Grundwissen Mathematik 9. Klasse. Eigenschaften - Besonderheiten - Beispiele

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1 Grudwisse Mthemtik 9. Klsse Theme Erweiterug des Zhlebereichs reelle Zhle Eigeschfte - Besoderheite - Beispiele Jede rtiole Zhl k ls Bruch geschriebe werde: = q p Dieser Bruch stellt etweder eie gze Zhl, eie edliche Dezimlbruch oder eie uedlich periodische Dezimlbruch dr: 5 5 = 4 = 0, 65 =, Uedliche, icht periodische Dezimlbrüche köe icht ls Bruch drgestellt werde; solche Zhle heiße irrtiol. Rtiole ud irrtiole Zhle bilde zusmme die Mege IR der reelle Zhle. Bekte Zhlemege:! = { ; ; 3; 4;5;... } Mege der türliche Zhle " = {...; ; ; 0;; ;... } Mege der gze Zhle p # = p Z; q IN Mege der rtiole Zhle q $ Mege der reelle Zhle Qudrtwurzel Für > 0 ist diejeige icht-egtive Zhl, die eiml mit sich selbst multipliziert ergibt: = Die Zhl uter der Wurzel heißt Rdikd. Bechte: 5 = 5, ber: ( 5) 5, de: ist icht egtiv! stttdesse gilt: ( 5) = 5 = 5 Recheregel für Qudrtwurzel Für lle Zhle, b 0 gilt: Produktregel: Quotieteregel: Bechte: b = b Bsp.: 3 8 = = mit b 0 Bsp.: = b b 7 7 es gibt keie Summe- ud Differezregel! , de : = = , de : 9 4 = 3 = Reche mit Wurzel Teilweises Rdiziere: 75 = 5 3 = 5 3 = Rtiolmche des Neers: = = = 4 Ausklmmer bei Summe ud Differeze: = 5 7 = 3 6x 4 = ( ) 7 ( ) = 4x 4 4x Bechte: 6x 4 4x

2 Grudwisse Mthemtik 9. Klsse Biomische Formel Awede bei Wurzel ud Qudrte Wurzelgleichuge. Biomische Formel (Plusformel): + b + b = + b = + b + b Beispiel : 3 + x = 9 + 6x + x ( )( ) ( ) ( ). Biomische Formel (Miusformel): b b = b = b + b ( )( ) ( ) Beispiel : ( x ) = x 4x Biomische Formel (Plus-Mius-Formel): b b = b Beispiel :(x + 3) x 3 ( + )( ) ( ) = (x) 3 = 4x 9 Ausmultipliziere: 5 3 = 5 ( ) = = 8 5 Fktorisiere: 9x 5 = 3x 5 = ( ) ( 3x + 5) ( 3x 5) Qudrtisch ergäze: x = x Rdiziere: x (6:) = 9 x 6x = ( x 6x + 9) = ( x 3) 6 + 4x + 4 = ( x + ) = x + Eie Gleichug, bei der die Ubekte x im Rdikde eier Wurzel vorkommt, et m Wurzelgleichug. x 3 5 = 0 Lösugsverfhre für Wurzelgleichuge: Bestimme die Defiitiosmege der Gleichug: D = [,5; [ Brige de Wurzelterm llei uf eie Seite: x 3 = 5 Qudriere beide Seite der Gleichug: x 3 = 5 Löse die wurzelfreie Gleichug ch x uf: x = 4 Mche die Probe: = 5 5 = 0 Allgemeie Wurzel Potezgesetze Für > 0 ist diejeige icht egtive Zhl, die -ml mit sich selbst multipliziert ergibt: $!! #...!! " = ml ( ) = Beispiele: = 3 = 3; 4 6 = = ; Bechte: Jede Wurzel k uch ls Potez umgeschriebe werde: = Poteze multipliziere: Poteze dividiere: m m+ = gleiche Bsis ( b) m m b m = gleicher Expoet m : Poteze poteziere: ( ) m m m = gleiche Bsis ( : b) m m : b m = gleicher Expoet m m = Bechte: m m ( ) = = = =

3 Grudwisse Mthemtik 9. Klsse Liere Fuktioe Qudrtische Fuktioe Grphe qudrtischer Fuktioe Qudrtische Gleichug Allgemeie Lösugsformel für qudrtische Gleichuge Rechtwikliges Dreieck Liere Fuktioe: y= f(x) = mx + t Qudrtische Fuktioe: y = f(x) = x + bx + c, y = x + 3 ist eie Gerde mit Steigug m = ud y-abschitt bei t = +3 liegt, d.h. die Gerde ist um 3 Eiheite i y-richtug ch obe verschobe; D f = IR Prbel mit Scheitelpukt S(x/y) ud mximl zwei Nullstelle für = erhält m die sogete Normlprbel für < 0 ist die Prbel ch ute geöffet. Ds Löse qudrtischer Gleichuge beötigt m isbesodere für die Nullstellesuche bei qudrtische Fuktioe. D.h. m immt de Fuktiosterm ud setzt ih gleich Null: x + bx + c = 0, 0 Lösugsformel (" Mitterchtsformel") x, = b ± b 4c Der Term uter der Wurzel heißt Diskrimite D = b² - 4c D bestimmt, wie viele Lösuge eie qudrtische Gleichug bzw. wie viele Nullstelle die zugehörige Prbel ht: D < 0 : keie Lösug (bzw. keie Nullstelle) D = 0: eie Lösug (bzw. eie Nullstelle) D > 0: zwei Lösuge (bzw. zwei Nullstelle) C b h q p A c B! " AC# $ ud! " BC # $ sid die Kthete des rechtwiklige Dreiecks ΔABC; sie schließe de rechte Wikel ei; die Seite, die dem rechte Wikel gegeüber liegt, heißt Hypoteuse; Kthetestz Höhestz Stz des Pythgors Kthetestz Die Fläche des Qudrtes über eier Kthete ist gleich der Fläche des liegede Hypoteuserechtecks. = c p ud b = c q Höhestz Die Fläche des Qudrtes über der Höhe ist gleich der Fläche des Rechtecks us de beide Hypoteusebschitte. h = p q Stz des Pythgors Die Summe der Fläche der beide Kthetequdrte ist gleich der Fläche des Hypoteusequdrts. c = + b

