Ungleichungen werden mit Äquivalenzumformungen gelöst. Hierzu werden die sogenannten Monotoniegesetze angegeben.

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1 Floria Häusler Ugleichuge. Grudsätzliches I folgede ist ur vo reelle Zahle die Rede, ohe daß dies im eizele betot wird. Es seie A, B, C,... Terme reeller Zahle, u. U. auch mit Variable. Für Ugleichuge gelte die folgede Axiome: Axiom : Für zwei Terme A ud B gilt stets etweder A = B oder A < B oder A > B. Axiom : Es ist A > B geau da, we B < A gilt. Axiom 3: Aus A < B ud B < C folgt A < C. Ugleichuge werde mit Äquivalezumformuge gelöst. Hierzu werde die sogeate Mootoiegesetze agegebe. Axiom 4: A B A + C B + C für alle Terme C. Axiom 5: A B A C B C für alle Terme C > 0 Hieraus folgt: Satz : A B A C B C für alle Terme C < 0 Satz (Mootoiegesetze für Poteze): a) Für p > 0 ud 0 < a < b gilt a p < b p. Für p < 0 ud 0 < a < b gilt a p > b p. b) Für p < q ud 0 < a < gilt a p a q. Für p < q ud < a gilt a p a q. Lösugsverfahre:. Hiermit ka ma Ugleichuge löse, z. B. lieare wie etwa: 3x + < 4x + Ma addiert auf beide Seite -4x - ud erhält -x + < 0 d. h. x >.. Graphische Veraschaulichug: Das Ergebis vo. wird als y = -x + < 0 iterpretiert. I der like Abbildug ist der Term y geau für x > egativ.

2 Ma ka aber auch gleich die like ud rechte Seite getret als y = 3x + ud y = 4x + mit y < y betrachte ud die Graphe dieser beide Ugleichuge zeiche (vgl. die rechte Abbildug). Ma sieht deutlich, daß y < y rechts vo x = gilt. Damit hat ma aber auch bereits eie Lösugsmöglichkeit für lieare Ugleichugssysteme mit zwei Variable gefude: Die Ugleichug ax + by + c 0 mit a 0 wird auf die Form y a'x + b' gebracht. Es ist da die utere Halbebee eischließlich ihrem Rad die graphische Lösug für diese Ugleichug (vgl. die like folgede Abbildug). Ei Gleichugssystem führt da zu viele solche Halbebee, dere gemeisamer Schitt die Lösug des Gesamtsystems darstellt. I der rechte Abbildug ute wird die Lösug des folgede Systems aus 4 Ugleichuge schraffiert dargestellt: - x + 5y > 5 x < 6 x < 4 Die erste drei Ugleichuge führe zu Halbebee ohe Radgerade. 5 y x 5 Die vierte Gleichug ist eie Halbebee mit Radgerade.

3 3. Mit Satz ka ma Poteze miteiader ohe Tascherecher vergleiche, z. B. ; 3 Ma ka ach Satz Poteze vergleiche, we sie etweder gleiche Basis oder gleiche Expoete habe. Deshalb muß ma hier Zwischeschritte tätige: 3 3. Liearplaug Es wurde Beispiele zur Liearplaug gebracht, die adereorts auch Lieare Optimierug heißt. Da ma dies i Meyer u. a. [5], Bad Algebra 8 Seite ff achlese ka, wird bei der vorliegede Darstellug darauf verzichtet. 3. Nicht lieare Ugleichuge a) Quadratische Ugleichug i eier Variable: z. B. -x + 9x - 8 > 0 Ma zeichet z. B. mit Hilfe der Nullstelle de Graphe der Fuktio y = -x + 9x - 8 ud stellt fest, für welche x-werte die Fuktioswerte oberhalb der x-achse sid. Bei eiem adere Verfahre utersucht ma die Produktdarstellug des quadratische Terms (hierzu braucht ma die Nullstelle) hisichtlich Vorzeiche: -x + 9x - 8 > 0 - (x - 3)(x - 6) > 0 Ma überlegt sich die Vorzeiche der eizele Faktore uter Berücksichtigug der Vorzeicheübergäge bei de Nullstelle i der folgede Tabelle ud fidet daraus jeweils das Vorzeiche des Gesamtterms. Schließlich ergibt sich die Lösugsmege als ]3; 6[. - < x x = 3 3<x < 6 x = 6 x <

4 x - 3 egativ 0 positiv positiv positiv - (x - 6) positiv positiv positiv 0 egativ -(x-3)(x-6) egativ 0 positiv 0 egativ b) adere Ugleichuge ka ma uter Umstäde geauso löse: x x( x ) x x oder x + 0 x( x ) Als Lösug der Ugleichug fidet ma so L = ]0; 0,5] [; [. - < x x = 0 0 < x < 0,5 x= 0,5 0,5 < x < x = < x < - x x x x d d. - x( x ) I der Tabelle bedeutet.d. icht defiiert. Betragsugleichuge lasse sich geauso behadel. Geligt die Faktorisierug icht, so ist meist eie Falluterscheidug erforderlich. Ma fidet Beispiele auch zu Betragsugleichuge i Meyer u. a. [5] Bad Algebra Besodere Ugleichuge Ohe Beweise werde agegebe: a) Höldersche Ugleichug: p q Für p >, q >, beide reell mit + = folgt x y xy + für alle positive p q p q reelle x ud y. b) Ugleichug vo Beroulli:

