Formelsammlung für das Modul. Statistik 2. Bachelor. Sven Garbade

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1 Version 2015 Formelsammlung für das Modul Statistik 2 Bachelor Sven Garbade Prof. Dr. phil. Dipl.-Psych. Sven Garbade Fakultät für Angewandte Psychologie SRH Hochschule Heidelberg

2 Inhaltsverzeichnis 1. Lineare Regression Modellgleichung Parameterschätzung Standardschätzfehler Konfidenzintervall für geschätzte Werte Multiple Regression Modellgleichung Parameterschätzung Standardfehler der Koeffizienten Kovarianzmatrix der Koeffizienten Standardfehler Genereller bzw. globaler F -Test QS der multiplen Regression Determinierte QS Residuale / Fehler QS Totale QS t-test für Koeffizienten Bestimmtheitsmaß R Adjustiertes R Berechnung von Konfidenzintervallen Standardisierte Koeffizienten Einfaktorielle Varianzanalyse Modellgleichung Quadratsummenzerlegung und Freiheitsgrade Determinierte bzw. between QS Nicht erklärte bzw. Fehler bzw. within QS Totale QS Hypothesenprüfung mittels F -Test Scheffé Test Einfaktorielle Varianzanalyse mit Messwiederholung Rechengang Varianztabelle F -Test Scheffé Test bei Messwiederholung Zweifaktorielle Varianzanalyse Modellgleichung Rechnerische Durchführung Hypothesenprüfung mittels F -Test Matrixalgebra Determinante Inverse A. Tabellen 10 2

3 1. Lineare Regression 1.1. Modellgleichung y i = b x i + a + ɛ i (1) ŷ = b x i + a (2) wobei y i, ŷ i b a ɛ i Messwert, Schätzung für die abhängige Variable y Steigung der Geraden Interzept Fehler der Beobachtung i 1.2. Parameterschätzung b = n n x i y i n x i n y i n n x2 i ( n x i) 2 (3) = r P M s y (4) s x a = y b x (5) mit rp M s x, s y n Produktmomentkorrelation unkorrigierte Standardabweichung von x und y Anzahl der Messwertpaare 1.3. Standardschätzfehler s e = = n e2 i n 2 s 2 y (1 r 2 xy) n 1 n 2 (6) (7) mit: n Anzahl der Messwertpaare e Residuen (Abweichung y ŷ) s 2 y Varianz von y Korrelation von x mit y r xy 1.4. Konfidenzintervall für geschätzte Werte ŷ i ± t α/2 s e 1 n + (x i x) 2 (n 1) s 2 x (8) wobei: ŷ i Geschätzter y-wert an der Stelle i x i, x i-ter Messwert x, Mittelwert von x s 2 x Varianz von x s e Standardschätzfehler t α/2 Ein Quantil der t-verteilung mit df = n 2 3

4 2. Multiple Regression 2.1. Modellgleichung y i = β 0 + β 1 x i β q x iq + ɛ i (9) ŷ i = β 0 + β 1 x i β q x iq (10) mit β0 Interzept β i iter Koeffizient bzw. Gewicht y i, ŷ i ite Beobachtung bzw. Schätzung der abhängigen Variable der i-ten Person x iq Beobachtungen der iten-person bei insgesamt q unabhängigen Variablen mit i = 1,..., n Personen. Fehler bzw. Residuum der iten Beobachtung ɛ i 2.2. Parameterschätzung ˆβ = (X X) 1 X y (11) 2.3. Standardfehler der Koeffizienten Kovarianzmatrix der Koeffizienten mit Var( ˆβ) = σ 2 (X X) 1 (12) σ 2 = 1 n q 1 n (y i ŷ i ) 2 (13) wobei: n Anzahl der Fälle q Anzahl der Prädiktorvariablen ohne Interzept Standardfehler Standardfehler von ˆβ = diag(var( ˆβ)) (14) 2.4. Genereller bzw. globaler F -Test F = n (ŷ i ȳ) 2 /q n (ŷ i y i ) 2 /n q 1 (15) mit q und n q 1 Freiheitsgraden, wobei q Anzahl der Prädiktoren ohne Interzept, n Anzahl der Fälle. 4

5 2.5. QS der multiplen Regression Es gilt: q Anzahl der Prädiktoren ohne Interzept, n Anzahl der Fälle Determinierte QS QS det = n (ŷ i ȳ) 2 = β X y nȳ 2 mit df: q (16) Residuale / Fehler QS QS F ehler = n (ŷ i y i ) 2 mit df: n q 1 (17) Totale QS QS total = n (y i ȳ) 2 = y y nȳ 2 mit df: n 1 (18) 2.6. t-test für Koeffizienten t emp = β i s.e.(β i ) ist mit n q 1 Freiheitsgraden t-verteilt. s.e. ist der Standardfehler des Koeffizienten, siehe Bestimmtheitsmaß R Adjustiertes R 2 (19) R 2 = QS n det = (ŷ i ȳ) 2 QS n total (y i ȳ) 2 = β X y nȳ 2 y y nȳ 2 (20) R 2 = 1 (1 R 2 ) 2.9. Berechnung von Konfidenzintervallen n 1 n q 1 = 1 QS error QS total df total df error (21) ŷ i ± t (α/2,df=n q 1) QSerror df error (22) wobei QSerror df error der Standardschätzfehler s e ist. Dieser kann wie folgt berechnet werden: s e = QSerror df error = n (ŷ i y i ) 2 n q 1 (23) 5

