Affine und projektive Räume

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1 Affine und projektive Räume W. Kühnel Literatur hierzu: G.Fischer, Analytische Geometrie, 7. Aufl., Vieweg 2001 Zur Motivation: Wenn man in einem Vektorraum die Elemente nicht als Vektoren, sondern als Punkte auffasst (z.b. in dem vielzitierten 3-dim. Anschauungsraum), dann ist es nicht mehr sinnvoll, einen ausgezeichneten Nullpunkt zu haben. Vielmehr sind alle Punkte gleichberechtigt. Gleichzeitig ist es sinnvoll, den Begriff der linearen Abbildung zu erweitern auf solche, die sich in Standard-Koordinaten durch einen linearen Term plus einen konstanten Term beschreiben lassen, womit sich auch der Nullpunkt in jeden anderen Punkt transportieren lässt. Dies führt zum Begriff des affinen Raumes und der affinen Abbildung. Definition (abstrakter affiner Raum) Eine Menge A heißt ein affiner Raum über einem Körper K mit zugehörigem K-Vektorraum V, wenn es zu je zwei Elementen P, Q A (genannt Punkte) ein eindeutiges Element PQ V gibt (genannt Verbindungsvektor von P nach Q; dies definiert eine zweistellige Verknüpfung A A V ) mit folgenden Eigenschaften: 1. PQ + QR = PR, 2. Für jedes P A und jedes v V gibt es ein eindeutiges Element Q A mit P Q = v (das definiert eine zweistellige Verknüpfung A V A). Vorstellung: Der Vektor PQ ist von P nach Q gerichtet. Es gilt dann PP = 0 und PQ = QP. Schreibweise auch: P + PQ = Q. Die Dimension von A ist gleich der Dimension von V. Ein affiner Unterraum ist eine Teilmenge, die ihrerseits wieder ein affiner Raum über K ist, wobei der zugehörige Vektorraum ein Untervektorraum von V ist. Spezialfall: A = V als Punktmenge mit PQ = Q P sowie P + (Q P) = Q, womit + und + als Operationen übereinstimmen. 1

2 Definition (affine Abbildung) Eine Abbildung f : A B zwischen affinen Räumen mit zugehörigen Vektorräumen V A, V B heißt affin, wenn die induzierte Abbildung f V : V A V B mit f V (PQ) = f(p)f(q) K-linear ist. Eine affine Abbildung f : A A mit f V = Id (Identität) heißt eine Translation. Typisches Beispiel: Affin-lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen vom Typ f(x) = f V (x) + x 0 mit konstantem x 0 sind affin im obigen Sinne. Translationen sind dann durch f(x) = x + x 0 beschrieben. Definition (affine Hülle) In einem affinen Raum A nennt man eine Menge von Punkten {P 0, P 1,...,P k } affin unabhängig, wenn die Menge der Vektoren {P 0 P 1, P 0 P 2,...,P 0 P k } linear unabhängig ist. Falls {P 0, P 1,...,P k } affin unabhängig ist, dann spannen die Punkte P 0, P 1,...,P k einen k-dimensionalen affinen Unterraum auf (kleinster affiner Unterraum, der alle diese Punkte enthält), genannt die affine Hülle von P 0, P 1,...,P k. Falls Q 0, Q 1,...,Q k irgendwelche Punkte eines anderen affinen Raumes B sind, dann gibt es genau eine affine Abbildung von der affinen Hülle von P 0, P 1,...,P k nach B mit f(p 0 ) = Q 0,...,f(P k ) = Q k. Definition (affine Basis) Falls n gleich der Dimension des affinen Raumes A ist, dann bilden