Daten, Informationen, Kodierung. Binärkodierung

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1 Binärkodierung Besondere Bedeutung der Binärkodierung in der Informatik Abbildung auf Alphabet mit zwei Zeichen, in der Regel B = {0, 1} Entspricht den zwei möglichen Schaltzuständen in der Elektronik: Spannung liegt an oder nicht Erlaubt Abbildung beliebiger Informationen auf eine elektronisch speicher- und verarbeitbare Darstellung Basiert auf Darstellung von natürlichen Zahlen im Dualsystem nach Leibniz Darstellung jeder beliebigen natürlichen Zahl mit Ziffern 0 und 1 Abbildungsregeln spezielle numerische Daten: negative und Gleitkommzahlen Abbildungstabellen für alphanumerische Daten: Zeichen und Zeichenketten beliebiger Alphabete Direkte Abbildung einer zweiwertigen Logik: 0 = FALSCH, 1 = WAHR Nutzung dieser Basisansätze für weitere Datentypen, z.b. Bilddaten durch Position/Sequenz von Bildpunkten mit bestimmten Farbwerten Eike Schallehn Grundlagen der Informatik für Ingenieure Wintersemester 08/

2 Dezimal- und Dualzahlen 1110 = x x x x x x Allgemeine Herleitung des Wertes N einer natürlichen Zahl bei Darstellung mit n Ziffern Z zur Basis B N = Σ n 1 i=0 Z i B i Im Dezimalsystem: B = 10, Z i {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Im Dualsystem: B = 2, Z i {0, 1} Eike Schallehn Grundlagen der Informatik für Ingenieure Wintersemester 08/

3 Dezimal- und Dualzahlen /2 0 2 = = = = = = = = = = = Eike Schallehn Grundlagen der Informatik für Ingenieure Wintersemester 08/

4 Bits und Bytes Definition (Bit) Ein Bit (binary digit, Binärziffer) ist in der Informatik die kleinste informationstragende Einheit, welche die Zustände 0 oder 1 darstellen kann. Definition (Byte) Ein Byte ist eine zusammengehörige Sequenz von 8 Bit (Oktett), welche durch die Kombination der Einzelzustände der Bits 256 verschiedene Zustände Abbilden kann (Dualzahlwerte 0 bis 255). Byte als Hilfsmittel zur Strukturierung von Daten Adressierbare Einheit in Speicher (auf allen Ebenen der Speicherhierarchie) Datenwortbreite von Prozessoren und Breite von Bussystemen in Byte (8 Bit) oder Vielfaches davon (16 Bit, 32 Bit, 64 Bit,...) Eike Schallehn Grundlagen der Informatik für Ingenieure Wintersemester 08/

5 Aufbau von Bytes /1 Bits Bitposition = = = Eike Schallehn Grundlagen der Informatik für Ingenieure Wintersemester 08/

6 Aufbau von Bytes /2 Mit n Bits lassen sich 2 n verschiedenen Zeichen/Zustände kodieren Größe von n = 8 Bit bei der Entwicklung erster Rechner relativ willkürlich gewählt, aber 256 Zustände ausreichend für Abbildung vieler gängiger Zeichenvorräte, zum Beispiel gängigste Zeichen inklusive Alphabet (Klein- und Großbuchstaben), Dezimalziffern und einige Sonderzeichen durch ASCII Code (eigentlich nur 7 Bit) Verwendung einer Zweierpotenz 8 = 2 3 günstig für Addressierung der einzelnen Bits Auch komplexere Daten (Datentypen, Adressen, Busbreiten) basieren deshalb meist auf Zweierpotenzen: 16 = 2 4, 32 = 2 5, 64 = 2 6,... Eike Schallehn Grundlagen der Informatik für Ingenieure Wintersemester 08/

7 Byte als Maßeinheit Auch Verwendung als Maßeinheit für Datenmengen Faktoren für Größenordnungen wieder an Zweierpotenzen mit Faktor 2 10 = 1024 orientiert (im Gegennsatz zu meisten gebräuchlichen Einheiten mit Dezimalfaktorensystem 10, 100, 1000, etc.) 2 10 Byte = 1 Kilobyte (KByte) = 1024 Byte 2 20 Byte = 1 Megabyte (MByte) = 1024 KByte = Byte 2 30 Byte = 1 Gigabyte (GByte) = 1024 MByte = Byte = 1 Terrabyte (TByte) = Eike Schallehn Grundlagen der Informatik für Ingenieure Wintersemester 08/

