Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2)

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1 Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2) Denition nach Georg Cantor (1895): Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten und wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Die Objekte werden als Elemente der Menge bezeichnet. Notation x M: x ist Element der Menge M, x M: x ist kein Element der Menge M, M N: M ist Teilmenge von N: jedes Element von M ist auch Element von N.

2 Darstellung von Mengen durch Aufzählung der Elemente in geschweiften Klammern ( Mengenklammern), z. B. M = {a, b, c}, N = {1, 2, 4, 6, 9}, durch Aufzählung der einiger Elemente, sodass eine Regel erkennbar ist, z. B. {2, 3, 4,..., 10} oder {1, 3, 5,...}, Beschreibung in Worten, z. B. Menge aller InformatikStudierenden der h_da, feste Bezeichnungen für bestimmte Mengen, z.b. Z Menge der ganzen Zahlen, Angabe einer Eigenschaft, die die Elemente der Menge erfüllen, z. B. M = {x Z : x 0} = {0, 1, 2,...}. Bei der Angabe der Elemente spielt deren Reihenfolge keine Rolle. Ein Element kann nicht mehrfach in einer Menge enthalten sein.

3 Beispiel c {a, b, c, d}, f {a, b, c, d}, 3 {a, b, c, d}, {d, b} {a, b, c, d}, Ist M = {4, 8, 12,...} die Menge der Vielfachen von 4, so ist z. B. 28 M und 42 M sowie {8, 24, 64, 124} M und {2, 4, 8} M.

4 Mengenoperationen M N: Vereinigung, enthält alle Elemente, die in mindestens einer der beiden Mengen enthalten sind. M N: Durchschnitt, enthält alle Elemente, die sowohl in M als auch in N enthalten sind. M \ N: Dierenz, enthält alle Elemente, die in M, aber nicht in N enthalten sind. M N = (M \ N) (N \ M) symmetrische Dierenz. Komplement, bezogen auf eine Grundmenge M: CA = A c = A = A M = M \ A (dazu muss A M gelten), z.b. M Studierende, A weibliche Studierende, A männliche Studierende.

5 Beipspiel Sei M = {a, b} und N = {b, c}. Dann ist M N = {a, b, c}, M N = {b}, M \ N = {a}, N \ M = {c} und M N = {a, c}.

6 Rechenregeln (Axiome) für Mengen A B = B A und A B = B A (Kommuativität), (A B) C = A (B C) und (A B) C = A (B C) (Assoziativität), A (B C) = (A B) (A C) und A (B C) = (A B) (A C) (Distributivität), A = A und A B = A B sowie A B = A B (demorgan'sche Regeln).

7 Mächtigkeit Die Mächtigkeit M = #M einer Menge M ist die Anzahl ihrer Elemente. Beispiel: #{a, b, c, d} = 4 und #{1, 2, 3, 4,...} = (unendlich). Zwei Mengen haben die gleiche Mächtigkeit, wenn es eine 1-1-Zuordnung zwischen ihren Elementen gibt. Leere Menge Die leere Menge ist die Menge, die keine Elemente enthält. Sie hat die Mächtigkeit 0.

8 Produktmenge Für Mengen M und N ist M N = {(m, n) : m M, n N} die Menge aller Paare (Tupel) von Elementen m M und n N. Im Falle endlicher Mengen hat die Produktmenge M N Elemente. Beispiel {1, 2, 3} {a, b} = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}. Wichtige Produktmengen R 2 = R R Menge aller Punkte in der Ebene, R 3 = R R R Punkte im Raum,

9 Potenzmenge Die Potenzmenge P(M) einer Menge M enthält alle Teilmengen von M als Elemente. Beispiel P({a, b}) = Satz { }, {a}, {b}, {a, b} Die Potenzmenge einer nelementigen Menge hat 2 n Elemente.

10 Zahlenmengen N = {1, 2, 3,...} natürliche Zahlen, N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3,...}, Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} ganze Zahlen, Q = {p/q : p Z, q N} rationale Zahlen, R Menge aller Dezimalbrüche: reelle Zahlen, C = {a + i b : a, b R} mit i 2 = 1 komplexe Zahlen. Bemerkung Die am Computer darstellbaren Zahlen (Maschinenzahlen) bilden immer eine endliche Teilmenge der rationalen oder der ganzen Zahlen.

11 Vergleich der Zahlenmengen Es gilt N Z Q R C. Q \ Z enthält Brüche wie z. B. 1, und Diese können als endliche oder periodische Dezimalbrüche 1 dargestellt werden, im Beispiel = 0, = 0, 3, = 267, 5 und = 313, Elemente von R \ Q heiÿen irrationale Zahlen. Beispiele sind 2 und die mathematischen Konstanten π = 3, und e = 2, Irrationale Zahlen werden durch unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche dargestellt. Bemerkung Summe a + b, Dierenz a b, Produkt a b und Quotient a b (falls b 0) zweier rationaler Zahlen ergeben wieder rationale Zahlen. Gleiches gilt für reelle Zahlen.

12 Eigenschaften der reellen Zahlen R ist eine total geordnete Menge, d. h. zu a, b R gilt entweder a < b oder b < a oder a = b. Der Betrag einer reellen Zahl a ist deniert als a = a, falls a > 0 oder a = 0 (d. h. a 0), a = a, falls a < 0. Dann gilt die Dreiecksungleichung a + b a + b. R ist vollständig.

13 Potenzen und Wurzeln Zu a R und n N setzt man a n = } a a {{... a} sowie a 0 = 1 und a n = 1 = ( 1 n. a a) n n mal Die nte Wurzel von a > 0 ist für n N deniert als b = n a = a 1/n b n = a. Für a R mit a > 0 und p q Q setzt man ap/q = q ap. Davon ausgehend lässt sich auch a x für beliebige x R denieren. Dann gelten folgende Rechenregeln: a x a y = a x+y, a x b x = (a b) x, (a x ) y = a x y, a x = 1 a x.

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