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1 Rechnerarithmetik Rechnerarithmetik 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II Übersicht bereits in A,3 und A.4: Betrachtung von Addierschaltungen als Beispiele für Schaltnetze und Schaltwerke in diesem Abschnitt: systematische Behandlung der technischen Realisierung der Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division für Binärzahlen Bedeutung: Letztlich werden alle Operationen eines Computers auf das binäre Rechnen zurückgeführt (daher "Rechner"!). Kern jedes Prozessors: Rechenwerk bzw. arithmetisch-logische Einheit (engl.: arithmetic-logical unit, ALU) zunächst: Diskussion verschiedener Varianten der Zahlendarstellung im Rechner und der zugehörigen Additions- und Subtraktionsmethoden Lektüre: Oberschelp/Vossen Kapitel 5 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 2

2 Darstellung positiver ganzer Zahlen bisher: nur positive ganze (d.h. natürliche) Zahlen in Binärcodierung Darstellung im Rechner durch Register aus Speicherzellen mit je zwei Zuständen: Worte der Länge n über B = {, } 2 n bei direkter Interpretation des Registerinhalts als Binärzahl: darstellbarer Zahlbereich [.. 2 n -] üblich: Zusammenfassung von 8 Bits zu einem Byte Wortlängen stets Vielfache von 2 3 : 8, 6, 24, 32, Bit 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 3 Vorzeichen/Betrag-Darstellung Konvention zur Darstellung negativer ganzer Zahlen: ein Vorzeichenbit (ganz links aussen), 2 n- Betragsbits Kodierung des Vorzeichens ebenfalls binär: einfachste Form der Darstellung ganzer Zahlen: Vorzeichen kombiniert mit "normal" kodierter Binärzahl, also z.b. bei 4 Bit-Wort: 5 5 Vorzeichen/Betrag- Darstellung diverse Nachteile: zwei verschiedene Darstellungen für Null: gravierender: eigene Schaltung zum Subtrahieren nötig besondere "Steuerlogik" zum Unterscheiden von Addition und Subtraktion bei unterschiedlichen Vorzeichen 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 4

3 Komplementdarstellung Verzicht auf eigenes Subtrahierwerk möglich, wenn Betragsanteil für negative Zahlen durch Komplementbildung dargestellt wird: 5 5 mit komplementiert dargestellten Zahlen: Subtraktion durch stellenweise Addition mit Übertrag 5 6 = (5) ( 6) 5 6 6: Übertrag: Summe: : 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 5 Übertragsrückführung bei -Komplement Bezeichnung für diese Form der Komplementdarstellung: -Komplement Nachteil: Bei positivem Resultat einer Subtraktion entsteht ein Übertrag in die n-te Stelle, der noch nachträglich aufaddiert werden muss, um das korrekte Resultat zu erhalten: 5 3 = (5) ( 3) Übertrag: 5 3 3: Summe: 2 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 6

4 2-Komplement Vermeidung einer potentiellen Übertragsrückführung nach jedem Additions- bzw. Subtraktionsschritt: Addieren von nur einmal pro Zahl bereits beim Komplementieren Bezeichnung der so entstehenden Darstellungsform: 2-Komplement Bsp.: 3: bitweise Komplementieren Aufaddieren von 3: 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 7 Subtraktion bei 2-Komplement bei Verwendung des 2-Komplements: Überträge können wegfallen! 5 3 = (5) ( 3) Übertrag: 5 3 Summe: 2 kann ignoriert werden 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 8

5 Subtraktion bei 2-Komplement (2) 6 im 2-Komplement: 6: 5 6 = (5) ( 6) 5 6 Übertrag: Summe: kann wieder ignoriert werden : 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 9 Alternative Darstellungsformen für ganze Zahlen Komplemente eindeutige Null identisch 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II

6 Zahlenbereich bei 2-Komplementdarstellung wegen diverser Vorteile: 2-Komplement wird vorwiegend verwendet! einzige "Irregularität" bei 2-Komplement-Darstellung: mehr negative als positive Zahlen darstellbar (wg. eindeutiger Null!) mit Wortlänge n darstellbarer Zahlbereich bei 2-Komplement: [ - 2 n-,...., 2 n- - ] also z.b. bei n=4: [ -8,...., 7 ].... -(2 n- - ) - 2 n- 2 n Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 2-Komplement bei Wortlänge Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 2

7 Überlaufproblematik bei Addition/Subtraktion Wird bei Addition die Summe zweier darstellbarer Zahlen grösser als die Obergrenze des Zahlbereichs, entsteht ein mit der gegebenen Wortlänge nicht mehr darstellbares Resultat: Überlauf (engl.: "overflow") Bsp.: n = 4, d.h. darstellbarer Zahlenbereich [ 8, 7] Übertrag: = 3 = 6 = 7 Überlauferkennung durch "Abfangen" solcher Überträge und Ablegen in eigenem Überlaufregister, das durch Anwendungsprogramme abgefragt werden kann. 9: falsches Resultat, wenn Übertrag in Vorzeichenstelle auftritt 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 3 BCD-Darstellung 2-Komplementdarstellung ist die am häufigsten verwendete Form der Repräsentation ganzer Zahlen im Rechner. ebenfalls gebräuchlich, wenn auch hinsichtlich der Rechnerarithmetik nicht so vorteilhaft: BCD-Darstellung (engl.: "binary coded decimal") Exzess-Darstellung BCD-Darstellung: Jede Dezimalziffer wird durch 4-Bit-Wort kodiert, z.b.: offenbar: Nur von 6 Bitfolgen werden zur Zifferndarstellung genutzt. Vorzeichendarstellung i.a. durch zwei weitere 4-Bit-Worte: 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 4

