Heuristische Suche. Uninformierte (blinde) Suchverfahren. erzeugen systematisch neue Knoten im Suchbaum und führen jeweils den Zieltest durch;

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1 Heuristische Suche Uninformierte (blinde) Suchverfahren erzeugen systematisch neue Knoten im Suchbaum und führen jeweils den Zieltest durch; verwenden keine problemspezifische Zusatzinformation. Informierte oder heuristische Suchverfahren verwenden solches Zusatzwissen und können daher Lösungen oft effizienter erzeugen. Problemspezifische Information: Eine Evaluationsfunktion f gibt für jeden Knoten n einen Wert f(n) an, der beschreibt, wie erfolgversprechend die Expansion des Knotens ist. Einf. in die KI 3 60

2 Bestensuche Bestensuche (Best-First Search) verwendet die Evaluationsfunktion zur Anordnung der Knoten in der Weise, dass der Knoten mit der besten Bewertung zuerst expandiert wird. function BEST-FIRST-SEARCH( problem, EVAL-FN) returns a solution sequence inputs: problem, a problem Eval-Fn, an evaluation function Queueing-Fn a function that orders nodes by EVAL-FN return GENERAL-SEARCH( problem, Queueing-Fn) Einf. in die KI 3 61

3 Bestensuche (2) Ziele: Finden einer guten Lösung (geringe Pfadkosten) Fokussierung der Suche (zielgerichtetes Vorgehen) Expansion der Knoten auf dem günstigsten Pfad Expansion der Knoten, die den Zielknoten am nächsten liegen erfordert Abstandsmaß Einf. in die KI 3 62

4 Gierige Suche Gierige Suche (Greedy Search) ist die einfachste Bestensuche. Sie minimiert den (geschätzten) Abstand zu einem Zielknoten. h(n) = geschätzter Abstand von n zu einem Zielknoten h(n) = 0, falls n ein Zielknoten h: heuristische Funktion function GREEDY-SEARCH (problem) returns a solution or failure return BEST-FIRST-SEARCH(problem,h) Beispiel: Routenplanung h = Luftlinienentfernung zwischen zwei Orten Einf. in die KI 3 63

5 Gierige Suche (2) Arad Oradea 71 Neamt Zerind Sibiu 99 Fagaras 80 Timisoara Rimnicu Vilcea 111 Lugoj 70 Mehadia 75 Dobreta 120 Craiova Pitesti Bucharest 90 Giurgiu 87 Iasi Urziceni Vaslui Hirsova 86 Eforie Straight line distance to Bucharest Arad 366 Bucharest 0 Craiova 160 Dobreta 242 Eforie 161 Fagaras 178 Giurgiu 77 Hirsova 151 Iasi 226 Lugoj 244 Mehadia 241 Neamt 234 Oradea 380 Pitesti 98 Rimnicu Vilcea 193 Sibiu 253 Timisoara 329 Urziceni 80 Vaslui 199 Zerind 374 Einf. in die KI 3 64

6 Gierige Suche (3) Entwicklung des Suchbaums: Arad h=366 Arad Sibiu Timisoara Zerind h=253 h=329 h=374 Arad Sibiu Timisoara Zerind h=329 h=374 Arad Fagaras Oradea Rimnicu h=366 h=178 h=380 h=193 Sibiu Arad Timisoara Zerind h=329 h=374 Arad h=366 Fagaras Oradea Rimnicu h=380 h=193 Sibiu h=253 Bucharest h=0 Einf. in die KI 3 65

7 Gierige Suche (4) Eigenschaften: Möglicherweise werden Knoten unnötig expandiert. Beispiel: Routenplanung von Neamt nach Fagaras Gierige Suche geht nach der Strategie der Tiefensuche vor Gierige Suche ist weder vollständig noch optimal. Gierige Suche nimmt in jedem Schritt die größtmögliche Kostenreduktion vor. Einf. in die KI 3 66