5 Für reelle x mit x - ud reellem a gilt ( + x) a + ax. c) Ugleichug vo Tschebyschew: Für reelle a i ud b i mit 0 < a a... a ud 0 < b b... b gilt a + a a b + b b ab + ab a b x i d) Cauchy-Schwarzsche Ugleichug: x y + x y x y ( x + x x )( y + y y ) für alle reelle ud y i. Verallgemeierug: (x y + x y x y ) p ( x p p p p p p + x x )( y + y y ) für atürliche p ud alle reelle x i ud y i. e) Erweiterte Dreiecksugleichug: Für Vektore a ud b gilt: a b a + b a + b f) Arithmetisches Mittel ud adere im Vergleich: Defiitio: Arithmetisches Mittel A = x x x Geometrisches Mittel G = x + x x Harmoisches Mittel H = x x x x + x x Quadratisches Mittel Q = Satz: Mit de Herobezeichuge der Defiitio gilt für alle reelle x i : H G A Q a, b ud c seie die Seiteläge eies Dreiecks mit dem Flächeihalt A; da gilt: a + b + c 4 3 A Nach Hero gilt für de Flächeihalt eies Dreiecks: A = a + b + c a + b c a + c b b + c a Da das arithmetische Mittel stets größer oder gleich dem geometrische Mittel ist, gilt für x: = a + b - c, y: = a + c - b, z: = b + c a

6 x y z 3 xyz + + ( x + y + z) 3 d. h. xyz 3 7 so Setzt ma dies i die Heroformel ei, erhält ma mit eier eifache Umformug die Behauptug: ( a + b + c) 4 4A 7 a + b + c 3 = ( a + b + c) 3 3 = a + b + c ( a b) ( b c) ( c a) Besodere Verfahre 5. Vollstädige Iduktio Eie Aussage A() soll für alle atürliche Zahle > o bewiese werde mit eiem Beweis durch vollstädige Iduktio ach :. Ma zeigt die Gültigkeit vo A( o ).. Ma immt a, daß A() gültig ist ud führt hierauf die Gültigkeit vo A(+) zurück. Für alle positive reelle a ud alle atürliche Zahle eischließlich 0 gilt die Aussage A(): ( ) a a + ( + ) a + 0 Beweis durch vollstädige Iduktio ach :. Für = 0 gilt - a - a + a 3 = ( - a)( - a ) = ( - a) ( + a) 0; also ist A(0) richtig.. Aahme: Die Formel A(k) ist richtig. Es wird im folgede gezeigt, daß da auch die Formel A(k+) richtig ist: - (k+)a k+3 - a k+4 + (k+)a k+5 = a ( - (k+)a k+ - a k+ + (k+)a k+3 ) 0, weil a ud ach Aahme A(k) positiv sid. Also ist A() für alle richtig. 5. Extremalprizip der Symmetrie Liegt eie Aussage vor, die i ihre Variable symmetrisch ist, d. h. die gegeüber zyklischer Vertauschug ihrer Variable ivariat ist, so ka ma ohe Beschräkug der Allgemeiheit aehme, daß z. B. die Variable a die größte (oder auch kleiste) ist; ma wählt also ei maximales (oder miimales) Elemet ud spricht deshalb vo eiem "Extremalprizip der Symmetrie".

7 Für reelle Zahle a, b, c gilt: a + b + c ab + bc + ca Beweis: Weil diese Aussage gegeüber zyklischer Vertauschug ivariat ist, ka ma ohe Beschräkug der Allgemeiheit 0 a b c aehme. Da gelte c - a = - (a - b + b - c) ud etsprechede Formel bei zyklischer Vertauschug. Damit erhält ma: a + b + c - ab - bc - ca = a(a - b) + b(b - c) + c(c - a) = = a(a - b) + b(b - c) - c(a - b) - c(b - c) = (a- c)(a - b) + (b - c) 0, weil das Produkt zweier egativer Zahle positiv ist. Für egative Zahle a, b, c ädert sich ichts a obiger Aussage, da die rechte Summe da als eie Summe aus Produkte der Beträge agesehe werde ka ud die Summe aus Produkte ohe Beträge ur kleier werde ka. Hieraus läßt sich umittelbar herleite: Satz : Für die Vektore x = (a b c) ud y = (b c a) mit reelle Koordiate a, b, c gilt x x y. 6. Literatur Budeswettbewerb Mathematik []: Aufgabe ud Lösuge, 4 Bäde, Klett-Verlag Stuttgart 978 bis 994 Egel, A. []: Problemlösestrategie, Eichstätter Kolloquium z. Did. d. Math. Febr. 995 Gilka, Heimo []: Über Ugleichuge, Mathematikiformatio Gymasium Starberg Nr. 4, 984 Lehma, J. []: Die 00 schöste Aufgabe mit elegate Lösuge (Klassestufe /), herausgegebe vom Bezirkskabiett für außeruterrichtliche Tätigkeit, Leipzig 987 Meyer, Kh u.a. [5]: Brepukt Algebra, Bad 8, Schroedel-Schulbuchverlag GmbH Haover 990 Schmidt, W. []: Ugleichuge, Teile,, 3 aus alpha 994, Hefte, 3, 4 Schmittlei - Kratz []: Lieare Algebra, bsv Müche 975 Somiskij, I. S. - Golovia, L. I. - Jaglom, I. M. []: Die vollstädige Iduktio, Verlag Harri Deutsch, Frakfurt 994