8 Exzess-Darstellung insbesondere bei Gleitkommazahlen noch gebräuchlich: Exzess-Darstellung Prinzip: Zu jeder Zahl wird (bei Wortlänge n) der feste Betrag 2 n- (genannt Exzess, dt.: Überschuss) addiert. Negative Zahlen werden dadurch in den positiven Bereich verschoben. Vorzeichen werden wie üblich mit einem Bit kodiert. z.b.: n = 8 Exzess = 2 7 = 28 38: 8: Nach Durchführung arithmetischer Operationen wird die Verschiebung wieder analog rückgängig gemacht. Addition/Subtraktion sind einfach, Multiplikation/Division relativ aufwändig durchzuführen. 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 5 Multiplikation ganzer Zahlen grundsätzliches Vorgehen bei der Multiplikation ganzer Zahlen in Binärdarstellung wie bei dezimaler Multiplikation : Rückführung auf ziffernweise Multiplikation und Additionsschritte mit Stellenverschiebung in der Schulmathematik gebräuchlich Notationsform: Multiplikand Multiplikator Teilprodukte Links-Rechts-Abarbeitung des Multiplikators und Rechtsverschiebung der Teilprodukte Produkt = Summe der Teilprodukte 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 6

9 Binäre Multiplikation alternative, äquivalente Notation: Rechts-Links-Abarbeitung des Multiplikators und Linksverschiebung der Teilprodukte analoge Übertragung auf Binärzahlen: ziffernweise Multiplikation: AND Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 7 Multiplikation formal diese Folie: W. Oberschelp, G. Vossen 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 8

10 Schaltung zur Multiplikation Akku Ergebnisregister (doppelt so lang wie Operandenregister, oder Beschränkung der Operanden auf halbe Wortlänge eines Registers) Addierer Rechtsshift Y Multiplikator X Multiplikand Linksshift zur sukzessiven Addition der Teilergebnisse diese Folie: W. Oberschelp, G. Vossen 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 9 Optimierungsmöglichkeit beim Multiplizieren mit Shift Direkte Umsetzung des "Multiplizierens nach der Schulmethode" wäre im binären Fall offenbar ineffizient, da die beiden Fälle der ziffernweisen Multiplikation Spezialfälle sind, die gesondert behandelt werden können:. Multiplikation des Multiplikanden mit : Aufaddieren des Multiplikanden auf das Ergebnis (Multiplikation mit = Identität) 2. Multiplikation mit : Verschieben des Ergebnisses ohne Additionsschritt (Multiplikation mit : keine -Bits im Teilprodukt) dazu erforderlich: zusätzliche "Schaltlogik" zum Testen des jeweils führenden Bits des Multiplikators weiterer Schritt zur Systematisierung des Vorgehens: Statt das Ergebnis zu verschieben, verschiebe den Multiplikanden bitweise nach links! 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 2

11 Multiplikationsschaltung am Beispiel Ergebnis Addierer Multiplikator Multiplikand 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 2 Multiplikationsschaltung am Beispiel (2). Schritt: Addition des Multiplikanden zum Ergebnis Test durch "Steuerlogik": Addition erforderlich 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 22

12 Multiplikationsschaltung am Beispiel (3) 2. Schritt: Verschieben der Operandenbits 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 23 Multiplikationsschaltung am Beispiel (4) 3. Schritt: erneute Addition des verschobenen Multiplikanden Test durch "Steuerlogik": Addition erforderlich 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 24

13 Multiplikationsschaltung am Beispiel (5) 4. Schritt: Schieben beider Operanden 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 25 Multiplikationsschaltung am Beispiel (6) 5. Schritt: keine Addition wegen -Bit im Multiplikator! Test durch "Steuerlogik": Addition nicht erforderlich 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 26

14 Multiplikationsschaltung am Beispiel (7) 6. Schritt: Schieben 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 27 Multiplikationsschaltung am Beispiel (8) 7. Schritt: erneutes Aufaddieren des verschobenen Multiplikanden Test durch "Steuerlogik": Addition erforderlich 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 28

15 Multiplikationsschaltung am Beispiel (9) Schlusskonstellation: Ergebnis im Akkumulator, Multiplikandenregister leer 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 29 Multiplikation-Division bei Multiplikation: separate Vorzeichenbehandlung durch entsprechendes Schaltnetz vorgestelltes Multiplikationsprinzip: serielle Multipikation (geringer Schaltungsaufwand, aber viele Takte erforderlich) Effizienzsteigerung durch Verwendung schneller Addierer (siehe Oberschelp/Vossen S. 48/49 für Carry-Save-Addierer) Parallele Multiplikation: deutlich schneller, aber viel höherer Aufwand bei der Realisierung (z.b. bei 4 Bit: je 4 Voll- und Halbaddierer, 6 AND-Gatter) Division: ebenfalls analog zur "Schulmethode" durch stellenweises Vergleichen von Dividend und Divisor und Subtraktionsschritte (separates Register für Divisionsrest erforderlich) 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 3

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