je n + 1 affin unabhängige Punkte P 0,...,P n eine affine Basis. Es ist dann die Menge {P 0 P 1, P 0 P 2,..., P 0 P n } eine Basis des zugehörigen Vektorraumes. Definition und Satz Eine bijektive affine Abbildung heißt auch eine Affinität. Eine affine Abbildung eines n-dimensionalen Raumes in einen anderen n-dimensionalen Raum ist genau dann eine Affinität, wenn sie n+1 affin unabhängige Punkte stets wieder in n+1 affin unabhängige Punkte abbildet. Eine affine Abbildung f ist genau dann eine Affinität, wenn die zugehörige lineare Abbildung f V bijektiv ist. 2

3 Beispiel: A = V mit f(x) = f V (x) + y 0, wobei f V bijektiv ist. Die Umkehrabbildung von f ist durch f 1 (y) = f 1 V (y y 0) gegeben, wie die Probe zeigt. f(f 1 (y)) = f(f 1 V (y y 0)) = f V (f 1 V (y y 0)) + y 0 = y y 0 + y 0 = y Definition und Satz (affine Koordinaten, baryzentrische Koordinaten) Jedem Punkt P in einem affinen Raum mit affiner Basis P 0,...,P n kann man eindeutig affine Koordinaten λ 0, λ 1,..., λ n zuordnen mit i λ i = 1 und mit QP = λ i QP i i=0 für jede Wahl eines weiteren (festen) Punktes Q. Der Punkt mit den Koordinaten λ i = 1 für alle i heißt der Schwerpunkt (Baryzenter) von P n+1 0,...,P n (daher die Bezeichnung baryzentrische Koordinaten). Falls der affine Raum selbst ein Vektorraum ist, dann gilt einfach P = i λ ip i, wenn wir Q als den Nullpunkt wählen. Beweis: Wir können zunächst P 0 P = n i=1 α ip 0 P i darstellen mit gewissen eindeutig bestimmten Koeffizienten α 1,...,α n (weil das eine Basis des Vektorraumes ist). Wenn wir ein weiteres Q fest wählen, dann lässt sich der Vektor QP = QP 0 + P 0 P folglich darstellen als QP = QP 0 + = α i P 0 P i = i=1 ( 1 ( 1 α i )QP 0 + i=1 α i )QP 0 + i=1 α i QP i = i=1 i=1 α i ( QP 0 + P 0 P i ) λ i QP i, wenn wir einfach λ i := α i für i = 1,...,n und λ 0 := 1 n i=1 α i setzen. Dann gilt i λ i = 1 nach Definition. Man sieht leicht, dass diese Koordinaten λ 0, λ 1,..., λ n nicht von der Wahl von Q abhängen. Bemerkung: Durch die Wahl von n + 1 Koordinaten λ i mit der Nebenbedingung i λ i = 1 statt der Wahl von n unabhängigen Koordinaten α i wird die sonst 3 i=0

4 bestehende Sonderrolle von P 0 aufgehoben: Es sind jetzt alle n + 1 Punkte der affinen Basis gleichberechtigt. Definition (Schnitt und Verbindung affiner Unterräume) Für Untervektorräume U 1, U 2 eines Vektorraumes V kennen wir bereits die Operationen U 1 U 2 (den Durchschnitt) sowie U 1 + U 2 (die Summe). Dabei gilt im Falle von endlicher Dimension der Dimensionssatz dim(u 1 + U 2 ) + dim(u 1 U 2 ) = dim(u 1 ) + dim(u 2 ). Analog erklären wir für affine Unterräume A 1, A 2 eines affinen Raumes A den Schnitt als A 1 A 2 = A 1 A 2 (mengentheoretischer Durchschnitt) sowie die Verbindung A 1 A 2 als den kleinsten affinen Unterraum, der A 1 und A 2 enthält. Der Schnitt ist dabei natürlich der größte affine Unterraum, der in beiden enthalten ist. Problem: Es bleibt die Frage, ob ein Dimensionssatz auch für die so erklärten Operationen von affinen Unterräumen