Lektion 1: Von Nullen und Einsen _ Die binäre Welt der Informatik

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1 Lektion 1: Von Nullen und Einsen _ Die binäre Welt der Informatik Helmar Burkhart Departement Informatik Universität Basel Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-1 Übersicht Lektion 1 Von Ziffern zu Zahlen: Geschichtliches Dezimalzahlen und das Dualsystem Bitfolgen und Masszahlen der Informatik Gängige Zahlensysteme Konversion zwischen Zahlensystemen Zahlenkomplement Binär codierte Dezimalzahlen Gebrochene Zahlen Gleitpunktzahlen Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-2

2 Ziffern und Zahlen früher Kulturen Alle frühgeschichtlichen Zahlensysteme bauen auf der naturgegebenen Fingerzahl der menschlichen Hand auf (5er, 10er, 20er und 60er Systeme): Sumerer Ägypter Maya Chinesen Quelle: E.P. Vorndran Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-3 Römische Zahlen (1) Die römischen Zahlzeichen werden heute oft noch verwendet: I V X L C D M Aneinanderreihung: I Position wichtig: IV = VI = XL = LX = Stets vereinfachen: XXXXX fi LL fi DD fi Umwandlungsbeispiel: MCM XC IX = X Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-4

3 Römische Zahlen (2) Mit römischen Zahlen kann gerechnet werden, aber der Prozess ist mühsam: 364 = CCC LX IV 288 = CC LXXX VIII Erste Summe Reduzieren Resultat Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-5 Indisch-Arabisches Zahlensystem Unser dezimales Zahlensystem entstand im 6. bis 8. Jahrhundert in Indien. Es ist ein Stellenwertsystem bei dem der Wert der 10 Ziffern 0, 1, 2,... 9 von der Position abhängig ist. Jede Ziffer wird mit einer Zehnerpotenz multipliziert = 2004 = 2004 = Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-6

4 Rechnen mit Dezimalzahlen Das Addieren einzelner Ziffern wird durch die eindeutigen Stellenpositionen vereinheitlicht: In Deutschland durch die Rechenbücher des Adam Ries ( ) verbreitet. Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-7 Duales Zahlensystem Gottfried Wilhelm von Leibnitz schuf mit seiner Schrift De Progressione Dyadica im Jahre 1679 die Grundlagen des dualen Zahlenssystems (Ziffern 0 und 1) = 1 x x x x 2 0 entspricht der Dezimalzahl 11. Exakte Notation: Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-8

5 Rechnen im Dualsystem (1) Beispiel: Addition = = Rechenregeln = = = = 10 Addition zweier Binärstellen mit Übertrag fi Volladdierer Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-9 Rechnen im Dualsystem (2) Beispiel: Multiplikation = = Rechenregeln 0 0 = = = = 1 Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-10

6 Bitfolgen Ein Bit (Binary digit) ist die kleinste Darstellungseinheit für Daten: 0 und 1. Eine Bitfolge ist die Aneinanderreihung einzelner Bits. Es gibt 2 n Bitfolgen der Länge n. n Informationen durch log 2 n Bits bei fixer Kodierung dargestellt. DNA-Baustein Adenin Cytosin Guanin Thymin Abk. Kodierung Binär Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-11 Byte; Masszahlen der Informatik Ein Byte ist eine Aneinanderreihung von 8 Bits: b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 Meistens wird nicht ein einzelnes Byte sondern eine grössere Anzahl Bytes angesprochen: z.b. Kilobytes Kilo Mega Giga Tera Peta Exa 1K 1M 1G 1T 1P 1E Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-12

7 Hexadezimalziffern 4 Binärstellen = 1 Hexadezimalziffer. Kodierungstabelle: 0=0000 1=0001 2=0010 3=0011 4=0100 5=0101 6=0110 7=0111 8=1000 9=1001 A=1010 B=1011 C=1100 D=1101 E=1110 F=1111 Kodierungsbeispiel: Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-13 Gängige Zahlensysteme (1) Ziffernfolge der Länge m: x 0 x 1 x m-1 Stellenwertsystem mit Basis b x b = x 0 b 0 + x 1 b 1 + x 2 b x m-1 b m-1 Dezimal: x i {0, 1,...9} b = 10 Dual: x i {0, 1} b = 2 Hexadezimal: x i {0, 1,...9, A, B,...F} b = 16 Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-14