4 Grudwisse Mthemtik 9. Klsse Berechug fehleder Größe m rechtwiklige Dreieck c = 7 cm, q = 0,04m b = c q b = 7 4 = 7 [cm] c = + b = 49 8 = [cm] c = p + q p = 7 4 = 3 [cm] Stz ud Kehrstz Vertuscht m Vorussetzug ud Behuptug eies Stzes, so erhält m seie Kehrstz. Beihltet der Stz eie whre mthemtische Aussge, so k dies, muss ber icht für de Kehrstz gelte. Die Umkehrug des Stzes vo Pythgors ist llerdigs uch eie whre Aussge. Umkehrug des Stzes vo Pythgors We i eiem Dreieck ds Qudrt eier Seiteläge gleich der Summe der Qudrte der beide dere Seiteläge ist, d ist ds Dreieck rechtwiklig. c = 5 cm, = 3 cm, b = 4 cm 5 Es gilt: = = 9 +6 ds Dreieck ist rechtwiklig Netz, Oberflächeihlt ud Volume des gerde Prisms 6-Eck Rechteck Ei gerdes Prism ist ei geometrischer Körper, der vo zwei i prllele Ebee liegede kogruete -Ecke ls Grud ud Deckfläche sowie vo zu Grud- ud Deckfläche sekrechte Rechtecke ls Seitefläche begrezt wird. V Pr ism = G h Körper O Pr ism = G + M M ist die Mtelfläche ud besteht us der etsprechede Azhl vo Rechtecke. Netz, Oberflächeihlt ud Volume des gerde Zyliders V Zylider = G h G ist eie Kreisfläche : A Kreis = π r O Zylider = G + M = πr + π rh Höhe Der Mtel ist bgewickelt ei Rechteck der Läge πr (=Umfg des Kreises) ud der Breite h (Körperhöhe). Netz, Oberflächeihlt ud Volume eier Pyr-mide Dreieck Eie Pyrmide ist ei geometrischer Körper, mit eiem -Eck ls Grudfläche, desse Seitefläche Dreiecke sid, die lle eie Pukt gemeism hbe, die Spitze der Pyrmide. Die Dreiecke bilde die Mtelfläche. Der Abstd der Spitze vo der Grudfläche heißt Höhe. V Pyrmide = 3 G h Pyrmide -Eck O Pyrmide = Grudfläche + Außefläche

5 Grudwisse Mthemtik 9. Klsse Netz, Oberflächeihlt ud Volume eies Kegels m Ei gerder Kreiskegel ist ei geometrischer Körper, der durch die Rottio eies rechtwiklige Dreiecks um eie seier Kthete etsteht. V Kegel = 3 G h O Kegel = π! r + π!" # r $# m mit Mtelliie m = r + h Kreisfläche= Grudfläche Kreissektor Trigoometrie C I eiem rechtwiklige Dreieck heißt die eiem spitze Wikel gegeüberliegede Kthete Gegekthete, die dem Wikel liegede Kthete Akthete. Jedem spitze Wikel im rechtwiklige Dreieck wird ei Seiteverhältis zugeordet. Akthete A α Hypoteuse Gegekthete B Komplemetbeziehuge: si α = cos (90 - α) cos α = si ( 90 - α) Trigoometrischer Trigo Pythgors: (cos α) + (si α) = Zufllsexperimete Bumdigrmm Zufllsexperimete, bei dee mehrere Teilexperimete cheider usgeführt werde, bezeichet m ls zusmmegesetzte Zufllsexperimete oder uch ls mehrstufige Zufllsexperimete. mehrmliges Ziehe us eier Ure, Werfe zweier Würfel, Solche zusmmegesetzte Zufllsexperimete ud dere Ergebisse lsse sich m leichteste m i eiem Bumdigrmm drstelle. -mliges Ziehe eier Kugel ohe Zurücklege us eier Ure mit 5 rote, 3 blue ud grüe Kugel: 5r, 3b, g r b g r b g r b g r b g

6 Grudwisse Mthemtik 9. Klsse. Pfdregel. Pfdregel: Die Whrscheilichkeit eies Ergebisses ist gleich dem Produkt der Whrscheilichkeite uf dem Pfd, der zu dem Ergebis führt. Die. Kugel ist rot ud die.kugel ist blu. P ({ rb} ) = = 5 90 = 6. Pfdregel.Pfdregel Die Whrscheilichkeit eies Ereigisses ist gleich der Summe der Pfdwhrscheilichkeite, die zu diesem Ereigis führe. Eie Kugel ist rot ud eie Kugel ist grü P ({ rg,gr} ) = = + =