gilt. Dies stößt zunächst auf die Schwierigkeit, dass der Schnitt von affinen Unterräumen leer sein kann (z.b. bei parallelen Geraden oder windschiefen Geraden) und man folglich auch der leeren Menge eine Dimension zuordnen müsste. Im Fall von parallelen Geraden in der Ebene müsste man dim = 0 setzen, im Fall von windschiefen Geraden im dreidimensionalen Raum aber dim = 1, also kann das so nicht funktionieren. Das liegt daran, dass die beiden eindimensionalen Räume im ersten Fall einen zweidimensionalen Raum aufspannen und im zweiten Fall einen dreidimensionalen. Falls der Schnitt A 1 A 2 nicht leer ist, dann gilt dieselbe Dimensionsformel wie im Fall von Vektorräumen: dim(a 1 A 2 ) + dim(a 1 A 2 ) = dim A 1 + dim A 2, andernfalls aber nicht. In jedem Fall gilt die Abschätzung dim(a 1 A 2 ) dim A 1 + dim A 2 dim(u 1 U 2 ) + 1, weil der zugehörige Vektorraum von A 1 A 2 aufgespannt wird von U 1, U 2 (abzüglich dem sonst doppelt gezählten Durchschnitt) und (gegebenenfalls) einem Verbindungsvektor P 1 P 2 mit P 1 A 1, P 2 A 2, falls der Durchschnitt der beiden 4

5 affinen Unterräume leer ist. Allgemein könnte man mit dim A 1 = dim U 1 und dim A 1 = dim U 1 einen (eher trivialen) Dimensionssatz wie folgt formulieren dim(a 1 A 2 ) + dim(a 1 A 2 ) = dim A 1 + dim A 2 ) + ( + dim(a 1 A 2 ) dim(u 1 + U 2 ) ( dim(a 1 A 2 ) dim(u 1 U 2 ) aber das geht nicht, ohne die zugehörigen Vektorräume zusätzlich mit ins Spiel zu bringen, was den Wert der Sache stark vermindert. Dabei wäre dann tatsächlich dim = 1 zu setzen. Im Falle von parallelen Geraden in der Ebene hätten wir auf der rechten Seite einen ersten Korrekturterm 1 sowie einen zweiten Korrekturterm 2 wegen U 1 = U 2, also dim(u 1 U 2 ) = dim(u 1 + U 2 ) = 1, aber dim(a 1 A 2 ) = 1. Im Fall von windschiefen Geraden wäre der erste Korrekturterm 1 und der zweite 1, wodurch sich dann der Unterschied erklärt. Lösung des Problems: Durch projektive Erweiterung Ziel ist es zunächst, parallelen Geraden einen Schnittpunkt im Unendlichen zuzuweisen bzw. solch einen uneigentlichen Punkt zu definieren und dem affinen Raum hinzuzufügen, und zwar für jede Schar paralleler Geraden. Im Fall des R 2 wird eine Schar paralleler Geraden ja bekanntlich durch die Schar der Gleichungen ax + by + c = 0 beschrieben mit festen Zahlen a, b (nicht beide gleich null) sowie einer veränderlichen Größe c. Nehmen wir an, dass a 0 gilt und dass wir y gegen schicken wollen. Dann nimmt die Gleichung die Gestalt a x + b + c = 0 an, im Grenzwert y y y also x = b wegen lim c = 0. Dies definiert dann einen uneigentlichen y a y Punkt mit Koordinaten x, y, die die Gleichung ax + by = 0 erfüllen. Die eigentlichen Punkte beschreiben wird jetzt durch Tripel (1, x, y), die uneigentlichen Punkte oder Fernpunkte durch Tripel (0, x, y). Damit das vernünftig wird (und z.b. stetige Übergänge zulässt), muss auch die erste Koordinate variabel sein. Wir betrachten also alle Tripel (x 0, x 1, x 2 ) von reellen Zahlen (nicht alle gleich null) mit der Maßgabe, dass (x 0, x 1, x 2 ) und (λx 0, λx 1, λx 2 ) denselben Punkt darstellen, denn die Dimension des Raumes (also die Zahl der freien Parameter) soll sich ), 5