8 Gängige Zahlensysteme (2) Dezimal Dual Hexadezimal A Dezimal Dual Hexadezimal B C D E F FF Die Ziffernfolge 10 ist mehrdeutig. Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-15 Umrechnungen bei Zahlensystemen Dezimal binär: Binär dezimal: Hexadezimal binär: Binär hexadezimal: Fortgesetztes Abziehen von 2-er Potenzen bzw. fortgesetztes Teilen durch 2 Aufaddieren der 2-er Potenzen mit x i = 1 bzw. fortgesetztes Multiplizieren mit 2 Jede Hexziffer ergibt 4 Binärstellen Jeweils 4 Binärstellen ergeben Hexziffer Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-16

9 Wie wird subtrahiert? Gewöhnliche Subtraktion Addition des Zehnerkomplements Subtraktion ausgeführt durch Addition des Zehnerkomplements: Jede Dezimalziffer wird ersetzt durch die Differenz zur Ziffer 9 (Neunerkomplement). Es wird noch 1 addiert (Zehnerkomplement). Gewöhnliches Addieren wobei Übertrag entfällt. Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-17 Vom Rezept zur Erklärung Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-18

10 Zweierkomplement Jede Binärziffer wird negiert (Einerkomplement). Es wird 1 addiert (Zweierkomplement). Übertrag entfällt. Subtraktion 8 = = = 0010 mittels Addition Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-19 Zahlenkreis neg. Zahlen pos. Zahlen Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-20

11 Gebrochene Zahlen Im Prinzip können gebrochene Zahlen durch ein Festpunktformat dargestellt werden: Ziffernfolge: x b.y 1 y 2... y n Wert: x b + y 1 b -1 + y 2 b y n b -n Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-21 Gebrochene Zahlen: Umwandlung Binär Dezimal Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-22

12 Gleitpunktzahlen Grosse Zahlen werden in der Naturwissenschaft mittels Exponenten dargestellt: Lichtgeschwindigkeit = 3 x 10 5 km/s. Darstellung im Rechner: Mantisse und Exponent Beispiel: = 32 x 10 3 Mantisse Basis Exponent Dezimal Binär 2 Mantisse 10 Bit Exponent 6 Bit Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-23 Normalisierung Exponent E wird so gewählt, dass die Zahl in der Form gespeichert ist. 1.m 1 m 2...m n x 2 E Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-24

13 Gleitpunktzahlen: Addition Addition zweier normalisierter Gleitpunktzahlen: Exponentenangleich Addition der Mantissen Normalisierung = = 1. Operand 2. Operand Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-25 Normalisierung / IEEE-754 Exponent E wird so gewählt, dass jede Zahl in der Form 1.m 1 m 2...m n x 2 E gespeichert wird. Die 1 lässt man dann einfach weg. Merkt man sich zusätzlich noch ein Vorzeichen(-Bit) ist man (fast) beim IEEE-Standard: IEEE-754 Single-Format für Gleitpunkt-Zahlen: ± Exponent 8 Bit Mantisse 23 Bit Bits: Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-26

14 Praxis: IEEE 754 Standard Einfaches Format single : 32 Bit (4 Byte) C, Java: float, FORTRAN: REAL*4 1 Bit Vorzeichen, 8 Bit Exponent, 23 Bit Mantisse 1.2 x < x < 3.4 x darstellbar Doppeltes Format double : 64 Bit (8 Byte) C, Java: double, FORTRAN: REAL*8 1 Bit Vorzeichen, 11 Bit Exponent, 52 Bit Mantisse 2.2 x < x < 1.8 x darstellbar Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-27 Problem: Genauigkeit (1) Addition zweier normalisierter Gleitpunktzahlen: Exponentenangleich - Der kleinere Exponent wird an den grösseren angeglichen, die kleinere Mantisse verschoben - Vorsicht: Auslöschung von Bits Addition der Mantissen - Vorsicht: Rundung der letzten Stelle Normalisierung Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-28

15 Problem: Genauigkeit (2) Beispiel (mit 8 Bit Mantisse): * * 2-2 Exponentenangleich: * * 2 4 Auslöschung! * 2 4 Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-29 BCD-Ziffern Binary-Coded-Decimal Ziffern (BCD-Ziffern) sind binär kodierte Dezimalziffern. 0 = = = = = = = = = = 1001 Bsp : Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-30

16 Literatur ANSI/IEEE Std : IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic. New York, IEEE, David Goldberg, What every Computer Scientist should know about Floating Point Arithmetic, Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Binäre Welt der Informatik 1-31

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