8 Heuristiken von griech. heuriskein : finden, entdecken 1957: Methoden zur Identifikation von Problemlösungstechniken, insbesondere im Bereich mathematischer Beweise 1963: Problemlösungsprozesse, die möglicherweise Lösungen liefern 1971: Regeln, die Domänenexperten verwenden, um gute Lösungen zu finden heute: Techniken, die die durchschnittliche Performanz von Problemlösungsverfahren verbessern, jedoch nicht notwendigerweise die worst-case Performanz im Zusammenhang mit Suchverfahren: Funktionen zur Abschätzung der Kosten für eine Lösung Einf. in die KI 3 67

9 A Gierige Suche minimiert den Abstand zum Ziel, ist aber weder vollständig noch optimal. Uniforme Kostensuche minimiert die Pfadkosten, ist vollständig und optimal, aber aufwendig. A -Suche kombiniert die Strategien durch Kombination (Addition) der beiden Evaluationsfunktionen g(n): tatsächliche Kosten vom Wurzelknoten bis zum Knoten n h(n): geschätzte Kosten von n bis zum nächsten Ziel f(n) := g(n) + h(n) geschätzte Kosten des günstigsten Lösungspfades, der durch n verläuft. Einf. in die KI 3 68

10 A (2) function A -SEARCH (problem) returns a solution or failure return BEST-FIRST-SEARCH(problem, g + h) A expandiert immer den Knoten mit dem geringsten f-wert. A ist optimal und vollständig, falls die heuristische Funktion zulässig (admissible) ist. A ist optimal effizient, d.h. es gibt keinen anderen optimalen Suchalgorithmus, der weniger Knoten expandiert als A. Einf. in die KI 3 69

11 A (3) Seien h (n) die tatsächlichen Kosten des optimalen Pfades von Knoten n bis zum nächsten Zielknoten h heißt zulässig, wenn für alle n gilt: h(n) h (n). Ist h zulässig, so ist f(n) eine untere Schranke der tatsächlichen Kosten des optimalen Pfades von n bis zum nächsten Zielknoten. Beispiel: Routenplanung h = Luftlinienentfernung zwischen zwei Orten, h ist zulässig. Einf. in die KI 3 70

12 A (4) Arad Oradea 71 Neamt Zerind Sibiu 99 Fagaras 80 Timisoara Rimnicu Vilcea 111 Lugoj 70 Mehadia 75 Dobreta 120 Craiova Pitesti Bucharest 90 Giurgiu 87 Iasi Urziceni Vaslui Hirsova 86 Eforie Straight line distance to Bucharest Arad 366 Bucharest 0 Craiova 160 Dobreta 242 Eforie 161 Fagaras 178 Giurgiu 77 Hirsova 151 Iasi 226 Lugoj 244 Mehadia 241 Neamt 234 Oradea 380 Pitesti 98 Rimnicu Vilcea 193 Sibiu 253 Timisoara 329 Urziceni 80 Vaslui 199 Zerind 374 Einf. in die KI 3 71

13 A (5) Entwicklung des Suchbaumes: Arad f=0+366 =366 Arad Sibiu f= =393 Timisoara f= =447 f= =449 Zerind Arad Sibiu Timisoara f= =447 Arad Fagaras Oradea Rimnicu f= f= f= f= =646 =417 =526 =413 Sibiu f= =449 Zerind Arad Timisoara Zerind f= f= =447 =449 Arad Fagaras Oradea Rimnicu f= f= f= =646 =417 =526 Craiova Pitesti Sibiu f= =526 f= =415 f= =553 Einf. in die KI 3 72

14 A legt Konturen über den Suchraum. A (6) Für einen gegebenen f-wert ist die zugehörige Kontur die Menge aller Knoten, deren f-wert kleiner oder gleich dem gegebenen Wert ist. Konturen für O f = 380, 400, 420 Z N A I 380 S 400 F V T R L P M U H D C 420 G B E Einf. in die KI 3 73

15 A (7) Behauptung: A ist optimal. Beweis: Sei G ein Zielknoten mit optimalen Pfadkosten f. Sei G 2 ein suboptimaler Zielknoten mit Pfadkosten g(g 2 ) > f. Angenommen, A liefert G 2 als Lösung. Start Sei n ein Blattknoten auf dem optimalen Pfad vom Wurzelknoten nach G. Da h zulässig ist, gilt f(n) f. n Da n nicht vor G 2 expandiert wurde, gilt G G 2 f(g 2 ) f(n). Damit ist f(g 2 ) f, und da h(g 2 ) = 0, auch g(g 2 ) f. Widerspruch! Einf. in die KI 3 74