6 nicht erhöhen. Dies ist kompatibel mit der Vorstellung, dass die Steigung der parallelen Geraden nur von dem Verhältnis der Koordinaten voneinander abhängt, nicht von den Größen selbst. Man schreibt deshalb oft (x 0 : x 1 : x 2 ) für einen solchen Punkt, gebräuchlich ist aber auch [x 0, x 1, x 2 ], wobei dies die Äquivalenzklasse von (x 0, x 1, x 2 ) nach derjenigen Äquivalenzrelation bezeichnet, die durch (x 0, x 1, x 2 ) (λx 0, λx 1, λx 2 ) für alle λ 0 definiert ist. Die eigentlichen Punkte sind dann die mit x 0 0 (wobei [x 0, x 1, x 2 ] = [1, x 1 x 0, x 2 x 0 ]), die Fernpunkte die mit x 0 = 0. Weil ein solches Tripel und alle Vielfachen aber genau einen 1-dimensionalen Untervektorraum im R 3 beschreiben, kann man auch sagen, wir betrachten die Menge aller Geraden durch den Ursprung im R 3. Definition (projektiver Raum) Der n-dimensionale projektive Raum KP n über einem Körper K ist erklärt als die Menge aller 1-dimensionalen linearen Unterräume des K n+1 (also die Menge der Geraden durch den Ursprung). Jede Gerade entspricht einem Richtungsvektor (x 0,..., x n ) (0,...,0), wobei (x 0,...,x n ) und (λx 0,..., λx n ) für jedes λ 0 dieselbe Gerade aufspannen. Also: KP n = { [x 0,...,x n ] ( )/ x i K, nicht alle x i = 0 } = K n+1 \ {(0,..., 0)}, wobei, wie schon gesagt, [x 0,...,x n ] = [λx 0,...,λx n ] die Äquivalenzklassen nach bezeichnet. Alternative Schreibweise: (x 0 : x 1 : : x n ) statt [x 0, x 1,...,x n ]. Die Koordinaten x 0, x 1,...,x n selbst heißen homogene Koordinaten. Ein projektiver Unterraum von KP n ist ein Untervektorraum von K n+1 modulo derselben Äquivalenzrelation wie oben. Dieser ist dann nach Wahl geeigneter Koordinaten ein m-dimensionaler projektiver Raum KP m mit m < n. Es ist 6

7 jeweils dim KP m = dim(k m+1 ) 1 = m. Falls z.b. K ein endlicher Körper mit k Elementen ist, dann hat KP 2 genau k 2 + k + 1 Punkte. Die kanonische Einbettung J 0 : K n KP n ist durch J 0 (x 1,...,x n ) = [1, x 1,...,x n ] gegeben. Offensichtlich ist J 0 injektiv, und man kann analog weitere J i erklären durch (x 1,...,x n ) [x 1,...,x i 1, 1, x i,..., x n ], wobei 1 i n. Die Menge der Fernpunkte zu dem affinen Unterraum J 0 (K n ) ist erklärt als {[0, x 1,...,x n ]}. Dies ist nach Konstruktion ein (n 1)-dimensionaler projektiver Raum über K als Unterraum von KP n. Schematisch kann man schreiben: KP m = J 0 (K m ) KP m 1 für jedes m (Vereinigung von dem affinen Teil und dem zugehörigen Fernraum). Definition (Schnitt und Verbindung projektiver Unterräume) Für zwei projektive Unterräume P 1 = U 1 / und P 2 = U 2 / von KP n erklären wir den Schnitt als P 1 P 2 := (U 1 U 2 )/ sowie die Verbindung P 1 P 2 := (U 1 +U 2 )/. Folgerung Es gilt uneingeschränkt die Dimensionsformel dim(p 1 P 2 ) + dim(p 1 P 2 ) = dim P 1 + dim P 2. Der Beweis folgt einfach aus der Dimensionsformel dim(u 1 + U 2 ) + dim(u 1 U 2 ) = dim(u 1 ) + dim(u 2 ). für die Untervektorräume U 1, U 2, U 1 U 2, U 1 + U 2 sowie den Beziehungen dim P 1 = dim U 1 1, dim P 2 = dim U 2 1, dim(p 1 P 2 ) = dim(u 1 + U 2 ) 1, dim(p 1 P 2 ) = dim(u 1 U 2 ) 1. Speziell folgt für zwei verschiedene Geraden in KP 2 mit dim P 1 = dim P 2 = 1, dass P 1 P 2 = KP 2 gilt und folglich der Durchschnitt die Dimension null hat, also ein Punkt sein muss. 7

