( l + m)] ~ [( k + l) + m)] ~ [ k + l] ~ + [ m] ~ ([ k ] ~ + [ l] ~ ) + [ m] ~ [ k ] ~ ([ l] ~ + [ m] ~ ) [ k ] ~ [ l + m] ~ [ k ( l + m)] ~ [ k l + k m)] ~ [ k l] ~ + [ k m] ~ ([ k] ~ [ l] ~ ) + ([ k] ~ [ m] ~ ) k

19 57 Reche- ud Megeoperatoe auf Restklasse a) Wr müsse her zwsche Restklasse ud Zahle uterschede ud verzchte daher auf de verefachte Notato [ l] ~ + [ m] ~ { x + y x [ l] ~ y [ m] ~ } : Für z [ l] ~ + [ m] ~ glt per Defto z [ l + m ] ~, dh z l + m + t, also z ( l + t ) + ( m + 0 ) x : l + t, y : m + 0 zegt z { x + y x [ l] ~ y [ m] ~ } { x + y x [ l] ~ y [ m] ~ } [ l] ~ + [ m] ~ : Für z { x + y x [ l] ~ y [ m] ~ } st z ( l + s ) + ( m + t ), also z l + m + ( s + t), also [ l + m ] z ~ b) Ne: We zb 4 ud l m, da st 0 [0] ~ [ l ] ~ [ m] ~ \ { x y x [ l] ~ y [ m] ~ }, da de Beträge jedes der Produkte aus der htere Mege 4 sd 58 Ee Folge telerfremder Zahle I Übug (e) wurde gezegt, dass ( 0 ) ( ) 0 F K F + F, wobe F + F sbesodere F glt Nehme wr a, F m ud ee Teler t > gemesam, so wäre t auch Teler vo F F ( F F K F F K F ), m 0 m m+ F mt, dh m < hätte was zu t führt Nu st aber weder Teler vo F m och vo F, da alle Fermat-Zahle aufgrud hrer Defto ugerade sd Wege deses Wderspruchs st de Aahme falsch, ud F m ud F sd telerfremd 59 Telerfremde Multplkatore Restklasserge Mt Übug 5 bespelswese sehe wr, dass f geau da bjektv st, we es jektv st Wr zege zwe Schrtte, dass f geau da jektv st, we m ud telerfremd sd Sd m ud telerfremd, da st f jektv: See m ud telerfremd, also ggt ( m, ), ud f ( ) f ( k), also [ m ] ~ [ m k] ~ bzw m ~ m k Mt Lemma 5(a) folgt ~ k, also [ ] [ k k Somt st f jektv ~ ] ~ Sd m ud cht telerfremd, da st f cht jektv: Sd m ud cht telerfremd ud a : ggt( m, ), so st a > 0 ud es exstere atürlche Zahle b ud c mt m a b, b c ud > c > b Da st aber f ([ c] ~ ) [ m c] ~ [ a b c] ~ [ a ] ~ [0] ~ [ m 0] ~ f ([0] ~ ) ud f cht jektv

20 50 Der größte gemesame Teler als Learkombato a) ggt-berechug: 0 0 +, 0 + 6, also: ggt(0,0) 6 Rückrechug: 0 0, (0 0) b) [ Der ggt mehrerer Zahle ka, we m Text erwäht, durch mehrere Berechuge ees ggt zweer Zahle ermttelt werde, ud des uterschedlche Rehefolge, bespelswese ggt( a, b, c) ggt( a,ggt( b, c)) ggt( b,ggt( a, c)) ggt( c,ggt( a, b)) Etspreched erhält ma jewels ee Darstellug der ezele (Ed- ud Zwsche-) ggts als Learkombato der Ausgagszahle Wr versuche des ud sd am Zel, we sch so uterschedlche Learkombatoe ergebe: ] ggt(60,84,0) ggt(ggt(60,84),0) ggt-berechug 60,84: , , ggt(60,84) ggt-berechug 0,: , ggt(60,84,0) 6 Rückrechuge: , (84 60) 60 84, ( 60 84) ggt(60,84,0) ggt(ggt(60,0),84) ggt-berechug 60,0: , ggt(60,0) 0 ggt-berechug 84,0: , , ggt(60,84,0) 6 Rückrechuge: , (84 0) 0 84 (0 60) Prmfaktorzerlegug [ Ma ka systematsch versuche, de Zahl (ud da de verblebede Quotete) durch möglchst klee Prmfaktore zu dvdere Ebeso gut ka ma aber auch zwschedurch zwe Ncht-Prmzahle zu zerlege ] Telerbaum systematsch Telerbaum alteratv