16 A (8) Vollständigkeit A ist vollständig auf Suchbäumen, die endlich viele Knoten n mit f(n) f haben. Forderung: Die Suchbäume sind lokal finit, und es existiert ein positives δ, so daß jeder Operator mindestens die Kosten δ hat. Aufwand A benötigt exponentiellen Zeit- und Speicheraufwand. Jedoch: Falls der Fehler der heuristischen Funktion logarithmisch in h ist h (n) h(n) O(log h (n)), werden nur subexponentiell viele Knoten expandiert. Einf. in die KI 3 75

17 A (9) A ist optimal effizient, d.h. es gibt keinen anderen optimalen Suchalgorithmus, der weniger Knoten expandiert als A. Genauer: Es gibt kein heuristisches Suchverfahren i.s.v. Bestensuche, das im Durchschnitt weniger Knoten expandiert als A und zwar für beliebige heuristische Funktionen h. Zum Beweis vgl. R. Dechter, J. Pearl: Generalized Best-first Search Strategies and the Optimality of A. in: Journal of the ACM 32(3), pp , Einf. in die KI 3 76

18 Heuristische Funktionen Qualitätsmaß für Heuristiken: Sei N die Anzahl der Knoten, die A zur Lösung eines gegebenen Problems expandiert und sei d die Lösungstiefe. Dann ist der effektive Verzweigungsfaktor b der Verzweigungsfaktor, den ein Baum der Tiefe d haben muß, um N Knoten zu enthalten. Gute Heuristiken haben einen effektiven Verzweigungsfaktor nahe 1. Eine Heuristik h 2 dominiert eine Heuristik h 1 gdw. h 2 (n) h 1 (n). Dominierung und Effizienz hängen unmittelbar zusammen: Dominiert h 2 h 1, so expandiert A unter h 2 weniger Knoten als unter h 1. Heuristiken mit hohen Werten sind zu bevorzugen. Einf. in die KI 3 77

19 Heuristische Funktionen (2) Start State Goal State Heuristische Funktionen für 8-Puzzle: h 1 h 2 Anzahl der Kästchen in falscher Position Summe der Distanzen der Kästchen zu ihrer Zielposition (Häuserblock- oder Manhattan-Distanz) Einf. in die KI 3 78

20 Heuristische Funktionen (3) Search Cost Effective Branching Factor d IDS A*(h 1 ) A*(h 2 ) IDS A*(h 1 ) A*(h 2 ) Empirische Evaluation zum Vergleich von Iterative Deepening (IDS) und A mit h 1 und h 2. Durchschnitt über 100 Beispiele, d: Lösungstiefe Einf. in die KI 3 79

21 Heuristische Funktionen (4) Heuristische Funktionen können aus vereinfachten (relaxierten) Versionen des Problems gewonnen werden. h 1 gibt die Länge des Lösungspfades für den Fall an, dass die Kästchen auf beliebige Positionen geschoben werden können. h 2 gibt die Länge des Lösungspfades für den Fall an, dass zu beliebigen benachbarten Positionen gewechselt werden kann, unabhängig davon, ob die Position besetzt ist oder nicht. Relaxierte Problembeschreibungen erhält man, indem man von Operatorrestriktionen abstrahiert. Die Kosten der Lösung für ein relaxiertes Problem sind häufig eine gute Heuristik für das eigentliche Problem. Einf. in die KI 3 80

22 Heuristische Funktionen (4) Falls mehrere zulässige Heuristiken zur Verfügung stehen, von denen keine alle anderen dominiert, wähle: h(n) = max(h 1 (n),..., h m (n)) h ist zulässig und dominiert alle h i (1 i m). Weitere Möglichkeiten gute Heuristiken zu finden: Integration statistisch gewonnener Erkenntnisse Verwendung von Zustandsmerkmalen zur Berechnung der heuristischen Funktion Eine gute heuristischen Funktion reduziert den Gesamtaufwand zur Lösung des Problems. Dazu muß sie effizient zu berechnen und möglichst genau sein. Einf. in die KI 3 81