8 Hexadezimalsystem /1 Zahlensystem zur Basis B = 16 = 2 4 Da 16 Ziffernsymbole benötigt, werden zusätzlich die ersten Buchstaben des Alphabets verwendet: Z i {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} Wertigkeit zusätzlicher Ziffern ist entsprechend A16 = B 16 = F 16 = Beispiel: A3F 16 = = = Eike Schallehn Grundlagen der Informatik für Ingenieure Wintersemester 08/

9 Hexadezimalsystem / =D5 16 } } 13 =D 5 = Verwendung in der Informatik gebräuchlich, da der Zustand eines Bytes immer genau durch eine zweistellige Hexadezimalzahl zwischen = 0 10 = und = = FF 16 dargestellt werden kann (ebenso kann jede zweistellige Hexadezimalzahl durch ein Byte dargestellt werden) die Umrechnung eines Byte in eine Hexadezimalzahl sehr einfach ist, indem jedes Halb-Byte (4 Bit) mit 2 4 = 16 möglichen Zuständen in genau eine Ziffer 0...F umgewandelt wird Eike Schallehn Grundlagen der Informatik für Ingenieure Wintersemester 08/

10 Operationen auf Bits und Bytes Basieren auf logischen Grundoperationen der Aussagenlogik Ein (unäre Operation) oder zwei (binäre Operation) Operanden repräsentieren Wahrheitsgehalt einer Aussage: TRUE (T, wahr) oder FALSE (F, falsch) Wichtige Operationen (weitere durch Kombination möglich) AND (und, Konjunktion): beide Aussagen müssen wahr sein OR (oder, Disjunktion): mindestens eine der Aussagen wahr NOT (nicht, unäre Negation): das Gegenteil der Aussage XOR (Exklusiv-Oder): nur genau eine der beiden Aussagen wahr Können in Wahrheitstabelle dargestellt werden x y x AND y x OR y NOT x x XOR y... F F F F T F F T F T T T T F F T F T T T T T F F Eike Schallehn Grundlagen der Informatik für Ingenieure Wintersemester 08/

11 Logikschaltungen Logische Grundfunktionen umgesetzt durch transistorbasierte Logikschaltungen (auch Gatter) Schaltzustände 0 und 1 entsprechen Wahrheitswerten F und T AND & NOT 1 OR 1 NAND & XOR =1 NOR 1 Eike Schallehn Grundlagen der Informatik für Ingenieure Wintersemester 08/

12 Umsetzung von Operationen: Beispiel Addition Addition zweier Bitwerte x und y lässt sich als Kombination zweier logischer Operationen darstellen x XOR y als einstelliges Ergebnis x AND y als Übertrag zur nächsten Stelle x y x + y x AND y x XOR y Eike Schallehn Grundlagen der Informatik für Ingenieure Wintersemester 08/

13 Halbaddierer Zusammenfassung in einer Schaltung X Y =1 & S Ü X Y HA S Ü Umsetzung eines Addierers für komplette Bytes Stellenweise Addition für alle Bits x i und y i Erfordert Berücksichtigung des Übertrags ui 1 der vorhergehenden Bit-Addition Volladdierer Eike Schallehn Grundlagen der Informatik für Ingenieure Wintersemester 08/

14 Volladdierer /1 u i 1 x i y i u + x + y Umsetzung zum Beispiel durch Kombination von Halbaddierern Eike Schallehn Grundlagen der Informatik für Ingenieure Wintersemester 08/

15 Volladdierer /2 X Y Ü i i i-1 HA S Ü HA Ü 1 Ü S i i Byte-Addition durch Kaskadierung von Volladdieren für jedes Bit Eike Schallehn Grundlagen der Informatik für Ingenieure Wintersemester 08/

16 Byte-Addierer s 0 s 1 s 2 s 7 Überlauf (Carry Bit) VA VA VA VA x y x y 1 1 x y 2 2 x y 7 7 Umsetzung weiterer Operationen Subtraktion durch Addition des Zweierkomplements Multiplikation und Division durch verschiedene Ansätze möglich, zum Beispiel Kombination aus Addierern und bit-weisem Verschieben Eike Schallehn Grundlagen der Informatik für Ingenieure Wintersemester 08/

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