21 5 Dvsosreste a) Reste: 5, 0, 4, 8,, 7,, 6, b) Das sd geau alle gaze Zahle vo 0 bs 9 wege Lemma 5(c) 5 Multplkatvtät der Euler sche Ph-Fukto Sd m ud telerfremd, so habe se kee Prmfaktore gemesam, de ja sost gemesame Teler wäre Hat m de Prmfaktoremege { p, p, K, p} ud de Prmfaktoremege { q, q, K, qk} her st also jede der Prmfaktorzerlegug mehrfach vorkommede Prmzahl ur emal aufgezählt, so hat m de Prmfaktoremege { p, p, K, p, q, q, K, qk }, ud ϕ ( m ) m ( p) K ( p ) ( q ) K ( qk ) m ( p ) K ( p ) ( q ) K ( qk ) ϕ( m) ϕ( ) 54 Satz vo Euler ud 8 sd telerfremd, ggt(,8) ϕ ( 8) {,,5,7} 4 Eulers Verallgemeerug des Fermat sche Satzes 4 (mod 8), ud damt glt modulo 8: 4 sowe ud folgedesse ( ) 7 55 Edeutge Dvso m Restklasserg [ 7 x 4 (mod 0) lautet aderer Notato 7 x ~ 04 bzw [7] ~ [ x ] ~ [4]~ 0 ] Wege 7 x 4 + z 0 für e z /Z muss auch de lke Sete 7 x, ud damt x, durch 6 telbar se: x 6 x für gazzahlges x Mt m : 6, : 0, : 7 x ud k : z lefert das Obge: m ~ m k ud ggt ( m, ) 6, ud gemäß Lemma 5() folgt daraus 7 x ~ z ~ 5 4 Versuche, de letzte Kogruez mt x,,, K zu erfülle, lefer x, x ud 7 x 4 + z 0 mt z, also 7 x 4 (mod 0) 56 Mehrdeutge Dvso m Restklasserg (Btte Korrektur zu Satz 58 beachte!) Der Lösbarketssatz 58 sagt us, dass de Glechug wege ggt(64,84) 4 geau ver paarwese cht-84-kogruete Lösuge bestzt, ud zwar 84 x 0 +, also x ( ) mt 0,,, bzw, wobe x 0 de (mod ezge) Lösug vo 64 6 x (mod ), also 6 x 4 (mod ), also auch (#) 4 x (mod ) 4 4 st De Kogruez- bzw Restklasserecheregel führe vo (#) zu 4 x 0 (mod ) x 5 (mod ) x 6 (mod ) ( ) lefert da de Lösuge 6, 7, 58 ud 79 (jewels mod 84) 0 0

22 57 Zahle mt vorgegebee Dvsosreste a) Wr gehe we m Bewes des Chessche Restwertesatzes vor ud setze bzw erhalte der Rehe ach: k, m, m 5, m 7, r, r, r m m m m M 5 7 5, M 7, M 5 5 Wr gewe aus der Berechug des ggt der Paare M, m gazzahlge Koeffzete s, t für s M + t m we m Bewes des Lemmas vo Bézout: s 5 + t : 5 + & + (5 ) 5 + s + t 5 : s 5 + t 7 : De Koeeffzete s, s s gehe e e passedes x: x s M r + s M r + s M r ( ) Alle Lösuge gleche eader mod m, ud m 05; sofer st de kleste ud 8 de ächstgrößere b) Spele wr de Chessche Restwertsatz u mt k 4, m, m 4, m 5 m4 7, r, r, r, r4 0 m m m m m M 40, M 05, M 84, M 4 60 durch, geht es weter mt s 40 + t : & + (40 46 ) s 05 + t 4 : s 84 + t 5 : & (84 6 5) s 60 + t 7 : & & (7 4) (60 8 7) x s M r + s M r + s M r + s M r ( ) ( ) Wetere x uterschede sch um Velfache vo 40 Das kleste Postve x st also 0 [ Es geht aber auch ohe derart schweres Gerät De Lösug mus muss e Velfaches vo 60 se (warum?) Also suche wr uter de Zahle, 6, usw ach Velfache vo 7 ud werde be 0 füdg (Warum sd cht alle kee Velfache vo 7?) ] 4 4 4

23 58 E Skatblatt als Restklasserg a) , usw Z/ [ Ma ka sch auch jewels auf de erste 8 Folgegleder beschräke ud de Folge zyklsch lese Des sd da sogeate De-Bruj-Folge her für de - Alphabetgröße k ud de Telwortläge de per Defto der Läge k sd ud zyklsch gelese alle Wörter der Läge 5 als Telwörter ethalte ] b) Das 5-fache Abhebe st Bluff; es soll ur gutes Msche vortäusche I Wahrhet werde de Karte bem Abhebe ledglch um k + k + k + k4 + k5 Postoe zyklsch verschobe, behalte also (we de Restklasse bs Z/ ) hre zyklsche Rehefolge De Karte sd afags bezüglch rot () ud schwarz (0) so azuorde, dass de Füferblöcke (Karte Nr, +, +, +, + 4, zyklsch gezählt) für jedes zwsche ud ee adere Farbefolge, zb 00, habe Ud dara ädert das Abhebe ja chts Der Zauberer merkt sch de Rehefolge der Karte (was für mache a echte Zaubere greze mag) ud ka a der Rot-Schwarz-Iformato für de Karte Nr, +, +, +, + 4 (gerechet Z/ ) das ablese ud somt de Karte aufzähle Es erhebt sch de Frage, ob es ee solche Aordug, ee De-Bruj-Folge (so) für ud 5, gbt De Atwort st ja, sogar vele Itellgetes Rate oder systematsches Durchprobere ergbt mt Zet ud Geduld ee Lösug we [ I [Bogo 04] wrd gezegt, we ma ee De-Bruj-Folge für Wörter der Läge über dem Alphabet A {0,, k } rascher fdet: Schrebe ee Folge vo Zahle aus A Häge so lage we möglch a de bsherge Folge de größtmöglche der Zahle 0 bs k so a, dass de letzte Zahle e eues -Telwort blde (We also mt keer der k Zahle e eues -Telwort etstehe ka ) Streche de letzte Zffer ] [Bogo 04] A Bogomoly, Costructve Exstece of the de Bruj Cycles, Iteractve Mathematcs Mscellay ad Puzzles, Gelese 8 November 04

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