6 2.10. Standardisierte Koeffizienten B i =β i ˆσ x i, (24) ˆσ y n n wobei: ˆσ = (x i x) 2 = x2 i ( n x i) 2 n (25) n 1 n 1 3. Einfaktorielle Varianzanalyse 3.1. Modellgleichung wobei: µ Populationsmittelwert, der über ȳ geschätzt wird. α g erfasst den Einfluss der Stufe g des Faktors α. ɛ gk Fehler / Störgrößen. Schätzung für Person k bei Stufe g ŷ gk 3.2. Quadratsummenzerlegung und Freiheitsgrade y gk = µ + α g + ɛ gk (26) ŷ gk = µ + α g (27) Es sei G = Anzahl der Faktorstufen, g eine Faktorstufe, K = Anzahl der Beobachtungen innerhalb einer Faktorstufe (muss für alle Stufen gleich sein) Determinierte bzw. between QS G K(ȳ g ȳ) 2 mit df: G 1 (28) g= Nicht erklärte bzw. Fehler bzw. within QS G K (y gk ȳ g ) 2 mit df: G (K 1) (29) g=1 k= Totale QS G K (y gk ȳ) 2 mit df: G K 1 (30) g=1 k= Hypothesenprüfung mittels F -Test F emp = QS Hypothese/df Hypothese QS F ehler /df F ehler = MS Hypothese MS F ehler (31) 6

7 3.4. Scheffé Test mit: 2 (G 1) MSwithin F [G 1,N G,1 α] Diff krit = N G, N Anzahl der Faktorstufen, Gesamtanzahl der Probanden Mittlere Fehler QS kritischer F -Wert auf gewünschtem Signifikanzniveau MS within F [G 1,N G,1 α] (32) 4. Einfaktorielle Varianzanalyse mit Messwiederholung 4.1. Rechengang (1) = Gesamtsumme2 ; (2) = N G G N g=1 n=1 y 2 gn (33) (3) = G g=1 A2 g N ; (4) = N n=1 P 2 n G mit: g, G eine Faktorstufe, Anzahl der Faktorstufen n, N, ein Proband, Anzahl Probanden ygn 2 Quadrat des Messwerts von Person n auf Stufe g P n, A g Summe aller Messwerte Person n, Summe Messwerte der Stufe g 4.2. Varianztabelle Q.d.V. QS df QS zw (4) - (1) N 1 QS in (2) - (4) N (G 1) QS Treat (3) - (1) G 1 QS Res (2) - (3) - (4) + (1) (N 1) (G 1) Total (2) - (1) G N 1 mit N Anzahl der Probanden, G Anzahl der Faktorstufen F -Test Der F -Test erfolgt durch F emp = QS Treat /(G 1) QS Res /((N 1) (G 1)) (34) 4.4. Scheffé Test bei Messwiederholung mit: 2 (G 1) MSResidual F [G 1,(G 1) (N 1),1 α] Diff krit = N G, N Anzahl der Faktorstufen, Gesamtanzahl der Probanden Mittlere residuale QS kritischer F -Wert auf gewünschtem Signifikanzniveau MS Residual F [G 1,(G 1) (N 1),1 α] (35) 7

8 5. Zweifaktorielle Varianzanalyse 5.1. Modellgleichung y ghk = µ + α g + β h + (αβ) gh + ɛ ghk (36) ŷ ghk = µ + α g + β h + (αβ) gh (37) wobei: y ghk, ŷ ghk Beobachtungswert, Schätzung µ Mittelwert der Grundgesamtheit, geschätzt durch ȳ α g Stufe g des Faktors α β h Stufe h des Faktors β (αβ) gh Interaktionseffekt zwischen der g-ten Stufe von α und der h-ten Stufe von β Zufallseffekt durch nicht im Experiment kontrollierte Einflüsse ɛ ghk 5.2. Rechnerische Durchführung (1) = Gesamtsumme2 G H K, (2) = g yghk 2, h k α 2 g (3) = H K, (4) = g h ( (5) = g h αβ 2 gh β 2 h G K ) wobei: G, g Anzahl der Stufen Faktor α, g eine Stufe H, h Anzahl der Stufen Faktor β, h eine Stufe K Anzahl Probanden / Fälle pro Zelle αβ (muss für alle Stufen gleich sein) α g, β h Summe für die einzelnen Faktorstufen von α und β αβ gh Summe der Zelle für α g und β h Ergebnistabelle: /K (38) Q. d. V. QS df α (3) (1) G 1 β (4) (1) H 1 α β (5) (3) (4) + (1) (G 1) (H 1) Fehler (2) (5) G H (K 1) Total (2) (1) G H K 1 mit G und H Anzahl der Faktorstufen für Faktor α bzw. β, K Anzahl der Probanden pro Zelle αβ Hypothesenprüfung mittels F -Test Gleich wie in der einfaktoriellen ANOVA. 8

9 6. Matrixalgebra 6.1. Determinante Bestimmung der Determinate einer (2 2) Matrix: det A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 (39) Bestimmung der Determinate einer (3 3) Matrix: a b c det A = d e f = aei + bfg + cdh gec hfa idb (40) g h i 6.2. Inverse Für die Inverse A 1 einer Matrix A gilt: Inverse einer (2 2) Matrix mittels Determinante: AA 1 = A 1 A = I (41) A 1 = (2 2) [ ] 1 a b = 1 [ ] d b = c d det A c a 1 ad bc [ d ] b c a (42) Inverse einer (3 3) Matrix mittels Determinante: a b c A 1 = d e f (3 3) g h i 1 = 1 ei fh ch bi bf ce fg di ai cg cd af (43) det A dh eg bg ah ae bd 9

10 A. Tabellen Tabelle A: z-werte (einseitig, 1 α). z Fläche z Fläche z Fläche z Fläche z Fläche Tabelle B: t Werte (einseitig, 1 α). df df

11 Tabelle C: F Werte (zweiseitig, 1 α). Zähler-df Nenner-df Fläche

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