23 Iterative A -Tiefensuche: IDA A ist exponentiell speicherplatzaufwendig: Die Anzahl der Knoten in einer Kontur ist exponentiell in der Länge des Lösungspfades. IDA kombiniert iterative Tiefensuche mit dem A - Algorithmus. Statt mit einer Tiefenbeschränkung arbeitet IDA mit einer Kostenbeschränkung. Für gegebenes f limit, werden in einem Iterationsschritt alle Knoten innerhalb der f limit Kontur expandiert. IDA ist vollständig und optimal. 1. IDA expandiert in der letzten Iteration die gleiche Anzahl von Knoten wie A. 2. Der Berechnungsaufwand für jeden einzelnen Knoten ist geringer als bei A. 3. Für ungünstige h expandiert IDA O(N 2 ) Knoten, wenn A N Knoten expandiert. Einf. in die KI 3 82

24 IDA (2) function IDA*( problem) returns a solution sequence inputs: problem, a problem static: f-limit, the current f - COST limit root, a node root MAKE-NODE(INITIAL-STATE[problem]) f-limit f - COST(root) loop do solution, f-limit DFS-CONTOUR(root, f-limit) if solution is non-null then return solution if f-limit = then return failure; end function DFS-CONTOUR(node, f-limit) returns a solution sequence and a new f - COST limit inputs: node, a node f-limit, the current f - COST limit static: next-f, the f - COST limit for the next contour, initially if f - COST[node] > f-limit then return null, f - COST[node] if GOAL-TEST[problem](STATE[node]) then return node, f-limit for each node s in SUCCESSORS(node) do solution, new-f DFS-CONTOUR(s, f-limit) if solution is non-null then return solution, f-limit next-f MIN(next-f, new-f); end return null, next-f Einf. in die KI 3 83

25 Lokale Suche Für viele Probleme ist es irrelevant, wie man zum Zielzustand kommt nur der Zielzustand selbst ist interessant (8-Dame Problem, VLSI Design, TSP). Wenn sich außerdem Zielzustände durch ein Qualitätsmaß beschreiben lassen, kann man lokale Suche benutzen, um Lösungen zu finden. evaluation Idee: Man fängt mit einer zufällig gewählten Konfiguration an und verbessert diese schrittweise. hill climbing current state Einf. in die KI 3 84

26 Hill Climbing Das Bergsteigerprinzip: Gehe niemals bergab. Festlegung von Nachbarschaftsbeziehungen zwischen Zuständen Bestimmung eines Ausgangszustandes Schrittweiser Übergang zu benachbarten Zuständen besserer Qualität Ausgabe des besten Zustandes function HILL-CLIMBING( problem) returns a solution state inputs: problem, a problem static: current, a node next, a node current MAKE-NODE(INITIAL-STATE[problem]) loop do next a highest-valued successor of current if VALUE[next] < VALUE[current] then return current current next end Einf. in die KI 3 85

27 Hill Climbing (2) Probleme: Lokale Maxima: Der Algorithmus gibt einen lokal besten Zustand aus, der u.u. weit vom Optimum entfernt ist. Plateaus: Die Evaluierungsfunktion ist hier flach. Entscheidende Verbesserungen werden hier nicht mehr erreicht. Grate: Der Algorithmus oszilliert möglicherweise. Lösung: Neustart, wenn keine Verbesserung mehr erreicht wird Durchführung mehrerer Iterationen und Aufheben des soweit besten Resultats Einf. in die KI 3 86

28 Zusammenfassung: Informierte Suche Heuristiken fokussieren die Suche. Bestensuche expandiert die (nach gegebenem Maß) am besten bewerteten Knoten zuerst. Mit der Minimierung der geschätzten Kosten zum Ziel h erhalten wir gierige Suche. Minimierung von f(n) = g(n)+h(n) kombiniert uniforme Kostensuche mit gieriger Suche. Falls h(n) zulässig ist, d.h. die Lösungskosten immer unterschätzt, erhalten wir A -Suche, die vollständig und optimal ist. IDA ist eine Kombination von iterativer Tiefensuche und A. Lokale Suche arbeitet immer nur auf einem Zustand; das Ziel ist, diesen zu verbessern. Einf. in die KI 3 87

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