8 Definition (Polarität in projektiven Ebenen) In einer projektiven Ebene KP 2 kann jedem Punkt mit Koordinaten (x 0 : y 0 : z 0 ) eindeutig die polare Gerade zugeordnet werden, die durch die Lösungsmenge der Gleichung xx 0 + yy 0 + zz 0 = 0 definiert wird, und umgekehrt. Durch diese Polarität können die Rollen von Punkten und Geraden ausgetauscht werden. In einer endlichen projektiven Ebene gibt es daher genauso viele Punkte wie Geraden. Dabei geht eine Gerade, die zwei Punkte P und Q enthält, über in den Durchschnitt der beiden zu P bzw. Q polaren Geraden. Umgekehrt geht der Durchschnitt zweier Geraden über in die Verbindungsgerade der beiden polaren Punkte. Insbesondere folgt, dass in einer projektiven Ebene je zwei verschiedene Punkte auf genau einer gemeinsamen Geraden liegen, und es folgt noch einmal, dass sich je zwei verschiedene Geraden in genau einem Punkt schneiden. Definition (projektive Abbildung) Eine projektive Abbildung f : KP n KP m wird induziert durch eine injektive lineare Abbildung F : K n+1 K m+1 durch f([x]) = [F(x)] für jeden Vektor x K n+1 \ {0}. Die Injektivität ist eine notwendige Bedingung, weil ein Element im Kern von F in keinen Punkt von KP m abgebildet werden könnte. Falls F (und folglich auch f) bijektiv ist, dann nennt man f eine Projektivität. Beispiel: Projektivitäten einer projektiven Geraden Wir betrachten KP 1 = { [x 0, x 1 ] x i K, nicht beide x i = 0 } und beschreiben eine lineare Abbildung F : K 2 K 2 durch eine Matrix A = ( a b c d) mit deta = ad bc 0. Es folgt dann A[x 0, x 1 ] = [ax 0 + bx 1, cx 0 + dx 1 ] = { [1, cx 0 +dx 1 ax 0 +bx 1 ] falls ax 0 + bx 1 0 [0, 1] falls ax 0 + bx 1 = 0. Also können wir im affinen Teil x 0 = 1 eine Projektivität als gebrochen lineare Funktion [ f([1, x]) = 1, c + dx ] a + bx bzw. als f(x) = (c + dx)/(a + bx) beschreiben. Dabei wird ein Punkt in den Fernpunkt abgebildet, umgekehrt wird der Fernpunkt zurück in den affinen Teil abgebildet. Analoges gilt in höheren Dimensionen. Auch hier sind die Koordinaten der Abbildung durch gebrochen lineare Funktionen beschrieben. 8

9 Spezialfall: A = ( ) Diese Matrix fixiert die beiden Punkte [1, 1] und [1, 1] und vertauscht [1, 0] mit [0, 1]. Als gebrochen lineare Funktion betrachtet ist es die bekannte Funktion f(x) = 1 mit einem Pol bei x = 0 (das liefert hier den Fernpunkt). Dass zwei x Punkte fixiert werden und dann jeder andere in jeden weiteren durch eine Projektivität abgebildet werden kann, das gilt analog auch in höheren Dimensionen. Definition Eine Menge {p 0,...,p k } KP n von Punkten heißt projektiv unabhängig, wenn es Vektoren v 0,...,v k K n+1 gibt mit [v i ] = p i für alle i, so dass {v 0,...,v k } linear unabhängig ist. Eine Menge {p 0,...,p n+1 } KP n von n+2 Punkten heißt eine projektive Basis, wenn je n + 1 Punkte davon projektiv unabhängig sind. Die kanonische Basis von KP n ist die folgende, auf der Standardbasis des K n+1 basierende: p 0 = [1, 0, 0,..., 0, 0], p 1 = [0, 1, 0,..., 0, 0],. p n = [0, 0, 0,..., 0, 1], p n+1 = [1, 1, 1,..., 1, 1]. Satz Es seien {p 0,...,p n+1 } und {q 0,...,q n+1 } projektive Basen von KP n. Dann gibt es genau eine Projektivität f : KP n KP n mit f(p i ) = q i für i = 0,..., n + 1. Beweis: Es sei p i = [v i ], q i = [w i ] mit Vektoren v i, w i K n+1 \ {0}. Damit sind v 0,...,v n und w 0,..., w n Basen des Vektorraums K n+1. Folglich gibt es Koeffizienten λ i, µ i mit p n+1 = [ n i=0 λ ] iv i und qn+1 = [ n i=0 µ ] iw i. Aus der projektiven Unabhängigkeit der Punkte folgt ferner, dass kein Koeeffizient λ i oder µ i gleich null sein kann. Also sind auch ṽ 0,..., ṽ n sowie w 0,..., w n Basen, wenn wir ṽ i = λ i v i, w i = µ i w i setzen. Damit haben wir auch p i = [ ] ṽ i, qi = [ ] w i und können eine eindeutige bijektive lineare Abbildung F : K n+1 K n+1 9

10 durch F(ṽ i ) = w i erklären, die folglich eine projektive Abbildung f : KP n KP n induziert mit f(p i ) = q i, i = 0,...,n. Nach Konstruktion gilt ferner p n+1 = [ṽ 0 + +ṽ n ] und q n+1 = [ w w n ]. Aus der Linearität folgt dann aber auch F(ṽ ṽ n ) = w w n, also auch f(p n+1 ) = q n+1. Eine projektive Abbildung zwischen projektiven Räumen bewahrt die Menge der Geraden, d.h. jede Gerade g in KP n wird als Punktmenge in eine Gerade f(g) abgebildet. Die Abbildung der Punkte von g auf die Punkte von f(g) ist allerdings typischerweise nicht linear, sondern gebrochen linear (s. oben). Frage: Gilt das auch umgekehrt? Definition (semilineare Abbildung) Ein Körperautomorphismus h : K K ist eine bijektive Abbildung mit h(a + b) = h(a) + h(b) und h(a b) = h(a) h(b) für alle a, b K. Insbesondere folgt h(0) = 0, h(1) = 1. Eine Abbildung F zwischen zwei K-Vektorräumen heißt semilinear, wenn es einen Körperautomorphismus h gibt, so dass F(x + y) = F(x) + F(y) und F(ax) = h(a)f(x) gilt für alle Vektoren x, y und Skalare a. Beispiele für Körperautomorphismen, die nicht die Identität sind: 1. K = C und h(z) = z (komplexe Konjugation in C). 2. K = Q[ 2] = {a + b 2 a, b Q} und h(a + b 2) = a b K = {0, 1, x, x + 1} (Körper mit 4 Elementen, vgl. Übungsaufgabe 17 in LAAG I) und h(x) = x + 1, h(x + 1) = x. Satz (Hauptsatz der projektiven Geometrie; zum Beweis siehe Fischer, ) Es sei n 2. Dann bewahrt eine bijektive Abbildung f : KP n KP n genau dann die Menge der Geraden in KP n, wenn es eine (bijektive) semilineare Abbildung F : K n+1 K n+1 gibt mit f([x]) = [F(x)] für jeden Vektor x K n+1 \{0}. Für n = 1 gilt dies offensichtlich nicht: Jede Abbildung einer projektiven Geraden in sich bewahrt die Menge der Geraden, weil es überhaupt nur eine Gerade gibt. 10